专题26 尺规作图的核心知识点精讲（讲义）-备战2024年中考数学一轮复习

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1.了解基本作图的概念．
2.掌握五种基本作图的方法，并会按要求作出图形．
3.会写已知、求作和作法，掌握准确的作图语言．
4.能运用尺规基本作图解决有关的作图简单应用
考点1：尺规作图
1．定义：只用没有刻度的直尺和圆规作图叫做尺规作图．
2．步骤：
(1)根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；(2)分析作图的方法和过程；
(3)用直尺和圆规进行作图；(4)写出作法步骤，即作法．
考点2：五种基本作图
考点3：基本作图的应用
1．利用基本作图作三角形
(1)已知三边作三角形；
(2)已知两边及其夹角作三角形；
(3)已知两角及其夹边作三角形；
(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；
(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．
2．与圆有关的尺规作图
(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)．(2)作三角形的内切圆．
【题型1： 根据尺规作图的痕迹、步骤判断结论及计算】
【典例1】（2023•山西）如图，在▱ABCD中，∠D＝60°．以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE．分别以点A，E为圆心，以大于AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD于点F，则的值为 ．
【答案】．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠D＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝180°﹣60°＝120°，
∵BA＝BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝60°，
∵BF平分∠ABE，
∴AO＝OE，BO⊥AE，
∵∠OAF＝∠BAD﹣∠BAE＝120°﹣60°＝60°，
∴tan∠OAF＝＝，
∴＝，
故答案为：．
【变式1-1】（2023•德州）如图，在∠AOB中，以点O为圆心，5为半径作弧，分别交射线OA，OB于点C，D，再分别以C，D为圆心，CO的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点E，作射线OE，若OE＝8，则C，D两点之间的距离为（ ）
A．5B．6C．D．8
【答案】B
【解答】解：连接CE，DE，CD，设CD与OE交于点F，
由作图可知，OC＝OD＝CE＝DE＝5，
∴四边形OCED为菱形，
∴CD⊥OE，OF＝EF＝OE＝4，CF＝DF，
由勾股定理得，CF＝＝3，
∴CD＝2CF＝6，
即C，D两点之间的距离为6．
故选：B．
【变式1-2】（2023•长春）如图，用直尺和圆规作∠MAN的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）
A．AD＝AEB．AD＝DFC．DF＝EFD．AF⊥DE
【答案】B
【解答】解：角平分线的作法如下：①以点A为圆心，AD长为半径作弧，分别交AM、AN于点D、E；
②分别以点D、E为圆心，DF长为半径作弧，两弧在∠MAN内相交于点F；
③作射线AF，AF即为∠MAN的平分线．
根据角平分线的作法可知，AD＝AE，DF＝EF，
根据等腰三角形的三线合一可知AF⊥DE，
故选：B．
【变式1-3】（2023•贵州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝5，CD＝3．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA，DC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G．则BG的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【解答】解：由题可得，DG是∠ADC的平分线．
∴∠ADG＝∠CDG，
∵AD∥BC，
∴∠ADG＝∠CGD，
∴∠CDG＝∠CGD，
∴CG＝CD＝3，
∴BG＝CB﹣CG＝5﹣3＝2．
故选：A．
【变式1-4】（2023•新疆）如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点F，交AC于点E，分别以点E，F为圆心，大于EF长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部交于点G，作射线AG交BC于点D．若AC＝3，BC＝4，则CD的长为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
过D作DH⊥AB于H，
∵AD平分∠CAB，
∴CD＝DH，∠CAD＝∠HAD，
在Rt△ACD与Rt△AHD中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AHD（HL），
∴AH＝AC＝3，
∴BH＝AB﹣AH＝2，
∵BH2+DH2＝BD2，
∴22+CD2＝（4﹣CD）2，
∴CD＝．
方法二：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
