中考数学一轮复习：专题4.7 动角旋转问题专项训练（华东师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习：专题4.7 动角旋转问题专项训练（华东师大版）（解析版），共90页。

考卷信息：
本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对线段中的动点问题的理解！
1．（2023上·四川成都·七年级统考期末）已知，OC是∠AOB内部的一条射线，且∠AOB=3∠AOC．

(1)如图1所示，若∠AOB=120°，OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，求∠MON的度数；
(2)如图2所示，∠AOB是直角，从点O出发在∠BOC内引射线OD，满足∠BOC−∠AOC=∠COD，若OM平分∠COD，求∠BOM的度数；
(3)如图3所示，∠AOB=x°，射线OP，射线OQ分别从OC，OB出发，并分别以每秒1°和每秒2°的速度绕着点O逆时针旋转，OP和OQ分别只在∠AOC和∠BOC内部旋转，运动时间为t秒．
①直接写出∠AOP和∠COQ的数量关系；
②若∠AOB=150°，当∠POQ=23∠BOP，求t的值．
【答案】(1)40°
(2)45°
(3)①∠COQ=2∠AOP；②t=20
【分析】（1）先求出∠AOC=40°，再根据角平分线的定义得到∠AOM=20°，∠AON=60°，由此即可得到答案；
（2）先求出∠AOC=30°，则∠BOC=60°，进一步求出∠COD=30°，由角平分线的定义得到∠COM=12∠COD=15°，进而可得∠BOM=∠BOC−∠COM=45°；
（3）①先求出∠AOC=13x°，∠BOC=23x°，根据题意可得∠COP=t°，∠BOQ=2t°，由此求出∠AOP=13x−t°，∠COQ=23x−2t°，则∠COQ=2∠AOP；②求出∠POQ=2x3−t°，∠BOP=2x3+t°，再由∠AOB=150°，∠POQ=23∠BOP，得到23x−t=232x3+t，把x=150代入方程求出t的值即可．
【详解】（1）解：∵∠AOB=3∠AOC,∠AOB=120°，
∴∠AOC=13×120°=40°，
∵OM平分∠AOC,ON平分∠AOB，
∴∠AOM=12∠AOC,∠AON=12∠AOB，
∴∠AOM=20°，∠AON=60°，
∴∠MON=∠AON−∠AOM=60°−20°=40°；
（2）解：∵∠AOB=90°，∠AOB=3∠AOC，
∴∠AOC=30°，
∴∠BOC=60°，
∵∠BOC−∠AOC=∠COD，
∴∠COD=60°−30°=30°，
∵OM平分∠COD，
∴∠COM=12∠COD=15°，
∴∠BOM=∠BOC−∠COM=45°；
（3）解：①∵∠AOB=3∠AOC，∠AOB=x°，
∴∠AOC=13x°，
∴∠BOC=23x°
由题意得：∠COP=t×1°=t°，∠BOQ=t×2°=2t°，
∴∠AOP=∠AOC−∠COP=13x−t°，∠COQ=∠BOC−∠BOQ=23x−2t°，
∴∠COQ=2∠AOP；
②由①知∠COP=t°，∠COQ=23x−2t°
∵∠POQ=∠COQ+∠COP，∠BOP=∠BOC+∠COP，
∴∠POQ=2x3−t°，∠BOP=2x3+t°，
∵∠AOB=150°，∠POQ=23∠BOP，
∴23x−t=232x3+t，
把x=150代入得：100−t=23100+t
解得t=20，
∴若∠AOB=150°，当∠POQ=23∠BOP时，t=20．
【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键．
2．（2022上·广东深圳·七年级深圳市宝安中学（集团）统考期末）如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺AOB的直角顶点O放在互相垂直的两条直线PQ、MN的垂足O处，并使两条直角边落在直线PQ、MN上，将△AOB绕着点O顺时针旋转α0°<α<180°．
(1)如图2，若α=26°，则∠BOP=______，∠AOM+∠BOQ=______；
(2)若射线OC是∠BOM的角平分线，且∠POC=β．
①△AOB旋转到图3的位置，∠BON=______．（用含β的代数式表示）
②△AOB在旋转过程中，若∠AOC=2∠AOM，则此时β=______．
【答案】(1)64°；180°
(2)①2β；②60°或36°
【分析】（1）根据∠BOP=180°−∠AOB−∠AOQ，以及角的和差计算即可；
（2）①先求∠BOP，再利用∠BON=∠BOP+∠PON得出结论；
②分两种情况讨论：当OB旋转到OP左侧时；当OB旋转到OP右侧时，解答即可．
【详解】（1）解：MN⊥PQ，
∴∠MOQ=∠MOP=90°，
∵α=26°，
∴∠AOQ=α=26°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOP=180°−∠AOB−∠AOQ=180°−90°−26°=64°；
∵∠AOM=∠MOQ−∠AOQ=90°−26°=64°，
∠BOQ=∠AOB+∠AOQ=90°+26°=116°，
∴∠AOM+∠BOQ=64°+116°=180°；
故答案为：64°；180°．
（2）解：①∵∠MOP=90°，∠POC=β，
∴∠MOC=90°−β，
∵射线OC是∠BOM的角平分线，
∴∠BOM=2∠MOC=290°−β=180°−2β，
∴∠BOP=90°−∠BOM=90°−180°+2β=2β−90°，
∵∠PON=90°，
∴∠BON=∠BOP+∠PON=2β−90°+90°=2β；
故答案为：2β；
②当OB旋转到OP左侧时，如图所示：
∵OC是∠BOM的角平分线，
∴∠BOC=∠MOC，
∵∠AOC=2∠AOM，
∴∠AOM=∠MOC，
∴∠BOC=∠MOC=∠AOM，
∵∠BOC+∠MOC+∠AOM=90°，
∴∠BOC=∠MOC=∠AOM=30°，
∴∠POC=β=∠MOP−∠MOC=90°−30°=60°；
当OB旋转到OP右侧时，如图所示：
设∠AOM=x，
∵∠AOC=2∠AOM=2x，
∴∠MOC=∠AOM+∠AOC=3x，
∵OC是∠BOM的角平分线，
∴∠BOC=∠MOC=3x，
∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=90°，
∴2x+3x=90°，
解得：x=18°，
∴∠MOC=3x=54°，
∴∠POC=β=90°−∠MOC=36°；
综上分析可知，β的值为：60°或36°．
故答案为：60°或36°．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，数形结合，分情况讨论是解题的关键．
3．（2023上·广东茂名·七年级统考期末）如图，∠AOB=∠EOF=90°，连接AB．
(1)用尺规作图法在射线OF上作OC=OB，在射线OE上取点D使CD=AB；
(2)连接CD，找一点P使它到四边形OBCD四个顶点的距离之和最小，并说明理由；
(3)设∠AOF=α，
①当α=42°28′时，求∠BOE的大小；
②当∠AOB绕点O旋转任意角度时，请用α表示∠AOF和∠BOE之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)①137°32′，②∠AOF+∠BOE=180°，见解析
【分析】（1）利用尺规：以点O为圆心，OB长为半径作弧，与OF交于点C，以点C为圆心，AB长为半径作弧，交OE与点D，点C、D即为所求；
（2）根据两点之间线段最短，即可找到点P；
（3）①结合图形及题意可得∠BOF=47°32′；代入∠BOE=∠BOF+∠EOF即可得出结果；
②根据各角之间的数量关系进行等量代换求解即可得答案．
【详解】（1）解：如图，OC，点D即为所求；
；
（2）解：点P即为所求；
因为两点之间线段最短，所以OP+OC+OB+OD=OC+BD最小；
∴点P到四边形OBCD四个顶点的距离之和最小．
（3）解：①∵∠AOF=α=42°28′时，
∴∠BOF=90°−42°28′=47°32′，
∴∠BOE=∠BOF+EOF=48°+90°=137°32′；
②当∠AOB绕点O旋转任意角度时，∠AOF+∠BOE=180°，理由如下：
∵∠AOB=∠EOF=90°，∠AOF=α，
∴∠BOF=90°−α，
∴∠BOE=∠EOF+∠BOF=90°+90°−α=180°−α，
∴∠AOF+∠BOE=α+180°−α=180°．
∴∠AOF+∠BOE=180°．
【点睛】本题主要考查了利用尺规作图，最短路线问题，角度计算等，理解题意，熟练掌握各个基本知识点是解题关键．
4．（2022上·福建莆田·七年级校联考期末）已知O为直线AB上一点，过点O向直线AB上方引两条射线OC，OD，且OC平分∠AOD
(1)若∠BOD∶∠AOD=4∶6，求∠AOC的度数．
(2)请在图1中画一条射线OE，使得OE平分∠BOD，并求此时∠COE的度数．
(3)将(2)中的射线OE绕O点旋转一定的角度，使得∠BOE=4∠DOE，且∠COE=75°，求此时∠BOE的度数．
【答案】(1)∠AOC=54°
(2)∠COE=90°
(3)∠BOE= 40°或24°
【分析】（1）根据平角的定义，结合已知条件得出∠AOD=108°，然后根据角平分线的定义，即可求解．
（2）由角平分线的定义得出∠COD=12∠AOD，∠EOD=12∠BOD，∠COE=12∠AOD+∠BOD=90°．
（3）当射线OE在∠BOD内部时，设∠1=α，则∠2=4α，∠4=∠3=(75°−α)，根据平角的定义列等式求出结果即可，当射线OE在∠BOD外时，同理可得结论．
【详解】（1）解：∵∠BOD∶∠AOD=4∶6，且∠AOD+∠BOD=180°，
∴∠AOD=35×180°=108°，
∵OC平分∠AOD，
∴∠AOC=12∠AOD=54°；
（2）如图所示，OE即为所求
∵OC平分∠AOD，OE平分∠BOD，
∴∠COD=12∠AOD，∠EOD=12∠BOD，
∴∠COE=∠COD+∠EOD=12∠AOD+∠BOD=90°．
（3）当射线OE在∠BOD内部时，如图，设∠1=α，
根据题意得∠2=4∠1=4α．
∵∠COE=∠1+∠3=75°，
∴∠3=(75°−α)．
∵OC平分∠AOD，
∴∠4=∠3=(75°−α)，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴α+4α+75−α+75−α=180．
解得：α=10°．
∴∠2=4α=40°．
∴∠BOE= 40°．
当射线OE在∠BOD外时，如图
∵∠BOE=4∠DOE，
设∠DOE=α，则∠DOB=3α，
∴∠AOD=180°−∠DOB=180°−3α，
∵OC平分∠AOD，
∴∠COD=12∠AOD=90°−32α，
∴∠COE=∠COD−∠EOD=90°−32α−α=90°−52α，
∵∠COE=75°，
∴90°−52α=75°，
∴α=6°，
∴∠BOE=4α=24°，
综上所述，∠BOE=40°或24°．
【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．
5．（2023上·江苏南京·七年级校考期末）如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠BOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
(1)如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边OM在∠BOC的内部，且OM恰好平分∠BOC．此时∠AOM= 度；
(2)如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明你的理由；
(3)将图1中的三角板绕点O按每秒12°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，若直线ON恰好平分∠AOC，则此时三角板绕点O旋转的时间是多少秒？
(4)将图1中的三角板绕点O按每秒12°的速度沿逆时针方向旋转，同时射线OC绕点O以每秒2°的速度沿逆时针方向旋转，旋转30秒后都停止．在旋转的过程中，若直线ON恰好平分∠AOC，则此时三角板绕点O旋转的时间是 秒．（直接写出答案）
【答案】(1)120
(2)∠AOM−∠NOC=30°，理由见解析
(3)5秒或20秒
(4)6011秒或24011秒
【分析】（1）先根据角平分线的定义得到∠BOM=60°，再根据平角的定义即可得到∠AOM=180°−∠BOM=120°；
（2）先根据平角的定义求出∠AOC=60°，再由∠AON=∠NOM−∠AOM=∠AOC−∠NOC即可得到结论；
（3）设三角板绕点O旋转的时间是t秒，先求出∠AOC=60°，然后分当ON在∠AOC外部时，当ON在∠AOC内部时，两种情况求出对应的旋转角度，然后建立方程求解即可；
（4）设三角板绕点O旋转的时间是m秒，先求出∠AOC=60°−m°，然后分当ON在∠AOC外部时，当ON在∠AOC内部时，两种情况求出对应的旋转角度，然后建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵OM恰好平分∠BOC，∠BOC=120°
∴∠BOM=12∠BOC=60°，
∴∠AOM=180°−∠BOM=180°−60°=120°．
故答案为：120；
（2）解：∠AOM−∠NOC=30°，理由如下：
∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=180°−∠BOC=60°，
∵∠AON=∠NOM−∠AOM=∠AOC−∠NOC，
∴90°−∠AOM=60°−∠NOC，
∴∠AOM−∠NOC=30°；
（3）解：设三角板绕点O旋转的时间是t秒，
∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=180°−∠BOC=60°，
当ON在∠AOC外部时，如图1所示，
∵直线NH平分∠AOC，
∴∠AOH=12∠AOC=30°，
∴∠BON=∠AOH=30°，
∴此时的旋转角度为90°−30°=60°，
∴12t=60，
解得t=5；
当ON在∠AOC内部时，如图2所示，
∵ON恰好平分∠AOC，
∴∠CON=12∠AOC=30°，
∴此时旋转的角度为90°+120°+30°=240°，
∴12t=240，
解得t=20；
综上所述，当直线ON恰好平分∠AOC，此时三角板绕点O旋转的时间是5秒或20秒；
（4）解：运动时间为m秒时，直线ON恰好平分∠AOC，
∴∠AOC=60°−2m°，
当ON在∠AOC外部时，如图3所示，
∵直线NH平分∠AOC，
∴∠AOH=12∠AOC=30°−m°，
