人教版第十二章 全等三角形12.1 全等三角形精品同步测试题

这是一份人教版第十二章 全等三角形12.1 全等三角形精品同步测试题，共67页。试卷主要包含了倍长中线模型，截长补短模型，一线三等角模型，手拉手模型，半角模型，旋转模型等内容，欢迎下载使用。

类型一、倍长中线模型
目的： = 1 \* GB3 ①构造出一组全等三角形； = 2 \* GB3 ②构造出一组平行线。将分散的条件集中到一个三角形中。
例1．【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点E，使，连接．请根据小明的方法思考：
（1）如图2，由已知和作图能得到的理由是 ．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
（2）如图2，长的取值范围是 ．
A． B． C． D．
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图3，是的中线，交于点E，交于F，且．求证：．
【答案】（1）（2）C（3）见解析
【分析】（1）根据全等三角形的判定条件求解即可；
（2）根据全等三角形的性质得到，由三角形三边关系得到，即可求出；
（3）延长到点M，使，连接，证明，得到，由得到 ，进而推出，即可证明．
【详解】解：（1）如图2，延长到点E，使，连接．
∵为的中线，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：C；
（3）证明：延长到点M，使，连接，
∵是中线，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
例2．（培优）已知和都是等腰直角三角形，，连接，点F为中点．

(1)如图1，求证：；
(2)将绕C点旋转到如图2所示的位置，连接，过C点作于M点．
①探究和的关系，并说明理由；
②连接，求证：F，C，M三点共线．
【答案】(1)见解析
(2)①，理由见解析②见解析
【分析】（1）证明，得到，再根据点F为中点，即可得证；
（2）①证明，得到，，设交于点，交于点，根据，得到，即可得出结论；②延长至点，使，连接，证明，进而推出，得到，延长交于点，推出，进而得到点重合，即可得证．
【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∵F为中点，
∴；
（2）①，理由如下：
∵和都是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
∴，，
设交于点，交于点，

则：，
∵，
∴，
∴，
综上：；
②延长至点，使，连接，

∵F为中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
延长交于点，则：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点重合，即：F，C，M三点共线．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质．熟练掌握手拉手全等模型，倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键．
【变式训练1】如图，中，，E是的中点，求证：．
【答案】见解析
【分析】利用中线加倍证（），可得，，由，可得进而可证.，再证（）即可．
【详解】证明：延长到F，使，连结 ，
∵E是中点，
∴ ，
∴在和中，
，
∴（），
∴，，
∵，
∴，
又∵，
，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴ ．
【点睛】本题考查中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质，掌握中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质是解题关键．
【变式训练2】（1）如图1，已知中，AD是中线，求证：；
（2）如图2，在中，D，E是BC的三等分点，求证：；
（3）如图3，在中，D，E在边BC上，且．求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）利用“倍长中线”法，延长AD，然后通过全等以及三角形的三边关系证明即可；
（2）取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到AB=CQ，AD=EQ，然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论；
（3）同（2）处理方式一样，取DE中点M，连接AM并延长至N点，使得AM=NM，连接NE，CE，结合“倍长中线”思想证明全等后，结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论．
【详解】证：（1）如图所示，延长AD至P点，使得AD=PD，连接CP，
∵AD是△ABC的中线，
∴D为BC的中点，BD=CD，
在△ABD与△PCD中，
∴△ABD≌△PCD(SAS)，
∴AB=CP，
在△APC中，由三边关系可得AC+PC＞AP，
∴；
（2）如图所示，取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC，
∵H为DE中点，D、E为BC三等分点，
∴DH=EH，BD=DE=CE，∴DH=CH，
在△ABH和△QCH中，，∴△ABH≌△QCH(SAS)，
同理可得：△ADH≌△QEH，∴AB=CQ，AD=EQ，
此时，延长AE，交CQ于K点，
∵AC+CQ=AC+CK+QK，AC+CK＞AK，∴AC+CQ＞AK+QK，
又∵AK+QK=AE+EK+QK，EK+QK＞QE，∴AK+QK＞AE+QE，
∴AC+CQ＞AK+QK＞AE+QE，
∵AB=CQ，AD=EQ，∴；
（3）如图所示，取DE中点M，连接AM并延长至N点，使得AM=NM，连接NE，CE，
∵M为DE中点，
∴DM=EM，
∵BD=CE，
∴BM=CM，
在△ABM和△NCM中，
∴△ABM≌△NCM(SAS)，
同理可证△ADM≌△NEM，
∴AB=NC，AD=NE，
此时，延长AE，交CN于T点，
∵AC+CN=AC+CT+NT，AC+CT＞AT，
∴AC+CN＞AT+NT，
又∵AT+NT=AE+ET+NT，ET+NT＞NE，
∴AT+NT＞AE+NE，
∴AC+CN＞AT+NT＞AE+NE，
∵AB=NC，AD=NE，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形证明问题中辅助线的添加，掌握“倍长中线”的基本思想，以及熟练运用三角形的三边关系是解题关键．
【变式训练3】（1）阅读理解：
如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点D逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_______；
（2）问题解决：
如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，DF交于点F，连接，求证：；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交于E、F两点，连接EF，探索线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析
【分析】（1）如图①：将绕着点D逆时针旋转得到可得，得出 ，然后根据三角形的三边关系求出的取值范围，进而求得的取值范围；
（2）如图②：绕着点D旋转 得到可得，得出 ，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出 即可得出结论；
（3）将绕着点C按逆时针方向旋转得到可得，得出，证出 ，再由证明，得出，进而证明结论．
【详解】解：（1）如图①：将绕着点D逆时针旋转得到
∴（），
∴，,即
∵是边上的中线，
∴，
在中，由三角形的三边关系得：，
∴ ，即，
∴；
故答案为；
（2）证明：如图②：绕着点D旋转 得到
∴（），
∴，
∵
∴，
在中，由三角形的三边关系得： ，
∴；
（3），理由如下：
如图③，将绕着点C按逆时针方向旋转
∴△DCF≌△BCH，
∴
∴
∵
∴，
∴点A、B、H三点共线
∵，，∴
∴，
在和中，
，
∴（）
∴，
∵
∴．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查对全等三角形的性质和判定、三角形的三边关系定理、旋转的性质等知识点，通过旋转得到构造全等三角形是解答本题的关键.
类型二、截长补短模型
截长补短法使用范围：线段和差的证明（往往需证2次全等）
例1．如图，在五边形中，，平分，．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得出，，进而证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解；
（2）根据全等三角形的性质，结合图形可得，即可求解．
【详解】（1）解：在上截取，连接．

