中考数学一轮复习专题6.4 反比例函数中k的几何意义与面积之间关系探究六大题型（北师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习专题6.4 反比例函数中k的几何意义与面积之间关系探究六大题型（北师大版）（解析版），共50页。

考卷信息：
本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对反比例函数中k的几何意义与面积之间关系探究六大题型的理解！
【题型1 根据k的几何意义求三角形的面积】
1．（2023春·上海·九年级期中）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝6x在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差即S△OAC－ S△BAD等于( )
A．3B．6C．4D．9
【答案】A
【分析】设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，则S△OAC－ S△BAD＝12(a2﹣b2)，结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点B的坐标为(a+b，a﹣b)，根据反比例函数系数k的几何意义以及点B的坐标可得(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2＝6，由此即可得出结论．
【详解】解：设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，
则点B的坐标为(a+b，a﹣b)．
∵点B在反比例函数y＝6x的第一象限图象上，
∴(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2＝6．
∴S△OAC﹣S△BAD＝12a2﹣12b2＝12(a2﹣b2)＝12×6＝3．
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及面积公式，解题的关键是得出a2−b2的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，设出等腰直角三角形的直角边，用其表示出反比例函数上点的坐标是关键．
2．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数y=kx(k>0)上不同的三点，连接，OA、OB、OC，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直y轴于点E、F，OB与CF相交于点G，记四边形BEFG、△COG、△AOD的面积分别为S1、S2、S3，则( )
A．S1>S2>S3B．S3S1
【答案】C
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义即可得到结论．
【详解】∵点A、B、C为反比例函数y＝kx（k＞0）上不同的三点，AD⊥y轴，过点B、C分别作BE，CF垂直x轴于点E、F
∴S3=S△AOD=12k,S△BOE=S△COF=12k
∵S2=S△COF−S△GFO=12k−S△GFO，S1=S△BOE−S△GFO=12k−S△GFO
∴S1=S2故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何问题，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
3．（2023春·江苏·九年级期末）如图，点M在函数y=5x（x＞0）的图像上，过点M分别作x轴和y轴的平行线交函数y=2x（x＞0）的图像于点B、C，连接OB、OC，则△OBC的面积为 ．
【答案】2.1
【分析】延长MB、MC，分别交y轴、x轴于点E、D，根据MB∥x轴，MC∥y轴，得到MB⊥y轴，MC⊥x轴，得到∠MEO=∠MDO=90°，根据∠EOD=90°，推出四边形EODM是矩形，设M(x,5x)，推出B(25x,5x)，C(x,2x)，得到S△OBC=S矩形EODM−S△OBE−S△OCD−S△BCM =5−12×2−12×2−12BM⋅CM =3−12(x−25x)(5x−2x)=2.1．
【详解】延长MB、MC，分别交y轴、x轴于点E、D，
∵MB∥x轴，MC∥y轴，
∴MB⊥y轴，MC⊥x轴，
∴∠MEO=∠MDO=90°，
∵∠EOD=90°，
∴四边形EODM是矩形，
设M(x,5x)，
则B(25x,5x)，C(x,2x)，
∴S△OBC=S矩形EODM−S△OBE−S△OCD−S△BCM
=5−12×2−12×2−12BM⋅CM
=3−12(x−25x)(5x−2x)
=2.1．
故答案为：2.1．
【点睛】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质，k的几何意义．
4．（2023春·四川遂宁·九年级统考期末）如图，点A是反比例函数y=6x(x>0)上的一点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，AC交反比例函数y=2x的图象于点B，点P是x轴上的动点，则△PAB的面积为 ．
【答案】2
【分析】利用AC⊥y轴,根据三角形的面积公式以及反比例函数数比例系数k的几何意义进行计算即可
【详解】解：如图，连接OA、OB、PC
∵AC⊥y轴
∵S△APC=S△AOC=12×|6|=3
S△BPC=S△BOC=12×2=1,
∴S△PAB=S△APC- S△BPC=2
故答案为：2.
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是关键
5．（2023春·四川成都·九年级统考期末）如图，点B是反比例函数y=12x(x>0)图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足分别为A，C．反比例函数y=kx(x>0)的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，则△BDF的面积是 ．
【答案】92
【分析】先求出k=3，再由S△BDF=S△OBD= S△BOA- S△OAD，即可求解．
【详解】解：设点B(s,t)，则st=12，
∵M是OB的中点，
∴点M(12s,12t)，
则k=12s· 12t=14st=3，
连结OD，如图所示：
∵BA⊥y轴，
∴BA∥OF，
∴S△BDF=S△OBD= S△BOA- S△OAD=12×12-12×3=92．
故答案为92．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质等知识．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
6．（2023春·山东聊城·九年级统考期末）如图，点E,F在函数y=2x的图象上，直线EF分别与x轴、y轴交于点A,B，且点A的横坐标为4，点B的纵坐标为83，则ΔEOF的面积是 ．
【答案】83
【分析】作EC⊥x轴于C，EP⊥y轴于P，FD⊥x轴于D，FH⊥y轴于H，由题意可得点A，B的坐标分别为(4，0)，B(0，83)，利用待定系数法求出直线AB的解析式，再联立反比例函数解析式求出点，F的坐标．由于S△OEF+S△OFD=S△OEC+S梯形ECDF，S△OFD=S△OEC=1，所以S△OEF=S梯形ECDF，然后根据梯形面积公式计算即可．
【详解】解：如图，作EP⊥y轴于P，EC⊥x轴于C，FD⊥x轴于D，FH⊥y轴于H，
由题意可得点A，B的坐标分别为(4，0)，B(0，83)，
由点B的坐标为(0，83)，设直线AB的解析式为y=kx+83，将点A的坐标代入得，0=4k+83，解得k=-23．
∴直线AB的解析式为y=-23x+83．
联立一次函数与反比例函数解析式得，
y=−23x+83y=2x，解得x=1y=2或x=3y=23，
即点E的坐标为（1，2），点F的坐标为（3，23）．
∵S△OEF+S△OFD=S△OEC+S梯形ECDF，而S△OFD=S△OEC=12×2=1，
∴S△OEF=S梯形ECDF=12×（AF+CE）×CD=12×（23+2）×(3-1)=83．
故答案为：83．
【点睛】本题为一次函数与反比例函数的综合题，考查了反比例函数k的几何意义、一次函数解析式的求法，两函数交点问题，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的比例系数k的几何意义，利用转化法求面积是解决问题的关键．
7．（2023春·江西新余·九年级统考期末）如图曲线C2是双曲线C1：y＝8x（x＞0）绕原点逆时针旋转45°得到的图形，P是曲线C2上任意一点，点A在直线l：y＝x上，且PA＝PO，则△POA的面积等于 ．
【答案】8
【分析】将双曲线逆时针旋转使得l与y轴重合，等腰三角形△PAO的底边在y轴上，应用反比例函数比例系数k的性质解答问题.