∴∠BON=∠AOH=30°−m°，
∴此时的旋转角度为90°−30°−m°=60°+m°，
∴12m°=60°+m°，
解得m=6011；
当ON在∠AOC内部时，如图4所示，
∵ON恰好平分∠AOC，
∴∠CON=12∠AOC=30°−m°，
∴此时旋转的角度为90°+120°+30°−m°+2m°=240°+m°，
∴12m=240+m，
解得m=24011；
综上所述，当直线ON恰好平分∠AOC，此时三角板绕点O旋转的时间是6011秒或24011秒．
【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
6．（2023上·内蒙古通辽·七年级校考期末）【阅读理解】如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有两个角的度数之比为1:2，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．
(1)∠AOB的角平分线 这个角的“幸运线”（填“是”或“不是”）；
(2)若∠AOB=120°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC= ．
(3)如图②，已知∠AOB=150°，射线OP从OA出发，以20°/s的速度顺时针方向旋转，射线OQ从OB出发，以10°/s的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当其中一条射线旋转到与∠AOB的边重合时，运动停止，设旋转的时间为t（s），直接写出当t为何值时，射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的“幸运线”？
【答案】(1)是
(2)60°或40°或80°
(3)满足条件的t的值为157或3或154或457或152
【分析】（1）根据“幸运线”的定义判断即可．
（2）有三种情形：①当OC是角平分线，②当∠AOC=2∠BOC时，③当∠AOC=12∠BOC时，分别求解即可．
（3）当OP在射线OA，OQ之间时，有三种情形：①当∠AOP=12∠POQ，②当∠AOP=∠POQ时，③当∠AOP=2∠POQ时，当OP在射线OA，OQ所构成角的外部时，分别构建方程求解即可．
【详解】（1）解：∠AOB是角平分线是∠AOB的“幸运线”．
故答案为是．
（2）解：有三种情形：①当OC是角平分线，此时∠AOC=12∠AOB=60°．
②当∠AOC=2∠BOC时，∠AOC=23∠AOB=80°．
③当∠AOC=12∠BOC时，∠AOC=13∠AOB=40°，
综上所述，满足条件的∠AOC的值为60°或40°或80°．
故答案为60°或40°或80°．
（3）解：由题意得：∠AOP=20°t,∠BOQ=10°t，
∵射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的“幸运线”，
∴当OP在射线OA，OQ之间时，则有∠POQ=150°−20°t−10°t=150°−30°t，如图所示，
则有三种情形：
①当∠AOP=12∠POQ，则有20t=12(150°−30t)，解得t=157．
②当∠AOP=∠POQ时，则有20t=150−30t，解得t=3．
③当∠AOP=2∠POQ时，则有20t=2(150−30t)，解得t=154．
当OP在射线OA，OQ所构成角的外部时，则有∠AOQ=150°−10°t，∠POQ=20°t−150°−10°t=30°t−150°，如图所示，
有两种情形：
①∠AOQ=2∠POQ，则有150−10t=2[20t−(150−10t)]，解得t=457，
②当∠AOQ=∠POQ时，则有150−10t=20t−(150−10t)，解得t=152．
③当∠POQ=2∠AOQ时，则有20t−(150−10t)=2(150−10t)，解得t=9（不符合题意，舍去）．
综上所述，满足条件的t的值为157或3或154或457或152．
【点睛】本题考查几何变换综合题，考查了动点问题，OC为∠AOB的“幸运线”的定义等知识，解题的关键是理解题意学会由分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
7．（2023上·江苏镇江·七年级统考期末）如图，∠AOB内部有一射线OC，OC⊥OA，∠AOC与∠BOC的度数比为3:2，射线OM从OA出发，以10度/秒的速度绕点O顺时针旋转，同时射线ON从OC出发以20度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当射线ON与射线OB重合后，立即以原速逆时针旋转，当ON与OC重合后再次改变方向顺时针向OB旋转（即ON在OC与OB之间来回摆动），当OM与OC重合时，OM与ON都停止旋转．旋转过程中设旋转的时间为t秒．
(1)t=1时，∠MON= °；
(2)当t为何值时，OC恰好是∠MON的平分线；
(3)在旋转的过程中，作∠CON的角平分线OP，是否存在某个时间段，使得∠MOP的度数保持不变？如果存在，求出∠MOP的度数，并写出对应的t的取值范围；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)100
(2)3或7
(3)存在，0≤t≤3时，∠MOP的度数保持不变，∠MOP=90°；6【分析】（1）当t=1时，∠AOM=10°，∠CON=20°，故∠COM=∠AOC−∠AOM=80°，即得∠MON=∠COM+∠CON=100°；
（2）OC⊥OA，∠AOC与∠BOC的度数比为3:2，知∠AOC=90°，∠BOC=60°，故ON从OC旋转到OB（或从OB旋转到OC)需要60°÷20°=3（秒），OM从OA旋转到OC需要90°÷10°=9（秒），当0≤t≤3时，90°−10°t=20°t；当3（3）当0≤t≤3时，∠MOP=∠COM+∠COP=90°−10°t+10°t=90°；当3【详解】（1）解：（1）当t=1时，∠AOM=10°，∠CON=20°，
∴∠COM=∠AOC−∠AOM=90°−10°=80°，
∴∠MON=∠COM+∠CON=100°；
故答案为：100；
（2）∵OC⊥OA，∠AOC与∠BOC的度数比为3:2，
∴∠AOC=90°，∠BOC=60°，
∴ON从OC旋转到OB (或从OB旋转到OC)需要60°÷20°=3（秒），OM从OA旋转到OC需要90°÷10°=9（秒），
当0≤t≤3时，∠COM=90°−10°t，∠CON=20°t，
∵OC恰好是∠MON的平分线，
∴90°−10°t=20°t，
解得t=3；
当3∵OC恰好是∠MON的平分线，
∴90°−10°t=60°−20°(t−3)，
解得t=3（舍去）；
当6∵OC恰好是∠MON的平分线，
∴90°−10°t=20°(t−6)，
解得t=7；
综上所述，当t为3或7时，OC恰好是∠MON的平分线；
（3）存在某个时间段，使得∠MOP的度数保持不变，理由如下：
当0≤t≤3时，∠COM=90°−10°t，∠CON=20°t，
∵OP平分∠CON，
∴∠COP=12∠CON=10°t，
∴∠MOP=∠COM+∠COP=90°−10°t+10°t=90°，
∴0≤t≤3时，∠MOP的度数保持不变，∠MOP=90°；
当3∵OP平分∠CON，
∴∠COP=12∠CON=60°−10°t，
∴∠MOP=∠COM+∠COP=90°−10°t+60°−10°t=150°−20°t，
∴3当6∵OP平分∠CON，
∴∠COP=12∠CON=10°t−60°，
∴∠MOP=∠COM+∠COP=90°−10°t+10°t−60°=30°，
∴6综上所述，0≤t≤3时，∠MOP的度数保持不变，∠MOP=90°；6【点睛】本题考查了角的和差，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，能应用分类讨论思想解决问题．
8．（2022上·贵州贵阳·七年级统考期末）已知 ∠AOB=90°,∠COD=60°，按如图①所示摆放，将OA,OC边重合在直线MN上，OB,OD边在直线MN的两侧．
(1)保持∠AOB不动，将∠COD绕点O旋转至如图②所示的位置，则∠AOC+∠BOD= ，∠BOC−∠AOD= ；
(2)若∠COD按每分钟5°的速度绕点O逆时针方向旋转，∠AOB按每分钟2°的速度也绕点O逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，设旋转时间为t分钟．
求∠MOC−∠AOD的大小（用t的代数式表示）；
(3)保持∠AOB不动，将∠COD绕点O逆时针方向旋转n°(n≤180°)，若射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，求∠EOF的大小．
【答案】(1)150°,30°
(2)(8t−60)°或(2t+60)°
(3)15°
【分析】（1）①将∠AOC+∠BOD转化为∠COD+∠AOB即可得；②依据∠BOC=∠AOB−∠AOC、∠AOD=∠COD−∠AOC，将原式转化为∠AOB−∠COD计算可得；
（2）设运动时间为t秒，0（3）设OC绕点O逆时针旋转n°，则OD也绕点O逆时针旋转n°，再分①射线OE、OF在射线OB同侧；②射线OE、OF在射线OB异侧，分别求解即可．
【详解】（1）①∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠AOD+∠AOB
=∠COD+∠AOB=60°+90°=150°，
②∠BOC−∠AOD=(∠AOB−∠AOC)−(∠COD−∠AOC)
=∠AOB−∠AOC−∠COD+∠AOC
=∠AOB−∠COD=90°−60°=30°；
故答案为：150°,30°；
（2）设旋转时间为t秒，则0①0∴∠MOC−∠AOD=(8t−60)°；
②20∴∠MOC−∠AOD=(2t+60)°；
（3）设OC绕点O逆时针旋转n°，则OD也绕点O逆时针旋转n°，
①0OE、OF在射线OB同侧，
∵∠AOB=90°,∠MOD=60°−n°，
∴∠BOD=∠AOB+∠MOD=150−n°，
∵OF平分∠BOD，
∴∠BOF=12(150−n)°，
∵∠MOC=n°，OE平分∠AOC，
∴∠MOE=12∠MOC=12n°
∴∠BOE=(90−12n)°，
∴∠EOF=∠BOE−∠BOF=15°；
②150°OE、OF在射线OB异侧，
∵∠AOB=90°,∠MOD=n°−60°，
∴∠BOD=∠MOD−∠AOB=n−150°，
∵OF平分∠BOD，
∴∠BOF=12(n−150)°，
∵∠MOC=n°，OE平分∠AOC，
∴∠MOE=12∠MOC=12n°
∴∠BOE=(90−12n)°，
∴∠EOF=∠BOE+∠BOF=15°．
综上，∠EOF=15°．
【点睛】本题考查了角的计算，解题的关键是掌握角的和差计算、角平分线的定义及分类讨论思想的运用．
9．（2023上·四川成都·七年级统考期末）在同一平面内，以点O为公共顶点的∠AOB和∠POQ，满足2∠AOQ=∠BOP，则称∠POQ是∠AOB的“二倍关联角”．已知∠AOB=60°（本题所涉及的角均小于平角）．
(1)如图1，若∠AOQ=45°，OQ在∠AOB内，且∠POQ是∠AOB的“二倍关联角”，则∠AOP= ；
(2)如图2，若射线OP、OQ同时从射线OB出发绕点O旋转，射线OP以10°/秒的速度绕点O逆时针方向旋转，到达直线BO后立即改为顺时针方向继续旋转，速度仍保持不变；射线OQ以6°/秒的速度绕点O逆时针方向旋转，射线OQ到达直线BO时，射线OP、OQ同时停止运动，设运动时间t秒，当t为何值时，∠POQ是∠AOB的“二倍关联角”；
(3)如图3，∠POQ保持大小不变，在直线BO上方绕点O旋转，若∠POQ是∠AOB的“二倍关联角”，设∠POQ=m°，请直接用含m的代数式表示∠BOP的大小．
【答案】(1)30°或150°；
(2)t=6011或24011；
(3)120°+2m3或2m+120°．
【分析】（1）根据“二倍关联角”的概念，得到∠BOP=90°，分两种情况讨论即可得到答案；
（2）分三种情况讨论：①当0≤t<10时；②当10（3）分三种情况讨论：①当∠POQ在∠AOB内部时；②当OA在∠POQ内部时；③当∠POQ在∠AOB外部时，利用“二倍关联角”的概念分别求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵∠POQ是∠AOB的“二倍关联角”，∠AOQ=45°，
∴∠BOP=2∠AOQ=2×45°=90°；
如图1−1，当OP在OB上方时，∠AOP=∠BOP−∠AOB=90°−60°=30°，
如图1−2，当OP在OB下方时，∠AOP=∠BOP+∠AOB=90°+60°=150°，
故答案为：30°或150°；
（2）解：①当0≤t<10时，∠AOQ=∠AOB−∠BOQ=60−6t，∠BOP=10t，
∵∠POQ是∠AOB的“二倍关联角”，
∴2∠AOQ=∠BOP，
∴2(60−6t)=10t，
∴t=6011，符合题意，
②当10∵∠POQ是∠AOB的“二倍关联角”，
∴2∠AOQ=∠BOP，
∴2(6t−60)=10t，
∴t=60 ，不符合题意，舍去；
当18∵∠POQ是∠AOB的“二倍关联角”，
∴2∠AOQ=∠BOP，
∴2(6t−60)=360−10t，
∴t=24011 ，符合题意，
综上可知，当t=6011或24011时，∠POQ是∠AOB的“二倍关联角”；
（3）解：①如图3−1，当∠POQ在∠AOB内部时，
∠BOP=2∠AOQ=2∠AOB−∠BOQ=260°−∠BOP−∠POQ=260°−∠BOP−m=120°−2∠BOP+2m，
解得：∠BOP=120°+2m3，
②如图3−2，当OA在∠POQ内部时，
∠BOP=2∠AOQ=2(∠AOB−∠BOQ)=2[60°−(∠BOP−∠POQ)]=2[60°−(∠BOP−m)]=120°−2∠BOP+2m，
解得：∠BOP=120°+2m3，
③如图3−3，当∠POQ在∠AOB外部时，
∠BOP=2∠AOQ=2∠BOQ−∠AOB=2∠BOP−∠POQ−60°=2∠BOP−m−60°=2∠BOP−2m−120°，
解得:∠BOP=2m+120°，
综上可知，∠BOP的大小为120°+2m3或2m+120°．
【点睛】本题考查了新定义——二倍关联角，利用分类讨论的思想，找准角度之间的数量关系是解题关键．
10．（2022上·江苏淮安·七年级淮阴中学新城校区校考期末）【阅读材料】：
如图1，将线段OA0放在直线MN上，然后将线段OA0绕点O按如下方式旋转：第1步，从OA0（OA0在OM上）开始先顺时针旋转锐角α至OA1；第2步，从OA1开始继续同向旋转2α至OA2；第3步，从OA2开始继续旋转3α至OA3，…．当转到ON位置时弹回，逆时针向OM位置旋转；当转到OM位置时再弹回，继续向ON位置旋转，…如此反复．