∵平分，
∴．
在和中，
∴
∴，．
又∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
在和中，，
∴
∴．
∴．
（2）∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与怕那段是解题的关键．
例2．（培优）在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F．
（1）求证：；
（2）已知．
①如图1，若，，求CE的长；
②如图2，若，求的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）2.5；（3）100°．
【分析】（1）由三角形内角和定理和角平分线得出的度数，再由三角形内角和定理可求出的度数，
（2）在BC上取一点G使BG=BD，构造（SAS），再证明，即可得，由此求出答案；
（3）延长BA到P，使AP=FC，构造（SAS），得PC=BC，，再由三角形内角和可求，，进而可得．
【详解】解：（1）、分别是与的角平分线，
，
，
，
（2）如解（2）图，在BC上取一点G使BG=BD，
由（1）得，
，
，
∴，
在与中，
，
∴（SAS）
∴，
∴，
∴，
∴
在与中，
，
，
，
，
；
∵，，
∴
（3）如解（3）图，延长BA到P，使AP=FC，
，
∴，
在与中，
，
∴（SAS）
∴，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
【变式训练1】如图，为等边三角形，若，则 （用含的式子表示）．
【答案】/
【分析】在BD上截取BE=AD，连结CE，可证得 ，从而得到CE=CD，∠DCE=∠ACB=60°，从而得到是等边三角形，进而得到∠BDC=60°，则有，即可求解．
【详解】解：如图，在BD上截取BE=AD，连结CE，
∵为等边三角形，
∴BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵，BE=AD，
∴ ，
∴CE=CD，∠BCE=∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，
∴∠DCE=∠ACB=60°，
∵CE=CD，
∴是等边三角形，
∴∠BDC=60°，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是做出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【变式训练2】如图，在四边形中，，点E、F分别在直线、上，且．
(1)当点E、F分别在边、上时（如图1），请说明的理由．
(2)当点E、F分别在边、延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出、、之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)不成立，，见解析
【分析】（1）延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，通过证明△ABG≌△ADF，△EAG≌△EAF可得GE＝EF，进而可说明EF＝BE+DF；
（2）在BE上截取BM＝DF，连接AM，通过证明△ABM≌△ADF，△AME≌△AFE可得ME＝EF，进而可得EF＝BE﹣FD．
【详解】（1）EF＝BE+DF，
理由：延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°，
∴∠ADC＝∠ABG，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠BAG＝∠EAF，
即∠EAG＝∠EAF，
在△EAG和△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴GE＝EF，
∴EF＝BE+DF；
（2）（1）中结论不成立，EF＝BE﹣FD，
在BE上截取BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠ABC＝∠ADF，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，
∵∠BAM+∠MAD＝∠DAF+∠MAD，
∴∠BAD＝∠MAF，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠EAF＝∠MAF，
∴∠EAF＝∠EAM，
在△AME和△AFE中，
，
∴△AME≌△AFE（SAS），
∴ME＝EF，
∴ME＝BE﹣BM＝BE﹣DF，
∴EF＝BE﹣FD．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线证明相关三角形全等是解题的关键．
【变式训练3】阅读下面材料：
【原题呈现】如图1，在ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的长．
【思考引导】因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样很容易得到DEC≌DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）．
【问题解答】（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；
（2）拓展提升：如图3，已知ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的长．
【答案】（1）5.8；（2）4.3
【分析】（1）由已知条件和辅助线的作法，证得△ACD≌△ECD，得到AD＝DE，∠A＝∠DEC，由于∠A＝2∠B，推出∠DEC＝2∠B，等量代换得到∠B＝∠EDB，得到△BDE是等腰三角形，得出AC＝CE＝3.6，DE＝BE＝2.2，相加可得BC的长；
（2）在BA边上取点E，使BE＝BC＝2，连接DE，得到△DEB≌△DBC（SAS），在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，得到△BDE≌△FDE，即可推出结论．
【详解】解：（1）如图2，在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．
在△ACD与△ECD中，
，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴AD＝DE，∠A＝∠DEC，
∵∠A＝2∠B，
∴∠DEC＝2∠B，
∴∠B＝∠EDB，
∴△BDE是等腰三角形；
∴BE＝DE＝AD＝2.2，AC＝EC＝3.6，
∴BC的长为5.8；
（2）∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，
∴∠ABC＝∠C＝80°，
∵BD平分∠B，
∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC＝60°，
在BA边上取点E，使BE＝BC＝2，连接DE，
在△DEB和△DBC中，
，
∴△DEB≌△DBC（SAS），
∴∠BED＝∠C＝80°，
∴∠4＝60°，∴∠3＝60°，
在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，
同理可得△BDE≌△FDE，
∴∠5＝∠1＝40°，BE＝EF＝2，
∵∠A＝20°，∴∠6＝20°，∴AF＝EF＝2，
∵BD＝DF＝2.3，∴AD＝BD+BC＝4.3．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟悉这些定理是解决本题的关键．
类型三、一线三等角模型
应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；
