中考数学一轮复习：专题13.9 三角形中的边角关系、命题与证明章末八大题型总结（拔尖篇）（沪科版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习：专题13.9 三角形中的边角关系、命题与证明章末八大题型总结（拔尖篇）（沪科版）（解析版），共62页。

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\l "_Tc25031" 【题型1 利用三角形的中线求面积】 PAGEREF _Tc25031 \h 1
\l "_Tc25770" 【题型2 利用三角形的三边关系求线段的最值或取值范围】 PAGEREF _Tc25770 \h 7
\l "_Tc22451" 【题型3 利用三角形的三边关系化简或证明】 PAGEREF _Tc22451 \h 10
\l "_Tc25393" 【题型4 与角平分线有关的三角形角的计算问题】 PAGEREF _Tc25393 \h 14
\l "_Tc19417" 【题型5 与平行线有关的三角形角的计算问题】 PAGEREF _Tc19417 \h 23
\l "_Tc1446" 【题型6 与折叠有关的三角形角的计算问题】 PAGEREF _Tc1446 \h 35
\l "_Tc32095" 【题型7 坐标系中的角度探究问题】 PAGEREF _Tc32095 \h 45
\l "_Tc25989" 【题型8 有关三角形角度的多结论问题】 PAGEREF _Tc25989 \h 54
【题型1 利用三角形的中线求面积】
【例1】（2023春·贵州毕节·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AG=BG，BD=DE=EC，CF=4AF，若四边形DEFG的面积为28，则△ABC的面积为（ ）

A．60B．56C．70D．48
【答案】A
【分析】连接CG、BF，过点F作FM⊥AB于点M，设S△AFG=a，根据同高的三角形的面积的比等于底边的比，分别得到S△AFB=2a、SΔBCF=8a、S△ABC=10a、S△CFE=83a、SΔACG=SΔBCG=5a、S△BDG=53a，再根据四边形DEFG的面积，求出a=6，即可得出△ABC的面积．
【详解】解：连接CG、BF，过点F作FM⊥AB于点M，
设S△AFG=a，
∵S△AFG=12⋅AG⋅FM，S△FGB=12⋅BG⋅FM，AG=BG，
∴S△AFG=S△FGB=a，
∴S△AFB=2a，
∵CF=4AF，
同理可得：S△BCF=4S△AFB，
∴S△BCF=8a，
∴S△ABC=S△AFB+S△BCF=2a+8a=10a，
∵BD=DE=EC，
∴BC=3EC，
同理可得：S△CFE=13S△BFC=83a，
∵G是AB的中点，
同理可得：S△ACG=S△BCG=5a，
∵BD=DE=EC，
∴BC=3BD，
同理可得：S△BDG=13S△BCG=53a，
∵四边形DEFG的面积为28，
∴S四边形DEFG=S△ABC−S△AFG−S△CFE−S△BDG=10a−a−83a−53a=143a=28，
∴a=6，
∴S△ABC=10a=10×6=60，
故选：A．

【点睛】本题主要考查了三角形的中线的性质，掌握三角形的中线的性质是解题关键．
【变式1-1】（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期末）如图，在△ABC中，BF=2FD，EF=FC，若△BEF的面积为4，则四边形AEFD的面积为 ．
【答案】14
【分析】根据等底等高的三角形面积相等即可解决问题．
【详解】解：如图，连接AF，
∵EF=FC，△BEF的面积为4，
∴S△BFC=4，
∵BF=2FD，
∴S△DFC=12S△BFC=2，
∵EF=FC，
∴S△AEF=S△AFC=S△ADF+2，
∵BF=2FD，
∴S△ABF=2S△ADF，
∴S△AEF+S△BEF=2S△ADF，
∴S△ADF+2+4=2S△ADF，解得S△ADF=6，
∴S△AEF=6+2=8，
∴S四边形AEFD=S△ADF+S△AEF=6+8=14．
故答案为：14．
【点睛】本题主要考查了根据三角形的中线求面积，解决本题的关键是掌握等底等高的三角形面积相等．