【详解】解：如图，将C2及直线y＝x绕点O逆时针旋转45°，则得到双曲线C3，直线l与y轴重合．
双曲线C3，的解析式为y＝−8x过点P作PB⊥y轴于点B
∵PA＝PO
∴B为OA中点．
∴S△PAB＝S△POB
由反比例函数比例系数k的性质，S△POB＝4
∴△POA的面积是8
故答案为8．
【点睛】此题主要考查反比例函数系数k的几何意义：
①在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值k．
②在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12k,且保持不变．
【题型2 已知三角形的面积求k】
1．（2023春·浙江台州·九年级统考期末）如图，放置含30°的直角三角板，使点B在y轴上，点C在双曲线y=kx上，且AB⊥y轴，BC的延长线交x轴于点D，若S△ACD=3．则k=（ ）
A．3B．33C．6D．9
【答案】C
【分析】设C点坐标为(a,ka)．根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求出BC=2AB=2a，AC=BC2−AB2=3a，那么A(a,ka+3a)，B(0,ka+3a)．根据SΔACD=SΔABD−SΔABC，列出方程12a(ka+3a)−12a⋅3a=3，即可求出k．
【详解】解：设C点坐标为(a,ka)．
∵AB⊥y轴，∠BAC=90°，∠ACB=30°，
∴AB=a，BC=2AB=2a，
∴AC=BC2−AB2=3a，
∴A(a,ka+3a)，B(0,ka+3a)．
∵SΔABD=12AB⋅OB=12a(ka+3a)，
SΔABC=12AB⋅AC=12a⋅3a，
SΔACD=SΔABD−SΔABC，
∴ 12a(ka+3a)−12a⋅3a=3，
∴ 12k=3，
∴k=6．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是设C点坐标为(a,ka)，用含a的代数式表示出A点坐标．
2．（2023春·重庆巴南·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx（k<0，x<0）的图象经过AB上的两点A，P，其中P为AB的中点，若△AOB的面积为18．则k的值为（ ）
A．−18B．−12C．−9D．−6
【答案】B
【分析】过A、P两点分别作x轴垂线，垂足为C、D，设A点坐标为（a,ka），可求P、B坐标，然后根据面积列方程即可．
【详解】解：过A、P两点分别作x轴垂线，垂足为C、D，设A点坐标为（a,ka），
∵P为AB的中点，
∴BD=CD，AC=2PD，
∴PD=k2a，
∴P点坐标为（2a，k2a），
∴BD=CD=-a，
∴B点坐标为（3a，0），
S△AOB=12×OB×AC，
18=12×(−3a)×ka，
解得，k=-12，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，解题关键是设出反比例函数图象上一点坐标，表示其他点坐标，依据面积列方程．
3．（2023春·江西宜春·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB的中点与坐标原点重合，点D是x轴上一点，连接CD、AD．若CB平分∠OCD，反比例函数y=kx(k<0,x<0)的图象经过CD上的两点C、E，且CE=DE，△ACD的面积为12，则k的值为（ ）
A．－4B．－8C．－12D．－16
【答案】B
【分析】连接OE，过点E作EF⊥OD于点F，过点C作CG⊥OD于点G，证明CD∥AB，推出S△ACD=S△OCD=12，求得△ODE的面积，再证明DF=FG=OG，得S△OEF＝23S△ODE．
【详解】解：连接OE，过点E作EF⊥OD于点F，过点C作CG⊥OD于点G，则EF∥CG，
∵CE=DE，
∴DF=FG，EF=12CG，
∵反比例函数y=kx(k<0,x<0)的图象经过CD上的两点C、E，
∴S△OCG＝S△OEF＝12|k|，
∴12OG•CG=12OF•EF，
∴OF=2FG，
∴DF=FG=OG，
∴S△OEF＝23S△ODE，
∵Rt△ABC的斜边AB的中点与坐标原点重合，
∴OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB，
∵CB平分∠OCD，
∴∠OCB=∠DCB，
∴∠OBC=∠DCB，
∴CD∥OB，
∴S△OCD=S△ACD=12，
∵CE=DE，
∴S△ODE＝12S△OCD=6，
∴S△OEF＝23S△ODE＝23×6＝4，
∴12|k|=4，
∵k＜0，
∴k=-8．
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，平行线的判断和性质，等高模型等知识，解题的关键是证明BD∥AE，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
4．（2023春·浙江宁波·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的一条边AB⊥x轴于点B，经过点A的反比例函数y=kx（k>0，x>0）的图象交BC于点D，连结OA，OC，若点D是BC中点，△OAC的面积为3，则k的值为 ．

【答案】1213
【分析】利用反比例函数的几何意义，表示出点A的坐标的关系，利用△OAC的面积，求出点A的坐标的积，从而求出答案．
【详解】解：如下图，过C作CH⊥AB、CF⊥x轴，作DE⊥x轴，

设点Aa,b，
∴OB=a，AB=b，
∵△ABC为等边三角形且CH⊥AB，
∴BH=12b，CH=32b，
∴矩形BFCH中，CF=12b，
∵D是BC中点，
∴DE=14b，
∵∠CBF=30°，
∴BE=3⋅14b=34b，
∴OE=a+34b，
∴ab=a+34b⋅14b，
∴b=43a，
∵S△OAC=S△OAB+S梯形ABFC−S△OCF=3，
∴12ab+12b+12b⋅32b−12a+32b⋅12b=3，
∴14ab+34b2=3，
∴14ab+3ab=3，
∴ab=1213，
∴k=1213，
故答案为：1213．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义的应用，等边三角形的“三线合一”和中位线的应用是解题的关键．
5．（2023春·山东烟台·九年级统考期末）如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y=kxk>0上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE=72，则k= ．

【答案】7
【分析】设BC与x轴交于点F，连接DF、OD，由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，根据三角形的面积公式可得S△ODF=S△BCE，S△ADF=S△ABC，由S△OAD=S△ODF−S△ADF，S△ABE=S△BCE−S△ABC，可得S△OAD=S△ABE=72，由k的几何意义进行计算即可得到答案．
【详解】解：设BC与x轴交于点F，连接DF、OD，如图所示，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵ AD⊥x，
∴BC⊥x轴，
∴BC∥y轴，OF⊥BC，