②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。
例1．如图1，，垂足分别为D，E．
(1)若，求的长．
(2)在其它条件不变的前提下，将所在直线变换到的外部（如图2），请你猜想三者之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，将（1）中的条件改为：在中，，D，C，E三点在同一条直线上，并且有，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)0.8cm
(2)，证明见解析
(3)结论成立，证明见解析
【分析】（1）（2）（3）方法相同，利用定理证明，根据全等三角形的性质、结合图形解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）．
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）结论成立，
证明：，
∴，
在和中，，
∴，∴，
∴；
即结论成立；
【点睛】本题属于三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
例2．在正方形中，点在射线上（不与点，重合），连接，，过点作，并截取（点，在同侧），连接．
（1）如图1，点在边上．
①依题意补全图1；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，点在边的延长线上，其他条件均不变，直接写出线段，，之间的数量关系．
【答案】（1）①见解析；②，见解析；（2），见解析
【分析】（1）①根据要求画出图形即可；②过点F作FH⊥CB，交CB的延长线于H．证明△DCE≌△EHF（AAS），推出EC＝FH，DC＝EH，推出CE＝BH＝FH，再利用勾股定理解决问题即可；
（2）由②可得△DCE≌△EHF，推出EC＝FH，DC＝EH，推出CE＝BH＝FH，再利用等腰直角三角形的性质解决问题即可．
【详解】解（1）①图形如图所示．
②结论：．
理由：过点作，交的延长线于，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
．
（2）结论：．
理由：过点作，交于，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，和都是等腰直角三角形，
，，
，，
，．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查作图−旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
【变式训练1】通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：
[模型呈现]如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：．
[模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________________．
[深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为_____________．
【答案】[模型呈现]见解析；[模型应用]50；[深入探究]63
【分析】[模型呈现]证明，根据全等三角形的对应边相等得到；
[模型应用]根据全等三角形的性质得到，，，根据梯形的面积公式计算，得到答案；
[深入探究]过点D作于P，过点E作交的延长线于Q，根据全等三角形的性质得到，证明，得到，进而求出，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】[模型呈现]证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
[模型应用]解：由[模型呈现]可知，，
∴，
则，
故答案为：50；
[深入探究]过点D作于P，过点E作交AG的延长线于Q，
由[模型呈现]可知，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：63．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形确定的判定定理是解题的关键．
【变式训练2】（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：．
（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若，则______．
【答案】（1）见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）3.5
【分析】（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；
（2）由条件可知∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，可得∠DBA=∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论；
（3）由条件可知EM=AH=GN，可得EM=GN，结合条件可证明△EMI≌△GNI，可得出结论I是EG的中点．
【详解】解：（1）证明：如图1中，∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE．
（2）解：成立．
理由：如图2中，
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE．
（3）如图3，过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N．
∴∠EMI=∠GNI=90°
由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN
∴EM=GN
在△EMI和△GNI中，
，
∴△EMI≌△GNI（AAS），
∴EI=GI，
∴I是EG的中点．
∴S△AEI=S△AEG=3.5．
故答案为：3.5．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
类型四、手拉手模型
例1．【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现：①的度数为 ；②线段、之间的数量关系为 ；
【类比探究】
（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断 的度数以及线段、、之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图3，，，，，则的值为 ．
【答案】（1）①；②；（2），，见解析；（3）8
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）由“”可证，可得，即可求解；
（3）如图3，作辅助线构建全等三角形，由“”可证，可得，，可求，根据列方程可得x的值，最后由勾股定理可求解．
【详解】解：（1）∵和均为等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴，
故答案为：；
（2），
理由如下：∵，和均为等腰直角三角形，
∴，，
，
即，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如图3，过点C作，交的延长线于F，过点B作于E，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴（），
∴，
设，则，，
∴
∴，
∴，，
∴，
∴在中，．
