中考数学一轮复习：专题12.3 乘法公式【十大题型】（举一反三）（华东师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习：专题12.3 乘法公式【十大题型】（举一反三）（华东师大版）（解析版），共37页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc1099" 【题型1 判断运用乘法公式计算的正误】 PAGEREF _Tc1099 \h 1
\l "_Tc1353" 【题型2 利用完全平方式确定系数】 PAGEREF _Tc1353 \h 3
\l "_Tc31477" 【题型3 乘法公式的计算】 PAGEREF _Tc31477 \h 5
\l "_Tc4396" 【题型4 利用乘法公式求值】 PAGEREF _Tc4396 \h 8
\l "_Tc1347" 【题型5 利用面积法验证乘法公式】 PAGEREF _Tc1347 \h 10
\l "_Tc28542" 【题型6 乘法公式的应用】 PAGEREF _Tc28542 \h 13
\l "_Tc23871" 【题型7 平方差公式的几何背景】 PAGEREF _Tc23871 \h 17
\l "_Tc20180" 【题型8 完全平方公式的几何背景】 PAGEREF _Tc20180 \h 22
\l "_Tc18681" 【题型9 乘法公式中的新定义问题】 PAGEREF _Tc18681 \h 28
\l "_Tc12172" 【题型10 乘法公式的规律探究】 PAGEREF _Tc12172 \h 31
【知识点 乘法公式】
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。
【题型1 判断运用乘法公式计算的正误】
【例1】（2023春·贵州毕节·八年级统考期末）计算x−y+3x+y−3时，下列变形正确的是（ ）
A．x−y+3x+y−3B．x+3−yx−3+y
C．x−y+3x+y−3D．x−y−3x+y−3
【答案】D
【分析】将y−3看做一个整体，则x是相同项，互为相反项的是y−3，对照平方差公式变形即可求解．
【详解】解：x−y+3x+y−3=x−y−3x+y−3，
故选：D．
【点睛】本题考查了平方差公式，解题的关键是找出相同项和相反项．
【变式1-1】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）下列运算正确的是（ ）
A．x+y−y+x=x2−y2B．−x+y2=−x2+2xy+y2
C．−x−y2=−x2−2xy−y2D．x+yy−x=x2−y2
【答案】A
【分析】根据平方差公式和完全平方公式，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、x+y−y+x=x2−y2，故A正确，符合题意；
B、−x+y2=x2−2xy+y2，故B不正确，不符合题意；
C、−x−y2=x2+2xy+y2，故C不正确，不符合题意；
D、x+yy−x=y2−x2，故D不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查根据平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握平方差公式a+ba−b=a2−b2和完全平方公式a±b2=a2±2ab+b2．
【变式1-2】（2023春·天津滨海新·八年级统考期末）在下列多项式的乘法中，不可以用平方差公式计算的是（ ）
A．(x+y)(x−y)B．(−x+y)(x+y)
C．(−x−y)(−x+y)D．(x−y)(−x+y)
【答案】D
【分析】根据平方差公式是两个数的和与这两个数的差相乘等于这两个数的平方差，由此进行判断即可．
【详解】A、B、C选项都是两个数的和与这两个数的差相乘，可以使用平方差公式，
D选项变形后为−(x−y)2，不能使用平方差公式；
故选：D．
【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
【变式1-3】（2023春·广东茂名·八年级统考期中）下列多项式不是完全平方式的是( )．
A．x2−4x−4B．14+m2+mC．a2+2ab+b2D．t2+4t+4
【答案】A
【分析】根据a2±2ab+b2的形式判断即可；
【详解】x2−4x−4不是完全平方公式，故A符合题意；
14+m2+m=12+m2，故B不符合题意；
a2+2ab+b2=a+b2，故C不符合题意；
t2+4t+4=t+22，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的判断，准确分析是解题的关键．
【题型2 利用完全平方式确定系数】
