中考数学一轮复习：专题2.4 整式中的八大规律探究题（沪科版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习：专题2.4 整式中的八大规律探究题（沪科版）（解析版），共24页。


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\l "_Tc16735" 【题型1 单项式的系数与次数的变化规律】 PAGEREF _Tc16735 \h 1
\l "_Tc18228" 【题型2 多项式的项及次数的变化规律】 PAGEREF _Tc18228 \h 3
\l "_Tc20392" 【题型3 图表的规律】 PAGEREF _Tc20392 \h 5
\l "_Tc29154" 【题型4 图形的规律】 PAGEREF _Tc29154 \h 8
\l "_Tc31780" 【题型5 算式的规律】 PAGEREF _Tc31780 \h 11
\l "_Tc24445" 【题型6 程序运算】 PAGEREF _Tc24445 \h 14
\l "_Tc28743" 【题型7 定义新运算】 PAGEREF _Tc28743 \h 17
\l "_Tc2522" 【题型8 动点规律探究】 PAGEREF _Tc2522 \h 20
【题型1 单项式的系数与次数的变化规律】
【例1】（2023春·云南昆明·七年级昆明市第三中学统考阶段练习）按一定规律排列的单项式：a2，−2a3，4a4，−8a5，16a6，…，第n个单项式是（ ）
A．(−1)n+1n2an+1B．(−1)n2nan
C．(−1)n+12n−1an+1D．(−1)n+12nan+1
【答案】C
【分析】分别分析a的系数与次数的变化规律，写出第n个单项式的表达式．
【详解】解：a2=(−1)1+121−1a1+1，
−2a3=(−1)2+122−1a2+1，
4a4=(−1)3+123−1a3+1，
−8a5=(−1)4+124−1a4+1，……，
∴第n个单项式是(−1)n+12n−1an+1．
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式的找规律问题，分别找出符号、系数、次数的变化规律，从而得出单项式的变化规律．
【变式1-1】（2023春·山东滨州·七年级统考期中）观察下列单项式：xy2,−2x2y3,3x3y4,−4x4y5,…，按此规律，第2021个单项式是 ．
【答案】2021x2021y2022
【分析】根据已知单项式得出第n个单项式为（−1）n+1•nxnyn+1，据此可得．
【详解】解：由已知单项式知第n个单项式为（−1）n+1•nxnyn+1，
∴第2021个单项式是2021x2021y2022，
故答案为：2021x2021y2022．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是将单项式划分为符号、系数的绝对值、字母的指数，并找到各部分与序数的关系．
【变式1-2】（2023春·七年级课时练习）观察下列三行数：
①2，−4，8，−16，32，−64，…；
②3，−3，9，−15，33，−63，…；
③−1，2，−4，8，−16，32，…；
取每一行的第n个数，依次记为x，y，z，当n=2时，x=−4，y=−3，z=2．
当n=7时，请直接写出x，y，z的值，并求这三个数中最大数与最小数的差．
【答案】x=128，y=129，z=−64，193
【分析】根据已知发现：第①行的数，从第二个数开始，后面一个数是前面一个数乘−2得到的，第②行的数第①行对应的数加1；第③行的数为第①行对应的数的一半的相反数，依此分别求出x、y、z的值，进而求解即可．
【详解】通过观察发现：
①2，−4，8，−16，32，−64，⋯，规律为−−2n，
②3，−3，9，−15，33，−63，⋯，规律为−−2n+1，
③−1，2，−4，8，−16，32，⋯，规律为12−2n，
当n=7时，x=−−27=128，
y=−−27+1=129，
z=12−27=−64，
这三个数中最大的数与最小的数的差为129−−64=193．
【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类，观察数列，发现第②行、第③行的数与第①行数的关系以及第①行数的排列规律是解题的关键．
【变式1-3】（2023春·七年级课时练习）观察下列单项式：−x,3x2,−5x3,7x4,⋅⋅⋅,−37x19,39x20,⋅⋅⋅．解决下列问题：
(1)这组单项式的系数依次为多少？系数的绝对值的规律是什么？
(2)这组单项式的次数的规律是什么？