例如：当α=20°时， OA1，OA2，OA3，OA4的位置如图2所示，其中第4步旋转到ON后弹回，即∠A3ON+∠NOA4=80°．
【解决问题】：
(1)当α=15°时，OA1，OA2，OA3，OA4的位置如图3所示．
①∠A2OA3= ，∠A3OA4= ；
②求出∠A5ON的度数．
(2)当α<30°时, 且∠A2OA4=20°，则α的值为 ；
(3)若在整个旋转过程中， OA4是第一次经过弹回后而得到的位置，则α的范围是 ；（请用“＞”，“＜”，“≥”，“≤”进行表示）
【答案】(1)①45°；60°；②45°
(2)207；34013；38013
(3)18<α≤45
【分析】（1）①当α=15°时，利用∠A2OA3=3α，∠A3OA4=4α即可得到答案，
②先求出∠A4ON=180°−∠A0OA1−∠A1OA2−∠A2OA3−∠A3OA4=30°，即可得到∠A5ON=15°×5−30°=45°，
（2）分三种情况讨论即可得到答案；
（3）根据在整个旋转过程中，OA4是第一次经过弹回后而得到的位置，分情况讨论即可得到α的范围．
【详解】（1）解：①当α=15°时，∠A2OA3=3α=3×15°=45°，∠A3OA4=4α=4×15°=60°，
故答案为：45°；60°；
②∵∠A4ON=180°−∠A0OA1−∠A1OA2−∠A2OA3−∠A3OA4 =180°−15°−30°−45°−60°=30°，
∴∠A5ON=15°×5−30°=45°，
故答案为：45°
（2）①当OA3，OA4都不从ON弹回时，
则3α+4α=20，
∴α=207°，
②当OA4在OA2右边时，
则4α−180−6α+20+3α=180，
解得α=34013°
③当OA4在OA2左边时，
则4α−180−6α+α+2α−20=180，
解得α=38013°
综上可知，α的值为207°或34013°或38013°，
故答案为：207；34013；38013
（3）当OA4在OA3或OA3的右边时，
则0<4α−180−6α≤180−6α，
解得18<α≤452，
当OA4在OA3与 OA2之间时，
则180−6α<4α−180−6α<3α，
解得452<α<1807，
当OA4在OA2或者OA1与OA2之间时，
则3α≤4α−180−6α<5α，
解得1807≤α<36，
当OA4在OA1或OA0或OA0与OA1之间时，
则5α≤4α−180−6α≤6α，
解得36≤α≤45，
若在整个旋转过程中， OA4是第一次经过弹回后而得到的位置，则α的范围是18<α≤45，
故答案为：18<α≤45
【点睛】此题考查了角度的计算，理解题意正确列式是解题的关键．
11．（2023上·四川成都·七年级统考期末）如图1，A，O，B三点在一条直线上，且∠AOC=24°，∠BOD=78°，射线OM，ON分别平分∠AOD和∠BOD．如图2，将射线OA以每秒8°的速度绕点O逆时针旋转一周，同时将∠COD以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转，当射线OC与射线OB重合时，∠COD停止运动．设射线OA的运动时间为t秒．

(1)运动开始前，如图1，∠DON=______°，∠AOM=______°；
(2)旋转过程中，当t为何值时，射线OD平分∠BOM?
(3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得∠MON=42°？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)39，51
(2)t=5.4s
(3)存在，符合条件的t的值为12s或33s
【分析】（1）根据平角的定义求得∠AOD，再根据角平分线的定义直接计算即可；
（2）根据∠BOD=∠DOM列方程求解即可；
（3）分情况根据∠MON=42°列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵ A，O，B三点在一条直线上，∠AOC=24°，∠BOD=78°，
∴∠AOD=180°−∠BOD=180°−78°=102°，
∵ OM，ON分别平分∠AOD和∠BOD，
∴∠DON=12∠BOD=12×78°=39°，∠AOM=12∠AOD=12×102°=51°，
故答案为：39，51；
（2）解：∵射线OA以每秒8°的速度绕点O逆时针旋转一周，同时将∠COD以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转，
∴ ∠AOD=180°−78°+6°t−8°t=102°−2°t，
∵射线OM平分∠AOD，
∴ ∠DOM=12∠AOD=51°−t°，
∵ ∠BOD=78°−6°t，
∴ 51°−t°=78°−6°t，
∴ t=5.4s；
（3）解：存在某一时刻使得∠MON=42°，分以下几种情况：
情况一：若ON在OB上方，此时∠DOM+∠DON=42°，
即121022−2°t+1278°−6°t=42°，
解得t1=12s；
情况二：若ON在OB下方，此时∠DOM−∠DON=42°，
即1278°−2°t−126°t−78°=42°，
解得t2=9s（不符合题意，舍去）；
情况三：当∠COD停止运动时，OA继续旋转时，当OA旋转264°时，有∠MON=42°，
此时t=2648=33s．
综上所述，符合条件的t的值为12s或33s．

【点睛】本题主要考查一元一次方程的知识，角平分线的性质，根据角的关系列方程求解是解题的关键．
12．（2018下·江苏扬州·八年级阶段练习）解答下列问题．

(1)【探索新知】
如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．
①一个角的平分线 这个角的“巧分线”．（填“是”或“不是”）
②如图2，若∠MPN=α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ= ．（用含α的代数式表示出所有可能的结果）
(2)【深入研究】
如图2，若∠MPN=60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当与PQ与PN成180°时停止旋转，旋转的时间为t秒．
①当t为何值时，射线PM是∠QPN的“巧分线”．
②若射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止．请直接写出当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时t的值．
【答案】(1)①是；②12α或23α或13α
(2)①9s或18s或12s；②6s或4s或2.4s
【分析】（1）①根据巧分线定义即可求解；
②分3种情况，根据巧分线定义即可求解；
（2）①分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可；
②分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可．
【详解】（1）解：①一个角的平分线是这个角的“巧分线”；
故答案为：是
②∵∠MPN=α，
当PQ是∠MPN的角平分线时，
∴∠MPQ=12×α=12α；
当PQ是∠MPN三等分线时，∠MPQ较小时，
∴∠MPQ=13×α=13α；
当PQ是∠MPN三等分线时，∠MPQ较大时，
∴∠MPQ=23×α=23α；
故答案为：12α或13α或23α；
（2）解：①∵PM是∠QPN的“巧分线”，
∴PM在∠QPN内部，所以PQ转至PM左侧，
∵PQ与PN成180°时停止旋转，且∠MPN=60°，PQ旋转速度为10°/s．
∴6当∠MPN=2∠Q1PM时，如图所示：

10t=60+12×60，
解得t=9；
当∠MPN=∠QPN时，如图所示：

10t=2×60，
解得t=12；
当2∠MPN=∠Q2PN时，如图所示：

10t=60+2×60，
解得t=18．
∵9s或12s或18s均在6∴综上可得：当t为9s或12s或18s时，射线PM是∠QPN的“巧分线”；
②依题意有：PQ在∠MPN的内部，
∴∠QPN=10t，∠MPN=5t+60，
当∠QPN=13∠MPN时，如图所示：

10t=135t+60，
解得t=2.4；
②当∠QPN=12∠MPN时，如图所示：

10t=125t+60，
解得t=4；
③当∠QPN=23∠MPN时，如图所示：

10t=235t+60，
解得t=6．
∴当t为2.4s或4s或6s时，射线PQ是∠MPN的“巧分线”．
【点睛】本题是一道阅读理解型的题目，主要考查了角之间的数量关系，巧分线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力，解题的关键是理解“巧分线”的定义．
13．（2023下·上海长宁·六年级校联考期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图1，若∠COD=12∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角．

(1)如图1，∠AOB=70°，∠AOC=15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD=________；
(2)如图2，已知∠AOB=120°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α0°<α<60°得∠COD，当旋转角α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角；
(3)已知∠AOB=30°，把一块含有30°角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点O以5度/秒的速度按顺时针旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线OA、OB、OC、OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．
【答案】(1)20°
(2)当旋转角度α为40°时∠COB是∠AOD的内半角
(3)能，分别为2秒，18秒，54秒，70秒
【分析】（1）根据“内半角”的定义，可求出∠COD的度数，再根据∠BOD=∠AOB−∠AOC−∠COD，可得出结论；
（2）由旋转可分别求出∠BOC和∠AOD的度数，再根据“内半角”的定义，可列出等式120°−α=120°+α2，即可求出α的值；
（3）由旋转可知，分四种情况，分别进行讨论，根据“内半角”的定义，可求出对应的时间．
【详解】（1）解：如图1，∵∠AOB=70°，∠COD是∠AOB的内半角，

∴∠COD=12∠AOB=35°，
∵∠AOC=15°，
∴∠BOD=∠AOB−∠AOC−∠COD=70°−15°−35°=20°；
故答案为：20°．
（2）解：如图2，由旋转可知，∠AOC=∠BOD=α，

∴∠BOC=120°−α，∠AOD=120°+α，
∵∠COB是∠AOD的内半角，
∴∠COB=12∠AOD，即120°−α=120°+α2，
解得，α=40°；
（3）解：能，理由如下：
由旋转可知，∠AOC=∠BOD=5°t；根据题意可分以下四种情况：
①当射线OC在∠AOB内，如图4，

此时，∠BOC=30°−5°t，∠AOD=30°+5°t，
则∠COB是∠AOD的内半角，
∴∠COB=12∠AOD，即30°−5°t=12(30°+5°t)，
解得t=2（秒)；
②当射线OC在∠AOB外部，有以下两种情况，如图5，图6，
如图5，此时，∠BOC=5°t−30°，∠AOD=30°+5°t，

则∠COB是∠AOD的内半角，
∴∠COB=12∠AOD，即5°t−30°=12(30°+5°t)，
解得t=18（秒)；
如图6，此时，∠BOC=360°−5°t+30°，∠AOD=360°−5°t−30°，

则∠AOD是∠BOC的内半角，
∴∠AOD=12∠BOC，即360°−5°t−30°=12(360°−5°t+30°)，
解得t=54（秒)；
③当射线OD在∠AOB内，如图7，