【例2】（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）若将多项式4a2−2a+1加上一个单项式成为一个完全平方式，则这个单项式可以是 ．（只要写出符合条件的一个）
【答案】−2a，6a，−34，−3a2．
【分析】根据完全平方公式的特点分情况讨论：若把4a2和1看成两个平方项，则该完全平方式可以；是(2a−1)2或(2a+1)2；②若把4a2看成一个平方项，把−2a看成二倍两项积，则该完全平方式可以是(2a−12)2；③若把1看成一个平方项，把−2a看成二倍两项积，则该完全平方式可以是(a−1)2．分别算出所需添加的单项式即可．
【详解】①若把4a2和1看成两个平方项，则该完全平方式可以是(2a−1)2或(2a+1)2，
∵(2a−1)2=4a2−4a+1=4a2−2a+1+(−2a)，
∴这个单项式可以是−2a；
∵(2a+1)2=4a2+4a+1=4a2−2a+1+6a，
∴这个单项式可以是6a；
②若把4a2成一个平方项，把−2a看成二倍两项积，则该完全平方式可以是(2a−12)2，
∵(2a−12)2=4a2−2a+14=4a2−2a+1+(−34)，
∴这个单项式可以是−34；
③若把1成一个平方项，把−2a看成二倍两项积，则该完全平方式可以是(a−1)2，
∵(a−1)2=a2−2a+1=4a2−2a+1+(−3a2)，
∴这个单项式可以是−3a2．
综上，添加的这个单项式可以是−2a，6a，−34，−3a2．
故答案为：−2a，6a，−34，−3a2．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特点，进行分类讨论是解题的关键．
【变式2-1】（2023春·四川达州·八年级校考期中）若x2+2(m−3)x+1是完全平方式，x+n与x+2的乘积中不含x的一次项，则nm的值为 ．
【答案】4或16
【分析】利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则确定出m与n的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：∵x2+2(m−3)x+1是完全平方式，
∴m−3=±1，
∴m=4或m=2，
∵x+n与x+2的乘积中不含x的一次项，x+nx+2=x2+n+2x+2n，
∴n+2=0，
∴n=−2，
当m=4，n=−2时，nm=−24=16；
当m=2，n=−2时，nm=−22=4，
则nm=4或16，
故答案为：4或16．
【点睛】本题考查了完全平方式，以及多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
【变式2-2】（2023春·八年级课时练习）若9x2−k−1xy+25y2是关于x的完全平方式，则k= ．
【答案】31或−29/−29或31
【分析】由9x2−k−1xy+25y2是关于x的完全平方式，得出9x2−k−1xy+25y2=3x±5y2，进而得出−k−1=±30，即可求出k的值．
【详解】解：∵9x2−k−1xy+25y2是关于x的完全平方式，
∴9x2−k−1xy+25y2=3x±5y2，
∴−k−1=±30，
解得：k=31或−29，
故答案为：31或−29
【点睛】本题考查了完全平方式，掌握完全平方式的特点，考虑两种情况是解决问题的关键．
【变式2-3】（2023春·福建泉州·八年级晋江市季延中学校考期中）已知B是含字母x的单项式，要使x2+B+14是完全平方式，那么B= ．
【答案】±x或x4．
【分析】分类讨论：①当x2+B+14是完全平方式时和当B+x2+14是完全平方式时，再根据完全平方式的特点即可得出答案．
【详解】解：分类讨论：①当x2+B+14是完全平方式时．
∵x2+B+14=x2+B+122，
∴B=±2×x×12=±x；
②当B+x2+14是完全平方式时．
∵B+x2+14=B+2×x2×12+122，
∴B=x4．
综上可知，B=±x或x4．
故答案为：±x或x4．
【点睛】本题考查完全平方式．掌握完全平方式的结构特征和利用分类讨论的思想是解题关键．
【题型3 乘法公式的计算】
【例3】（2023春·云南昭通·八年级校考期末）计算：
(1)(2m−n+3p)(2m+3p+n)；
(2)化简求值：(x−3)(x+3)−(x2−2x+1)，其中x=12．
【答案】(1)4m2+12mp+9p2−n2
(2)2x−10，−9
【分析】（1）先把原式化为(2m+3p)−n(2m+3p)+n，再利用平方差公式和完全平方公式计算即可；
（2）先利用平方差公式和去括号法则展开，再合并同类项，最后求值即可．
【详解】（1）解：原式=(2m+3p)−n(2m+3p)+n
=(2m+3p)2−n2
=4m2+12mp+9p2−n2；
（2）原式=x2−9−x2+2x−1
=2x−10，
