中考数学一轮复习专题7.11 平行线的证明章末十一大题型总结（拔尖篇）（北师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习专题7.11 平行线的证明章末十一大题型总结（拔尖篇）（北师大版）（解析版），共101页。

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\l "_Tc18399" 【题型1 平行线在三角板中的运用】 PAGEREF _Tc18399 \h 1
\l "_Tc12629" 【题型2 平行线在折叠中的运用】 PAGEREF _Tc12629 \h 15
\l "_Tc2244" 【题型3 旋转使平行】 PAGEREF _Tc2244 \h 21
\l "_Tc3826" 【题型4 利用平行线求角度之间的关系】 PAGEREF _Tc3826 \h 25
\l "_Tc16164" 【题型5 利用平行线解决角度定值问题】 PAGEREF _Tc16164 \h 36
\l "_Tc28110" 【题型6 平行线的阅读理解类问题】 PAGEREF _Tc28110 \h 45
\l "_Tc19908" 【题型7 平行线的性质在生活中的应用】 PAGEREF _Tc19908 \h 55
\l "_Tc11510" 【题型8 平行线与动点的综合应用】 PAGEREF _Tc11510 \h 59
\l "_Tc2386" 【题型9 与角平分线有关的三角形角的计算问题】 PAGEREF _Tc2386 \h 69
\l "_Tc24788" 【题型10 与平行线有关的三角形角的计算问题】 PAGEREF _Tc24788 \h 78
\l "_Tc17728" 【题型11 与折叠有关的三角形角的计算问题】 PAGEREF _Tc17728 \h 91
【题型1 平行线在三角板中的运用】
【例1】（2023下·浙江温州·八年级校考期中）将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC=90°，∠DEC=60°，∠ABC=90°，∠BAC=45°），保持三角板EDC不动，将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度，顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转．

(1)如图2，当AC为∠DCE的角平分线时，直接写出此时t的值；
(2)当AC旋转至∠DCE的内部时，求∠DCA与∠ECB的数量关系．
(3)在旋转过程中，当三角板ABC的其中一边与ED平行时，请直接写出此时t的值．
【答案】(1)3
(2)∠ECB−∠DCA=15°
(3)15或24或33
【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠ACE=12∠DCE=15°，然后求出t的值即可；
（2）根据旋转得：∠ACE=5t，表示出∠DCA=30°−5t，∠ECB=45°−5t，即可得出∠ECB−∠DCA=15°；
（3）分三种情况进行讨论，分别画出图形，求出t的值即可．
【详解】（1）解：如图2，∵∠EDC=90°，∠DEC=60°，

∴∠DCE=30°，
∵AC平分∠DCE，
∴∠ACE=12∠DCE=15°，
∴t=155=3，
答：此时t的值是3；
（2）解：当AC旋转至∠DCE的内部时，如图3；

由旋转得：∠ACE=5t，
∴∠DCA=30°−5t，∠ECB=45°−5t，
∴∠ECB−∠DCA=45°−5t−30°−5t=15°；
（3）解：分三种情况：
①当AB∥DE时，如图4，

此时BC与CD重合，
t=30+45÷5=15；
②当AC∥DE时，如图5，

∵AC∥DE，
∴∠ACD=∠D=90°，
∴∠ACE=90°+30°=120°，
t=120÷5=24；
③当BC∥DE时，如图6，

∵BC∥DE
∴∠BCD=∠CDE=90°
∴∠ACD=90°+30°+45°=165°
∴t=165÷5=33
综上，t的值是15或24或33．
故答案为：15或24或33．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，角平分线的计算，平行线的性质，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．
【变式1-1】（2023下·河南安阳·八年级统考期末）如图1，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°．
(1)观察猜想，∠BCD与∠ACE的数量关系是________；∠BCE与∠ACD的数量关系是________；
(2)类比探究，若按住三角板ABC不动，顺时针绕直角顶点C转动三角形DCE，试探究当∠ACD等于多少度时CE//AB，画出图形并简要说明理由；
(3)拓展应用，若∠BCE＝3∠ACD，求∠ACD的度数；并直接写出此时DE与AC的位置关系．
【答案】(1)∠BCD=∠ACE，∠BCE+∠ACD=180°
(2)当∠ACD=60°或120°时，CE//AB
(3)∠ACD=45°，AC⊥DE或AC//DE
【分析】（1）由三角板的特点可知∠ACB=∠DCE=90°，即可求出∠BCD=∠ACE．再根据∠BCE=∠ACB+∠ACE，∠ACD=∠DCE−∠ACE，即可求出∠BCE+∠ACD=180°；
（2）分类讨论结合平行线的性质即可求解；
（3）由（1）∠BCE+∠ACD=180°，即可求出∠ACD=45°，再分类讨论结合平行线的判定和性质即可得出DE与AC的位置关系．
【详解】（1）∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB−∠ACD=∠DCE−∠ACD，即∠BCD=∠ACE．
∵∠BCE=∠ACB+∠ACE，∠ACD=∠DCE−∠ACE，
∴∠BCE+∠ACD=∠ACB+∠DCE=90°+90°=180°．
故答案为：∠BCD=∠ACE，∠BCE+∠ACD=180°；
（2）分类讨论：①如图1所示，
∵CE//AB，
∴∠ACE=∠BAC=30°，
∴∠ACD=∠DCE−∠ACE=90°−30°=60°；
②如图2所示，
∵CE//AB，
∴∠BCE=∠B=60°，
∴∠ACD=360°−∠ACB−∠DCE−∠BCE=360°−90°−90°−60°=120°．
综上可知当∠ACD=60°或120°时，CE//AB；
（3）根据（1）可知∠BCE+∠ACD=180°，
∴3∠ACD+∠ACD=180°，
∴∠ACD=45°．
分类讨论：①如图3所示，

∵∠ACD=45°，
∴∠BCD=45°=∠CDE，
∴BC//DE．
∵∠ACB=90°，即AC⊥BC，
∴AC⊥DE；
②如图4所示，
∵∠ACD=45°，
∴∠ACD=45°=∠CDE，
∴AC//DE．
【点睛】本题考查三角板中的角度计算，平行线的判定和性质．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
【变式1-2】（2023上·湖南长沙·八年级校考期末）如图，两个形状，大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．
（1）①如图1，∠DPC＝ 度．
②我们规定，如果两个三角形只要有一组边平行，我们就称这两个三角形为“孪生三角形”，如图1，三角板BPD不动，三角板PAC从图示位置开始每秒10°逆时针旋转一周（0°