中考数学一轮复习：专题4.9 角中的四种常见思想方法（华东师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习：专题4.9 角中的四种常见思想方法（华东师大版）（解析版），共69页。
考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对角中的四种常见思想方法的理解！
【题型1 数形结合思想】
1．（2023下·湖南娄底·七年级统考期中）入射光线和平面镜的夹角为40°，转动平面镜，使入射角减小20°，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（ ）
A．减小40°B．增大40°C．减小20°D．不变
【答案】A
【分析】分别求出平面镜转动前后反射光线与入射光线的夹角，再对两者进行比较即可得到解答．
【详解】解：入射光线与平面镜的夹角是40°，所以入射角为90°−40°=50°．
根据光的反射定律，反射角等于入射角，反射角也为50°，
所以入射光线与反射光线的夹角是100° ．
入射角减小20°，变为50°−20°=30°，所以反射角也变为30°，
此时入射光线与反射光线的夹角为60°．
则反射光线与入射光线间的夹角和原来比较将减小40°．
故选：A．
【点睛】本题考查角度与光反射的综合应用，熟练掌握光的反射规律及角度的计算方法是解题关键．
2．（2023上·吉林·七年级统考期末）如图，OA表示北偏东41°方向，OB表示南偏东54°方向，则∠AOB＝ 度．
【答案】85
【分析】利用方位角、角度和差的性质计算，即可完成求解．
【详解】∵OA表示北偏东41°方向，OB表示南偏东54°方向
∴∠AOB＝180°-41°-54°＝85°
故答案是：85．
【点睛】本题考查了角度的知识；解题的关键是熟练掌握方位角、角度和差的性质，从而完成求解．
3．（2023·江苏泰州·七年级泰州市姜堰区第四中学校考期末）七年级上册《数学实验手册》中有“三角尺拼角”的问题．将一副三角尺如图这样放置，就可画出∠AOB=75°，在实验中同学们发现用一副三角尺还能画出其他特殊角．
(1)请你借助三角尺完成以下操作，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度；
①设计用一副三角尺画出105°角的画图方案，并画出相应的几何图形；
②用一副三角尺能画出145°的角吗？__________．（填“能”或“不能”）．
(2)利用一副三角尺在图中画出∠MON的角平分线OP，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度．
(3)如图，现有19°、23°、29°角的三种模板，∠ABC=19°，∠FED=23°，∠IHG=29°请设计一种方案，只用给出的一种模板画出1°的角．
小冬想出了一个方案，利用19°角模板画出1°角，动手操作：如图，M、O、N三点在一条直线上，将∠ABC的顶点B与点O重合，BC边与射线ON重合，如图所示，将∠ABC绕点O逆时针旋转19°，得∠A1B1C1，再将∠A1B1C1绕点O逆时针旋转19°，得∠A2B2C2，……，如此连续操作18次，再利用两个平角等于一个周角，可得1°的角，即：19°×19−180°×2=361°−360°=1°．
请从23°或29°角模板中选一个你认为能画出1°角的模板，设计一个方案，并说明理由．
(4)对于任意一个n°（n为正整数）角的模板，只用此模板是否一定能画出1°的角？请作出判断，并说明理由．
【答案】(1)①见解析；②不能
(2)见解析
(3)选用23°，理由见解析
(4)不一定能，理由见解析
【分析】（1）①用一副三角尺画出105°角的画图方案，用含60°，45°的两个角拼接即可求解;
②根据用一副三角板可以直接画出角的度数是15的倍数可解答；
（2）根据题意设计一个15°，一边与射线ON重合，另一边即为角平分线OP，
（3）根据题目所给的方案，进行设计即可求解；
（4）根据角度的四则运算进行判断即可求解．
【详解】（1）解： ①用一副三角尺画出105°角，如图所示，∠ABC=105°
②用一副三角板可以直接画出角的度数是15的倍数，
∴用一副三角尺能不能画出145°的角，
故答案为：不能．
（2）解：如图所示，
（3）选用23°，
用23°的角旋转15次，则23°×15=345°，与360°差15°，
再旋转16次，得到23°×15+16=713°，与周角差7°，
再旋转16次，得到23°×15+16+16=1081°，超过始边1°
∴∠ABC绕点O逆时针旋转23°，得∠A1B1C1，
再将∠A1B1C1绕点O逆时针旋转23°，
得∠A2B2C2，……，如此连续操作47次，
可得1°的角，
即：23°×47−360°×3=1081°−1080°=1°．
（4）对于任意一个n°（n为正整数）角的模板，只用此模板不一定能画出1°的角