∵S△ODF=12OF⋅AD，S△BCE=12BC⋅OF，S△ADF=12AF⋅AD，S△ABC=12AF⋅BC，
∴S△ODF=S△BCE，S△ADF=S△ABC，
∵S△OAD=S△ODF−S△ADF，S△ABE=S△BCE−S△ABC，
∴S△OAD=S△ABE=72，
∵S△OAD=k2，
∴k=7，
∵k>0，
∴k=7，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积计算，熟练掌握平行四边形的性质，反比例函数系数k的几何意义，添加适当的辅助线，是解题的关键．
6．（2023春·四川成都·九年级校考期中）如图，直线y＝13x与双曲线y＝kx平交于A、B两点，直线BC经过点B，与双曲线y＝kx交于另一点C，∠ABC＝45°，连接AC，若△ABC的面积是35，则k＝ ．
【答案】6
【分析】如图所示，过点A作AM⊥x轴于M，过点O作OK⊥AB交BC于K，过点K作KT⊥x轴于T，设直线BC与y轴交于J，连接OC，设Am,13m，则OM=m，AM=13m，由反比例函数的对称性可知B−m,−13m，OB=OA，然后证明△KOT≌△OAM得到OT=AM=13m，KT=OM=m，则点K的坐标为−13m,m，然后求出直线BC的解析式为y=2x+53m，得到J点坐标为0,53m，设C点坐标为n,2n+53m，然后推出S△BOJ+SOCJ=352得到13m⋅m=n⋅2n+53m12m+n⋅53m=352，由此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点A作AM⊥x轴于M，过点O作OK⊥AB交BC于K，过点K作KT⊥x轴于T，设直线BC与y轴交于J，连接OC，
设Am,13m，则OM=m，AM=13m，
∴由反比例函数的对称性可知B−m,−13m，OB=OA，
∵∠ABC=45°，OK⊥AB，
∴OK=OB=OA，
∵∠OTK=∠AOK=∠AMO=90°，
∴∠KOT+∠AOM=90°，∠AOM+∠OAM=90°，
∴∠KOT=∠OAM，
∴△KOT≌△OAM（AAS），
∴OT=AM=13m，KT=OM=m，
∴点K的坐标为−13m,m，
设直线BC的解析式为y=k1x+b，
∴−13mk1+b=m−mk1+b=−13m，
解得k1=2b=53m，
∴直线BC的解析式为y=2x+53m，
∴J点坐标为0,53m，
设C点坐标为n,2n+53m，
∵S△BOC=S△AOC=12S△ABC=352，
∴S△BOJ+SOCJ=352，
∴13m⋅m=n⋅2n+53m12m+n⋅53m=352，
解得m2=18，
∴13m⋅m=k=6，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，全等三角形的性质与判定，一次函数与反比例函数综合等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
7．（2023春·黑龙江大庆·九年级统考期末）如图，在平面角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过AE上的两点A，F，且AF=EF,△ABE的面积为18，则k的值为 ．
【答案】12
【分析】如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．证明BD∥AE，推出S△ABE=S△AOE=18，推出S△EOF=12S△AOE=9，可得S△FME=13S△EOF=3，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．
∵AN∥FM，AF=FE，
∴MN=ME，
∴FM=12AN，
∵A，F在反比例函数的图象上，
∴S△AON=S△FOM=k2，
∴12•ON•AN=12•OM•FM，
∴ON=12OM，
∴ON=MN=EM，
∴ME=13OE，
∴S△FME=13S△FOE，
∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD=∠EAD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=∠DAE，
∴AE∥BD，
∴S△ABE=S△AOE，
∴S△AOE=18，
∵AF=EF，
∴S△EOF=12S△AOE=9，
∴S△FME=13S△EOF=3，
∴S△FOM=S△FOE-S△FME=9-3=6=k2，
∴k=12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线的判断和性质，等高模型等知识，解题的关键是证明BD∥AE，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
【题型3 根据k的几何意义求四边形的面积】
1．（2023春·四川巴中·九年级统考期末）如图，点A是反比例函数y=−8xx<0的图像上的一点，过点A作平行四边形ABCD．使点B,C在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】C
【分析】作AH⊥OB于H，根据平行四边形的性质得AD∥OB，则S平行四边形ABCD=S矩形AHOD，再根据反比例函数y=kx(k≠0)系数k的几何意义得到S矩形AHOD=8即可解答．
【详解】解：如图：作AH⊥OB于H，
∵AD∥OB，
∴AD⊥y轴，
∴四边形AHOD为矩形，
∵AD∥OB，
∴S平行四边形ABCD=S矩形AHOD，
∵点A是反比例函数y=−8xx<0的图像上的一点，
∴S矩形AHOD=8=8，
∴S平行四边形ABCD=8．
故选C
【点睛】本题主要了反比例函数y=kx(k≠0)系数k的几何意义，掌握例函数y=kx(k≠0)图像上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为k是解答本题的关键．
2．（2023春·江苏·九年级统考期末）如图，四边形AOBC和四边形CDEF都是正方形，边OA在x轴上，边OB在y轴上，点D在边CB上，反比例函数y= −8x 在第二象限的图象经过点E，则正方形AOBC和正方形CDEF的面积之差为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】C
【分析】设正方形AOBC的边长为a，正方形CDEF的边长为b，则E（b-a，a+b），再根据反比例函数图象上点的坐标特征得（a+b）•（b-a）=8，因为S正方形AOBC=a2，S正方形CDEF=b2，从而求得正方形AOBC和正方形CDEF的面积之差为8．
【详解】解：设正方形AOBC的边长为a，正方形CDEF的边长为b，则E（a﹣b，a+b），
∴（a+b）•（a﹣b）=8，
整理为a2﹣b2=8，
∵S正方形AOBC=a2， S正方形CDEF=b2，
∴S正方形AOBC﹣S正方形CDEF=8，
故答案为：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=|k|；也考查了正方形的性质．
3．（2023春·全国·九年级期中）如图，平行四边形OABC的顶点O，B在y轴上，顶点A在y＝k1x（k1＜0）上，顶点C在y＝k2x（k2＞0）上，则平行四边形OABC的面积是 ．
【答案】k2−k1
【分析】过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CD⊥y轴于点D，依据平行四边形的性质及反比例函数k的几何意义解题即可．