(3)根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么吗？
(4)请你根据猜想，写出第2022个、第2023个单项式．
【答案】(1)−1,3,−5,7,⋯,−37,39,⋯，系数的绝对值的规律是2n−1
(2)这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数
(3)(−1)n2n−1xn
(4)第2022个单项式是4043x2022，第2023个单项式是−4045x2023
【分析】（1）根据单项式系数的含义进行求解，再观察其绝对值的规律即可；
（2）观察次的变化，从而可求解；
（3）结合（1）（2）进行分析即可；
（4）根据（3）进行求解即可．
【详解】（1）解：这组单项式的系数依次是−1,3,−5,7,⋯,−37,39,⋯，
系数的绝对值为1,3,5,7,⋯,37,39,⋯，是从1开始的奇数，
∴系数的绝对值的规律是2n−1．
（2）解：这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数．
（3）解：由（1）问得：符合规律是(−1)n，
∵这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数，
∴第n个单项式是(−1)n2n−1xn．
（4）解：第2022个单项式是4043x2022，第2023个单项式是−4045x2023．
【点睛】本题主要考查找规律，能够通过观察题中的单项式找出规律是解题关键．
【题型2 多项式的项及次数的变化规律】
【例2】（2023春·河北廊坊·七年级统考期末）有一组按规律排列的多项式：a−b，a2+b3，a3−b5，a4+b7，…，则第2023个多项式是（ ）
A．a2023+b4047B．a2023−b4047C．a2023+b4045D．a2023−b4045
【答案】D
【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律．
【详解】解：多项式的第一项依次是a，a2，a3，a4，…，an，
第二项依次是−b，b3，−b5，b7，…，(−1)nb2n−1，
得到第n个式子是：an+−1nb2n−1．
当n=2023时，多项式为a2023−b4045
故选：D．
【点睛】此题主要考查了多项式，本题属于找规律的题目，把多项式分成几个单项式的和，分别找出各单项式的规律是解决这类问题的关键．
【变式2-1】（2023春·北京延庆·七年级统考期末）观察一组按规律排列的代数式： a+2b，a2−2b3,a3+2b5,a4−2b7,⋅⋅⋅,第n个式子是 ．（n为正整数）
【答案】an+(−1)n+12b2n−1
【分析】根据已知的式子可以看出：每个式子的第一项中a的次数是式子的序号；第二项中b的次数是序号的2倍减1，而第二项的符号是第奇数项时是正号，第偶数项时是负号．
【详解】解：∵当n为奇数时，−1n+1=1；
当n为偶数时，−1n+1=−1，
∵每个式子的第一项中a的次数是式子的序号；第二项中b的次数是序号的2倍减1，
∴第n个式子是an+(−1)n+12b2n−1．
故答案为：an+(−1)n+12b2n−1．
【点睛】本题考查了多项式规律，认真观察式子的规律是解题的关键．
【变式2-2】（2023春·全国·七年级专题练习）有一组多项式：a−b2，a3+b4，a5−b6，a7+b8，．．．，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n个多项式为 ．
【答案】a2n−1+−1nb2n
【分析】观察已知多项式，得出一般性规律，确定出第n个多项式即可．
【详解】解：根据题意，
∵a−b2，a3+b4，a5−b6，a7+b8，．．．，
∴第n个多项式为：a2n−1+−1nb2n；
故答案为：a2n−1+−1nb2n．
【点睛】此题考查了多项式，找出正确的规律是解本题的关键．
【变式2-3】（2023春·七年级课时练习）已知多项式a10−3a9b+5a8b2−7a7b3+⋯+mb10．
(1)根据这个多项式的排列规律，你能确定这个多项式是几次几项式吗⋅
(2)最后一项的系数m的值为多少⋅
(3)这个多项式的第七项和第八项分别是什么⋅
【答案】(1)十次十一项式；
(2)21；
(3)13a4b6、−15a3b7；
【分析】（1）该多项式按照a的降幂排列，每一项的次数是10，奇数项的符号是正号，偶数项的符号是负号即可解答；
（2）观察已知多项式每一项的系数即可得到最后一项的系数m的值；
（3）结合（1）即可得到多项式的第七项和第八项．