此时，∠BOC=360°−5°t+30°，∠AOD=30°−(360°−5°t)=5°t−330°，
则∠AOD是∠BOC的内半角，
∴∠AOD=12∠BOC，即5°t−330°=12(360°−5°t+30°)，
解得t=70（秒)；
综上，在旋转一周的过程中，射线OA、OB、OC、OD构成内半角时，旋转的时间分别为：2秒；18秒；54秒；70秒．
【点睛】本题属于新定义类问题，主要考查旋转中角度的表示，及角度的和差运算；由旋转正确表达对应的角是本题解题关键．
14．（2023上·甘肃兰州·七年级校考期末）如图，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板（∠M=30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．

(1)将图1中的三角板绕点O以每秒2°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，OM恰好平分∠BOC．求t的值；并判断此时ON是否平分∠AOC？说明理由；
(2)在（1）的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，那么经过多长时间OC平分∠MON？请说明理由．
【答案】(1)t=152；ON平分∠AOC，理由见解析
(2)t的值为154或3152
【分析】（1）根据∠AOC的度数求出∠COM的度数，根据互余得出∠CON的度数，进而求出时间t即可；根据题意和图形得出∠AON+∠BOM=90°，∠CON+∠COM=90°，再根据∠BOM=∠COM，即可得出ON平分∠AOC；
（2）根据题意和图形得出∠CON=∠COM=45°，再根据旋转求出结果即可．
【详解】（1）解：旋转前∠MOC=90°−∠AOC=60°,
当OM平分∠BOC时，∠MOC=12∠BOC=180°−30°2=75°，
则2t=75−60,
解得：t=152，
结论：ON平分∠AOC,
理由：∵∠CON=90°−∠MOC=90°−75°=15°，
又∵∠AOC=30°，
∴∠AOC=2∠CON,
∴ON平分∠AOC；
（2）解：∠MOC=∠AOM−∠AOC=2t+90°−30°+6t=60°−4t
若OC平分∠MON，

则 ∠MOC=12∠MON=12×90°=45°，
∴60−4t=45，
∴t=154，
当OC停止时, OC平分∠MON, 则有2t=360−45,

∴t=3152,
综上所述，满足条件的t的值为154或3152．
【点睛】本题考查角平分线的定义、角的和差定义等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题.
15．（2022上·河南郑州·七年级郑州外国语中学校联考期末）如图1，点O是弹力墙MN上一点，魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转，当转到ON位置时，从ON位置弹回，继续向OM位置旋转；当转到OM位置时，再从OM位置弹回，继续转向ON位置，…，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：第1步，从OA0（OA0在OM上）开始旋转α至OA1；第2步，从OA1开始继续旋转2α至OA2；第3步，从OA2开始继续旋转3α至OA3，…．例如：当α=30°时，OA1，OA2，OA3，OA4的位置如图2所示，其中OA3恰好落在ON上，∠A3OA4=120°；当α=20°时，OA1，OA2，OA3，OA4，OA5的位置如图3所示，其中第4步旋转到ON后弹回，即∠A3ON+∠NOA4=80°，而OA5恰好与OA2重合．

解决如下问题：
(1)若α=45°，在图4中借助量角器画出OA2，OA3，其中∠A3OA2的度数是______；
(2)若α<40°，且OA3所在的射线平分∠A2ON，求出α的值；
(3)若α<35°，是否存在对应的α值使∠A2OA4=30°？若存在直接写出对应的α值，若不存在请说明理由．
【答案】(1)45°
(2)对应的α值是20°或36°．
(3)存在，对应的α值是307°或1507°或30°．
【分析】（1）根据题意，明确每次旋转的角度，计算即可；
（2）根据各角的度数，找出等量关系式，列出方程，求出α的度数即可；
（3）类比第（2）小题的算法，分三种情况讨论，求出α的度数即可．
【详解】（1）解：如图1，

∠A3OA2=45°；
（2）解：①当魔法棒从OM位置绕点O顺时针旋转到OA3位置（不到ON位置），
即OA3不从ON回弹时，如图2．1所示．

∵OA3平分∠A2ON，
∴α+2α+3α+3α=180°，解得：α=20°．
②当魔法棒从OM位置绕点O顺时针旋转到ON被弹回到OA3位置（在ON与OA2之间），如图2所示．

由题意可知：∠A2ON+∠A3ON=3α．
∵OA3平分∠A2ON，
∴∠A2OA3=∠A3ON=α
∴α+2α+α+α=180°，解得：α=36°．
综上，对应的α值是20°或36°．
（3）解：分三种情况：
①OA4和OA3都不从ON回弹时，如图2，

3α+4α=30，
α=307°；
②OA4在OA2的右边时，如图3，

根据题意得：4α−180−6α+30=3α，
α=1507°；
③OA4在OA2的左边时，如图4，

根据题意得：4α−180−6α=3α+30，
α=30°；
综上，对应的α值是307°或1507°或30°．
【点睛】本题主要考查角度的计算的相关知识，可结合平角的性质及角度的加减进行计算分析．
16．（2023上·河南漯河·七年级统考期末）如图，∠AOB=90°,∠COD=60°．

(1)若OC平分∠AOD，求∠BOC的度数；
(2)渃∠BOC=114∠AOD，求∠AOD的度数；
(3)若射线OP从射线OB的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒12°的速度旋转，同时射线OQ从射线OA的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒9°的速度旋转，射线OP旋转的时间为t（单位：秒），且0【答案】(1)30°
(2)140°
(3)3或5
【分析】（1）利用角平分线的定义解答即可；
（2）设∠AOD=x，利用角的和差列出关于x的方程，解方程即可求得结论；
（3）利用分类讨论的思想方法，根据题意画出图形，用含t的代数式表示出∠AOP和∠QOP的度数，依据∠QOP=12∠AOP列出方程，解方程即可求得结论．
【详解】（1）解：∵OC平分∠AOD，
∴∠COD=∠AOC=12∠AOD，
∵∠COD=60°，
∴∠AOC=60°，
∴∠BOC=∠AOB−∠AOC=30°；
（2）解：设∠AOD=x，则∠BOC=114x，
∵∠AOD=∠AOB+∠BOD，∠BOD=∠COD−∠BOC，
∴∠AOD=∠AOB+∠COD−∠BOC，
∵∠AOB=90°，∠COD=60°，
∴∠AOD=150°−∠BOC，
∴x=150−114x，
解得：x=140°，
∴∠AOD的度数为140°．
（3）解：当射线OP与射线OQ未相遇之前，如图，

由题意得：∠AOQ=9t，∠BOP=12t，
∴∠AOP=90°−∠BOP=90°−12t，∠QOP=90°−∠AOQ−∠BOP=90°−21t，
∵∠QOP=12∠AOP
∴90°−21t=1290°−12t，
解得：t=3；
当射线OP与射线OQ相遇后且均在∠AOB内部时，如图，

由题意得：∠AOQ=9t，∠BOP=12t，
∴∠AOP=90°−∠BOP=90°−12t，∠QOP=∠BOP−∠BOQ=∠BOP−90°−∠AOQ=21t−90°，
∵∠QOP=12∠AOP
∴21t−90°=1290°−12t
解得：t=5；
综上所述，当∠QOP=12∠AOP时t=3或5．
【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，分类讨论的思想方法的应用，本题是新定义型题目，理解并熟练应用新定义是解题的关键．
17．（2023上·四川成都·七年级统考期末）如图，点O是直线MN上一点．将射线OM绕点O逆时针旋转，转速为每秒5°，得到射线OA；同时，将射线ON绕点O顺时针旋转，转速为OM转速的3倍，得到射线OB．设旋转时间为t秒（0≤t≤12）．

(1)当t=4秒时（如图1），求∠AOB的度数；
(2)当射线OA与射线OB重合时（如图2），求t的值；
(3)是否存在t值，使得射线OB平分∠AOM？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)100°
(2)9
(3)存在t值，使得射线OB平分∠AOM，t的值为727．
【分析】（1）当t=4时，∠AOM=20°，∠BON=60°，然后根据平角的列式求解即可；
（2）根据射线OA与射线OB重合时，列出方程求解即可；
（3）由射线OB平分∠AOM，得5t=2180−15t求解即可．
【详解】（1）解：当t=4时，∠AOM=4×5°=20°，∠BON=4×3×5°=60°，
∴∠AOB=180°−∠AOM−∠BON=100°，
∴当t=4秒时，∠AOB为100°．
（2）解：根据题意得：5t+3×5t=180，解得t=9，
∴当射线OA与射线OB重合时，t的值是9．
（3）解：存在t值，使得射线OB平分∠AOM，
如图：∵∠BON=3×5t°=15t°,
∴∠BOM=180°−15°t,
∵射线OB平分∠AOM，
∴5t=2180−15t，解得t=727，
∴t的值为727．

【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用、平角的定义、角的运用等知识点，解题的关键是读懂题意列出一元一次方程解决问题．
18．（2023上·湖北襄阳·七年级统考期末）如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿道时针方向以每秒6°的速度旋转，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为t(t的值在0到30之间，单位：秒)．