【详解】解：过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CD⊥y轴于点D，
∴∠AEB=∠CDO=90°，
∵平行四边形OABC，
∴AE=CD，AB=CO，
AE=CDAB=CO
∴△ABE≅△CODHL，
在反比例函数y＝k2x中，△COD的面积=k22，
∴△ABE的面积=△COD的面积=k22，
同理得△AOE的面积=△CBD的面积=k12，
综上平行四边形OABC的面积为k2+k1=k2−k1．
故答案为k2−k1．
【点睛】本题主要考查反比例函数中k的几何意义，能够熟练运用平行四边形的性质得到面积之间的关系并结合几何意义解题是解题关键．
4．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，反比例函数y=2x(x>0)的图象经过矩形OABC对角线OB的中点P，与AB、BC交于E、F两点，则四边形OEBF的面积是 ．

【答案】6
【分析】设P点的坐标为m，n，根据矩形性质求得A，B的坐标，根据反比例函数k的几何意义可得S△OCF=S△OAE=1，根据S四边形OEBF=S矩形OABC−S△OCE−S△OAD，即可求解．
【详解】解：∵四边形OABC是矩形，
∴BC⊥y轴，BA⊥x轴，
∵E,F在反比例函数图象上，
∴S△OCF=S△OAE=22=1，
设P点的坐标为m，n，而点P在反比例函数图像上，则mn=2，
又∵矩形OABC对角线OB的中点为P，
∴ B2m，2n，A2m，0，C0，2n，
∵S矩形OABC=AB⋅OA=2n⋅2m=4mn=8，
∴ S四边形OEBF=S矩形OABC−S△OCF−S△OAE=8−1−1=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，矩形的性质，中点坐标公式，设点的坐标求解是解题的关键．
5．（2023春·山西大同·九年级大同一中校考期末）如图所示，矩形OABC的边OA在x轴上，OC在y轴上，反比例函数y=kx的图象x经过BC边上的点D和AB边上的点E，若D好是BC的中点，其坐标为(2,3)，连接OD、OE，则四边形ODBE的面积为 ．

【答案】6
【分析】根据点D的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，再根据点D为线段BC的中点即可找出点B的坐标，根据k值几何意义得出S四边形ODBE=S矩形OABC−S△OCD−S△OAE求解即可；
【详解】∵D坐标为(2,3)，点D在反比例函数y=kx的图象上
∴k=2×3=6
∵D好是BC的中点
∴点B的坐标为 (4,3)
∵四边形OABC为矩形，点D、E在反比例函数 y=kx 的图象上，
∴S△OCD=S△OAE=12k=12×6=3
∴S四边形ODBE=S矩形OABC−S△OCD−S△OAE=4×3−3−3=6，
故答案为：6．

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数系数k的几何意义，根据点D的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数k值是解题的关键．
6．（2023春·河南南阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y＝3x的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为 ．
【答案】42
【分析】根据题意过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为3，1，可得出横坐标，即可求得AE，BE，再根据勾股定理得出AB，根据菱形的面积公式即底乘高即可得出答案．
【详解】解：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，
∵A，B两点在反比例函数y＝3x的图象上且纵坐标分别为3，1，
∴A，B横坐标分别为1，3，
∴AE＝2，BE＝2，
∴AB＝22，
S菱形ABCD＝底×高＝22×2＝42，
故答案为：42．
【点睛】本题考查菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是解题的关键．
7．（2023春·江苏常州·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，反比例函数y=kxx>0的图像与一次函数y=mx+bm<0的图像在第一象限交于A、B两点．
探究一：
P是平面内的一点，过点A、B、P分别作x轴、y轴的垂线，相应的两条垂线与坐标轴所围成的矩形面积记为SA、SB、SP，矩形周长记为CA、CB、CP，
（1）如图1，P是线段AB上不与点A、B重合的一点，k=8．
SA=______，SA______SP（填“＞”、“＜”或“＝”）：
猜想：当点P从点A运动到点B时，SP的变化规律是____________；
（2）如图2，P是双曲线AB段上不与点A、B重合的一点，m=−1，b=4．
CA=______，CA______CP（填“＞”、“＜”或“＝”）；
猜想：当点P从点A运动到点B时，CP的变化规律是____________；
探究二：
如图3，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两条垂线交于直线AB右上方的点Q，OQ与反比例函数的图像交于点G．若G是OQ的中点，且△QAB的面积为9，求k的值．

【答案】探究一：（1）8，<，猜想：先变大后变小；（2）8，>，先变小后变大；探究二：k=8
【分析】探究一：（1）根据反比例函数k的几何意义，结合图形即可求解；
（2）根据直线解析式的特点，结合图形即可求解；
探究二：设点G的坐标为x,y，则xy=k，Q、A、B的坐标分别为2x,2y、2x,k2x、k2y,2y，再由△QAB的面积=12×2y−k2x×2x−k2y=9求解即可．
【详解】解：探究一：
（1）∵A点、B点在反比例函数y=8x上，
∴SA=SB=8，
过P点作PQ⊥y轴交反比例函数图像于点Q，过点Q作QD⊥x轴交于点D，
∴SP=8+PQ⋅DQ，
设Px,y，则Q8y,y，
∴PQ⋅DQ=y(x−8y)=xy−8=xmx+b−8=mx+b2m2−8−b24m，
∵m<0，b>0，
∴在x>0时，PQ⋅DQ的值先增大后减小，
∴SP＜SA．
故答案为：8，＜，先增大后减小．
（2）∵m=−1，b=4．
∴直线的解析式为y=−x+4，
设A点坐标为s,t，
∴s+t=4，
∴CA=CB=8，
过P点作PE∥x轴交反比例函数于点E，过E作EF⊥x轴交于点F，
∴CP=8−2PE，
设Ex,y，则Pky,y，
∴PE=x−ky，
∴2PE=2x−2ky=24−y−2ky=8−2y+ky，
∴CP=2y+ky
∵y＞0，k＞0，
∴y＞0时，y+ky先减小后增大，
∴CP先减小后增大，
∴CA＞CP．
故答案为：8，＞，先减小后增大．
探究二：
设点G的坐标为x,y，则xy=k．
由题意得点Q、A、B的坐标分别为2x,2y、2x,k2x、k2y,2y．
∵△QAB的面积=12×2y−k2x×2x−k2y
=12×4k−k−k+k24k
=98k=9，
∴k=8．

【点睛】本题主要考查反比例函数的图像及性质，熟练掌握反比例函数的图像及性质、反比例函数k的几何意义是解题的关键．