【变式1-2】（2023春·江苏连云港·八年级统考期末）如图，点C为直线AB外一动点，AB=6，连接CA、CB，点D、E分别是AB、BC的中点，连接AE、CD交于点F，当四边形BEFD的面积为5时，线段AC长度的最小值为 ．

【答案】5
【分析】如图：连接BF，过点C作CH⊥AB于点H，根据三角形中线的性质求得S△ABC=15，从而求得CH=5，利用垂线段最短求解即可．
【详解】解：如图：连接BF，过点C作CH⊥AB于点H，

∵点D、E分别是AB、BC的中点，
∴S△ABE=S△ACE=12S△ABC=S△ADC=S△BDC，S△AFD=S△BFD，S△CEF=S△BEF，
∴S△CEF+S四边形BDFE=S△CEF+S△ACF，S△AFD+S△CEF=S△BEF+S△BFD=S四边形BDFE=5，
∴S四边形BDFE=S△ACF=5，
∴S△ABC=S△ACF+S四边形BDFE+S△AFD+S△CEF=15，
∴12CH⋅AB=15，
∴CH=5，
又∵点到直线的距离垂线段最短，
∴AC≥CH=5，
∴AC的最小值为5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质、垂线段最短等知识点，正确作出辅助线、利用中线分析三角形的面积关系是解题的关键．
【变式1-3】（2023春·江苏盐城·八年级统考期末）【问题情境】
苏科版数学课本八年级下册上有这样一道题：如图1，AD是△ABC的中线，△ABC与△ABD的面积有怎样的数量关系？
小旭同学在图1中作BC边上的高AE，根据中线的定义可知BD=CD．又因为高AE相同，所以S△ABD=S△ACD，于是S△ABC=2S△ABD．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．

【深入探究】
（1）如图2，点D在△ABC的边BC上，点P在AD上．
①若AD是△ABC的中线，求证：S△APB=S△APC；
②若BD=3DC，则S△APB:S△APC=______．
【拓展延伸】
（2）如图3，分别延长四边形ABCD的各边，使得点A、B、C、D分别为DH、AE、BF、CG的中点，依次连结E、F、G、H得四边形EFGH．
①求证：S△HDG+S△FBE=2S四边形ABCD；
②若S四边形ABCD=3，则S四边形EFGH=______．
【答案】（1）①证明见解析；②3:1；（2）①证明见解析；②15
【分析】（1）①根据中线的性质可得S△ADB=S△ADC，点D为BC的中点，推得PD是△PBC的中线，S△PDB=S△PDC，即可证明S△APB=S△APC；
②设△ABC边BC上的高为ℎ，根据三角形的面积公式可得S△ADB=12×BD×ℎ，S△ADC=12×DC×ℎ，即可推得S△ADB=3S△ADC，同理推得S△PDB=3S△PDC，即可求得S△APB=3S△APC，即可证明S△APB:S△APC=3:1；
（2）①连接AG，AC，CE，根据中线的判定和性质可得S△GAH=S△GAD=12S△GHD，S△CBA=S△CBE=12S△CAE，S△ECF=S△ECB=12S△EFB，S△ADC=S△ADG=12S△ACG，推得S△ADC=S△ADG=12S△GHD，S△CBA=S△CBE=12S△EFB，即可求得S四边形ABCD=12S△GHD+S△EFB，即可证明S△HDG+S△FBE=2S四边形ABCD，
②由①可得S△HDG+S△FBE=2S四边形ABCD，同理可证得S△HEA+S△FGC=2S四边形ABCD，根据S四边形EFGH=S△HDG+S△FBE+S△HEA+S△FGC+S四边形ABCD，即可推得S四边形EFGH=5S四边形ABCD，即可求解．
【详解】（1）①证明：∵AD是△ABC的中线，
∴S△ADB=S△ADC，点D为BC的中点，
∴PD是△PBC的中线，
∴S△PDB=S△PDC，
∴S△ADB−S△PDB=S△ADC−S△PDC，
即S△APB=S△APC；
②S△APB:S△APC=3:1，
解：设△ABC边BC上的高为ℎ，
则S△ADB=12×BD×ℎ，S△ADC=12×DC×ℎ，
∵BD=3DC，
∴S△ADB=3S△ADC，
同理S△PDB=3S△PDC，
则S△ADB−S△PDB=3S△ADC−3S△PDC，
即S△APB=3S△APC，
∴S△APB:S△APC=3:1．
（2）①证明：连接AG，AC，CE，如图：

∵点A、B、C、D分别为DH、AE、BF、CG的中点，