【详解】（1）解：∵多项式a10−3a9b+5a8b2−7a7b3+⋯+mb10是按照a的降幂排列，
∴该多项式有11项，并且每一项的次数是10，
∴该多项式是十次十一项式；
（2）解：∵多项式a10−3a9b+5a8b2−7a7b3+⋯+mb10有11项，
∴每一项的系数是1、−3、5、……，且偶数项为负数，奇数项为正数，
∴第n项的系数为−1n+12n−1，
∴第11项的系数为21，
∴m=21,
∴最后一项的系数m的值为21．
（3）解：∵多项式a10−3a9b+5a8b2−7a7b3+⋯+mb10第n项的系数为−1n+12n−1，
∴第七项的系数是−1n+12n−1=13，第八项的系数是−1n+12n−1=−15，
∵多项式a10−3a9b+5a8b2−7a7b3+⋯+mb10按照a的降幂排列，且每一项的次数是10，
∴第七项是13a4b6, 第八项−15a3b7,
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化列，多项式的的有关概念，理解多项式的项，项数，次数是解题的关键．
【题型3 图表的规律】
【例3】（2023春·广东佛山·七年级统考期末）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当a=90时，b的值为（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
【答案】C
【分析】观察表格，可知a对应的数的规律是a=2(n+2)，n表示第几项，b对应的数的规律是b=(n+2)2−1，由此即可求解．
【详解】解：根据题意可知，a对应的数的规律是a=2(n+2)，n表示第几项，
当a=90时，90=2(n+2)，
∴n=43，即第43个数，
b对应的数的规律是b=(n+2)2−1，
∴b=(n+2)2−1=(43+2)2−1=2025−1=2024，
故选：C．
【点睛】本题主要考查数字规律，观察数与数的关系，找出数字间的规律是解题的关键．
【变式3-1】（2023春·广东揭阳·七年级统考期末）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：
根据此规律确定a的值为（ ）
A．10B．9C．8D．7
【答案】B
【分析】首先根据图示，可得第n个表格的左上角的数等于n，然后根据4−1=3，6−2=4，8−3=5，10−4=6，…，可得从第一个表格开始，右上角的数与左上角的数的差分别是3、4、5、…，n+2，据此求出a的值是多少．
【详解】解：观察表格可得第n个表格的左上角的数等于n，
∵4−1=3，6−2=4，8−3=5，10−4=6，
∴可得从第一个表格开始，右上角的数与左上角的数的差分别是3、4、5、…，n+2，
∴20−a=a+2，
∴a=9，
故选B．
【点睛】此题主要考查了数字的变化规律，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．
【变式3-2】（2023春·广西南宁·七年级统考期中）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的
根据此规律确定x的值为（ ）
A．252B．209C．170D．135
【答案】B
【分析】先根据这四个数的变化规律得出这四个数，再根据规律计算即可．
【详解】根据题意可知右上角的数是左下角的数的2倍，左上角的数比左下角的数少1，且右下角的数是左下角和右上角两个数的乘积再加上左上角的数，
所以b=10，a=9，
则x=20b+a=20×10+9=209．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，得出变化规律是解题的关键．
【变式3-3】（2023春·吉林长春·七年级统考期末）如图，在表一中，将第1行第3列的数记为[1，3]，则[1，3]＝3，将第3行第2列的数记为[3，2]，则[3，2]＝6；按照要求回答下列各题：
（1）在表一中，[3，5]＝ ，[8，10]＝ ；
（2）在表一中，第3行第n+1列的数可以记为[3，n+1]＝ ；
（3）如图，表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，求3a+b﹣2c的值．
【答案】（1）15，80；（2）3n+3；（3）28．
【分析】（1）根据表格一可知，第一列相差1，第二列相差2，第n列相差n；第一行相差1，第二行相差2，第n行相差n；据此即可求解；
（2）类比（1）的规律得出结论；
（3）根据第n列相差n；第n行相差n；据此即可求解．
【详解】解：（1）[3，5]表示第3行第5列，则结果为：3+3+3+3+3=15；