例如，n=2°，此时无论如何旋转，都不能得到1°的角
【点睛】本题考查了三角板中的角度计算，角平分线的定义，角度的计算，理解题意是解题的关键．
4．（2023上·江苏盐城·七年级阶段练习）探究实验：《钟面上的数字》
实验目的：了解钟面上时针与分针在转动时的内在联系，学会用一元一次方程解决钟面上的有关数学问题，体会数学建模思想．
实验准备：机械钟（手表）一只
实验内容与步骤：
观察与思考：
（1）时针每分钟转动__°，分针每分钟转动__°．
（2）若时间为8：30，则钟面角为__°，（钟面角是时针与分针所成的角）
操作与探究：
（1）转动钟面上的时针与分针，使时针与分针重合在12点处．再次转动钟面上的时针与分针，算一算，什么时刻时针与分针再次重合？一天24小时中，时针与分针重合多少次？（一天中起始时刻和结束时刻时针与分针重合次数只算一次，下同）
（2）转动钟面上的时针与分针，使时针与分针重合在12点处，再次转动钟面上的时针与分针，算一算，什么时刻钟面角第一次为90°？一天24小时中，钟面角为90°多少次？
拓展延伸：
一天24小时中，钟面角为180°__次，钟面角为n°（0＜n＜180）____次．（直接写出结果）
【答案】观察与思考：（1）0.5，6，（2）75；操作与探究：（1）1211，22；（2）311 ，44；拓展延伸：22，44．
【详解】解析:
试题分析：观察与思考：(1)钟表12个数字,每相邻两个数字之间的夹角为30°即可得出答案;(2)钟表上8:30,时针指向8和9的中间,分针指向6,即可得出答案,时针和分针相隔2.5个格;
操作与探究：(1)①设经过x小时时针与分针再次重合，根据分针转过的角度=时针转过的角度+360°列出方程即可得出答案；②设经过x小时时针与分针再次重合，根据分针转过的角度=时针转过的角度+90°列出方程即可得出答案；
拓展延伸：根据一天时针与分针重合的次数，结合每重合一次都会出此案两次n的角可得到答案.
解：观察与思考：
（1）30°÷60=0.5；30°÷5=6°；
（2）30°×2.5=75°
操作与探究：
（1）设经过x小时时针与分针再次重合．
360x=30x+360
解得：x=1211，
∵时针与分针每经过x=1211重合一次，
∴24÷1211=22（次）．
答：1211时时针与分针再次重合．一天24小时中，时针与分针重合22次．
（2）设经过y小时钟面角第一次为90°．
360y=30y+90，
解得：y=311．
∵每经过x=1211时针与分针重合一次，而钟面角为90°两次．
∴24÷1211×2=44（次）
答：12311时钟面角第一次为90°．一天24小时中，钟面角为90° 44次．
拓展延伸：
由2可得：一天24小时中，钟面角为180°有22次，钟面角为n°（0＜n＜180）44次．
故答案为22；44．
点睛：本题考查了钟面角的计算及一元一次方程的应用，根据时针与分针每小时转动的角度和时针与分针所形成的夹角列方程求解.
5．（2023上·宁夏银川·七年级统考期末）如图1，点O是弹力墙MN上一点，魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转，当转到ON位置时，则从ON位置弹回，继续向OM位置旋转；当转到OM位置时，再从OM的位置弹回，继续转向ON位置，…，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：第1步，从OA0（OA0在OM上）开始旋转α至OA1；第2步，从OA1开始继续旋转2α至OA2；第3步，从OA2开始继续旋转3α至OA3，…．
例如：当α=30°时，OA1，OA2，OA3，OA4的位置如图2所示，其中OA3恰好落在ON上，∠A3OA4=120°；当α=20°时，OA1，OA2，OA3，OA4，OA5的位置如图3所示，其中第4步旋转到ON后弹回，即∠A3ON+∠NOA4=80°，而OA5恰好与OA2重合．解决如下问题：
(1)若α=35°，在图4中借助量角器画出，OA2，OA3，其中∠A3OA2的度数是 ；
(2)若α＜30°，且OA4所在的射线平分∠A2OA3，在如图5中画出OA1，OA2，OA3，OA4并求出α的值；
(3)若α＜36°，且∠A2OA4＝20°，则对应的α值是 ．
【答案】(1)45°
(2)α＝（72029）°
(3)（207）°或（34013）°或（38013）°
【分析】（1）根据题意，明确每次旋转的角度，计算即可，并画图；
（2）根据各角的度数，找出等量关系式，列出方程，求出α的度数即可；
（3）分三种情况讨论，根据各角的度数，找出等量关系式，列出方程，求出α的度数即可．
【详解】（1）解：如图1，当α=35°，则∠A0OA1=35°，
∴∠A1OA2=70°，
∴∠A2ON=180°−70°−35°=75°，
∴∠A3OA2=75°−(35°×3−75°)=45°；
（2）解：如图5所示．
∵α