过D作DH⊥AB于H，
∵AD平分∠CAB，
∴CD＝DH，∠CAD＝∠HAD，
在Rt△ACD与Rt△AHD中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AHD（HL），
∴AH＝AC＝3，
∴BH＝AB﹣AH＝2，
在Rt△BDH中，tanB＝，
在Rt△ABC中，∵，
∴，
∴，
∴，
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
过D作DH⊥AB于H，
∵AD平分∠CAB，
∴CD＝DH，
S△ABC＝＝S△ACD+S△ABD＝，
∴AC•BC＝AC•CD+AB•DH，
设CD＝DH＝x，
∴3×4＝3x+5x，
∴，
故选：C．

【题型2：尺规作图及相关证明与计算】
【典例2】（2023•无锡）如图，已知∠APB，点M是PB上的一个定点．
（1）尺规作图：请在图1中作⊙O，使得⊙O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N；
（2）在（1）的条件下，若∠APB＝60°，PM＝3，则所作的⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积是 3﹣π ．
【答案】（1）见解答；
（2）3﹣π．
【解答】解：（1）如图，⊙O为所作；
（2）∵PM和PN为⊙O的切线，
∴OM⊥PB，ON⊥PN，∠MPO＝∠NPO＝∠APB＝30°，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°，
∴∠MON＝180°﹣∠APB＝120°，
在Rt△POM中，∵∠MPO＝30°，
∴OM＝PM＝×3＝，
∴⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积
＝S四边形PMON﹣S扇形MON
＝2××3×﹣
＝3﹣π．
故答案为：3﹣π．
【变式2-1】（2023•盐城）如图，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E．
（1）求证：AC＝AD．
（2）用直尺和圆规作图：过点A作AF⊥CD，垂足为F．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）图形见解答．
【解答】（1）证明：在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC＝AD；
（2）解：如图AF即为所求．
【变式2-2】（2023•陕西）如图，已知四边形ABCD，AD∥BC．请用尺规作图法，在边AD上求作一点E，在边BC上求作一点F，使四边形BFDE为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解答．
【解答】解：如图所示：E、F即为所求．
【变式2-3】（2023•河南）如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD＝AB．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：DE＝BE．
【答案】（1）见解答；
（2）见解答．
【解答】（1）解：如图所示，即为所求，
（2）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵AB＝AD，AE＝AE，
∴△BAE≌△DAE（SAS），
∴DE＝BE．
【变式2-4】（2023•济宁）如图，BD是矩形ABCD的对角线．
（1）作线段BD的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
（2）设BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，连接BE，DF．
①判断四边形BEDF的形状，并说明理由；
②若AB＝5，BC＝10，求四边形BEDF的周长．
【答案】（1）见解答；
（2）①四边形BEDF是菱形，理由见解答；
②25．
【解答】解：（1）如图，直线MN就是线段BD的垂直平分线，
（2）①四边形BEDF是菱形，理由如下：
∵EF垂直平分BD，
∴BE＝DE，∠DEF＝∠BEF，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE，
∵∠BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF，
∴BF＝DF，
∴BE＝ED＝DF＝BF，
∴四边形BEDF是菱形；
②∵四边形ABCD是矩形，BC＝10，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝10，
由①可设BE＝ED＝x，则AE＝10﹣x，
∵AB＝5，
∴AB2+AE2＝BE2，即25+（10﹣x）2＝x2，
解得x＝6.25，
∴四边形BEDF的周长为：6.25×4＝25．
一．选择题（共8小题）
1．如图，用直尺和圆规作∠AOB的平分线OC，则△DOC≌△EOC的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【答案】A
【解答】解：由作图痕迹可知，OD＝OE，CD＝CE，
∵OC＝OC，
∴△DOC≌△EOC（SSS）．
∴△DOC≌△EOC的依据是SSS．