[8，10]表示第8行第10列，则结果为：10×8=80，
故答案为：15，80；
（2）类比（1）可得：[3，n+1]表示第3行第n+1列的数为：3+(n+1-1)×3=3n+3；
（3）解：表二截取的是其中的一列：上下两个数字的差相等，所以a=15+3=18；
表三截取的是两行两列的相邻的四个数字：右边一列数字的差应比左边一列数字的差大1，所以b=24+25-20+1=30；
表四：3×6=18，4×8=32，可以判断出c在第四列、第七行，即c=4×7=28；
∴3a+b﹣2c＝3×18+30-2×28=28．
故答案为：28．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，找出各个数字之间的关系：第n列相差n；第n行相差n是解题的关键．
【题型4 图形的规律】
【例4】（2023春·云南临沧·七年级统考期末）如图，用字母“C”、“H”按一定规律拼成图案，其中第1个图案中有4个H，第2个图案中有6个H，第3个图案中有8个H，……，按此规律排列下去，第2023个图案中字母H的个数为( )

A．4044B．4046C．6069D．4048
【答案】D
【分析】根据题目中的图案，可以写出前几个图案中“H”的个数，从而可以发现“H”个数的变化规律，进而得到第n个图案中“H”的个数，从而可求解．
【详解】解：由图可知，
第1个图案中“H”的个数为：2×2=4(个)，
第2个图案中“H”的个数为：2×3=6(个)，
第3个图案中“H”的个数为：2×4=8(个)，
…，
则第n个图案中“H”的个数为：2(n+1)，
∴第2023个图案中字母H的个数为：2×2024=4048．
故选：D．
【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中“H”个数的变化规律，利用数形结合的思想解答．
【变式4-1】（2023春·四川成都·七年级统考期末）用棋子摆成如图所示的“小房子”，则图⑤需要 枚棋子，图n需要 枚棋子（用含n的代数式表示）．

【答案】 29 (6n−1)
【分析】根据已知图形找出规律求解即可．
【详解】解：∵第①个图形中棋子的数量为：5=2×6−7，
第②个图形中棋子的数量为：11=3×6−7，
第③个图形中棋子的数量为：17=4×6−7，
第④个图形中棋子的数量为：23=5×6−7，
∴第⑤个图形中棋子的数量为：6×6−7=29，
第n个图形中棋子的数量为：6(n+1)−7=6n−1．
故答案为：29；(6n−1)．
【点睛】本题考查了图形的变化规律，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
【变式4-2】（2023春·山东临沂·七年级校考期末）第一个图案需要6根小棒，第二个图案需要11根小棒，第3个图案需要16根小棒…，则第10个图案需要 根小棒．

【答案】51
【分析】根据所给的图形不难得出第n个图形小棒的根数为：6+5n−1=5n+1，从而可求解．
【详解】解：∵第1个图案中有6根小棒，
第2个图案中有11=6+5根小棒，
第3个图案中有16=6+5+5根小棒，
……
∴第n个图案中小棒的根数为：6+5n−1=5n+1，
∴第10个图案中小棒的根数为：5×10+1=51，
故答案为：51．
【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律：第n个图案中有5n+1根小棒是解决问题的关键．
【变式4-3】（2023春·甘肃兰州·七年级校考期末）下列图形都是由同样大小的小钢珠按一定规律排列的，按照此规律排列下去，第40个图形有小钢珠 颗．

【答案】820
【分析】根据图形变化规律可知，第n个图形有1+2+3+4+…+n=12n1+n个小球，据此规律计算即可．
【详解】解：第1个图中有1个小球，
第2个图中有3个小球，3=1+2，
第3个图中有6个小球，6=1+2+3，
第4个图中有10个小球，10=1+2+3+4，
……
照此规律，第n个图形有1+2+3+4+…+n=12n1+n个小球，
当n=40时，
小球个数为12×40×1+40=820
故答案为：820．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据图形变化规律得出第n个图形有1+2+3+4+…+n=12n1+n个小球是解题的关键．
【题型5 算式的规律】
【例5】（2023春·广东广州·七年级统考期末）观察以下等式：
第1个等式：2×1+12=2×2+12−2×22
第2个等式：2×2+12=3×4+12−3×42
第3个等式：2×3+12=4×6+12−4×62