∴AG，BC，CE，DA分别为△GHD，△CAE，△EFB，△ACG的中位线，
∴S△GAH=S△GAD=12S△GHD，S△CBA=S△CBE=12S△CAE，S△ECF=S△ECB=12S△EFB，S△ADC=S△ADG=12S△ACG，
∴S△ADC=S△ADG=12S△GHD，S△CBA=S△CBE=12S△EFB
∵S四边形ABCD=S△ADC+S△CBA=12S△GHD+12S△EFB=12S△GHD+S△EFB，
即S△HDG+S△FBE=2S四边形ABCD；
②15，
解：由①可得S△HDG+S△FBE=2S四边形ABCD，同理可证得S△HEA+S△FGC=2S四边形ABCD，
S四边形EFGH=S△HDG+S△FBE+S△HEA+S△FGC+S四边形ABCD，
即S四边形EFGH=5S四边形ABCD，
∵S四边形ABCD=3，
∴S四边形EFGH=5×3=15．
【点睛】本题考查了中位线的判定和性质，三角形的面积公式，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的关键 ．
【题型2 利用三角形的三边关系求线段的最值或取值范围】
【例2】（2023春·河北保定·八年级统考期末）如图，∠AOBa
【答案】A
【分析】根据△OMP的形状，大小是唯一确定的，结合三角形的三边关系进行分析即可．
【详解】解：过点M作MN⊥OA交OA于点N，作点O关于MN的对称点D，如图：

∵点M到射线OA的距离为a，
∴MN=a，
∵MN垂直平分OD，
∴MD=MO=6，
当a5B．xBC，三个式子相加即可证得要求
（2）AB+AC>OB+OC，AB+BC>OA+OC，AC+BC>OA+OB，三个式子相加即可证得要求
（3）由AB+AC+BC=10km，点O为ΔABC内一点，及（1）（2）可知12AB+BC+ACAB+AC+BC.
故OA+OB+OC>12AB+BC+AC.
（2）AB+AC>OB+OC，①
同理，AB+BC>OA+OC，②
AC+BC>OA+OB.③
由①+②+③，得2AB+AC+BC>2OA+OB+OC，
即AB+AC+BC>OA+OB+OC.
（3）由AB+AC+BC=10km，点O为ΔABC内一点，及（1）（2）知12AB+BC+AC2BD，理由为：
∵AB+AD>BD，BC+CD>BD，
∴AB+AD+BC+CD>BD+BD
即：AB+BC+CA>2BD
（2）AB+AC>PB+PC，理由为：
在△ABD中，AB+AD>BP+PD，
在△PDC中，PD+DC>PC，
两式相加得：AB+AD+PD+DC>BP+PD+PC
即：AB+AC>PB+PC
（3）AB+AC>BD+DE+CE，理由为：
如图，延长BD交CE的延长线于G，交AC于点F，
在△ABF中，AB+AF>BD+DG+GF，①
在△GFC中，GF+AC−AF>GE+EC，②
△DEG中，DG+GE>DE，③
①+②+③得：AB+AC>BD+DE+CE
【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三遍之间的关系是解题的关键．
【变式3-3】（2023春·六年级单元测试）如图，草原上有四口油井，位于四边形ABCD的四个顶点上，现在要建立一个维修站H，试问H建在何处，才能使它到四口油井的距离之和HA+HB+HC+HD最小，说明理由
【答案】H建在AC、BD的交点处，理由见解析．
【分析】连接AC、BD相交于点H，任取一点H′，连接H′A、H′B、H′C、H′D，根据三角形三边关系得到H′A+H′C>AC，H′B+H′D>BD，进而得到H′A+H′B+H′C+H′D>HA+HB+HC+HD，即可推出结论．
【详解】解：H建在AC、BD的交点处，理由如下：
连接AC、BD相交于点H，任取一点H′，连接H′A、H′B、H′C、H′D，
在△AH′C中，H′A+H′C>AC，
在△BH′D中，H′B+H′D>BD，
∴H′A+H′B+H′C+H′D>AC+BD，
∵AC+BD=HA+HB+HC+HD，
∴H′A+H′B+H′C+H′D>HA+HB+HC+HD，
∴HA+HB+HC+HD最小，
即维修站H建在AC、BD的交点处，才能使它到四口油井的距离之和HA+HB+HC+HD最小．
【点睛】本题考查了线段最短，三角形的三边关系，作辅助线构造三角形，灵活运用三角形三边关系是解题关键．
【题型4 与角平分线有关的三角形角的计算问题】