故答案为：．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
例2．（培优）如图1，在中，，，点D、E分别在边AB，上，，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
(1)观察猜想：
图中，线段PM与PN的数量关系是______，位置关系是______；
(2)探究证明：
把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：
把绕点A在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
【答案】(1)，
(2)是等腰直角三角形
(3)
【分析】（1）利用三角形的中位线得出，，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出得出，最后用互余即可得出结论；
（2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法即可得出结论；
（3）先判断出最大时，的面积最大，而最大是，即可得出结论．
【详解】（1）点，是，的中点，
，，
点，是，的中点，
∴，，
∴，，
，
，
∵，
，
∵，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）是等腰直角三角形，理由如下：
由旋转知，，
∵，，
，
，，
利用三角形的中位线得，，，
，
是等腰三角形，
同（1）的方法得，，
，
同（1）的方法得，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
（3）由（2）知，是等腰直角三角形，，
最大时，面积最大，
点在的延长线上，
，
，
．
【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出，，解（2）的关键是判断出，解（3）的关键是判断出最大时，的面积最大．
【变式训练1】如图，在中，，，点O是中点，，将绕点O旋转，的两边分别与射线、交于点D、E．
(1)当转动至如图一所示的位置时，连接，求证：；
(2)当转动至如图二所示的位置时，线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)CE﹣CD＝AC．理由见解析
【分析】（1）结论：．连接．证明；
（2）结论：，证明方法类似（1）．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：．
理由：连接．
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
【变式训练2】已知在中，，过点B引一条射线，D是上一点
【问题解决】
(1)如图1，若，射线在内部，，求证：，小明同学展示的做法是：在上取一点E使得，通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程；
【类比探究】
(2)如图2，已知．
①当射线在内，求的度数
②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗?若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数；
【答案】(1)见解析
(2)①②；的度数会变化，理由见解析
【分析】（1）根据等边三角形的判定定理得到、是等边三角形，进而得到，根据证明，根据全等三角形的性质得到，得到答案；
（2）①在上取一点E，，证明，得到，可求出答案；
②在延长线上取一点E，使得，同理证明，求出，进而求出．
【详解】（1）证明：如图1，在上取一点E，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
∵在和中，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：①在上取一点E，，如图所示：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∴；
②的度数会变化，理由如下：
在延长线上取一点E，使得，如图所示：
同理①的方法可证：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线，构造全等三角形进行计算和证明是解题的关键．
类型五、半角模型
例1．已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF．
思路分析：
(1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上，
∠E'AF＝ 度，……
根据定理，可证：△AEF≌△AE'F．
∴EF＝BE+DF．
类比探究：
(2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程；
拓展应用：
(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积．
【答案】(1)45
(2)DF＝BE+EF，证明见解析
(3)2
【分析】（1）把绕点逆时针旋转至，则、、在一条直线上，，再证△，得，进而得出结论；
（2）将绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质得，再证△，得，进而得出结论；
（3）将绕点逆时针旋转得到，连接，则，得，因此，同（2）得△，则，，得、、围成的三角形面积，即可求解．
【详解】（1）解：如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至，
则F、D、在一条直线上，≌△ABE，
∴＝BE，∠＝∠BAE，＝AE，
∴∠＝∠EAD+∠＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°，
则∠＝∠﹣∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠，
∴△AEF≌△（SAS），
∴，
∵，
∴EF＝BE+DF．
故答案为：45；
（2）解：DF＝BE+EF 理由如下：
将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△，
∴△≌△ABE，
∴AE＝，BE＝，∠＝∠BAE，
∴∠＝∠BAE+∠＝∠+∠＝∠BAD＝90°，
则∠＝∠﹣∠EAF＝45°，
∴∠＝∠EAF＝45°，
在△AEF和△中，
，
∴△AEF≌△（SAS），
∴，
∵，
∴DF＝BE+EF；
（3）解：将△ABD绕点A逆时针旋转得到△，连接，
则△≌△ABD，
∴CD'＝BD，
∴，
同（2）得：△ADE≌△（SAS），
∴，，
∴BD、DE、EC围成的三角形面积为、、EC围成的三角形面积．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质以及四边形和三角形面积等知识，本题综合性强，解此题的关键是根据旋转的启发正确作出辅助线得出全等三角形，属于中考常考题型．
例2．（培优）如图，，，，，．
（1）求的度数；
（2）以E为圆心，以长为半径作弧；以F为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点G，试探索的形状？是锐角三形，直角三角形还是钝角三角形？请说明理由．
【答案】（1）45°；（2）见详解
【分析】（1）由CA⊥CB，可得∠ACB＝90°，再根据∠ECF＝45°，即可得出答案；
（2）如图，连接DE，先证明△ECF≌△ECD（SAS），可得DE＝EF，再证明△CAD≌△CBF（SAS），可得AD＝BF，∠CAD＝∠B，即可得出∠DAE＝90°，再利用SSS证明△EFG≌△EDA，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵CA⊥CB，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACE＋∠ECF＋∠BCF＝90°，