第4个等式：2×4+12=5×8+12−5×82
……
按照以上规律，第5个等式是： ，第n个等式（用含n的式子表示）是： ．
【答案】 2×5+12=6×10+12−6×102， 2×n+12=n+1×2n+12−n+1×2n2
【分析】根据前四个等式，抽象概括出相同位置上的数字规律，即可得出结论．
【详解】解：第1个等式：2×1+12=1+1×2×1+12−1+1×2×12=2×2+12−2×22；
第2个等式：2×2+12=2+1×2×2+12−2+1×2×22=3×4+12−3×42；
第3个等式：2×3+12=3+1×2×3+12−3+1×2×32=4×6+12−4×62；
第4个等式：2×4+12=4+1×2×4+12−4+1×2×42=5×8+12−5×82；
……
∴第5个等式：2×5+12=5+1×2×5+12−5+1×2×52=6×10+12−6×102，
∴第n个等式（用含n的式子表示）是：2×n+12=n+1×2n+12−n+1×2n2；
故答案为：2×5+12=6×10+12−6×102，2×n+12=n+1×2n+12−n+1×2n2．
【点睛】本题考查数字规律探究．根据已知的等式，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键．
【变式5-1】（2023春·四川成都·七年级统考期末）观察按一定规律排列的一组数：2，12，27，…，其中第n个数记为an，第n+1个数记为an+1，第n+2个数记为an+2，且满足1an+1an+2=2an+1，则a4= ，a2023= ．
【答案】 15/0.2 26067
【分析】由题意推导可得an=23(n−1)+1，即可求解．
【详解】解：由题意可得：a1=2=21，a2=12=24，a3=27，
∵1a2+1a4=2a3，
∴2+1a4=7，
∴a4=15=210，
∵1a3+1a5=2a4，
∴a5=213，
同理可求a6=18=216，
⋯
∴an=23(n−1)+1，
∴a2023=232023−1+1=26067，
故答案为：15；26067．
【点睛】本题考查了数字的规律探索，找出数字的变化规律是解题的关键．
【变式5-2】（2023春·江西景德镇·七年级统考期末）仔细观察下列规律：22−2=22−1=2：23−22=222−1=22；24−23=232−1=23；…
(1)28−27=___________．
(2)2n−1−2n=___________；
(3)小明做完上述两题后，发现了一个运算规律：
24+23+22+2=25−24+24−23+23−22+22−2
=25−24+24−23+23−22+22−2=25−2
请你参考小明发现的规律计算：2100+299+298+⋅⋅⋅+23+22+2．
【答案】(1)27
(2)−2n−1
(3)2101−2
【分析】（1）根据所给式子对照可得答案；
（2）根据所列出的式子的变化规律，类推出第n个式子的情况，从而得出结果
（3）利用（2）中所得规律变形，再消项计算．
【详解】（1）解：根据题意可得：28−27=2×27−27=27×2−1=27；
（2）由题中规律可得：2n−2n−1=2n−1，
∴2n−1−2n=−2n−1；
（3）2100+299+298+⋅⋅⋅+23+22+2
=2101−2100+2100−299+⋅⋅⋅+24−23+23−22+22−2
=2101−2100+2100−299+⋅⋅⋅+24−23+23−22+22−2
=2101−2
【点睛】本题考查数字规律，找出式子的变化规律是关键，注意与所在的个数之间的关系，并用所在的个数表示其变化规律即可，并类推应用．
【变式5-3】（2023春·浙江宁波·七年级校联考期末）请仔细观察下列各等式的规律：
第1个等式：11×3=12×1−13；
第2个等式：13×5=12×13−15；
第3个等式：15×7=12×15−17；
…
(1)请用含n的代数式表示第n个等式的规律；
(2)将第1个等式至第2023个等式的左边部分相加，值为多少？
【答案】(1)12n−1×2n+1=12×12n−1−12n+1；
(2)20234047
【分析】（1）写出第4个等式：17×9=12×17−19，第5个等式：19×11=12×19−111，进而可得出答案；
（2）先写出第2023个等式为：14045×4047=12×14045−14047，第1个等式至第2023个等式的左边部分相加为：11×3+13×5+15×+14045×4047变形即可求出答案．
【详解】（1）解：根据题意可得：第4个等式：17×9=12×17−19，
第5个等式：19×11=12×19−111，
…….