故选：A．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CA长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作直线CE交AB于点F．若∠B＝55°，则∠ACF的大小是（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝55°，
∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝180°﹣55°﹣55°＝70°，
由作法得CF⊥AB，
∴∠AFC＝90°，
∴∠ACF＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°．
故选：C．
3．如图，△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PB＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：∵PA+PB＝BC，而PC+PB＝BC，
∴PA＝PC，
∴点P在AC的垂直平分线上，
即点P为AC的垂直平分线与BC的交点．
故选：D．
4．如图，在Rt△ABC中，分别以B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，分别交BC，AC于点D，E，连接BE．若∠EBD＝32°，则∠A的度数为（ ）
A．50°B．58°C．60°D．64°
【答案】B
【解答】解：根据作图可得PQ是BC的垂直平分线，
∴EB＝EC，
∴∠C＝∠EBD＝32°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠C＝90°﹣32°＝58°，
故选：B．
5．如图是一个钝角△ABC，利用一个直角三角板作边AC上的高，下列作法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解答】解：如图选项A中，线段BD是△ABC的高．
故选：A．
6．如图，已知在△ABC中，边BC的垂直平分线DF交AC于点E，再以点B为圆心，任意长为半径画弧交BA，BC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧交于点P，作射线BP恰好交AC于点E．若AB＝8，BC＝12，△BDE的面积为9，则△ABC的面积为（ ）
A．9B．12C．30D．27
【答案】C
【解答】解：过点E作EG⊥AB于点G，
由作图可知，射线BP为∠ABC的平分线，
∵直线DF为线段BC的垂直平分线，
∴∠BDF＝90°，BD＝CD＝＝6，
∴DE＝EG，
∵△BDE的面积为9，
∴S△BCE＝2S△BDE＝18，＝，
∴DE＝3，
∴EG＝3，
∴＝12，
∴S△ABC＝S△ABE+S△BCE＝12+18＝30．
故选：C．
7．如图，在长方形ABCD中，连接AC，以A为圆心适当长为半径画弧，分别交AD，AC于点E，F，分别以E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠DAC内交于点H，画射线AH交DC于点M．若∠ACB＝72°，则∠DMA的大小为（ ）
A．72°B．54°C．36°D．22°
【答案】B
【解答】解：在长方形ABCD中，∵AB∥CD，∠ACB＝72°，
∴∠CAD＝∠ACB＝72°，
由作法得：AH平分∠CAD，
∴∠DAM＝CAD＝36°，
∵∠D＝90°，
∴∠DMA＝90°﹣36°＝54°，
故选：B．
8．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线MN与AC、BC分别相交于E和D，连接AD，若AE＝3cm，△ABC的周长为13cm，则△ABD的周长是（ ）
A．7cmB．10cmC．16cmD．19cm
【答案】A
【解答】解：由作法得MN垂直平分AC，
∴AE＝CE＝3，DA＝DC，
∵△ABC的周长为13cm，
即AB+BC+AC＝13，
∴AB+BD+DA+6＝13，
即AB+BD+DA＝7，
∴△ABD的周长为7cm．
故选：A．
二．填空题（共2小题）
9．如图，已知线段AB＝8cm，分别以点A，B为圆心，以5cm为半径画弧，两弧相交于点C，D，连接AC，BC，AD，BD，则四边形ACBD的面积为 48cm2 ．
【答案】48cm2．
【解答】解：由作法AC＝BC＝AD＝BD＝5cm，
∴四边形ACBD为菱形，
∴AB⊥CD，OA＝OB＝AB＝4cm，OC＝OD，
连接CD交AB于点O，如图，
在Rt△AOC中，OC＝＝3（cm），
∴CD＝2OC＝6cm，
∴四边形ACBD的面积＝8×6＝48（cm2）．
故答案为：48cm2．
10．如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC，BC，AB，OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为 4 cm．
【答案】4．
【解答】解：根据作图方法，可得AC＝BC＝OA，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝BC＝AC，
∴四边形OACB是菱形．
∵AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2，
∴AB×OC＝×2×OC＝4，
解得OC＝4．
故答案为：4．
三．解答题（共6小题）
11．如图，已知线段a和线段AB．
（1）尺规作图：延长线段AB到点C，使BC＝a（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若AB＝5，BC＝3，求线段AC的长．
【答案】（1）作图见解答过程；
（2）8．