【题型4 已知四边形的面积求k】
1．（2023春·广东茂名·九年级茂名市第一中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A，D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B，E在反比例函数y＝kx（x＞0，k＞0）的图象上，若正方形ADEF的面积为4，且BF＝AF，则k的值（ ）
A．3B．6C．8D．12
【答案】C
【分析】先由正方形ADEF的面积为4，得出边长为2，求得AB．再设B点的横坐标为t，则E点坐标(t+2，2)，根据点B、E在反比例函数y=kx的图象上，列出t的方程，即可求出k．
【详解】∵正方形ADEF的面积为4，
∴正方形ADEF的边长为2，
∴BF=AF=2，AB=AF+BF=2+2=4．
设B点坐标为(t，4)，则E点坐标(t+2，2)，
∵点B、E在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=4t=2t+2，
解得：t=2，k=8．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x，y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
2．（2023春·山东济南·九年级统考期末）如图，正方形ABCD的相邻两个顶点C、D分别在x轴、y轴上，且满足BD∥x轴，反比例函数y＝kx（x＜0）的图象经过正方形的中心E，若正方形的面积为8，则该反比例函数的解析式为（ ）
A．y＝4xB．y＝－4xC．y＝8xD．y＝－8x
【答案】B
【分析】根据正方形的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可求得S△CDE=12|k|=2，解得即可．
【详解】解：∵正方形的面积为8，
∴S△CDE=2，
∵正方形ABCD的相邻两个顶点C、D分别在x轴、y轴上，BD∥x轴，
∴S△CDE=12|k|，
∴|k|=4，
∵k＜0，
∴k=-4，
∴该反比例函数的解析式为y=-4x，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数系数k的几何意义，得到关于k的方程是解题的关键．
3．（2023春·江苏苏州·九年级统考期中）如图，四边形OABC是矩形，点A在x轴正半轴，点C在y轴正半轴，对角线OB，CA交于点D．双曲线y=kx(k≠0)经过点D与边BC，AB分别交于点E，点F，连接DE，DF，若四边形BEDF的面积为5，则k的值为（ ）
A．5B．52C．53D．103
【答案】D
【分析】设点D的坐标为a,ka，则B2a,2ka，Ea2,2ka，F2a,k2a，根据四边形BEDF的面积为：S△DBF+S△BED，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设点D的坐标为a,ka，
∵点D为矩形对角线OB，CA的交点，
∴点D为对角线OB的中点，
∴B2a,2ka，
∵四边形OABC为矩形，
∴点F的横坐标为2a，E点的纵坐标为2ka，
∴Ea2,2ka，F2a,k2a，
∵四边形BEDF的面积为：S△DBF+S△BED，
∴122a−a22ka−ka+122a−a2ka−k2a=5，
解得：k=103，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何应用，矩形的性质，解题的关键是设出点D的坐标表示出点E和F的坐标，利用四边形BEDF的面积列方程．
4．（2023春·山东德州·九年级统考期末）如图，矩形OABC与反比例函数y1=k1x（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数y2=k2x（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON． 若四边形OMBN的面积为3，则k2−k1=( )
A．3B．-3C．32D．6
【答案】A
【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．
【详解】解：∵y1、y2的图象均在第一象限，
∴k1>0，k2>0，
∵点M、N均在反比例函数y1=k1x（k1是非零常数，x>0）的图象上，
∴S△OAM=S△OCN=12k1，
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数y2=k2x（k2是非零常数，x>0）的图象上，
∴S矩形OABC=k2，
∴S四边形OMBN=S矩形OABC−S△OAM−S△OCN=3，
∴k2−k1=3，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值k．
5．（2023春·重庆万州·九年级重庆市万州高级中学统考期中）如图，平行四边形ABOC中，对角线交于点E，双曲线y＝kx(k<0)经过C、E两点，若平行四边形ABOC的面积为18，则k的值是（ ）
A．﹣3B．﹣4C．﹣5D．﹣6
【答案】D
【分析】设C(−m,n)，B(b,0)，根据平行四边形的性质求得A的坐标，进而求得E的坐标，根据平行四边形的面积求得b,n的关系，进而求得k的值
【详解】设C(−m,n)，B(−b,0)，
∵四边形ABOC是平行四边形，双曲线y＝kx(k<0)经过C、E两点，
则k=−mn，A(−m−b,n)，E−m−b2,n2
∵平行四边形ABOC的面积为18，
∴bn=18
∵ −m−b2×n2=k
即−mn−bn=4k
∴3k=−18
解得k=−6
故选D
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，中点坐标公式，反比例函数k的几何意义，设点的坐标代入计算是解题的关键．
6．（2023春·江苏无锡·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在反比例函数y=kx（k>0，x>0）的图象上，横坐标分别为1，4，对角线BD∥x轴．若菱形ABCD的面积为452，则k的值为（ ）
A．54B．154C．4D．5
【答案】D
【分析】设A(1，m)，B(4，n)，连接AC交BD于点M，BM=4-1=3，AM=m-n，由菱形的面积可推得m-n=154，再根据反比例函数系数的特性可知m=4n，从而可求出n的值，即可得到k的值.
【详解】设A(1，m)，B(4，n)，连接AC交BD于点M，
则有BM=4-1=3，AM=m-n，
∴S菱形ABCD=4×12BM•AM，
∵S菱形ABCD=452，
∴4×12×3（m-n）=452，
∴m-n=154，
又∵点A，B在反比例函数y=kx，
∴k=m=4n，
∴n=54，
∴k=4n=5，
故选D.
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义、菱形的性质、菱形的面积等，熟记菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键.
7．（2023春·河南平顶山·九年级统考期末）如图，四边形OABC是平行四边形，其面积为8，点A在反比例函数y=3x的图象上，过点A作AD//x轴交BC于点D，过点D的反比例函数图象关系式为y=kx，则k的值是 ．
【答案】-5.