(1)当t=3时，求∠AOB的度数；
(2)在运动过程中，当∠AOB第二次达到60°时，求t的值；
(3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB与射线OA的夹角为90°？如果存在，请直接写出t的值：如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)150°
(2)24秒
(3)存在，9秒或27秒
【分析】（1）当t=3时，∠AOM=12°，∠BON=18°，根据平角减去∠AOM，∠BON即可求解；
（2）根据题意，当∠AOB第二次达到60°时，则4t+6t=180+60，解方程即可求解；
（3）当射线OB与射线OA第一次夹角为90°时，两条射线共旋转180°−90°=90°，当射线OB与射线OA第二次夹角为90°时，两条射线共旋转180°+90°=270°，分别解方程即可求解．
【详解】（1）解：当t=3时，∠AOM=3×4=12°，∠BON=3×6=18°，
所以∠AOB=180°−12°−18°=150°，
答：∠AOB的度数是150°；
（2）根据题意，当∠AOB第二次达到60°时，
4t+6t=180+60，解得t=24，
答：当∠AOB第二次达到60°时，t的值是24秒；
（3）存在这样的t，使得射线OB与射线OA的夹角为90°，理由如下：
当射线OB与射线OA第一次夹角为90°时，两条射线共旋转180°−90°=90°，
所以4t+6t=90，解得t=9；
当射线OB与射线OA第二次夹角为90°时，两条射线共旋转180°+90°=270°，
所以4t+6t=270，解得t=27，综上所述，t的值是9秒或27秒．
【点睛】本题考查了结合图形中的角度计算，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键．
19．（2023上·湖南长沙·七年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）已知O为直线AB上一点，射线OD，OC，OE位于直线AB的下方且互不重合，OD在OE的右侧，∠BOC=120°，∠DOE=α．
(1)如图1，α=80°，当OD平分∠BOC时，求∠AOE的度数；
(2)如图2，若∠DOC=2∠BOD，且α<80°，求∠BOE的度数；（用含α的代数式表示）
(3)如图3，点M在射线OA上，把射线OM绕点O从OA开始以5度/秒的速度逆时针旋转至OB结束，在旋转过程中，设运动时间为t，射线ON是∠MOC的四等分线，且3∠CON=∠MON，请求出在运动过程中4∠AON+∠BOM的值．
【答案】(1)40°
(2)40°+α
(3)4∠AON+∠BOM=360°
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠DOC=60°，进而求出∠COE=20°，再根据平角的定义即可得到答案；
（2）根据∠BOC=120°，∠DOC=2∠BOD求出∠BOD=40°，则∠BOE=∠BOD+∠DOE=40°+α；
（3）先求出∠AOC=60°，再分当0≤t<12时，如图3-1所示，当12【详解】（1）解：∵OD平分∠BOC，∠BOC=120°，
∴∠DOC=12∠BOC=60°，
∵∠DOE=α=80°，
∴∠COE=∠DOE−∠DOC=20°，
∴∠AOE=180°−∠BOC−∠COE=40°；
（2）解：∵∠BOC=120°，∠DOC=2∠BOD，
∴∠BOD=13∠BOC=40°，
∵∠DOE=α，
∴∠BOE=∠BOD+∠DOE=40°+α；
（3）解：∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=180°−∠BOC=60°，
当0≤t<12时，如图3-1所示，
∵射线OM绕点O从OA开始以5度/秒的速度逆时针旋转至OB结束，
∴∠AOM=5t°，
∴∠COM=∠AOC−∠AOM=60°−5t°，∠BOM=180°−∠AOM=180°−5t°
∵3∠CON=∠MON，
∴∠MON=34∠COM=45°−154t°，
∴∠AON=∠AOM+∠MON=45°+54t°
∴4∠AON+∠BOM=180°+5t°+180°−5t°=360°；
当12∵射线OM绕点O从OA开始以5度/秒的速度逆时针旋转至OB结束，
∴∠AOM=5t°，
∴∠COM=∠AOM−∠AOC=5t°−60°，∠BOM=180°−∠AOM=180°−5t°
∵3∠CON=∠MON，
∴∠CON=14∠COM=54t°−15°，
∴∠AON=∠AOC+∠CON=54t°+45°
∴4∠AON+∠BOM=180°+5t°+180°−5t°=360°；
综上所述，4∠AON+∠BOM=360°．
【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
20．（2023上·江苏泰州·七年级校考期末）已知∠AOB=2∠COD=140°，OE平分∠AOD．
(1)如图①，若∠COE=10°，求∠AOC的度数；
(2)将∠COD绕顶点O按逆时针方向旋转至如图②的位置，∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？请说明理由；
(3)将∠COD绕顶点O按逆时针方向旋转至如图③的位置，（2）中的关系是否成立？请说明理由．
【答案】(1)90°
(2)∠BOD=2∠COE，理由见解析
(3)不成立，理由见解析
【分析】（1）先求出∠COD的度数，根据∠DOE=∠EOC+∠COD，求出∠EOD，角平分线得到∠AOE=∠EOD，再利用∠AOC=∠AOE+∠COE，即可得解；
（2）设∠AOD=α，易得：∠BOD=140°−α，求出∠COE=∠AOC+∠AOE=70°−α+12α=70°−12α，即可得出结论；
（3）设∠AOD=α，则∠AOC=70°+α，∠BOD=360°−(140°+α)=220°−α，求出∠COE=∠AOC−∠AOE=70°+α−12α=70°+12α，进而得到∠BOD和∠COE的数量关系，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵∠AOB=2∠COD=140°，
∴∠COD=12∠AOB=70° ，
∴∠DOE=∠EOC+∠COD=80°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE=∠EOD=80°，
∴∠AOC=∠AOE+∠COE=90°；
（2）解：2∠COE=∠BOD；理由如下：
设∠AOD=α，则∠AOC=70°−α，∠BOD=140°−α，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE=∠EOD=12α，
∴∠COE=∠AOC+∠AOE=70°−α+12α=70°−12α，
∴2∠COE=140°−α=∠BOD；
（3）不成立，理由如下：
设∠AOD=α，则∠AOC=70°+α，∠BOD=360°−(140°+α)=220°−α
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE=∠EOD=12α，
∴∠COE=∠AOC−∠AOE=70°+α−12α=70°+12α，
∴2∠COE+∠BOD=140°+α+220°−α=360°；
∴（2）中的关系不成立．
【点睛】本题考查几何图形中角度的计算，正确的识图，理清角的和差关系，熟练掌握角平分线平分角，是解题的关键．
21．（2022上·安徽黄山·七年级统考期末）如图1，把一副三角板拼在一起，边OA、OC与直线EF重合，其中∠AOB=45°，∠COD=60°．此时易得∠BOD=75°．
(1)如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O以每秒5°的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板AOB一直在∠EOD的内部，设三角尺AOB运动时间为t秒．
①当t=2时，∠BOD= °；
②求当t为何值时，使得∠AOE=2∠BOD；
(2)如图3，在（1）的条件下，若OM平分∠BOE，ON平分∠AOD．
①当∠AOE=20°时，∠MON= °；
②请问在三角板AOB的旋转过程中，∠MON的度数是否会发生变化？如果发生变化，请叙述理由；如果不发生变化，请求出∠MON的度数．
【答案】(1)①65°；②10
(2)①37.5°；②不变化，37.5°
【分析】（1）①根据题意和角的和差进行求解即可；
②由∠AOE=2∠BOD，结合题意可得∠AOE+∠BOD=75°，从而得出∠BOD=25°，∠AOE=50°，进而求出时间t；
（2）①根据OM平分∠BOE，ON平分∠AOD，可得∠EOM=∠BOM=12∠EOB,∠AON=∠DON=12∠AOD，则可以将∠MON=∠MOB+∠BON整理为∠MON=12(∠EOA+∠BOD)，进而得出答案；
②根据OM平分∠BOE，ON平分∠AOD，可得∠MOE=12∠AOE+22.5°，∠NOD=60°−12∠AOE，进而推导出∠MON=120°−12∠AOE−22.5°−60°+12∠AOE，继而得出答案．
【详解】（1）解：①当t=2时，∠AOE=5°×2=10°，
∴∠BOD=75°−10°=65°，
故答案为：65°；
②∵∠AOE=2∠BOD，∠AOE+∠BOD=75°
∴∠BOD=25°，
∴∠AOE=50°，
∴t=50°5°=10秒，
∴当t为10秒时，∠AOE=2∠BOD；
（2）①∵OM平分∠BOE，ON平分∠AOD，
∴∠EOM=∠BOM=12∠EOB,∠AON=∠DON=12∠AOD，
∴∠MON=∠MOB+∠BON
=12∠EOB+∠BOD−∠DON
=12(∠EOA+∠AOB)+∠BOD−12∠AOD
=12∠EOA+12∠AOB+∠BOD−12(∠AOB+∠BOD)
=12∠EOA+12∠AOB+∠BOD−12∠AOB−12∠BOD
=12(∠EOA+∠BOD)
=12×75°
=37.5°，
故答案为：37.5°；
②∠MON的度数不发生变化，
理由：∵OM平分∠BOE，
∴∠MOE=12∠BOE=12(∠AOE+∠AOB)=12∠AOE+22.5°，
∵ON平分∠AOD，
∴∠NOD=12∠AOD=12(180°−∠DOC−∠AOE)，
=12(120°−∠AOE)=60°−12∠AOE，
∵∠MON=180°−∠DOC−∠MOE−∠NOD，
∴∠MON=120°−(12∠AOE+22.5°)−(60°−12∠AOE)，
=120°−12∠AOE−22.5°−60°+12∠AOE
=37.5°．
【点睛】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义，读懂题意，能准确得出相应角的数量关系是解本题的关键．
22．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC:∠BOC=1:3，将一直角三角板的直角顶点放在点О处，一边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的下方．
(1)∠BOC=___________度；
(2)将图1中的三角板绕点О按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时三角板旋转的角度为___________度；
(3)在（2）旋转过程中，当旋转至图3的位置时，使得OM在∠BOC的内部，ON落在直线AB下方，试写出∠COM与∠BON之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)135
(2)180
(3)∠COM−∠BON=45°，见解析
【分析】（1）根据∠AOC:∠BOC=1:3及邻补角可进行求解；
（2）根据OM的初始位置和旋转后在图2的位置进行分析；
（3）依据已知先计算出∠BOC=135°，则∠MOB=135°−MOC，根据∠BON与∠MOB互补，则可用∠MOC表示出∠BON，从而发现二者之间的等量关系．
【详解】（1）解：∵∠AOC:∠BOC=1:3，∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠BOC=34×180°=135°；
故答案为135；
（2）解：OM由初始位置旋转到图2位置时，在一条直线上，所以旋转了180°．
故答案为180；
（3）解：∵∠AOC:∠BOC=1:3，
∴∠BOC=180°×34=135°．
∵∠MOC+∠MOB=135°，
∴∠MOB=135°−∠MOC．
∴∠BON=90°−∠MOB=90°−(135°−∠MOC)=∠MOC−45°．
即∠COM−∠BON=45°．
【点睛】本题主要考查了角之间的和差关系，解题时一定要结合图形分析题目．
23．（2023上·广东广州·七年级统考期末）如图1，已知OC是∠AOB内部的一条射线，M，N分别为OA，OB上的点，线段OM，ON同时开始旋转，线段OM以30度/秒的速度绕点O顺时针旋转，线段ON以10度/秒的速度绕点O逆时针旋转，当OM旋转到与OB重合时，线段OM，ON都停止旋转．设OM旋转的时间为t秒．
(1)若∠AOB=150°，则
①填空：当t=1时，∠MON=______；当t=4时，∠MON=______．
②若OC是∠AOB的平分线，当t为何值时，∠NOB与∠COM中的一个角是另一个角的2倍？
(2)如图2，若OM，ON分别在∠AOC，∠COB内部旋转时，总有∠COM=3∠CON，请填空：∠BOC∠AOB=______．
【答案】(1)①110°；10°；②t=32或157或3
(2)14
【分析】（1）①当t=1时，线段OM与ON未相遇，根据∠MON=∠AOB−∠AOM−∠BON计算即可；当t=4时，线段OM与ON已相遇过，根据∠MON=∠BON−∠AOB−∠AOM计算即可；
②分两种情况讨论，列出方程可求解；
（2）由∠COM=3∠CON，列出关于∠AOB，∠BOC的等式，即可求解．
【详解】（1）解：①当t=1时，如图，∠MON=150°−10°×1−30°×1=110°；
当t=4时，如图，∠MON=4×10°−150°−4×30°=10°，
故答案为：110°；10°；
②∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC=∠BOC=12∠AOB=75°，
若∠COM=2∠BON时，30t−75=2×10t，
∴t=32或t=7.5（不合题意舍去），
当∠BON=2∠COM时，230t−75=10t，
∴t=157或t=3，
综上所述：当t=32或157或3时，两个角∠NOB与∠COM中的其中一个角是另一个角的2倍．
（2）解：∵∠COM=3∠CON，
∴∠AOB−∠BOC−30t=3∠BOC−10t，
∴∠AOB=4∠BOC，
∴∠BOC∠AOB=14．
故答案为：14．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，几何图形中角的运算，解题的关键是利用角的和差关系列出算式及等式．
24．（2023上·广东珠海·七年级统考期末）如图1，把一副直角三角板的直角边BO和DO分别放在直线MN上，两个三角板分别在直线MN两侧，∠AOB=90°，∠COD=30°．
(1)在图1中，∠AOC=___________，∠BOC=___________；
(2)如图2，OE为射线，将三角板AOB绕点O旋转，使△AOB的一边OB恰好平分∠NOE．问：此时OA是否平分∠DOE？请说明理由；
(3)将图2中的三角板AOB绕点O旋转至图3的位置，使OA在∠DOC的内部．
①求∠COB+∠DOA的度数；
②求∠BOD−∠AOC的度数．
【答案】(1)120°，150°
(2)OA平分∠DOE，见解析
(3)①120°，②60°
【分析】对于（1），根据角的和差解答即可；
对于（2），根据角平分线定义得∠EOB=∠NOB，再根据等角的余角相等得∠AOE=∠AOD，进而得出答案；
对于（3）①，由题意得出∠COB+∠DOA =∠AOB+∠COA+∠AOD，再代入计算即可，②由题意得出∠BOD−∠AOC =∠AOB−(∠AOD+∠AOC)，代入计算即可．
【详解】（1）∠AOC=90°+30°=120°，∠BOC=180°−30°=150°．
故答案为：120°，150°；
（2）OA平分∠DOE，理由如下：
∵OB平分∠NOE，
∴∠EOB=∠NOB．
∵∠AOB=90°，
∴∠AOE+∠EOB=90°，∠AOD+∠NOB=180°−∠AOB=90° ，
则∠AOE=∠AOD，即OA平分∠DOE；
（3）①∠COB+∠DOA
=∠AOB+∠COA+∠AOD
=∠AOB+∠COA+∠AOD
=90°+30°
=120°；
②∠BOD−∠AOC
=∠AOB−∠AOD−∠AOC
=∠AOB−(∠AOD+∠AOC)
=90°−30°
=60°．
【点睛】本题主要考查了三角板中角的和差，角平分线定义等，弄清各角之间的数量关系是解题的关键．
25．（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）已知∠AOB=108°，∠COD=42°．OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．
(1)如图1，当OB，OC重合时，求∠AOE−∠BOF的值；
(2)如图2，当∠COD从图1所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒时（0(3)在（2）的条件下，当∠COF=18°时，求t的值．
【答案】(1)33°
(2)不变，∠AOE−∠BOF=33°是定值．
(3)2
【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得∠AOE=12∠AOC=12×108°=54°，∠BOF=12∠BOD=12×42°=21°，然后求解即可；
（2）首先由题意可得∠BOC=3t°，再根据角平分线的定义得出∠AOC=∠AOB+3t°=108°+3t°，∠BOD=∠COD+3t°=42°+3t°，然后由角平分的定义解答即可；
（3）根据题意可得∠BOF=3t+18°，得出3t+18=21+32t，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE=12∠AOC=12×108°=54°，∠BOF=12∠BOD=12×42°=21°，
∴∠AOE−∠BOF=54°−21°=33°；
（2）解：∠AOE−∠BOF=33°是定值．理由如下：
由题意：∠BOC=3t°，
则∠AOC=∠AOB+3t°=108°+3t°，∠BOD=∠COD+3t°=42°+3t°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE=12∠AOC=12108°+3t°=54°+32t°，
∠BOF=12∠BOD=1242°+3t°=21°+32t°，
∠AOE−∠BOF=54°+32t°−21°+32t°=33°．
∴∠AOE−∠BOF的值是定值，定值为33°；
（3）解：根据题意得：∠BOF=3t+18°，
∴3t+18=21+32t，
解得：t=2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了角度的计算以及角的平分线的定义，理解角度之间的和差关系是解题的关键．
26．（2023上·河北张家口·七年级统考期末）如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，∠COE=140°，将一直角三角板AOB的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒20°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．