【解答】（1）根据线段的定义即可延长线段AB到C，使BC＝a；
（2）AC＝AB+BC＝5+3＝8．
12．如图，在△ABC中，BC＞AB，△ABC的周长为27cm．
（1）尺规作图：作AC的垂直平分线DE，分别交BC、AC于点D、E，连接AD；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若AE＝3cm，求△ABD的周长．
【答案】（1）见解析；
（2）21cm．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）由作图可知AE＝EC＝3cm，DA＝DC，
∴AC＝6cm，
∵△ABC的周长为27cm，
∴AB+BC＝27﹣6＝21（cm），
∵△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝21cm．
13．如图，已知锐角∠AOC，按照下面给出的画法补全图形，并回答问题．
（1）画法：
①画∠AOC的角平分线OP，在射线OP上任意取一点E；
②过点E画EM∥OA，交射线OC于点G．
（2）问题：请通过观察、度量，判断你画出的图形中与∠AOP相等的角．直接写出两个即可．（∠AOP除外）
【答案】（1）见解答．
（2）∠COP，∠MEP，∠OEG（任意写出两个即可）．
【解答】解：（1）如图所示．
（2）图中与∠AOP相等的角有：∠COP，∠MEP，∠OEG（任意写出两个即可）．
14．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．
（1）利用尺规作图，作△ABC中AC边上的高BD（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解答】（1）解：如图，线段BD即为所求；
（2）证明：过点A作AF⊥BC于点F．
∵BD⊥AC，
∴∠OFB＝∠ODA＝90°，
∵∠BOF＝∠AOD，
∴∠CBD＝∠CAF，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴∠BAF＝∠CAF，
∴∠CBD＝∠BAC．
15．如图，在锐角三角形ABC中，D为BC边上一点，∠B＝∠BAD＝∠CAD，在AD上求作一点P，使得∠APC＝∠ADB．
（1）通过尺规作图确定点P的位置（保留作图痕迹）；
（2）证明满足此作图的点P即为所求．
【答案】（1）（2）见解析．
【解答】解：（1）如图，点P即为所求；
（2）理由：∵点P在AC的垂直平分线上，
∴PA＝PC，
∴∠PAC＝∠PCA，
∴∠CPD＝∠PAC+∠PCA＝2∠PAC，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝∠BAD＝∠CAD，
∴∠ADC＝2∠DAC，
∴∠CPD＝∠ADC，
∴∠APC＝∠ADB，
∴点P即为所求作．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，画直线MN，与AB交于点D，与BC交于点E，连结AE．
（1）由作图可知，直线MN是线段AB的 垂直平分线 ；
（2）当AC＝3，BC＝6时，求△ACE的周长；
（3）若∠CAE的度数是15°，求∠B的度数．
【答案】（1）垂直平分线；
（2）9；
（3）37.5°．
【解答】解：（1）由作图可知：直线MN是线段AB的垂直平分线；
故答案为：垂直平分线；
（3）解：由（2）可知：△ACE 的周长＝AC+CE+AE＝AC+CE+BE＝AC+BC，
在 Rt△ABC 中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝6，
∴△ACE 的周长＝AC+BC＝3+6＝9；
（3）∵∠C＝90°，∠CAE＝15°，
∴∠CEA＝90°﹣15°＝75°，
∵EA＝EB，
∴∠B＝∠EAB，
∵∠CEA＝∠B+∠EAB，
∴∠B＝∠CEA＝37.5°．
一．选择题（共11小题）
1．如图，BD为▱ABCD的对角线，分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点的直线分别交AD，BC于点E，F，交BD于点O，连接BE，DF．根据以上尺规作图过程，下列结论不一定正确的是（ ）
A．点O为▱ABCD的对称中心
B．BE平分∠ABD
C．S△ABE：S△BDF＝AE：ED
D．四边形BEDF为菱形
【答案】B
【解答】解：根据作图可知：EF垂直平分BD，
∴BO＝DO，
∴点O为▱ABCD的对称中心，故A正确；
∴BE＝ED，BF＝FD，
∵FE＝EF，
∴△BFE≌△DFE（SSS），
∴∠BFE＝∠DFE，
∵在四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠BFE＝∠DEF，
∴∠DFE＝∠DEF，
∴DE＝DF，
∴BE＝DE＝DF＝BF，
∴四边形BFDE是菱形，故D正确；
∴S△BDE＝S△BFD，
∴S△ABE：S△BDF＝S△ABE：S△BDE＝AE：ED，故C正确；
∵无法证明∠ABE＝∠DBE，
∴BE不一定平分∠ABD，故B错误，
故选：B．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（ ）
A．B．3C．4D．5
【答案】D
【解答】解：连接AD，交直线EF于点N，设EF交AB于点G，
由题意得，直线EF为线段AB的垂直平分线，
∴AG＝BG，EF⊥AB，
∴当点M与点N重合时，BM+MD长度最小，最小值即为AD的长．
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵BC＝4，△ABC面积为10，