【分析】连接OD，根据反比例函数系数k的几何意义得到SΔAOE=12×3=32，SΔDOE=12|k|，从而得到SΔAOD=12S平行四边形ABCO=12×8=4，即可得到3+|k|2=4，解得k=−5．
【详解】解：连接OD，
由题意可知，SΔAOE=12×3=32，SΔDOE=12|k|，
∴SΔAOD=3+|k|2，
∵SΔAOD=12S平行四边形ABCO=12×8=4，
∴ 3+|k|2=4，
解得|k|=5，
∵在第二象限，
∴k=−5．
故答案为：−5．
．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，平行四边形的性质，明确ΔAOD的面积是平行四边形ABCO面积的一半是解题的关键．
【题型5 根据k的几何意义求坐标】
1．（2023春·山东烟台·九年级统考期末）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D2,1在对角线OB上，反比例函数y=kxk>0,x>0的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是6，则点B的坐标为（ ）
A．4,83B．4,2C．5,2.5D．245,125
【答案】B
【分析】利用点D坐标求出反比例函数和正比例函数解析式，再设出点C坐标，利用平行四边形的性质和正比例函数解析式表示出点B的坐标，从而可得BC，再用BC与点C的纵坐标表示出平行四边形的面积，求解即可．
【详解】解：∵点D（2，1）在反比例函数y=kxk>0,x>0上，
∴k=2×1=2，
∴反比例函数解析式为：y=2x，
设直线OB的函数解析式为y=mx，
∵点D（2，1）在对角线OB上，
∴2m=1，即m=12，
∴OB的解析式为：y=12x,
∵点C在反比例函数图象上，
∴设点C坐标为（a，2a），
∵四边形OABC为平行四边形，
∴BC∥OA，
∴点B的纵坐标为2a，
将y=2a代入y=12x，
解得：x=4a，
∴点B坐标为（4a，2a），
∴BC=4a−a，
∵平行四边形OABC的面积是6，
∴（4a−a）×2a=6，
解得：a=1或a=-1（舍去），
∴4a=4，2a=2，
∴点B坐标为：4,2，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数图象与性质，平行四边形的性质，一次函数图象等知识点，解题的关键是利用反比例函数和一次函数将点C，点B的坐标统一表示出来．
2．（2023春·江西上饶·九年级统考期末）如图，已知矩形OABC的顶点B（-8，6）在反比例函数y=kx的图象上，点A在x轴上，点C在y轴上，点P在反比例函数y=kx的图象上，且横坐标为a（a<-8），分别过点P作PE⊥x轴于点E， PF⊥y轴于点F，交AB于点G．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若四边形PEAG为正方形，求点P的坐标；
(3)连接OP交AB于点M，BM：MA=3：2，求四边形PEAM与四边形BMOC的面积比．
【答案】(1)y=-48x；
(2)P的坐标为（-12，4）；
(3)S四边形PEAM:S四边形BMOC=3：8
【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）设点P(a，−48a)，根据题意可知PE＝−48a，PG=-8-a．由正方形的性质得出−48a＝−8−a，解得即可；
（3）根据反比例函数的几何意义，易求得四边形PEAM的面积与△BMO的面积相等，由BM：MA=3：2，得出△BMO与△MAO的面积之比为3：2，设△BMO的面积为3x，则△MAO的面积为2x，即可得到S四边形PEAM=S△BMO=3x,S△BAO=S△BCO=5x，从而求得S四边形PEAM:S四边形BMOC=3:8．
【详解】（1）∵矩形的顶点B（-8，6）在反比例函数y=kx的图象上，
∴6=k−8，解得k=-48．
∴反比例函数的解析式为y=-48x．
（2）由PE⊥x轴， PF⊥y轴，可知四边形ABCO是矩形．
∵点P的横坐标为a（a<-8）， ∴根据题意可知PE=-48a，PG=-8-a．
∵四边形PEAG为正方形，∴-48a=-8-a，
解得a1=-12， a2=4（舍去），
∴点P的坐标为（-12，4）．
（3）根据反比例函数的几何意义，可知S△BAO=S△PEO=24，
∴S四边形PEAM=S△BMO．
∵BM：MA=3：2，∴S△BMO：S△MAO=3：2．
设S△BMO=3x，则S△MAO=2x，
∴S四边形PEAM=S△BMO=3x，
∴S△BAO=5x，
∴S四边形BMOC=8x，
∴S四边形PEAM: S四边形BMOC =3：8
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图形上点的坐标特征，矩形和正方形的性质，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
3．（2023春·河南南阳·九年级统考期中）如图，长方形OABC的两边OA、OC分别在两坐标轴上，反比例函数y=kxx>0)的图象分别与AB、BC相交于点D、E，EM⊥x轴交x轴于点M，交OD于点F．已知：S四边形COME=6,OA=5,OC=2．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)求点D、F的坐标；
(3)求△OED的面积．
【答案】(1)y=6x
(2)D(5,65)，F(3,1825)
(3)165
【分析】（1）根据k的几何意义可得k=s四边形COME=6，进而即可求解；
（2）根据题意可得点D的横坐标为5，把x=5代入y=5x，得y=65，即可得出D点的坐标，得出直线OD的解析式为y=625x，点F的横坐标等于3，点F在直线OD上，进而代入即可求解；
（3）根据三角形的面积公式，sΔOED=sΔOEF+sΔDEF，即可求解．
【详解】（1）解：∵s四边形COME=6
∴k=s四边形COME=6
∵反比例函数图象在第一象限，
∴k=6
∴y=6x.