(1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，求此时∠BOC的度数；
(2)若射线OC的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA、OC、OD中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请求出t的取值，若不存在，请说明理由；
(3)若在三角板开始转动的同时，射线OC也绕O点以每秒25°的速度逆时针旋转一周，从旋转开始多长时间，射线OC平分∠BOD．直接写出t的值．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）
【答案】(1)∠BOC=70°
(2)存在，t=1或4或16
(3)13或373或352
【分析】（1）先根据补角定义求出∠COD的度数，再根据角平分线的定义求出∠COA的度数，最后根据余角定义即可求出∠BOC的度数；
（2）分三种情况讨论，①当OA平分∠COD时，②当OC平分∠AOD时，③当OD平分∠AOC时，可分别求出t的值；
（3）设运动时间为t，分三种情况分别画出图形进行讨论，利用角平分线的定义列方程即可求出t的值．
【详解】（1）解：∵∠COE=140°，
∴∠COD=180°−∠COE=40°，
又∵OA平分∠COD，
∴∠AOC=12∠COD=20°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOC=90°−∠AOC=70°；
（2）存在，
当OA平分∠COD时，∠AOD=∠AOC=20°，

即20°t=20°，
解得：t=1；
当OC平分∠AOD时，∠AOC=∠DOC=40°，

即20°t−40°=40°，
解得：t=4；
当OD平分∠AOC时，∠AOD=∠COD=40°，

即360°−20°t=40°，
解得：t=16；
综上所述：t=1或4或16；
（3）∵OC平分∠BOD，
∴∠BOC=∠COD，
①设运动时间为t，如图，∠BOD=90°+20°t，∠COD=40°+25°t，