∴＝10，
解得AD＝5．
故选：D．
3．如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B．D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD、BC交于点M、N，连接BM、DN．若AB＝3，BC＝6，则四边形MBND的周长为（ ）
A．15B．9C．D．
【答案】A
【解答】解：由作图过程可得：PQ为BD的垂直平分线，
∴BM＝MD，BN＝ND．
设PQ与BD交于点O，如图，
则BO＝DO．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，
在△MDO和△NBO中，
，
∴△MDO≌△NBO（AAS），
∴DM＝BN，
∴四边形BNDM为平行四边形，
∵BM＝MD，
∴四边形MBND为菱形，
∴四边形MBND的周长＝4BM．
设MB＝x，则MD＝BM＝x，
∴AM＝AD﹣DM＝6﹣x，
在Rt△ABM中，
∵AB2+AM2＝BM2，
∴32+（6﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴四边形MBND的周长＝4BM＝15．
故选：A．
4．在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，O为线段BC的中点，矩形ABCD的顶点D（2，3），连接AC按照下列方法作图：（1）以点C为圆心，适当的长度为半径画弧分别交CA，CD于点E，F；（2）分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧交于点G；（3）作射线CG交AD于H，则线段DH的长为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【解答】解：∵O为线段BC的中点，矩形ABCD的顶点D（2，3），
∴AD＝BC＝4，AB＝CD＝3，
如图，过H点作HM⊥AC于M，
由作法得CH平分∠ACD，
∵HM⊥AC，HD⊥CD，
∴HM＝HD，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝5，
在Rt△CHD和Rt△CHM中，
，
∴Rt△CHD≌Rt△CHM（HL），
∴CD＝CM＝3，
∴AM＝AC﹣CM＝5﹣3＝2，
设DH＝t，则AH＝4﹣t，HM＝t，
在Rt△AHM中，t2+22＝（4﹣t）2，解得t＝1.5，
即HD＝1.5，
故选：C．
5．如图，▱ABCD中，分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接BE、DF．若∠BAD＝120°，AE＝1，AB＝2，则线段BF的长是（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【解答】解：过B点作BH⊥AE于H点，如图，
∵∠BAD＝120°，
∴∠BAH＝60°，
在Rt△ABH中，∵AH＝AB＝1，
∴BH＝AH＝，
在Rt△BHE中，BE＝＝＝，
由作法得MN垂直平分BD，
∴EB＝ED，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB＝∠FBD，
∴∠EBD＝∠FBD，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴BF＝BE＝．
故选：D．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，交BC于点D；③以点D为圆心，DC的长为半径画圆弧，交AB于点E，连结CE，则AE的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝＝13，
由作图可知BC是直径，
∴∠BEC＝∠AEC＝90°，
∵∠A＝∠A，∠AEC＝∠ACB，
∴△ACE∽△ABC，
∴＝，
∴AE＝＝．
故选：C．
7．观察下列尺规作图的痕迹，不能判断△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：A、根据一个角等于已知角的作法可知∠B＝∠C，△ABC是等腰三角形，不符合题意；
B、根据垂直平分线的作法可知AB＝AC，△ABC是等腰三角形，不符合题意；
C、如图，
根据过直线外一点作平行线的作法可知，AC∥BD，∠ACB＝∠CBD，
根据角平分线的作法可知，∠ABC＝∠CBD，
∴∠ABC＝∠ACB，△ABC是等腰三角形，不符合题意；
D、不能判断△ABC是等腰三角形，符合题意，
故选：D．
8．如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AC，AB于点E，F，再分别以E、F为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧相交于点O，P为射线AO上任意一点，过点P作PM⊥AC，交AC于点M，连接PC，若AC＝2，BC＝，则PM+PC长度的最小值为（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】A
【解答】解：如图：过P作PNAB于N，过C作CH⊥AB，
由作图得：AD平分∠BAC，则PM＝PN，
∴PM+PC＝PN+PC≥CN≥CH，
在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝，
∴AB＝，
∵2S△ABC＝AC•BC＝AB•CH，
即：2＝CH，
解得CH＝，
故选：A．