当x=12时，
原式=1−10
=−9．
【点睛】本题考查了整式的混合运算以及平方差公式，熟练掌握整式的混合运算法则是解本题的关键．
【变式3-1】（2023春·山东东营·六年级统考期末）利用整式乘法公式计算．
(1)1002−98×102；
(2)a+b+3a+b−3；
(3)−2m+3−2m−3；
(4)12x−2y2．
【答案】(1)4
(2)a2+2ab+b2−9
(3)4m2−9
(4)14x2−2xy+4y2
【分析】（1）首先把98×102转化为100−2×100+2，然后再根据平方差公式计算即可；
（2）利用平方差公式变形，然后再根据完全平方公式计算即可；
（3）根据平方差公式计算即可；
（4）根据完全平方公式计算即可．
【详解】（1）解：1002−98×102
=1002−100−2×100+2
=1002−1002−22
=1002−1002+22
=4；
（2）解：a+b+3a+b−3
=a+b+3a+b−3
=a+b2−32
=a2+2ab+b2−9；
（3）解：−2m+3−2m−3
=−2m2−32
=4m2−9；
（4）解：12x−2y2
=14x2−2xy+4y2．
【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，解本题的关键在熟练掌握整式的乘法公式进行计算．
【变式3-2】（2023春·湖南永州·八年级校联考期中）1−1221−1321−−1142= ．
【答案】1528
【分析】根据平方差公式得，1−1221−1321−−1142 =1−121+121−131+131−141+−1141+114 =12×32×23×43×34×54...×1314×1514，然后计算求解即可．
【详解】解：1−1221−1321−−1142
=1−121+121−131+131−141+−1141+114
=12×32×23×43×34×54...×1314×1514
=12×1514
=1528，
故答案为：1528．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式3-3】（2023春·江西抚州·八年级校联考期中）运用乘法公式计算：
(1)2m−3n−2m−3n−(2m−3n)2
(2)1002−992+982−972+…+22−12．
【答案】(1)−8m2+12mn
(2)5050
【分析】1原式第一项利用平方差是化简，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果；
2原式结合后，利用平方差公式化简，计算即可得到结果．
【详解】（1）原式=9n2−4m2−4m2+12mn−9n2
=−8m2+12mn；
（2）原式=100+99×100−99+98+97×98−97+…+2+1×2−1
=100+99+98+97+96+……+1
=5050．
【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【题型4 利用乘法公式求值】
【例4】（2023春·山东济南·八年级统考期末）设 a=x−2022，b=x−2024，c=x−2023．若a2+b2=16，则c2的值是( )
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】根据完全平方公式得出ab=6，a−b=2，进而根据已知条件得出c2=(a−1)(b+1)，进而即可求解．
【详解】∵a=x−2022，b=x−2024，c=x−2023，
∴a−1=x−2023=c=b+1，a−b=2，
∵ a2+b2=16，
∴ (a−b)2+2ab=16，
∴ ab=6，
∴ c2=(a−1)(b+1)
=ab+a−b−1
=6+2−1
=7，
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，根据题意得出c2=(a−1)(b+1)是解题的关键．
【变式4-1】（2023春·广西贵港·八年级校考期末）若x−y−7=0，则代数式x2−y2−14y的值为 ．
【答案】49
【分析】先计算x−y的值，再将所求代数式利用平方差公式分解前两项后，将x−y的值代入化简计算，然后再代入计算即可求解．
【详解】解：∵x−y−7=0，
∴x−y=7，
∴x2−y2−14y
=x+yx−y−14y
=7x+y−14y
=7x+7y−14y
=7x−y
=49．
故答案为：49．
【点睛】本题主要考查因式分解的应用，通过平方差公式分解因式后整体代入是解题的关键．
【变式4-2】（2023春·湖南永州·八年级校考期中）（1）已知a+1a=3，求a2+1a2的值；
（2）已知a−b2=9，ab=18，求a2+b2的值．
【答案】（1）7；（2）45
【分析】（1）根据完全平方和公式恒等变形后，代值求解即可得到答案；