第n个等式：12n−1×2n+1=12×12n−1−12n+1；
（2）解：第2023个等式为：14045×4047=12×14045−14047，
第1个等式至第2023个等式的左边部分相加为：11×3+13×5+15×+14045×4047
=12×1−13+13−15+15−−14047
=12×1−13+13−15+15−−14047
=12×1−14047
=12×40464047
=20234047．
【点睛】本题考查找规律，并通过规律解决问题，正确理解找出规律是解题的关键．
【题型6 程序运算】
【例6】（2023春·山西吕梁·七年级统考期末）如图所示，是一个运算程序示意图． 若第一次输入 k 的值为 25，则第 2023 次输出的结果是 ．
【答案】5
【分析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案．
【详解】解：当k=25时，15×25=5，
当k=5时，15×5=1，
当k=1时，k+4=5，
当k=5时，15×5=1，
当k=1时，k+4=5，
当k=5时，15×5=1，
…
∴规律为从第一次开始输出结果是5和1的循环，
∴2023÷2=，
即第2023次输出的结果是5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了求代数式的值，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．
【变式6-1】（2023春·河南郑州·七年级统考期末）对于不同的起始数字，反复运用任何一个固定的运算程序，由此产生的结果总是会停留在某个或某几个数字上，称之为“数字黑洞”．小明写下了一列数1234567890，按照“偶-奇-总”的程序不断排出新数：这十个数中，偶数有5个，奇数有5个，总数有10个，得到新数为5510；再把5510，按照“偶-奇-总”排列，…… 继续下去，你将得到一个“数字黑洞”是 ．
【答案】123
【分析】根据题中材料，按照要求操作即可得到答案．
【详解】解：对于5510，按照“偶-奇-总”排列，偶数有1个，奇数有3个，总数有4个，得到新数为134；
对于134，按照“偶-奇-总”排列，偶数有1个，奇数有2个，总数有3个，得到新数为123；
对于123，按照“偶-奇-总”排列，偶数有1个，奇数有2个，总数有3个，得到新数为123；
⋯
以此类推，得到的“数字黑洞”是123，
故答案为：123．
【点睛】本题考查数字规律，读懂题意，按照要求操作是解决问题的关键．
【变式6-2】（2023春·河南郑州·七年级河南省实验中学校考期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值为30，第一次得到的结果为15，第二次得到的结果为24，……，请你探索第2023次得到的结果为 ．
【答案】6
【分析】分别计算出前六次的输出结果可以得到从第三次输出结果开始，每三次输出结果为一个循环，由此进行求解即可．
【详解】解：由题意得，第一次得到的结果为15，
第二次得到的结果为24，
第三次得到的结果为12，
第四次得到的结果为6，
第五次得到的结果为3，
第六次得到的结果为12，
…
∴可知从第三次输出结果开始，每三次输出结果为一个循环，
∵2023−2÷3=673…2，
∴第2023次的输出结果和第四次的输出结果相同，为6，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了与程序流程图相关的规律问题，正确理解题意找到规律是解题的关键．
【变式6-3】（2023春·四川成都·七年级成都嘉祥外国语学校校考期末）小磊想编一个循环“插数”程序，对有序的数列：-2，0进行有规律的“插数”：对任意两个相邻的数，都用右边的数减去左边的数之差“插”在这相邻的两个数之间，产生一个个新数列.如：第1次“插数”产生的一个新数列是-2，2，0；第2次“插数”产生的一个新数列是-2，4，2，-2，0；第3次“插数”产生的一个新数列是-2，6，4，-2，2，-4，-2，2，0；……，第2019次“插数”产生的一个新数列的所有数之和是 .
【答案】4036
【分析】根据第1次“插数”产生的一个新数列是-2，2，0，增加了新数2；第2次“插数”产生的一个新数列是-2，4，2，-2，0，增加了新数4，2，-2，其和为4；第3次“插数”产生的一个新数列是-2，6，4，-2，2，-4，-2，2，0，增加了新数6，4，-2，2，-4，-2，2，其和为6；……
由此可得第n次“插数”产生的一个新数列的所有数之和为2n-2；由此即可解答.
【详解】第1次“插数”产生的一个新数列是-2，2，0，增加了新数2；
第2次“插数”产生的一个新数列是-2，4，2，-2，0，增加了新数4，2，-2，其和为4；
第3次“插数”产生的一个新数列是-2，6，4，-2，2，-4，-2，2，0，增加了新数6，4，-2，2，-4，-2，2，其和为6；
……
由此可得，第n次“插数”产生的一个新数列的所有数之和为：-2+0+2n=2n-2；
∴第2019次“插数”产生的一个新数列的所有数之和是：2n-2=2×2019-2=4036.