9．如图，▱AOCD的顶点O（0，0），点C在x轴的正半轴上．以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点M，交OC于点N；分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOC内相交于点E；画射线OE，交AD于点F（2，3），则点A的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：由作法得OF平分∠AOC，
∴∠AOF＝∠COF，
∵四边形AOCD为平行四边形，
∴AD∥OC，
∴∠AFO＝∠COF，
∴∠AOF＝∠AFO，
∴AF＝AO，
AD交y轴于H点，如图，设AH＝t，
∵F（2，3），
∴OH＝3，HF＝2，
∴AO＝t+2，
在Rt△AOH中，t2+32＝（t+2）2，
解得t＝，
∴A（﹣，3）．
故选：A．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点P，作射线BP交AC于点D，若AC＝2BC，则S△BCD：S△ABD的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：过D点作DG⊥AB于G点，如图，
根据作图可知：BP平分∠ABC，
∵DG⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DG，
∵在Rt△ABC中，AC＝2BC，
∴，
∴，
∴在Rt△ADG中，，
∵，
∴S△BCD：S△ABD＝CD：AD，
∵CD＝DG，
∴，
故选：B．
11．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，以点B为圆心，小于AB的长为半径画弧，分别交AB，BC于D，E两点，再分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，射线BF交AC于点G，则tan∠CBG＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：根据题意可得BF是∠ABC的角平分线，
过G作GH⊥CB，垂足为H，
∵∠A＝90°，
∴GH＝GA，且BC＝＝＝10，
设AG＝x，则GH＝x，CG＝8﹣x，
∵＝，
∴（8﹣x）×6＝，
解得x＝3，
∴AG＝3，
∴tan∠CBG＝tan∠ABG＝＝＝，
故选：A．
二．解答题（共2小题）
12．如图所示，已知在△ABC中，AB＝4，AC＝BC＝6．
（1）求△ABC的面积以及的值；
（2）作出△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】（1）；；
（2）作图见解析过程．
【解答】解：（1）如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵AC＝BC
∴D为AB中点即AD＝BD＝2，
CD平分∠ACB即，
由勾股定理可知，
∴，
∴．
（2）如图，分别作线段AB，BC的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可知，两垂直平分线的交点O到三角形三个顶点的距离相等，即外接圆圆心，以O为圆心，OA为半径作圆，即为所求．
13．如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点．
（1）请用圆规和直尺画BE的垂直平分线交⊙O于点C，点C位于AB上方（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）设EA和BC的延长线相交于点D，试说明∠BCE＝2∠BDE．
【答案】（1）图形见解答；
（2）证明过程见解答．
【解答】解：（1）如图，直线CF即为BE的垂直平分线；
（2）∵直线CF为BE的垂直平分线，
∴CE＝CB，CF⊥BE，
∴∠ECF＝∠BCF，
∴∠BCE＝2∠BCF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴OF∥AE，
∴∠BDE＝∠BCF，
∴∠BCE＝2∠BDE．
1．（2022•锦州）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，则AE的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：设MN与AC的交点为O，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC＝90°，AB＝DC＝6，BC＝AD＝8，
∴△ADC为直角三角形，
∵CD＝6，AD＝8，
∴，，
又由作图知MN为AC的垂直平分线，
∴∠MOA＝90°，，
在Rt△AOE中，，
∵cs∠CAD＝cs∠EAO，
∴，
∴．
故选：D．
2．（2022•盘锦）如图，线段AB是半圆O的直径．分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，交半圆O于点C，交AB于点E，连接AC，BC，若AE＝1，则BC的长是（ ）
A．B．4C．6D．
【答案】A
【解答】解：如图，连接OC．
根据作图知CE垂直平分AO，
∴AC＝OC，AE＝OE＝1，
∴OC＝OB＝AO＝AE+EO＝2，
∴AC＝OC＝AO＝AE+EO＝2，
即AB＝AO+BO＝4，
∵线段AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，根据勾股定理得，，
故选A．
3．（2023•成都）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；