【例4】（2023春·江苏苏州·八年级太仓市第一中学校考期中）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．
(1)若∠A=60°，则∠BDC的度数为_________；
(2)若∠A=α，直线MN经过点D．
①如图2，若MN∥AB，求∠NDC−∠MDB的度数（用含α的代数式表示）；
②如图3，若MN绕点D旋转，分别交线段BC,AC于点M,N，试问旋转过程中∠NDC−∠MDB的度数是否会发生改变？若不变，求出∠NDC−∠MDB的度数（用含α的代数式表示），若改变，请说明理由；
③如图4，继续旋转直线MN，与线段AC交于点N，与CB的延长线交于点M，请直接写出∠NDC与∠MDB的关系（用含α的代数式表示）．
【答案】(1)120°
(2)①90°-α2 ②不变，90°-α2 ③∠NDC与∠MDB的关系是∠NDC+∠MDB=90∘−α2．
【分析】（1）利用角平分线的定义，三角形内角和定理，分步计算即可．
（2）①利用平角的定义，变形代入计算，注意与第（1）的结合．
②与 ①结合起来求解即可．
③根据平角的定义，变形后结合前面的计算，求解即可．
【详解】（1）∵ BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠CBD=12∠ABC，∠BCD=12∠ACB，
∴∠CBD+∠BCD=12∠ACB+12∠ABC=12(∠ABC+∠ACB)，
∵∠CBD+∠BCD+∠BDC=180°，∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴180°-∠BDC=12(180∘−∠A)，
∴∠BDC=90∘+∠A2，
∵∠A=60°，
∴∠BDC=90∘+30∘=120°，
故答案为：120°．
（2）①∵∠NDC=180°-∠MDC，
∴∠NDC−∠MDB=180°-∠MDC-∠MDB
=180°-（∠MDC+∠MDB）
=180°-∠BDC
=180°-（90∘+∠A2）
=90∘−α2．
②∠NDC−∠MDB保持不变，恒等于90°-α2．理由如下：
∵∠NDC=180°-∠MDC，
∴∠NDC−∠MDB=180°-∠MDC-∠MDB
=180°-（∠MDC+∠MDB）
=180°-∠BDC
=180°-（90∘+∠A2）
=90∘−α2．
故保持不变，且为90∘−α2．
③∠NDC与∠MDB的关系是∠NDC+∠MDB=90∘−α2．理由如下：
∵∠NDC+∠MDB+∠BDC=180°，
∴∠NDC+∠MDB=180°-∠BDC，
∵∠BDC=90∘+α2，
∴∠NDC+∠MDB=180°-（90∘+α2）=90∘−α2．
【点睛】本题考查了角的平分线的定义，三角形内角和定理，平角的定义，熟练掌握三角形内角和定理，平角的定义是解题的关键．
【变式4-1】（2023秋·河南漯河·八年级校考期中）（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系；
（2）如果图2中，∠D=40°,∠B=36°，AP与CP分别是∠DAB和∠DCB的角平分线，试求∠P的度数；
（3）如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试问∠P与∠D，∠B之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）．
【答案】（1）∠A+∠D =∠C+∠B
（2）∠P=38°
（3）∠D+∠B=2∠P
【分析】（1）根据三角形的内角和定理和对顶角相等就可以得出∠A，∠D，∠C，∠B的数量关系；
（2）由（1）可得∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP ，∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P ，再两式相加，结合角平分线的定义可得∠D+∠B=2∠P，再把∠D=40°，∠B=36°代入计算即可得到答案；
（3）由（1）可得∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP ，∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P ，再两式相加，结合角平分线的定义可得∠D+∠B=2∠P.