故答案为4036.
【点睛】本题是数字规律探究题，根据题意得到第n次“插数”产生的一个新数列的所有数之和为2n-2是解决问题的关键.
【题型7 定义新运算】
【例7】（2023春·吉林长春·七年级统考期末）定义一种新运算：“⊗”观察下列各式：
2⊗3=2×3+3=9 3⊗−1=3×3−1=8 4⊗4=4×3+4=16
5⊗−3=5×3−3=12，则a⊗b= （用含a、b的代数式表示）
【答案】3a+b
【分析】根据所给算式总结规律解答即可．
【详解】解：∵2⊗3=2×3+3=9，
3⊗−1=3×3−1=8，
4⊗4=4×3+4=16，
5⊗−3=5×3−3=12，
∴a⊗b=3a+b，
故答案为：3a+b．
【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
【变式7-1】（2023春·陕西安康·七年级统考期末）定义：若a是不为1的有理数，则11−a称为a的差倒数．如2的差倒数为11−2=−1．现有若干个数，第一个数记为a1，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，依此类推，若a1=−13，则a2023= ．
【答案】−13
【分析】根据规定进行计算，得出：a1，a2，a3，a4发现3个一循环，按照这个规律计算即可．
【详解】∵a1=−13，
∴a2=11−a1=11−−13=34，
a3=11−a2=11−34=4，
a4=11−a3=11−4=−13
由此可以看出−13，34，4，三个数不断循环出现．
因为2023÷3=674⋯1，，
所以a2023=a1=−13．
故答案为：−13．
【点睛】此题考查规律型：数字的变化类，关键是发现循环的规律，然后利用规律进行计算分析判断．
【变式7-2】（2023春·重庆·七年级统考期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为n2k（其中k是使n2k为奇数的正整数），并且运算可以重复进行．例如，取n=26，则：
若n=23，则第2022次“F”运算的结果是（ ）
A．74B．37C．92D．23
【答案】D
【分析】根据题意和题目中的新定义，可以计算出前几次的运算结果，然后观察结果，即可发现结果的变化规律，从而可以计算出n=23，第2022次“F”运算的结果．
【详解】解：由题意可得，
当n=23时，第一次的运算结果为3×23+5=74，
第二次的运算结果为：74÷2=37，
第三次的运算结果为：3×37+5=116，
第四次的运算结果为：116÷22=29，
第五次的运算结果为：3×29+5=92，
第六次的运算结果为：92÷22=23，
第七次的运算结果为：3×23+5=74，
…，
由上可得，每六次为一个循环，
∵2022÷6=337，
∴n=23，则第2022次“F”运算的结果是23，
故选：D．
【点睛】本题考查有理数的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现运算结果的变化特点．
【变式7-3】（2023春·湖南岳阳·七年级统考期末）定义：若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个数是一对“友好数”．如：有理数54与5，因为54+5=54×5，所以54与5是一对“友好数”．
（1）有理数a和b是一对“友好数”，当a=4时，则b= ；
（2）对于有理数x（x≠0且x≠1），设x的“友好数”为x1；x1的倒数为x2；x2的“友好数”为x3；x3的倒数为x4；……依次按如上的操作，得到一组数，x1,x2,x3,x4,⋯,xn．当x=32时，x2023的值为 ；
【答案】 43 3
【分析】（1）根据定义得a+b=ab，代入数据求出数值即可；根据题意依次写出x的数值，找到规律，根据规律即可求得数值．
【详解】（1）解：∵有理数a和b是一对“友好数”
∴ a+b=ab
将a=4代入得：b=43
（2）当x=32时，
得：x1=3，x2=13，x3=−12，x4=−2，x5=23，x6=32，x7=3，．．．
发现6个数为一周期，
∵ 2023÷6=337⋅⋅⋅⋅⋅⋅1
∴ x2023=x1=3
故答案为：43；3
【点睛】本题考查了新定义，找规律的题型，观察定义、归纳概括出规律是解题关键．
【题型8 动点规律探究】
【例8】（2023春·重庆·七年级统考期末）如图所示，动点P从第一个数0的位置出发，每次跳动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，第三次跳动一个单位长度到达数3的位置，第四次跳动一个单位长度到达数4的位置，…，依此规律跳动下去，点P从0跳动6次到达P1的位置，点P从0跳动21次到达P2的位置，…，点P1、P2、P3…Pn在一条直线上，则点P从0跳动次可到达P14的位置．（ ）

A．887B．903C．909D．1024
【答案】B
【分析】找到规律：跳动次数为从1开始连续正整数的和，且最后一个加数为n×3，进而得到答案即可．
【详解】由题意知，跳动1+2+3=6个单位长度到P1，
从P1到P2再跳动4+5+6=15个单位长度，
归纳可得：从上一个点跳到下一个点跳动的单位长度是三个连续的正整数的和，∵14×3=42，