（2）根据完全平方差公式，代值求解即可得到答案．
【详解】解：（1）∵ a2+1a2=a+1a2−2，a+1a=3，
∴原式=32−2
=9−2
=7；
（2）∵a−b2=a2−2ab+b2，a−b2=9，ab=18，
∴ 9=a2−2×18+b2，解得a2+b2=9+2×18=45．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式，熟记完全平方和与完全平方差公式是解决问题的关键．
【变式4-3】（2023春·陕西西安·八年级校考期中）已知m满足3m−20152+2014−3m2=5．
(1)求2015−3m2014−3m的值．
(2)求6m−4029的值．
【答案】(1)−2
(2)±3
【分析】（1）原式利用完全平方公式化简，计算即可确定出原式的值；
（2）原式利用完全平方公式变形，计算即可得到结果．
【详解】（1）解：设a=3m−2015，b=2014−3m，
可得a+b=−1，a2+b2=5，
∵（a+b）2=a2+b2+2ab，
∴1=5+2ab，即ab=−2，
则2015−3m2014−3m=3m−20152014−3m=−ab=2；
（2）解：设a=3m−2015，b=2014−3m，可得6m−4029=3m−2015−2014−3m=a−b，
∵a−b2=a2+b2−2ab，
∴6m−40292=a−b2=a2+b2−2ab=5+4=9，
则6m−4029=±3．
【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．
【题型5 利用面积法验证乘法公式】
【例5】（2023春·八年级课时练习）如图，阴影部分是在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列2种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（ ）

A．①B．②C．①②D．①②都不能
【答案】C
【分析】分别在两个图形中表示出阴影部分的面积，继而可得出验证公式，即可得到答案．
【详解】解：在图①中，
左边的图形中阴影部分的面积为：a2−b2，
右边图形中的阴影部分的面积为：a+ba−b，
故可得：a2−b2=a+ba−b，可验证平方差公式，符合题意；
在图②中，
左边的图形中阴影部分的面积为：a2−b2，
右边图形中的阴影部分的面积为：a+ba−b，
故可得：a2−b2=a+ba−b，可验证平方差公式，符合题意；
故能够验证平方差公式的是：①②，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分的面积是解题的关键．
【变式5-1】（2023春·山东烟台·六年级统考期末）在下面的正方形分割方案中，可以验证a+b2=a−b2+4ab的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】用面积公式和作差法求小正方形、长方形的面积，令其与大正方形相等．
【详解】A、不能验证公式，该选项不符合题意；
B、可以验证a+b2=a2+2ab+b2，该选项不符合题意；
C、可以验证a+b2=a−b2+4ab，该选项符合题意；
D、可以验证a2=a−b2+2ab−b2，即a−b2=a2−2ab+b2，该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何验证，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式5-2】（2023春·福建宁德·八年级校联考期中）下列等式不能用如图所示的方形网格验证的是（ ）

A．a+b2=a2+2ab+b2
B．a+bb+c=ab+ac+b2+bc
C．a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
D．a+ba−b=a2−b2
【答案】D
【分析】利用图形面积直接得出等式，从而可选择．
【详解】解：等式a+b2=a2+2ab+b2是由边长为a+b的正方形推导而出，故A可验证，不符合题意；
等式a+bb+c=ab+ac+b2+bc是由长为b+c，宽为a+b的长方形推导而出，故B可验证，不符合题意；
等式a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc是由边长为a+b+c的正方形推导而出，故C可验证，不符合题意；
等式a+ba−b=a2−b2，图中找不到有关于a−b的面积，故D不可验证，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查多项式的乘法与图形面积．利用数形结合的思想是解题关键．