∵∠ECF＝45°，
∴∠ACE＋∠BCF＝90°−∠ECF＝45°；
（2）△EFG是直角三角形，理由如下：
如图，连接DE，
由（1）知，∠ACE＋∠BCF＝45°，
∵∠ACD＝∠BCF，
∴∠ACE＋∠ACD＝45°，即∠DCE＝45°，
∵∠ECF＝45°，
∴∠ECF＝∠ECD，
在△ECF和△ECD中，
，
∴△ECF≌△ECD（SAS），
∴DE＝EF，
在△CAD和△CBF中，
，
∴△CAD≌△CBF（SAS），
∴AD＝BF，∠CAD＝∠B，
∵FG＝BF，
∴FG＝AD，
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝∠B＝45°，
∴∠DAE＝∠CAB＋∠B＝90°，
在△EFG和△EDA中，
，
∴△EFG≌△EDA（SSS），
∴∠EGF＝∠EAD＝90°，
∴△EFG是直角三角形．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形性质，直角三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质等知识，解题关键是添加辅助线构造全等三角形，熟练运用全等三角形判定和性质解决问题．
【变式训练1】已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F．
（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中： ＋ ＝ ．（不需证明）
（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图2）时，上述（1）中结论是否成立？请说明理由．
（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图3）时，上述（1）中结论是否成立？若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
【答案】（1）AE；CF；EF；（2）成立，见解析；（3）不成立，新的关系为AE＝EF＋CF．
【分析】（1）根据题意易得△ABE≌△CBF，然后根据全等三角形的性质可得∠ABE=∠CBF=30°，进而根据30°角的直角三角形及等边三角形的性质可求解；
（2）如图2，延长FC到H，使CH=AE，连接BH，根据题意可得△BCH≌△BAE，则有BH=BE，∠CBH=∠ABE，进而可证△HBF≌△EBF，推出HF=EF，最后根据线段的等量关系可求解；
（3）如图3，在AE上截取AQ=CF，连接BQ，根据题意易得△BCF≌△BAQ，推出BF=BQ，∠CBF=∠ABQ，进而可证△FBE≌△QBE，推出EF=QE即可．
【详解】解：（1）如图1，AE+CF=EF，理由如下：
∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠A=∠C=90°，
∵AB=BC，AE=CF，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠ABE=∠CBF，BE=BF，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠ABE=∠CBF=30°，
∴，
∵∠MBN=60°，BE=BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴，
故答案为：AE+CF=EF；
（2）如图2，（1）中结论成立；理由如下：
延长FC到H，使CH=AE，连接BH，
∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠A=∠BCH=90°，
∴△BCH≌△BAE（SAS），
∴BH=BE，∠CBH=∠ABE，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠ABE+∠CBF=120°-60°=60°，
∴∠HBC+∠CBF=60°，
∴∠HBF=∠MBN=60°，
∴∠HBF=∠EBF，
∴△HBF≌△EBF（SAS），
∴HF=EF，
∵HF=HC+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF；
（3）如图3，（1）中的结论不成立，关系为AE=EF+CF，理由如下：
在AE上截取AQ=CF，连接BQ，
∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠A=∠BCF=90°，
∵AB=BC，
∴△BCF≌△BAQ（SAS），
∴BF=BQ，∠CBF=∠ABQ，
∵∠MBN=60°=∠CBF+∠CBE，
∴∠CBE+∠ABQ=60°，
∵∠ABC=120°，
∴∠QBE=120°-60°=60°=∠MBN，
∴∠FBE=∠QBE，
∴△FBE≌△QBE（SAS），
∴EF=QE，
∵AE=QE+AQ=EF+CF，
∴AE=EF+CF．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、含30°角的直角三角形的性质及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、含30°角的直角三角形的性质及等边三角形的性质是解题的关键．
【变式训练2】（1）如图，在正方形中，、分别是，上的点，且．直接写出、、之间的数量关系；
（2）如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，求证：；
（3）如图，在四边形中，，，延长到点，延长到点，使得，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．
【答案】（1），理由见详解；（2）见详解；（3）结论EF＝BE＋FD不成立，应当是EF＝BE−FD．理由见详解．
【分析】（1）在CD的延长线上截取DM＝BE，连接AM，证出△ABE≌△ADM，根据全等三角形的性质得出BE＝DM，再证明△AEF≌△AMF，得EF＝FM，进而即可得出答案；
（2）在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，证出△ABE≌△ADG，根据全等三角形的性质得出BE＝DG，再证明△AEF≌△AGF，得EF＝FG，即可得出答案；
（3）按照（2）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据（2）的证法，我们可得出DF＝BG，GE＝EF，那么EF＝GE＝BE−BG＝BE−DF．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的．
【详解】（1）解：，理由如下：
延长CD，使DM=BE，连接AM，
∵在正方形中，AB=AD，∠B=∠ADM=90°，
∴，
∴∠BAE=∠DAM，AE=AM，
∵，
∴∠BAE+∠DAF=∠DAM+∠DAF =90°-45°=45°，
∴∠EAF=∠MAF=45°，
又∵AF=AF，AE=AM，
∴，
∴EF=MF=MD+DF=BE+DF；
（2）在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，如图，
∵∠ADF＝90°，∠ADF＋∠ADG＝180°，
∴∠ADG＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠B＝∠ADG＝90°，
∵BE＝DG，AB＝AD，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AG＝AE，
∴∠EAG＝∠EAD＋∠DAG＝∠EAD＋∠ABE＝∠BAD，
∵，