②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M′；
③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N′；
④过点N′作射线DN′交BC于点E．
若△BDE与四边形ACED的面积比为4：21，则的值为 ．
【答案】．
【解答】解：由作图知，∠A＝∠BDE，
∴DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
△BAC的面积：△BDE的面积＝（△BDE的面积+四边形ACED的面积）：△BDE的面积＝1+四边形ACED的面积：△BDE的面积＝1+＝，
∴△BDC的面积：△BAC的面积＝（）2＝，
∴＝，
∴＝．
故答案为：．
4．（2023•益阳）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝4，以A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接DE，分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF，交DE于点M，过点M作MN∥AB交BC于点N．则MN的长为 4 ．
【答案】4．
【解答】解：延长NM交AD于点Q，
由作图得：AD＝AE＝4，AF平分∠BAD，
∴DM＝ME，
∴MN∥AB，
∴DQ＝AQ，CN＝BN，
∴QM＝2，
在▱ABCD中，AD∥BC，CD＝AB＝6，
∴四边形CDQN是平行四边形，
∴QN＝CD＝AB＝6，
∴MN＝NQ﹣MQ＝6﹣2＝4．
故答案为：4．
5．（2023•西藏）如图，在△ABC中，∠A＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线MN交AB于点E．若线段AE＝5，AC＝12，则BE长为 13 ．
【答案】13．
【解答】解：连接CE，
由作图知，直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴CE＝BE，
∵∠A＝90°，AE＝5，AC＝12，
∴BE＝CE＝＝＝13，
故答案为：13．
6．（2023•滨州）（1）已知线段m，n，求作Rt△ABC，使得∠C＝90°，CA＝m，CB＝n；（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（请借助上一小题所作图形，在完善的基础上，写出已知、求证与证明）
【答案】（1）见解答；
（2）见解答．
【解答】解：（1）如图：Rt△ABC即为所求；
（2）已知：Rt△ABC，∠ACB＝90°，CE是AB边上的中线，
求证：CE＝AB，
证明：延长CE到D，使得DE＝CE，
∵CD是AB边上的中线，
∴BE＝AE，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∵∠BCA＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，
∴CE＝CD＝AB．
7．（2023•郴州）如图，四边形ABCD是平行四边形．
（1）尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹）；
（2）若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形．
【答案】（1）作图见解析部分；
（2）证明见解析部分．
【解答】（1）解：如图，直线MN即为所求；
（2）证明：设AC与EF交于点O．由作图可知，EF垂直平分线段AC，
∴OA＝OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF，
∴∠OAE＝∠OCF，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形．
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8．（2023•广东）如图，在▱ABCD中，∠DAB＝30°．
（1）实践与操作：用尺规作图法过点D作AB边上的高DE；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与计算：在（1）的条件下，AD＝4，AB＝6，求BE的长．
【答案】（1）见作图；（2）6﹣2．
【解答】解：（1）如图E即为所求作的点；
（2）∵cs∠DAB＝，
∴AE＝AD•cs30°＝4×＝2，
∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2．
9．（2023•绥化）已知：点P是⊙O外一点．
（1）尺规作图：如图，过点P作出⊙O的两条切线PE，PF，切点分别为点E、点F．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，若点D在⊙O上（点D不与E，F两点重合），且∠EPF＝30°，求∠EDF的度数．
【答案】（1）见解答；
（2）75°或105°．
【解答】解：（1）如图，PE、PF为所作；
（2）连接OE、OF，如图，
∵PE，PF为⊙O的两条切线，
∴OE⊥PE，OF⊥PF，
∴∠OEP＝∠OFP＝90°，
∴∠EOF＝180°﹣∠EPF＝180°﹣30°＝150°，
当点D在优弧EF上时，∠EDF＝∠EOF＝75°，
当点D′在弧EF上时，∠ED′F＝180°﹣∠EDF＝180°﹣75°＝105°，
综上所述，∠EDF的度数为75°或105°．