（2）∵OA=5
∴点D的横坐标为5，
∵点D在函数y=6x的图象上
把x=5代入y=5x，得y=65
∴D(5,65)
∵OC=2
∴点E的纵坐标为2，
∴2=6x

x=3
∴E(3,2)
设直线OD的解析式为y=kx
∵点D(5,65)在直线OD上
∴65=5k
∴k=625
∴y=625x
∵点F的横坐标等于3，点F在直线OD上
∴把x=3代入y=625x，得y=1825
∴F(3,1825)
（3）sΔOED=sΔOEF+sΔDEF
=12EF⋅CE+12EF⋅BE
=12EF(CE+BE)
=12EF⋅BC
=12×(2−1825)×5
=165
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，k的几何意义，正比例函数的性质，坐标与图形，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
4．（2023春·浙江温州·九年级统考期末）如图，点Am，1和点B在反比例函数y=kxk>0，x>0的图象上，过点A作AC∥y轴交x轴于点C，过点B作BD∥x轴交直线AC于点D，CD=3AC．

(1)若AD=BD，求k的值．
(2)连结OB，若四边形OBDC的面积为6，求点B的坐标．
【答案】(1)3
(2)B45,3
【分析】（1）根据点A的坐标可得AC=1进而得出CD=3，由AD=BD可得点A与点B的横坐标的差，进而求出m的值，确定点A的坐标即可；
（2）表示出点B的坐标，利用含有m的代数式表示四边形OBCD的面积求出m即可．
【详解】（1）如图，过点B作BE⊥x轴于E，

∵点Am，1，
∴OC=m，AC=1，
又∵CD=3AC．
∴CD=3，
∴AD=BD=3−1=2=EC，
∴点Bm3,3，
∴m−m3=2，
解得m=3，
∴点A3，1，
∵点A3，1在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=3，
（2）由（1）可知点Am，1，点Bm3,3，即OC=m，OE=m3，则BD=EC=m−m3=2m3，
由于四边形OBDC的面积为6，
∴122m3+m×3=6，
解得m=125，
∴点B45,3．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提．
5．（2023春·四川成都·九年级统考期末）如图，已知A(2,4)是正比例函数函数y=kx的图象与反比例函数y=mx的图象的交点．
(1)求反比例函数和正比例函数的解析式；
(2)B为双曲线上点A右侧一点，连接OB,AB．若△OAB的面积为15，求点B的坐标．
【答案】(1)y=2x，
(2)（8，1）
【分析】（1）将点A分别代入两个函数解析式即可；
（2）连接OB，过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，根据题意得S△OAB=S△OAM+S梯形AMNB−S△ONB=S梯形AMNB，设B（8n，n），得到12(AM+BN)⋅MN=12(4+n)×(8n−2)=15，解方程即可求出点B的坐标．
（1）
解：将点A（2，4）代入y=kx，得2k=4，
解得k=2，
∴正比例函数解析式为y=2x；
将将点A（2，4）代入y=mx，得k=2×4=8，
∴反比例函数解析式为y=8x；
（2）
连接OB，过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，
∴S△OAM=S△ONB=12×8=4，
∴S△OAB=S△OAM+S梯形AMNB−S△ONB=S梯形AMNB，
设B（8n，n），
∴12(AM+BN)⋅MN=12(4+n)×(8n−2)=15，
整理得n2+15n−16=0，
解得n1=1，n2=-16（舍去），
∴B（8，1）．
【点睛】此题是一次函数与反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，由函数图象求几何图形的面积，正确理解反比例函数k值的几何意义是解题的关键．
6．（2023春·江苏·九年级期末）如图，一次函数y=12x−2的图象分别交x轴、y轴于A、B，P为AB上一点且PC为△AOB的中位线，PC的延长线交反比例函数y=kxk>0的图象于Q，S△OQC=32，则k的值和Q点的坐标分别为 ．
【答案】k=3，Q2,32
【分析】根据三角形△OQC的面积是Q点的横纵坐标乘积的一半，且等于32，可求出k的值；根据一次函数y=12x−2的图象分别交x轴，y轴于A，B，所以当y=0时，可求出A的横坐标，根据PC为中位线，可求出C的横坐标，也是Q的横坐标，代入反比例函数可求出纵坐标．
【详解】解：∵Q在反比例函数y=kx的图象上，
∴2S△OQC=k，
∴k=2×32=3；
∴反比例函数解析式为y=3x，
把y=0代入y=12x−2得：0=12x−2，
解得：x=4，
∴A4,0；
∵PC是△AOB的中位线，
∴PC⊥x轴，即QC⊥OC，
∴C2,0，
∴Q点的横坐标为2，
∵Q在反比例函数y=3x的图象上，
∴y=32，
∴点Q的坐标为2,32．
故答案为：k=3，Q2,32．
【点睛】本题主要考查反比例函数的综合运用，熟练掌握并应用反比例函数y=kx（k>0）中k的几何意义是解题的关键．
7．（2023春·安徽滁州·九年级校考期中）如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数y=mx(x>0)的图像交于A，C两点与x轴交于B，D两点，连接AC，点A，B对应直尺上的刻度分别为5，2，直尺的宽度BD=2，S△AOC=5，则点C的坐标是 ．
【答案】(6，2)
【分析】首先根据点A、B对应直尺上的刻度分别为5、2，AB=3．BD=2，即可求得A的坐标(m3，3)，C的坐标(m3+2，3mm+6)，关键是根据面积列出关于m的方程，求出m，即可求得C的坐标．
【详解】解：∵直尺平行于y轴，A、B对应直尺的刻度为5、2，且AB=3，
则B的坐标为(m3，0)，则D的坐标为(m3+2，0)
∴C(m3+2，3mm+6)，
∵SΔAOC=SΔAOB+S梯形ABDC−SΔOCD=5，
又∵SΔAOB=SΔOCD，
∴S梯形ABDC=5，
∴(3+3mm+6)×2×12=5，
∴m=12，
∴C的坐标为(6,2)
故答案为：(6,2)．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，解题的关键是掌握反比例函数图像上点的坐标特征、比例系数的几何意义；熟练运用几何图形的面积的和差计算不规则的图形的面积．
【题型6 根据k的几何意义判断面积的变化情况】
1．（2023春·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，等腰三角形△ABC的顶点A在原点固定，且始终有AC=BC，当顶点C在函数y=kxx>0的图象上从上到下运动时，顶点B在x轴的正半轴上移动，则△ABC的面积大小变化情况是（ ）
A．先减小后增大B．先增大后减小C．一直不变D．先增大后不变
【答案】C
【分析】根据三角形ABC的面积是点C的横坐标与纵坐标的乘积除以2，和点C在函数y=kxx>0的图象上，可以解答本题．