∴∠EAF＝∠FAG，
又∵AF＝AF，AE＝AG，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG＝DF＋DG＝EB＋DF；
（3）结论EF＝BE＋FD不成立，应当是EF＝BE−FD．理由如下：
如图，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．
∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
∵在△ABG与△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴∠BAG＋∠EAD＝∠DAF＋∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．
∴∠GAE＝∠BAD=∠EAF．
∵AE＝AE，AG＝AF．
∴△AEG≌△AEF．
∴EG＝EF，
∵EG＝BE−BG
∴EF＝BE−FD．
【点睛】本题考查了三角形综合题，三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的，属于中考压轴题．
类型六、旋转模型
例．如图，在中，，点D在内，，，点E在外，．
(1)的度数为_______________；
(2)小华说是等腰三角形，小明说是等边三角形，___________的说法更准确，并说明理由；
(3)连接，若，求的长．
【答案】(1)
(2)小明，理由见解析
(3)5
【分析】（1）首先证明△DBC是等边三角形，推出∠BDC=60°，可证明△ADB≌△ADC，继而推出∠ADB=∠ADC进行计算即可；
（2）小明更准确，△ABE是等边三角形．只需证明△ABD≌△EBC即可；
（3）首先证明△DEC是含有30度角的直角三角形，求出EC的长，利用全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：∵BD=BC，∠DBC=60° ，
∴△DBC是等边三角形 ，
∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°．
在△ADB和△ADC中， ，
∴△ADB≌△ADC（SSS），
∴∠ADB=∠ADC ，
∴∠ADB=(360°﹣60°)=150°．
（2）解：小明的说法更准确，理由如下：
∵∠ABE=∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠EBC ，
在△ABD和△EBC中，
∴△ABD≌△EBC（ASA），
∴AB=BE ．
∵∠ABE=60° ，
∴△ABE是等边三角形．
（3）解：连接DE，如图所示，
∵∠BCE=150°，∠DCB=60° ，
∴∠DCE=90°，
∵∠EDB=90°，∠BDC=60° ，
∴∠EDC=30° ，
∴ ．
∵△ABD≌△EBC，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
例2．（培优）已知点C为线段上一点，分别以为边在线段AB同侧作和，且．，，直线与交于点F．