∴90+20t=240+25t时，
解得：t=13，
②如图，∠COD=360°−40°−25°t=320°−25°t，∠BOD=270°−20°t，

∴270−20t=2320−25t，
解得：t=373，
③当OC回到起始位置后，

∵OC平分∠BOD，
∴∠BOC=∠COD=40°， ∠BOD=80°，
∴t=360−1020=352，
所以t的值为 13或373或352．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，一元一次方程的应用，角的动态定义的理解，掌握分类讨论思想是关键．
27．（2022上·江西新余·七年级统考期末）[阅读理解]定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”，如图1，点P在直线l上，射线PR，PS，PT位于直线l同侧，若PS平分∠RPT，则有∠RPT=2∠RPS，所以我们称射线PR是射线PS，PT的“双倍和谐线”．
[迁移运用]
(1)如图1，射线PT_____（选填“是”或“不是”）射线PS，PR的“双倍和谐线”；射线PS_____（选填“是”或“不是”）射线PR，PT的“双倍和谐线”；
(2)如图2，点O在直线MN上，OA⊥MN，∠AOB=40°，射线OC从ON出发，绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．
①当射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”时，求t的值；
②若在射线OC旋转的同时，∠AOB绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线OD平分∠AOB，当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”时，求∠CON的度数．
【答案】(1)是；不是
(2)①t的值为52或352；②∠CON的度数为160°或172°
【分析】（1）利用“双倍和谐线”的定义结合图形进行判断即可；
（2）①由题意得：∠AOC=90°−4t，∠AOB=40°，利用分类讨论的思想方法分∠AOC=2∠AOB或∠AOB=2∠AOC两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论；
②由题意得：∠CON=4t，∠AON=90°+2t，∠AOD=20°，∠DON=∠AON−∠AOD=70°+2t，利用分类讨论的思想方法分∠COM=2∠COD或∠COD=2∠COM两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论．
【详解】（1）解：∵PS平分∠RPT，
∴∠TPR=2∠TPS，
∴射线PT是射线PS，PR的“双倍和谐线”；
∵PS平分∠RPT，
∴∠RPS=∠TPS，
∴射线PS不是射线PR，PT的“双倍和谐线”．
故答案为：是；不是．
（2）解：①由题意得：∠AOC=90°−4t，∠AOB=40°．
∵射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”，
∴∠AOC=2∠AOB或∠AOB=2∠AOC，
当∠AOC=2∠AOB时，如图所示：
则：90−4t=2×40，
解得：t=52；
当∠AOB=2∠AOC时，如图所示：
则：40=290−4t，
解得：t=352；
综上，当射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”时，t的值为52或352；
②由题意得：∠CON=4t，∠AON=90°+2t，∠AOD=20°，∠DON=∠AON−∠AOD=70°+2t，
∵当射线OC与射线OA重合时，运动停止，
∴此时∠AON=∠CON，
∴90+2t=4t，
∴t=45．
∴当t=45秒时，运动停止，此时∠AON=180°，
∵射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”，
∴∠COM=2∠COD或∠COD=2∠COM，
当∠COM=2∠COD时，如图所示：
即：180°−∠CON=2∠CON−∠DON，
则：180−4t=24t−70−2t，
解得：t=40，
∴∠CON=4°×40=160°；
当∠COD=2∠COM时，如图所示：
即：∠CON−∠DON=2180°−∠CON，
则：4t−70+2t=2180−4t，
解得：t=43，
∴∠CON=4°×43=172°；
综上，当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”时，∠CON的度数为160°或172°．
【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义是解题的关键．
28．（2023上·陕西宝鸡·七年级统考期末）如图，已知点O为直线AB上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．
(1)如图1，将三角板的一边ON与射线OB重合，过点O在三角板的内部，作射线OC，使∠BOC:∠MOC=2:1，则∠BOC=______．
(2)由（1）中的结论，如图2，将三角板绕点O按每秒10∘的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，ON所在的直线恰好平分锐角∠BOC，求此时t的值；
(3)将如图1所示的三角板MON绕点O逆时针旋转a0∘【答案】(1)60°
(2)t的值是3或21
(3)∠BOC=65α−36°
【分析】（1）根据角的倍分关系即可求解即可；
（2）根据ON所在的直线恰好平分锐角∠BOC列出关于t的方程求解即可；
（3）根据∠BON=α得到∠AON=180°−α，得到∠AOC=216°−65α，再根据平角的定义得到∠BOC的度数即可．
【详解】（1）解：∵∠BOC:∠MOC=2:1
∴∠MOC=90°×22+1=60°．
故答案为：60°；
（2）解：①射线ON平分∠BOC时，依题意有10t=12×60，解得t=3.
②射线ON反向延长线平分∠BOC时，如图，
由题意可知，10t−12×60=180，解得t=21．
故t的值是3或21．
（3）解：∵∠BON=α，
∴∠AON=180°−α，
∴∠AOC=∠AON+∠NOC=∠AON+15∠AON=65∠AON=216°−65α，
∴∠BOC=180°−∠AOC=65α−36°．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用、角的计算、余角和补角等知识点，熟练掌握角的和差倍分关系是解答本题的关键．
29．（2023上·山东济南·七年级校考期末）已知直线AB过点O，∠COD=90°，OE是∠BOC的平分线．
(1)操作发现：①如图 1，若∠AOC=40°，则∠DOE= °．
②如图1，若∠AOC=50°，则∠DOE= °．
③如图1，若∠AOC=α，则∠DOE= ．（用含α的代数式表示）
(2)操作探究：将图 1 中的∠COD绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，③中的结论是否成立？试说明理由．
(3)如图3，已知∠COD=60°，边OC、边OD分别绕着点O以每秒10°、每秒5°的速度顺时针旋转（当其中一边与OB重合时都停止旋转），求：运动多少秒后，∠COD=20°
【答案】(1)①20°；②25°；③12α
(2)成立；理由见详解
(3)t=8或t=16
【分析】（1）①②③如图1，根据平角的定义和角平分线的定义，求出∠EOB，∠DOB，利用角的差可得结论；
（2）由∠AOC=α，可得∠BOC=180°−α，则∠BOD=180°−∠AOC−∠COD=90°−α，根据OE平分∠BOC，可得∠BOE=12∠BOC=90°−12α；所以∠DOE=∠BOE−∠BOD=90°−12α−90°−α=12α．
（3）设t秒后∠COD=20°，可得10t−5t=60°−20°或10t−5t=60°+20°，即可解得t=8或t=16；
【详解】（1）∵∠AOC=40°，
∴∠BOC=180°−∠AOC=140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=12∠BOC=70°，
∴∠DOE=90°−∠COE=90°−70°=20°，
故答案为：20°；
②∵∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∵∠AOC=50°，
∴∠BOD=40°，
∴∠BOC=∠COD+∠BOD=90°+40°=130°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=12∠BOC=65°，
∴∠DOE=65°−40°=25°，
故答案为：25°；
③∠AOC=α，
∴∠BOC=180°−∠AOC=180°−α，
∴∠BOD=180°−∠AOC−∠COD=90°−α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=12∠BOC=90°−12α；
∴∠DOE=∠BOE−∠BOD=90°−12α−90°−α=12α．
故答案为12α．
（2）成立，理由如下：
设∠AOC=α，
∴∠BOC=180°−∠AOC=180°−α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=12∠BOC=90°−12α；
∴∠DOE=90°−∠COE=90°−90°−12α=12α．
∴③中所求出的结论还成立．
（3）设t秒后∠COD=20°，
根据题意得：可得10t−5t=60°−20°或10t−5t=60°+20°，
解得t=8或t=16，
经检验，t=8或t=16均符合题意，
答：运动t=8或t=16秒后，∠COD=20°；
【点睛】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线），解决本题的关键是由图形得到角度之间的关系．
30．（2021上·江苏苏州·七年级校考期末）定义：从一个角的顶点出发把这个角分成1:2的两个角的射线叫做这个角的一条三等分线．例如，如图①，∠BOC=2∠AOC，则OC是∠AOB的一条三等分线．显然，一个角的三等分线有两条．
(1)如图②，已知∠AOB=75°，OC、OD是∠AOB的两条三等分线，则∠COD的度数为 ；
(2)在（1）的条件下，若以点O为旋转中心将射线OD顺时针旋转n°(0①当OA恰好为∠COD′的三等分线时，求n的值；
②在旋转过程中，若∠COD′+∠AOD′>35°，求n的取值范围．
【答案】(1)25°
(2)①62.5；②0【分析】（1）由角的三等分线定义，即可计算；
（2）①分两种情况讨论，表示出有关的角，即可求n的值；②分两种情况，表示出有关的角，即可求出n的取值范围．
【详解】（1）解：∵∠AOB=75°，OC、OD是∠AOB的两条三等分线，
∴∠COD=13∠AOB=25°，
故答案为：25°；
（2）①当∠AOC=2∠AOD′时，
∴∠AOD′=12∠AOC=12×25°=12.5°，
∴∠DOD′=∠DOA+∠AOD′=50°+12.5°=62.5°．
当∠AOD′=2∠AOC时，
∴∠COD′=∠AOB=75°，
∴∠DOD′>75°，不符合题意，
∴n的值是62．5；
②当OD′在∠COD内部时，
∵∠COD′=∠COD−∠DOD′，
∴∠COD′=25°−n°，
∵∠AOD′=∠AOD−∠DOD′，
∵∠AOD′=50°−n°，
∴∠COD′+∠AOD′=75°−2n°，
当∠COD′+∠AOD′>35°时，
∴75°−2n°>35°，
∴n<20，
∴0当OD′在射线OA下方时，
∵∠COD′=∠DOD′−∠COD，
∴∠COD′=n°−25°，
∵∠AOD′=∠DOD′−∠AOD，
∴∠AOD′=n°−50°，
∴∠COD′+∠AOD′=2n°−75°，
当∠COD′+∠AOD′>35°时，
∴2n°−75°>35°，
∴n>55，
∴55∴n的取值范围是∴0【点睛】本题考查角的计算，有一定难度，关键是注意要分情况讨论．
31．（2022上·内蒙古鄂尔多斯·七年级统考期末）将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O．
(1)如图1，若∠AOD=35°，求∠BOC的度数；
(2)如图（1），求∠BOD+∠AOC的度数；
(3)如图（2）若三角板AOB保持不动，将三角板COD的边OD与边OA重合，然后将其绕点O旋转．试猜想在旋转过程中，∠AOC与∠BOD有何数量关系？请说明理由．
【答案】(1)∠BOC=35°；
(2)∠BOD+∠AOC=180°；
(3)∠AOC与∠BOD互补，理由见解析
【分析】（1）由于是两直角三角形板重叠，根据∠AOD的度数可得∠BOD，再根据∠DOC=90°可得∠BOC；
（2）再根据直角三角板的性质可直接得出结论；
（3）当分两种情况：∠AOB与∠DOC有重叠部分时和当∠AOB与∠DOC没有重叠部分时．
【详解】（1）若∠AOD=35°，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠BOD=90°−35°=55°，
∴∠BOC=90°−∠BOD=90°−55°=35°；
（2）∵∠BOD=∠AOB+∠COD−∠AOC，
∴∠BOD+∠AOC=∠AOB+∠COD=90°+90°=180°；
（3）∠AOC与∠BOD互补．
当∠AOB与∠DOC有重叠部分时，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°．
∵∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC，
∴∠AOC+∠BOD=180°，
当∠AOB与∠DOC没有重叠部分时，
∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD=360°，
又∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=180°．
【点睛】本题题主要考查了互补、互余的定义，垂直的定义以及三角形内角和定理等知识的综合运用，解决本题的关键是掌握：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角．
32．（2022上·广西钦州·七年级统考期末）已知OC是∠AOB内部的一条射线，M，N分别为OA，OC上的点，线段OM，ON同时分别以20°/s，10°/s的速度绕点O逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
(1)如图①，若∠AOB=120°，当OM、ON逆时针旋转到OM′、ON′处，
①若OM，ON旋转时间t=3时，则∠BON′+∠COM′= ___________ ；
②若OM′平分∠AOC，ON′平分∠BOC，求∠M′ON′的值；
(2)如图②，若∠AOB=3∠BOC，OM，ON分别在∠AOC，∠BOC内部旋转时，请猜想∠COM与∠BON的数量关系，并说明理由．
(3)若∠AOC=70°，OM，ON在旋转的过程中，当∠MON=20°，求t的值．
【答案】(1)①30，②60°
(2)∠COM=2∠BON，见解析
(3)5或9或27或31
【分析】（1）①先求出∠AOM′、CON′，再利用角的和差关系计算即可得解；②先由角平分线求出∠AOM′=∠COM′=12∠AOC，∠BON′=∠CON′=12∠BOC，再求出∠COM′+∠CON′=12∠AOB=12×120°=60°，即∠M′ON′=60°；
（2）设旋转时间为t，表示出∠CON、∠AOM，进而得到∠BON、∠COM的关系，再整理即可得解；
（3）设旋转时间为t，分四种情况讨论即可得解．
【详解】（1）解：①由角的旋转定义可得：∠AOM′=3×20°=60°，∠CON′=3×10°=30°，
∴∠BON′+∠COM′=120°−∠AOM′+∠CON′=30°，
②∵OM′平分∠AOC，ON′平分∠BOC，
∴∠AOM′=∠COM′=12∠AOC，∠BON′=∠CON′=12∠BOC，
∴∠COM′+∠CON′=12∠AOC+12∠BOC=12∠AOB=12×120°=60°，
即∠M′ON′=60°；
（2）∠COM=2∠BON，理由如下：
设∠BOC=x，则∠AOB=3∠BOC=3x，∠AOC=2x，
∵旋转t秒后，∠AOM=20t，∠CON=10t，
∴∠COM=2x−20t=2x−10t，∠NOB=x−10t，
∴∠COM=2∠BON；
（3）设旋转t秒后，
①当OM与ON重合之前时，如图，
可得：70°+10t−20t=20°，
解得：t=5；
②当OM与ON重合之后，且OM没有到达OA时，如图，
可得：20t−10t−70°=20°，
解得：t=9；
③当OM旋转一周后，ON没有经过OA时，如图，
10t+70°+20°=360°，
解得：t=27；
④当OM旋转一周后，ON经过OA后时，如图，
10t+70°−20°=360°，
解得：t=31．
综上所述，所求t的值为5或9或27或31．
【点睛】本题考查的是角的和差运算，角的旋转定义，理解题意，利用一元一次方程解题是关键．
33．（2022上·天津·七年级天津外国语大学附属外国语学校校考期末）如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图①放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．
(1)求∠DPC；
(2)如图②，若三角板PBD保持不动，三角板PAC的边PA从PN绕点P逆时针旋转一定角度，PF平分∠APD,PE平分∠CPD，求∠EPF．
(3)如图③，在图①基础上，若三角板PAC的边PA从PN开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，（当PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动），求∠CPD∠BPN的值．
(4)如图③，在图①基础上，若三角板PAC开始绕点P逆时针旋转，转速为5°/秒，同时三角板PBD绕点P逆时针旋转，转速为1°/秒，（当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，PC、PB、PD三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，直接写出旋转的时间．
【答案】(1)∠DPC=90°
(2)∠EPF=30°
(3)∠CPD∠BPN=12
(4)当旋转时间为15或1054秒时，其中一条射线平分另两条射线的夹角
【分析】（1）根据题意，结合图形，得出∠BPD+∠APC=90°，再根据平角的定义，得出∠DPC=90°，即可得出答案；
（2）设∠CPE=∠DPE=x，∠CPF=y，根据角平分线的定义，得出∠APF=∠DPF，再根据角之间的数量关系，得出∠DPF=2x+y，进而得出∠APF=2x+y，再根据角之间的数量关系，得出2x+y+y=60°，整理化简，可得：x+y=30°，再根据∠EPF=∠CPE+∠CPF=x+y，即可得出答案；
（3）根据题意，结合图形，可得：当PC转到与PM重合时，∠NPA=120°，再根据边PA的旋转速度，得出从开始旋转到停止旋转的时间，再根据旋转时间乘以旋转速度，得出∠MPB=80°，再根据当PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动，得出当停止旋转时，∠CPB=80°，再根据角之间的数量关系，即可得出结果；
（4）设t秒时，其中一条射线平方另外两条射线的夹角，分三种情况进行讨论，根据题意，分别建立时间t的一元一次方程，解出即可得出答案．
【详解】（1）解：∵两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的三角板，
∴∠BPD+∠APC=30°+60°=90°，
又∵PA、PB与直线MN重合，
∴∠DPC=180°−∠BPD+∠APC=180°−90°=90°；
（2）解：设∠CPE=∠DPE=x，∠CPF=y，
∵PF平分∠APD,PE平分∠CPD，
∴∠APF=∠DPF，
∵∠DPF=∠DPC+∠CPF=2x+y，
∴∠APF=2x+y，
∵∠APC=60°，
又∵∠APF+∠CPF=∠APC，
∴2x+y+y=60°，
∴x+y=30°，
∵∠EPF=∠CPE+∠CPF=x+y，