【变式5-3】（2023春·江西抚州·八年级统考期末）（1）课本再现：如图1，2是“数形结合”的典型实例，应用“等积法”验证乘法公式．图1验证的是______，图2验证的是______；
（2）应用公式计算：
①已知x+y=5，xy=−1，求x2+y2的值；
②求20222−2021×2023的值．

【答案】（1）a+b2=a2+b2+2ab，a2−b2=a+ba−b；（2）①27；②1
【分析】（1）根据图1中大正方形的面积为两个小正方形的面积与两个长方形的面积之和得到完全平方公式，根据图2中左右两边阴影部分的面积相等得到平方差公式；
（2）①利用x2+y2=x+y2−2xy进行计算即可；②利用平方差公式将2021×2023=2022−12022+1=20222−1化简即可．
【详解】解：（1）图1中，
边长为a的正方形的面积为a2，
边长为b的正方形的面积为b2，
长为a宽为b的长方形的面积为ab，
大正方形的边长为a+b，面积为a+b2，
∵大正方形的面积为两个小正方形的面积与两个长方形的面积之和，
∴a+b2=a2+b2+2ab
图2中，
左边阴影部分的面积为：a2−b2，
右边阴影部分的面积为：a+ba−b，
∵左右两边的阴影部分面积相等，
∴a2−b2=a+ba−b，
故答案为：a+b2=a2+b2+2ab，a2−b2=a+ba−b；
（2）① ∵ x+y=5，xy=−1，
∴x2+y2=x+y2−2xy=52−2×−1=27；
② 20222−2021×2023
=20222−2022−12022+1
=20222−20222−1
=1．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，熟练掌握a+b2=a2+b2+2ab，a2−b2=a+ba−b是解题的关键．
【题型6 乘法公式的应用】
【例6】（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，为了美化校园，某校要在面积为30平方米长方形空地ABCD中划出长方形EBKR和长方形QFSD，若两者的重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，现将图中阴影部分区域作为花圃，若长方形空地ABCD的长和宽分别为m和n，m>n，花圃区域AEGQ和HKCS总周长为14米，则m-n的值为（ ）
A．4米B．7米C．5米D．3.5米
【答案】B
【分析】根据长方形的周长及面积计算公式，可找出关于m，n的方程组，变形后可得出(m−n)2=49，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：依题意得：2(m−3)+2(n−3)=14①mn=30②，
由①可得：m+n=13，
∵(m−n)2=(m+n)2−4mn，
∴(m−n)2=49，
∴m−n=7或m−n=−7(不合题意，舍去)．
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，牢记(a±b)2=a2±2ab+b2是解题的关键．
【变式6-1】（2023春·陕西西安·八年级校考期中）我们知道，将完全平方公式a±b2=a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多数学问题．请你观察、思考，并解决以下问题：

(1)若m+n=9，mn=10，求m2+n2的值；
(2)如图，一农家乐准备在原有长方形用地（即长方形ABCD）上进行装修和扩建，先用长为120m的装饰性篱笆围起该长方形院子，再以AD、CD为边分别向外扩建正方形ADGH、正方形DCEF的空地，并在两块正方形空地上建造功能性花园，该功能性花园面积和为2000m2，求原有长方形用地ABCD的面积．
【答案】(1)61
(2)800m2
【分析】(1)利用完全平方公式代入计算即可；
(2)设CD=xm，AD=ym,由周长可得x+y=60, 由两块正方形的面积和为2000平方米，x²+y²=2000, 求xy即可.
【详解】（1）∵(m+n)²=m²+n²+2mn,m+n=9，mn=10,
∴m²+n²=(m+n)²−2mn=92−2×10=61,
（2）设CD=xm，AD=ym,
∵长方形ABCD的周长是120米,
∴2(x+y)=120,
即x+y=60,
又∵两块正方形的面积和为2000平方米，
∴x²+y²=2000,
∴xy=x+y2−x2+y22=602−20002=800，
答: 长方形ABCD的面积为800平方米.
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，适当的等式变形是解决问题的的关键.
【变式6-2】（2023春·湖南邵阳·八年级统考期中）如图，某校一块边长为2am的正方形空地是八年级四个班的清洁区，其中分给八年级（1）班的清洁区是一块边长为a−2bm的正方形．(0