(1)如图1，可得___________；若，则___________．
(2)如图2，若，则___________．（用含a的式子表示）
(3)设，将图2中的绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在中的一条线段上），如图3．试探究与a的数量关系，并予以说明．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据证明，得出，根据三角形的内角和定理即可得到，进而可得答案；
（2）根据证明，得出，根据三角形的内角和定理即可得到，进而可得答案；
（3）分三种情况：当交点F在线段上，在线段上，在线段上时；结合图形，仿照（2）小题的证明解答即可．
【详解】（1）∵，
∴，
在和中，
∴（），
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；

（2）∵，
∴，
在和中，
∴（），
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；

（3）当交点F在线段上时，如图3，
∵，
∴，
在和中，
∴（），
∴，
∵，
∴，
∴；

当交点F在线段上时，如图4，
同理可得：；

当交点F在线段上时，如图5，
∵，
∴，
在和中，
∴（），
∴，
∵，
∴；
综上，或．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、三角形的内角和定理等知识，正确分类、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式训练1】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．
（1）操作发现
如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为 ；线段BD、AB、EB的数量关系为 ；
（2）猜想论证
当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；
（3）拓展延伸
若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．
【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）图2中BE＝AB+BD，图3中，BD＝AB+BE，证明见解析；（3）72或2
【分析】（1）首先通过SAS证明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质和等量代换即可得出答案；
（2）仿照（1）中证明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质即可得出结论；
（3）首先求出BE的长度，然后利用S△AED•AD•EB即可求解．
【详解】解：（1）如图1中，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠CBA＝45°，
∴∠CBE＝∠A＝45°，
∴ABE＝90°，
∴AB⊥BE，
∵AB＝AD+BD，AD＝BE，
∴AB＝BD+BE，
故答案为AB⊥BE，AB＝BD+BE．
（2）①如图2中，结论：BE＝AB+BD．
理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
∵AD＝AB+BD，AD＝BE，
∴BE＝AB+BD．
②如图3中，结论：BD＝AB+BE．
理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD＝BE，
∵BD＝AB+AD，AD＝BE，
∴BD＝AB+BE．
（3）如图2中，∵AB＝5，BD＝7，
∴BE＝AD＝5+7＝12，
∵BE⊥AD，
∴S△AED•AD•EB12×12＝72．
如图3中，∵AB＝5，BD＝7，
∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2，
∵BE⊥AD，
∴S△AED•AD•EB2×2＝2．
【点睛】本题主要考查全等三角形，掌握全等三角形的判定及性质并分情况讨论是关键．
【变式训练2】如图，等边中，分别交、于点、．
（1）求证：是等边三角形；
（2）将绕点顺时针旋转（），设直线与直线相交于点．
①如图，当时，判断的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；
②若，，当，，三点共线时，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）①的度数是定值，为60°；②或8．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得，再由 ，可得到，，从而得到 ，即可求证；
（2）根据题意，可证得，从而得到，再根据三角形的内角和等于180°，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当，，三点共线，且在BC上方时，当，，三点共线，且在BC下方时，即可求解．
【详解】证明：（1）是等边三角形，
∴，
∵ ，
∴，，
，
∴是等边三角形；
（2）解：①的度数是定值，理由如下：
是等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE， ，
∴ ，
在和中，
，
∴ ，
∴，
又∵ ，
∴，
即的度数是定值，为60°；
②当，，三点共线，且在BC上方时，过点作，
∵是等边三角形，，∴，
在中，由勾股定理得：，
在中，，；
当，，三点共线，且在BC下方时.
，
综上所述，或8．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
课后训练
1．已知：如图，在中，，、分别为、上的点，且、交于点．若、为的角平分线．
(1)求的度数；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)
(2)10
【分析】（1）由题意，根据，即可解决问题；
（2）在上截取，连接．只要证明，推出，，再证明，推出，由此即可解决问题．
【详解】（1）解：、分别为的角平分线，
，，
，
；
（2）解：在上截取，连接．
、分别为的角平分线
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在和中，
，，
，．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题．
2．在与中，，，．

(1)如图1，若点D，B，C在同一直线上，连接，，则与的关系为________．
(2)如果将图1中的绕点B在平面内顺时针旋转到如图2的位置，那么请你判断与的关系，并说明理由
(3)如图3，若，，连接，分别取，，的中点M，P，N，连接，，，将绕点B在平面内顺时针旋转一周，请直接写出旋转过程中的面积最大值和最小值．
【答案】(1)，；
(2)，；理由见解析；
(3)最小值为2，最大值为8．
【分析】（1）延长交于，证明，得出，，根据，得出，即可得出结论；
（2）延长交于点，交于点，通过证明，得出，，根据，，得出，即可得出结论；
（3）连接，由（1）（2）同理可得，，，根据三角形的中位线定理可得，，进而得出，，则，当点E在上时，取最小值，此时也取最小值，则最小；当点E在延长线上时，取最大值，此时也取最大值，则最大．
【详解】（1）解：延长交于，