【详解】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，
且∠AOD=∠BOC，
∴∠A+∠D =∠C+∠B；
（2）由（1）可得∠DAP+∠D =∠P+∠DCP ①，∠PCB+∠B =∠PAB+∠P ②，
∵∠DAB和∠DCB的角平分线AP与CP相交于点P，
∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，
①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
∴∠D+∠B=2∠P，
又∵∠D=40°，∠B=36°，
∴40°+36°=2∠P，
∴∠P=38°；
（3）存在的数量关系为：∠D+∠B=2∠P，
由（1）可得∠DAP+∠D =∠P+∠DCP ①，∠PCB+∠B =∠PAB+∠P ②，
∵∠DAB和∠DCB的角平分线AP与CP相交于点P，
∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，
①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
∴∠D+∠B=2∠P.
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理以及角平分线的性质是解题的关键.
【变式4-2】（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）∠MON=90°，点A，B分别在OM、ON上运动(不与点O重合)．
(1)如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，当AO=BO时∠AEB= °；
(2)如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D，随着点A，B的运动∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；
(3)如图③，延长MO至Q，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线相交于点E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO的度数．
【答案】(1)135°
(2)∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，值为45°
(3)60°或45°
【分析】（1）利用三角形内角和定理、两角互余、角平分线性质即可求解；
（2）利用对顶角相等、两角互余、两角互补、角平分线性质即可求解；
（3）根据三角形的内角和定理及角平分线的性质不难得出∠EAF=90°，如果有一个角是另一个角的3倍，所以不确定是哪个角是哪个角的三倍，所以需要分情况讨论；值得注意的是，∠MON=90°，所以求解出的∠ABO一定要小于90°，注意解得取舍．
【详解】（1）解：∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，
∴∠EBA=12∠OBA，∠BAE=12∠BAO，
∵∠MON=90°，
∴∠EAB+EBA=90°，
∵∠AEB+∠EAB+∠EBA=180°，
∴∠AEB=180°−∠EBA−∠BAE，
=180°−12∠OBA+∠BAO，
=180°−12×90°，
=180°−45°，
=135°；
（2）解： ∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，设∠BAD=α，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO=2α，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABN=180°-∠ABO=∠AOB+∠BAO=90+2α，
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC=45°+α，
∵∠ABC=180°-∠ABD=∠D+∠BAD，
∴∠D=∠ABC-∠BAD=45°+α-α=45°；
（3）解：∵∠BAO与∠BOQ的平分线交于点E，
∴∠AOE=135°，
∴∠E=180°−∠EAO−∠AOE，
=45°−∠EAO，
=45°−12∠BAO，
=45°−12(180°−90°−∠ABO)，
=12∠ABO
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的平分线，
∴∠EAF=12∠BAO+12∠GAO=12×180°=90°，
在△AEF中，若有一个角是另一个角的3倍，
则①当∠EAF=3∠E时，得∠E=30°，此时∠ABO=60°；
②当∠EAF=3∠F时，得∠E=60°，
此时∠ABO=120°＞90°，舍去；
③当∠F=3∠E时，得∠E=14×90°=22.5°，
此时∠ABO=45°；．
④当∠E=3∠F时，得∠E=34×90°=67.5°，
此时∠ABO=135°＞90°，舍去．
综上可知，∠ABO的度数为60°或45°．
【点睛】前两问熟练运用三角形内角和定理、直角三角形的两锐角互余、对顶角相等、角平分线性质等角的关系即可求解；第三问需先证明∠EAF=90°，再分情况进行讨论，熟练运用三角形的内角和定理及角平分线的性质是解题的关键．
【变式4-3】（2023秋·安徽宣城·八年级校考期中）如图1，∠MON=90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．
(1)若BC是∠ABN的平分线，BC的反方向延长线与∠BAO的平分线交于点D．
①若∠BAO=60°，则∠D=______°；
②猜想：∠D的度数是否随A，B的移动发生变化？并说明理由．
(2)如图2，若∠OAD=35∠OAB，∠NBC=35∠NBA，则∠D=______°；
(3)若将∠MON=90°改为∠MON=120°（如图3），∠OAD=mn∠OAB，∠NBC=mn∠NBA，其余条件不变，则∠D=______（用含m，n的代数式表示，其中m