【详解】解：∵等腰三角形ABC的顶点A在原点，顶点B在x轴的正半轴上，顶点C在函数y=kxx>0的图象上运动，且AC=BC，
设点C的坐标为x，kx，
∴S△ABC=12×2x×kx=k，
即△ABC的面积不变，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是将反比例的系数k与三角形的面积联系在一起．
2．（2023·江苏连云港·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，点Ba,b是反比例函数y≤4x在第三象限图像上的一个动点，以B为顶点，原点对称中心作矩形ABCD，AB⊥x轴于点E，过点O的直线MQ分别交AD、BC边于点M、Q，以MQ为一边作矩形MNPQ，且直线PN恰好经过点E，如果点B在运动中横坐标逐渐变小，那么矩形MNPQ的面积的大小变化情况是（ ）

A．先减小后增大B．先增大后减小C．一直不变D．一直减小
【答案】C
【分析】连接EM、EH．先证四边形AEOG是矩形，再利用反比例函数的性质得S矩形BHOE=4，进而得S△OQE=12S矩形BHOE=2，矩形MNPQ的面积为2S△EHM=8，即可推出矩形MNPQ的面积是定值．
【详解】解：连接EM、EH．

∵四边形ABCD是以原点对称中心作矩形，
∴OM=OQ，AB∥CD，AD∥BC ，∠A=∠ABC=∠C=90°，OG=OH，OF=OE
∵AB⊥x轴，x轴⟂y轴，
∴∠OEA=∠OEB=∠GOE=90°，
∴∠OEA+∠A=180°，∠AEO+∠GOE=180°，
∴AB∥y轴，AD∥x轴，
∴四边形AEOG是矩形，
同理可证：四边形BHOE，四边形HCFO，四边形FDGO都是矩形，
∵点Ba,b在反比例函数y=4x上，
∴S矩形BHOE=4，
∴S△OQE=12S矩形BHOE=2，
∵OM=OQ，
∴S△EHM=2S△OQE=4，
∵四边形MNPQ是矩形，
∴矩形MNPQ的面积为2S△EHM=2×4=8，
∴矩形MNPQ的面积的大小不变，
故选C．
【点睛】本题考查矩形的判定与性质、中心对称图形的性质、反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，属于中考选择题中的压轴题．
3．（2023春·湖南常德·九年级统考期中）如图，点M是反比例函数y=5x(x>0)图像上的一个动点，过点M作x轴的平行线交反比例函数y=−5xx<0图像于点N．
(1)若点M（53，3），求点N的坐标；
(2)若点P是x轴上的任意一点，那么△PMN的面积是否发生变化？若不变，求出它的面积是多少？若变化，请说明理由．
【答案】(1)N−53,3
(2)不变，5
【分析】（1）将y=3代入y=−5x(x<0)，求得点N的坐标；
（2）连接OM，ON，记MN与y轴的交点为点H，由反比例函数系数k的几何意义求得△MOH和△NOH的面积，得到△MON的面积，由MN∥x轴得到△MON和△MNP的面积相等，从而得到△PMN的面积不变．
【详解】（1）∵MN∥y轴，
∴点M、N的y值相等，
将y=3代入y=−5x(x<0)，
得x=−53，
∴N−53,3；
（2）不变，
如图，连接OM，ON，记MN与y轴的交点为点H，
∵MN∥x轴，点M和点N分别在函数y=5x和函数y=−5x图象上，
∴S△MOH=52,S△NOH=|−5|2=52,S△MON=S△PMN，
∴S△MON=S△MOH+S△NOH=52+52=5，
∴S△PMN=5，
∴△PMN的面积不变，且△PMN的面积为5．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是连接MO和NO，得到△MON和△PMN的面积相等．
4．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数的图象交于点A（1，n）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点P（m，0）在x轴上一点，点M是反比例函数图象上任意一点，过点M作MN⊥y轴，求出△MNP的面积；
（3）在（2）的条件下，当点P从左往右运动时，判断△MNP的面积如何变化？并说明理由．
【答案】（1）y＝2x；（2）1；（3）△MNP的面积是不变的常数1，理由见解析．
【分析】（1）将点A的坐标代入y＝x+1得：n＝1+1＝2，故点A（1，2），进而求解；
（2）MN⊥y轴，故MN∥x轴，则△MNP的面积S＝S△OMN＝12k＝1；
（3）由（2）知△MNP的面积为1，为常数，即可求解．
【详解】解：（1）将点A的坐标代入y＝x+1得：n＝1+1＝2，故点A（1，2），
设反比例函数的表达式为：y＝kx，将点A的坐标代入上式得：2＝k1，解得：k＝2，
故反比例函数表达式为：y＝2x；
（2）∵MN⊥y轴，故MN∥x轴，
则△MNP的面积S＝S△OMN＝12k＝1；
（3）由（2）知△MNP的面积为1，为常数，
故△MNP的面积是不变的常数1．
【点睛】此题主要考查一次函数、反比例函数和几何综合，熟练掌握函数图象和性质是解题关键．
5．（2023·九年级课时练习）如图，P1是反比例函数y=kx(k>0)在第一象限图象上一点，点A1的坐标为(1, 0)．
(1)当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将如何变化？
(2)若△P1OA1与△P2A1A2均为直角三角形，其中∠P1OA1=P2A1A2=60∘，求此反比例函数的解析式及点A2的坐标．
【答案】（1）点P1的横坐标逐渐增大时，其纵坐标逐渐减小，则△P1OA1的面积将逐渐减小．（2）(22, 0).
【分析】作辅助线，可得出面积的表达式，由k的取值范围可以得出结论；
当若△P1OA1与△P2A1A2均为直角三角形，其中∠P1OA1=P2A1A2=60∘时，可先求得函数解析式，又因为特殊直角三角形可得出相应点的坐标.
【详解】解：(1)过P1作P1C⊥OA1，垂足为C，
设P1(a, b)，
∵P1在第一象限，
∴△P1OA1的面积=12×0A1×b=b．
又∵当k>0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小．
故当点P1的横坐标逐渐增大时，其纵坐标逐渐减小，则△P1OA1的面积将逐渐减小．
(2)因为△P1OA1是直角三角形，
所以OA1=1，P1A1=3，
所以P1(1, 3)．
代入y=kx，得k=3，
所以反比例函数的解析式为y=3x．
∵△P2A1A2为直角三角形，∠P2A1A2=60∘，
∴P2A2⊥x轴，设A1A2=a，
则OA2=2+a，P2A2=3a，
所以P2(2+a, 3a)．
∵P2(2+a, 3a)在反比例函数的图象上，
∴代入y=3x，得(2+a)⋅3a=3，
化简得a2+2a−1=0
解得：a=−1±2．
∵a>0，
∴a=−1+2．∴A1A2=−2+22，
∴OA2=OA1+A1A2=22，
所以点A2的坐标为(22, 0)．
【点睛】本题考查了有已知点求解析式和反比例的性质，熟悉掌握概念是解决本题的关键.