在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）解：，；
理由：延长交于点，交于点，

∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，；
（3）解：连接，

由（1）（2）同理可得，，
∵点M，P，N为，，的中点，
∴，，
∴
∵，，
∴，
∴，
∵绕点B在平面内顺时针旋转，
∴点E在以点B为圆心，为半径的圆上运动，
当点E在上时，取最小值，此时也取最小值，则最小，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值；

当点E在延长线上时，取最大值，此时也取最大值，则最大，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值；

综上：最小值为2，最大值为8．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形的中位线定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等，对应角相等；三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
3．问题背景：
如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______．
实际应用：
如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得，BE＝10米，DF＝15米，试求两凉亭之间的距离EF．
【答案】问题背景：EF＝BE＋FD；实际应用：两凉亭之间的距离EF为25米
【分析】（1）根据△ABE≌△ADG可得BE=DG，根据△AEF≌△AGF得EF=GF，进而求得结果；
（2）延长CD至H，使DH=BE，可证得△ADH≌△ABE，进而证得△FAH≌△FAE，进一步求得EF．
【详解】解：问题背景：∵∠ADC=90°，∠ADC+∠ADG=180°，
∴∠ADG=90°，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=60°，∠BAD=120°，
∴∠BAE+DAF=120°-60°=60°，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=60°=∠EAF，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF，
故答案为：EF=BE+DF；
实际应用：如图2，延长CD至H，使DH=BE，连接AH，
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADH+∠ADC=180°，
∴∠ADH=∠B，
在△ADH和△ABE中，
，
∴△ADH≌△ABE（SAS），
∴AE=AH，∠BAE=∠DAH，
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
在△AEF和△AHF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FH，
∵FH=DH+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF，
∵BE=10米，DF=15米，
∴EF=10+15=25（米）．
【点睛】本题主要考查的是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形并两次证全等是解题的关键．
4．【探索发现】如图①，四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD、BC上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图①，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接AM、AN、MN．
（1）试判断DM，BN，MN之间的数量关系，并写出证明过程．
（2）如图②，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD的延长线上，，连接MN，请写出MN、DM、BN之间的数量关系，并写出证明过程．
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，，，点N，M分别在边BC，CD上，，请直接写出线段BN，DM，MN之间的数量关系．
【答案】（1），证明见解析；（2）,证明见解析；（3）．
【分析】（1）根据正方形的性质和旋转的性质可证≌，利用SAS可证，则可得：；
（2）根据正方形的性质和旋转的性质可证≌，利用SAS可证，则可得：；
（3）根据正方形的性质和旋转的性质可证≌，利用SAS可证，则可得：；
【详解】证明：（1）如图①，∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD，=
将绕点A顺时针旋转，得到
∴≌
∴
∵
在和中
∵，
∴
（2）如图②，将绕点A顺时针旋转，得到
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD，=
∵绕点A顺时针旋转，得到
∴≌
∴
,
∵
在和中
∵，
即：；
（3）如图，
∵，，，
将绕点A顺时针旋转，得到
∴≌
∴
在和中
，
；
【点睛】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质等知识，利用旋转法构造全等三角形是解题的关键是学会．
5．如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，点C、D分别在边OA、OB上的点．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．
（1）如图1，求证：OH＝AD，OH⊥AD；
（2）将△COD绕点O旋转到图2所示位置时，⑴中结论是否仍成立？若成立，证明你的结论；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析
【分析】（1）只要证明△AOD≌△BOC（SAS），即可解决问题；
（2）如图2中，结论：OH=AD，OH⊥AD．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，证明△BEH≌△CHO（SAS），可得OE=2OH，∠EBC=∠BCO，证明△BEO≌△ODA（SAS）即可解决问题；
【详解】（1）∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．
∴OC＝OD，OA＝OB
在△AOD与△BOC中
∴△AOD≌△BOC（SAS）
∴∠ADO＝∠BCO，∠OAD＝∠OBC，BC＝AD
∵点H是BC的中点，∠AOB＝90°
∴OH＝HB＝
∴∠OBH＝∠HOB＝∠OAD，OH＝
∵∠OAD＋∠ADO＝90°
∴∠ADO＋∠BOH＝90°
∴OH⊥AD
（2）（1）中结论成立；如图，延长OH到E，使得HE＝OH，连接BE，CE
∵CH＝BH
∴四边形BOCE是平行四边形
∴BE＝OC，EB∥OC，OH＝OE
∴∠EBO＋∠COB＝180°
∵∠COB＋∠BOD＝90°，∠BOD＋∠1＝90°
∴∠1＝∠COB
∵∠AOD＋∠1＝180°
∴∠AOD＝∠EBO
∴△BEO≌△ODA
∴∠EOB＝∠DAO，OE＝AD
∴OH＝AD
∴∠DAO＋∠AOH＝∠EOB＋∠AOH＝90°
∴OH⊥AD
【点晴】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识，构造全等三角形解决问题是解题的关键.