∴点P从0跳到P14跳动了：1+2+3+4+…+42=903，
故选：B．
【点睛】本题考查图形中的规律探究．根据图形，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键．
【变式8-1】（2023春·浙江台州·七年级统考期末）点O在直线AB上，点A1，A2，A3，……在射线OA上，点B1，B2，B3，……在射线OB上，图中的每一个实线段和虚线段的长均为1个单位长度．一个动点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度按如图所示的箭头方向沿着实线段和以点O为圆心的半圆匀速运动，即从OA1B1B2A2……按此规律，则动点M到达A10点处所需时间为（ ）秒．
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：动点M从O点出发到A4点，在直线AB上运动了4个单位长度，在以O为圆心的半圆运动了（π•1+π•2）单位长度，
∴动点M到达A10点处运动的单位长度=10+（π•1+π•2+…+π•10）=10+55π．
∴动点M到达A10点处运动所需时间=（10+55π）÷1=（10+55π）秒．
故选A
考点：1．规律探索，2．圆的周长
【变式8-2】（2023春·全国·七年级期末）如图，数轴上的O点为原点，A点表示的数为﹣2，动点P从O点出发，按以下规律跳动：第1次从O点跳动到OA的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1A的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2A的中点A3处，…，第n次从An﹣1点跳动到An﹣1A的中点An处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，那么An点所表示的数为 ．
【答案】−2+12n−1
【分析】根据题意找出规律：AA1=1，A1A2=12，A2A3=14，，An−1An=12n−1，再求出AnO即可．
【详解】解：∵A点表示的数为−2，
∴AO=2，
∵OA的中点是A1，
∴AA1=12AO=1，
同理可得A1A2=12，A2A3=14，，An−1An=12n−1，
∴AnO=2−12n−1，
∵An点在负半轴，
∴An点所表示的数为：−2+12n−1；
故答案为：−2+12n−1．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是会总结归纳出数字的变化规律．
【变式8-3】（2023春·广东梅州·七年级统考期末）如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲按顺时针方向环行，乙按逆时针方向环行，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在AD边上，请问它们第2022次相遇在哪条边上？（ ）
A．ADB．ABC．BCD．CD
【答案】D
【分析】设出正方形的边长，甲的速度是乙的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
【详解】解：设正方形的边长为a，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为1∶3，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知：
①第一次相遇甲乙行的路程和为2a，乙行的路程为2a×31+3=3a2，甲行的路程为2a×11+3=a2，在AD边的中点相遇；
②第一次相遇到第二次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为4a×31+3=3a，甲行的路程为4a×11+3=a，在CD边的中点相遇；
③第二次相遇到第三次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为4a×31+3=3a，甲行的路程为4a×11+3=a，在BC边的中点相遇；
④第三次相遇到第四次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为4a×31+3=3a，甲行的路程为4a×11+3=a，在AB边的中点相遇；
⑤第四次相遇到第五次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为4a×31+3=3a，甲行的路程为4a×11+3=a，在AD边的中点相遇；
四次一个循环，因为2022÷4=505⋯2，所以它们第2022次相遇在边CD上，
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解决问题．a
6
8
10
12
14
…
b
8
15
24
35
48
…
c
10
17
26
37
50
…
1
4
2
6
3
8
4
10
……
a
20
……
2
9
3
20
4
35
5
54
b
x
第1个
第2个
第3个
第4个
……