∴∠EPF=30°；
（3）解：∵当PC转到与PM重合时，∠NPA=180°−∠APC=180°−60°=120°，
又∵三角板PAC的边PA从PN开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，
∴边PA从开始绕旋转带停止的时间为：120°÷3°=40（秒），
∴当三角板PAC和三角板PBD同时逆时针旋转40秒时，都停止转动，
∴此时，三角板PBD的边PB从PM绕点P逆时针旋转了2°×40=80°，
即∠MPB=80°，
又∵当PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动，
∴当停止旋转时，∠CPB=80°，
∴∠CPD=∠CPB−∠DPB=80°−30°=50°，
∴∠BPN=180°−∠CPB=180°−80°=100°，
∴∠CPD∠BPN=50°100°=12；
（4）解：设t秒时，其中一条射线平方另外两条射线的夹角，
∵当PA与PM重合时，两三角板都停止转动，
∴t≤1805=36秒，
分三种情况讨论：
①当PC平分∠BPD时，
根据题意，可得：5t−t=90+12×30，
解得：t=1054<36，符合题意；
②当PB平分∠CPD时，
根据题意，可得：5t−t=90+2×30，
解得：t=752>36，不符合题意，
③当PD平分∠BPC时，
根据题意，可得：5t−t=90−30，
解得：t=15<36，符合题意，
综上所述，当旋转时间为15或1054秒时，其中一条射线平分另两条射线的夹角．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、角之间的和与差、图形的旋转、解一元一次方程，熟练掌握图形旋转的特征，找出等量关系列出方程是解本题的关键．
34．（2022上·河北石家庄·七年级统考期末）新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．
如图1，若射线OC，OD在∠AOB的内部，且∠COD=12∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角．
根据以上信息，解决下面的问题：
(1)如图1，∠AOB=70°，∠AOC=25°，若∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD= °；
(2)如图2，已知∠AOB=60°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0<α<60°）至∠COD．若∠COB是∠AOD的内半角，求α的值；
(3)把一块含有30°角的三角板COD按图3方式放置．使OC边与OA边重合，OD边与OB边重合．如图4，将三角板COD绕顶点O以3度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒，当射线OA、OB、OC、OD构成内半角时，直接写出t的值．
【答案】(1)10°
(2)20°
(3)t的值为103或30或90或3503
【分析】（1）根据题意算出∠COD的度数，利用∠BOD=∠AOB−∠AOC−∠COD即可算出∠BOD的度数；
（2）根据旋转性质可推出∠AOC=∠BOD=α和∠COD=∠AOB=60°，然后可用含有α的式子表示∠AOD和∠COB的度数，根据∠COB是∠AOD的内半角，即可求出α的值；
（3）根据旋转一周构成内半角的情况总共有四种，分别画出图形，求出对应t值即可．
【详解】（1）解：∵∠COD是∠AOB的内半角，∠AOB=70°，
∴∠COD=12∠AOB=35°，
∴∠BOD=∠AOB−∠AOC−∠COD=70°−25°−35°=10°，
故答案为：10°；
（2）解：由旋转性质可知：∠AOC=∠BOD=α，∠COD=∠AOB=60°，
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=α+60°，∠COB=∠AOB−∠AOC=60°−α，
∵∠COB是∠AOD的内半角，
∴∠AOD=2∠COB，即α+60°=2(60°−α)，
解得α=20°，
∴α的值为20°；
（3）解：①如图4所示，此时∠COB是∠AOD的内半角，
由旋转性质可知∠AOC=∠BOD=3t°，∠COD=∠AOB=30°，
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=3t°+30°，∠COB=∠AOB−∠AOC=30°−3t°，
∵∠COB是∠AOD的内半角，
∴∠AOD=2∠COB，即3t°+30°=2(30°−3t°)，
解得t=103；
②如图所示，此时∠BOC是∠AOD的半角，
由旋转性质可得∠AOC=∠BOD=3t°，∠COD=∠AOB=30°，
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=3t°+30°，∠BOC=∠AOC−∠AOB=3t°−30°，
∵∠BOC是∠AOD的内半角，
∴∠AOD=2∠BOC，即3t°+30°=2(3t°−30°)，
解得 t=30；
③如图所示，此时∠AOD是∠BOC的内半角，
由旋转性质可知 ∠AOC=∠BOD=360°−3t°，∠COD=∠AOB=30°，
∴△BOC=∠BOD+∠COD=390°−3t°，∠AOD=∠AOC−∠COD=330°−3t°，
∵∠AOD是∠BOC的内半角，
∴∠BOC=2∠AOD，即390°−3t°=2(330°−3t°)，
解得t=90；
④如图所示，此时∠AOD是∠BOC的内半角，
由旋转性质可知∠AOC=∠BOD=360°−3t°，∠COD=∠AOB=30°，
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=390°−3t°，∠AOD=∠COD−∠AOC=3t°−330°，
∵∠AOD是∠BOC的内半角，
∴∠BOC=2∠AOD，即390°−3t°=2(3t°−330°)，
解得 t=3503．
综上所述，当射线OA、OB、OC、OD构成内半角时，t的值为103或30或90或3503．
【点睛】本题主要考查了平面内角的相关计算，解题关键是理解内半角并根据旋转情况画出图形．
35．（2022上·贵州铜仁·七年级统考期末）沿河县某初中七年级的数学老师在课外活动中组织学生进行实践探究，用一副三角尺（分别含45°，45°，90°和30°，60°，90°的角）按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器180°刻度线重合，边AP与量角器0°刻度线重合，将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒10°的速度顺时针旋转，当边PB与180°刻度线重合时停止运动，设三角尺ABP的运动时间为t秒．
(1)当t=5时，∠BPD=__________°；
(2)若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒2°的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转．
①当t为何值时，边PB平分∠CPD；
②在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠BPD=2∠APC，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)85
(2)①当t=354时，边PB平分∠CPD；②当t=12512或t=354时，∠BPD=2∠APC．
【分析】（1）当t=5秒时，计算出边BP旋转的角度的大小即可得出结论；
（2）①如图1，根据PB平分∠CPD，利用角平分线的定义可得∠CPB=∠BPD=12∠CPD=30°，利用含t的代数式分别表示出∠MPB和∠BPD的度数，列出关于t的方程，解方程即可求解；
②设时间为t秒，则∠APM=10°t，∠DPN=2°t，分两种情况说明：Ⅰ）当PA在PC左侧时，如图2所示：Ⅱ）当PA在PC右侧时，如图3，根据旋转过程得出的角度的大小列出方程即可求得结论．
【详解】（1）解：当t=5秒时，由旋转知，边BP旋转的角度为：10°×5=50°，
∴∠BPD= 180°-（45°+50°）=85°，
故答案为：85；
（2）解：①如图1所示：
由题意得：∠MPB=10°t+45°，∠DPN=2°t．
∵PB平分∠CPD；
∴∠CPB=∠BPD=12∠CPD=30°，
由∠MPN=∠MPB+∠BPD+∠DPN=180°得：
10°t+45°+30°+2°t=180°，
解得，t=354，
∴当t=354时，边PB平分∠CPD；
②在旋转过程中，存在某一时刻使∠BPD=2∠APC．
∵运动时间为t秒，则∠APM=10°t，∠DPN=2°t，
Ⅰ）当PA在PC左侧时，如图2所示：
此时，∠APC=180°-10°t-60°-2°t=120°-12°t，
∠BPD=180°-45°-10°t-2°t=135°-12°t，
∵∠BPD=2∠APC，
∴135°-12°t=2（120°-12°t），
解得：t=354，
因为当t=354时，运动的情况刚好同解答图的图1，
此时∠BPD=30°，∠APC=15°，∠BPD=2∠APC．是成立的；
Ⅱ）当PA在PC右侧时，如图3所示：
此时，∠APC=10°t+2°t+60°-180°=12°t-120°，
∠BPD=180°-45°-10°t-2°t=135°-12°t，
∵∠BPD=2∠APC，
∴135°-12°t=2（12°t-120°），
解得：t=12512．
当PB在PD的右侧时，∠APC=12°t-120°，∠BPD=12°t-135°，
则12°t-135°=2（12°t-120°），
解得：t=354，
此时PB在PD的左侧，所以和假设情况矛盾，不符合题意，舍去．
综上所述，当t=12512或t=354时，∠BPD=2∠APC．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的变化，量角器的识别，角平分线的定义，角的计算，一元一次方程的应用，设运动的时间为t，用含t的代数式表示出∠APC与∠BPD的值是解本题的关键．
36．（2022上·湖北十堰·七年级统考期末）如图，已知∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=2∠AOD．
(1)求∠BOC的度数；
(2)若射线OA绕点O以每秒旋转10°的速度顺时针旋转，同时射线OD以每秒旋转5°的速度逆时针旋转，设旋转的时间为t秒0(3)若∠AOC绕点O以每秒旋转5°的速度逆时针旋转，同时∠BOD绕点O以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，设旋转的时间为t秒0【答案】(1)∠BOC=120°
(2)3或5
(3)不发生改变，其值为30°
【分析】（1）设∠AOD=x，从而可得∠AOC=∠BOD=90°−x，再根据角的和差可得∠BOC=180°−x，然后根据∠BOC=2∠AOD建立方程，解方程即可得；
（2）先分别求出射线OA与射线OD重合时、射线OA旋转至射线OD的初始位置时、射线OD旋转至射线OA的初始位置时t的值，再分三种情况讨论，分别建立方程，解方程即可得；
（3）先判断出在旋转的过程中，∠BOD一定在∠AOC的后面，再求出旋转t秒后，∠AOB,∠COD,∠BOC的度数，然后根据角平分线的定义求出∠BOM,∠CON的度数，最后根据∠MON=∠BOC−∠BOM−∠CON即可得出结论．
【详解】（1）解：设∠AOD=x，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD=90°−x，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=180°−x，
又∵∠BOC=2∠AOD，
∴180°−x=2x，
解得x=60°，
则∠BOC=180°−x=180°−60°=120°．
（2）解：当射线OA与射线OD重合时，
则10°t+5°t=60°，解得t=4，
当射线OA旋转至射线OD的初始位置时，t=60°10°=6，
当射线OD旋转至射线OA的初始位置时，t=60°5°=12，
因此，分以下三种情况：
①当0②当4③当6综上，当∠AOD=15°时t的值为3或5．
（3）解：当∠AOC与∠BOD重合时，
则10°t−5°t=90°，解得t=18>12，
∴当0∴旋转t秒后，∠AOB=5°t+90°−10°t=90°−5°t，∠COD=5°t+90°−10°t=90°−5°t，∠BOC=5°t+120°−10°t=120°−5°t，
∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD，
∴∠BOM=12∠AOB=45°−5°2t，∠CON=12∠COD=45°−5°2t，
∴∠MON=∠BOC−∠BOM−∠CON
=120°−5°t−(45°−5°2t)−(45°−5°2t)
=30°，
即在旋转的过程中，∠MON的度数不发生改变，其值为30°．
【点睛】本题综合考查了角的和差倍分问题、角平分线、一元一次方程的几何应用等知识点，正确分情况讨论，并建立方程是解题关键．
37．（2022上·浙江宁波·七年级统考期末）如图1, 已知∠AOB=120°，射线OP从OA位置出发，以每秒2°的速度按顺时针方向向射线OB旋转；与此同时， 射线OQ以每秒4°的速度，从OB位置出发按逆时针方向向射线OA旋转，到达射线OA后又以同样的速度按顺时针方向返回，当射线OP与射线OB 重合时，两条射线同时停止运动，设旋转时间为t（s）．
(1)当t=5时， 求∠POQ的度数；
(2)当OP与OQ重合时，求t的值；
(3)如图2，在旋转过程中， 若射线OC始终平分∠AOQ ，问：是否存在t的值， 使得 ∠POQ=∠COQ? 若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)∠POQ的度数为90°
(2)t的值为20或60
(3)存在，t的值为15或22.5或45
【分析】（1）根据题意可得：当t=5时，∠AOP=10° ，∠BOQ=20°，即可求解；
（2）分两种情况：当射线OQ没有到达射线OA，OP与OQ重合时，当射线OQ到达射线OA后返回，OP与OQ重合时，即可求解；
（3）分三种情况：当0【详解】（1）解：当t=5时，
∠AOP=2°×5=10° ，∠BOQ=4°×5=20°，
∵∠AOB=120°，
∴∠POQ=∠AOB−∠AOP−∠BOQ=90° ；
（2）解： 当射线OQ没有到达射线OA，OP与OQ重合时， ∠AOP+∠BOQ=∠AOB=120° ，
根据题意得：∠AOP=2°×t ，∠BOQ=4°×t，
∴2°×t+4°×t=120° ，
解得：t=20 ；
当射线OQ到达射线OA后返回，OP与OQ重合时，∠AOQ=∠AOP ，
根据题意得：∠AOQ=4°×t−120° ，∠AOP=2°×t ，
∴2°×t=4°×t−120°，
解得：t=60 ；
综上所述，当OP与OQ重合时， t的值为20或60；
（3）解：存在，t的值为15或22.5或45，使得 ∠POQ=∠COQ，理由如下：
由（2）得：当t=20时，OP与OQ第一次重合，当t=120°4°=30 时，OQ到达射线OA，当t=120°2°=60 时，射线OP与射线OB 重合，
当0∴∠POQ=120°−2°×t−4°×t=120°−6°×t ，∠AOQ=120°−4°×t ，
∵射线OC平分∠AOQ ，
∴∠COQ=12∠AOQ=60°−2°×t ，
∵∠POQ=∠COQ，
∴120°−6°×t=60°−2°×t，
解得：t=15 ；
如图，当20∴∠BOP=120°−2°×t,∠AOQ=120°−4°×t ，
∴∠POQ=6°×t−120° ，∠COQ=12∠AOQ=60°−2°×t ，
∵∠POQ=∠COQ，
∴6°×t−120°=60°−2°×t，
解得：t=22.5 ；
如图，当30∴∠BOP=120°−2°×t ，∠COQ=12∠AOQ=2°×t−60°，
∴∠POQ=120°−4°×t−120°−120°−2°×t=120°−2°×t ，
∴120°−2°×t=2°×t−60°，
解得：t=45 ；
综上所述，当t的值为15或22.5或45时，使得 ∠POQ=∠COQ．
【点睛】本题主要考查了有关角平线的计算，角的和与差，利用方程思想解答和分类讨论思想解答是解题的关键．
38．（2022上·重庆·七年级重庆八中校考期末）一副三角板按如图1所示放置，边OA,OC在直线MN上，∠AOB=60°,∠COD=45°．
(1)求图1中∠BOD的度数；
(2)如图2，将三角板AOB绕点O顺时针旋转，转速为5°/s，同时将三角板COD绕点O逆时针旋转，转速为10°/s，当OA旋转到射线ON上时，两三角板都停止转动．设转动时间为ts．
①在0②如图3，旋转过程中，作∠BOD的角平分线OE，当∠AOE=15°时．直接写出时间t的值．
【答案】(1)75°
(2)①2s；②t=11s或15s或35s．
【分析】（1）利用角的和差关系可得∠BOD=180°−∠AOB−∠COD,从而可得答案；
（2）①先求解OB,OD重合的时间，再画出图形，结合几何图形与角的和差关系列方程，再解方程即可；②分情况讨论：当015°, 当515°, 当915°, 当29≤t≤36时，利用角的和差关系列方程15t−495+15=12(15t−435)，再解方程即可，从而可得答案.
【详解】（1）解：∵ ∠AOB=60°,∠COD=45°，∠AOC=180°,
∴∠BOD=180°−∠AOB−∠COD=75°.
（2）解：①∵∠BOD=75°, 则OB,OD重合时的时间为：755+15=5（s），
当0∵OB⊥OC,
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°,
∴5t+10t=180−150,
解得：t=2,
所以当旋转2s时，OB⊥OC.
②当OA旋转到射线ON上时，t=1805=36（s），
当015°,
当OB,OC重合时，t=1205+10=8（s），OA,OD重合时，t=1355+10=9（s），如图，
所以当515°,
当OC,OA重合时，t=1805+10=12（s），如图，
当9∴∠MOA=5t,∠CON=10t,∠AOC=180°−15t,
∠MOD=180°−45°−10t=135°−10t,∠BON=180°−60°−5t=120°−5t,
∴∠BOD=180°−∠MOD−∠BON=15t−75°, ∠AOD=∠AOM−∠DOM=15t−135°,
∵OE平分∠BOD,∠AOE=15°,
∴∠AOE+∠AOD=12∠BOD,
∴15+15t−135=12(15t−75),
解得：t=11,
当OD,OM重合时，t=13510=13.5（s），
当12∴∠MOA=5t,∠CON=10t,∠AOC=15t−180°,
∠MOD=180°−45°−10t=135°−10t,∠BON=180°−60°−5t=120°−5t,
∴∠BOD=180°−∠MOD−∠BON=15t−75°, ∠AOD=∠AOM−∠DOM=15t−135°,
∵OE平分∠BOD,∠AOE=15°,
∴∠AOD−∠AOE=12∠BOD,
∴15t−135−15=12(15t−75),
解得：t=15, 不符合题意，舍去，
当OC,OM重合时，t=18010=18（s），
当13.5∴∠MOA=5t,∠CON=10t,∠AOC=15t−180°,
∠MOD=45°+10t−180°=10t−135°,∠BON=180°−60°−5t=120°−5t,
∴∠BOD=180°+∠MOD−∠BON=15t−75°, ∠AOD=∠AOM+∠DOM=15t−135°,
∵OE平分∠BOD,∠AOE=15°,
∴∠AOD−∠AOE=12∠BOD,
∴15t−135−15=12(15t−75),
解得：t=15,
如图，当OD,OB再次重合时，t=360+7515=29（s），
当18≤t<29时，∠AOE>15°,
如图，当OA,ON重合时，t=36（s）
当29≤t≤36时，
∴∠MOA=5t,∠AON=180°−5t,∠CON=360°−10t,∠AOC=∠AON+∠CON=540°−15t,
∠NOD=10t−135°−180°=10t−315°,∠BON=5t−120°,
∴∠BOD=∠DON+∠BON=15t−435°, ∠AOD=∠DON−∠AON=15t−495°,
∵OE平分∠BOD,∠AOE=15°,
∴∠AOD+∠AOE=12∠BOD,
∴15t−495+15=12(15t−435)
解得：t=35
综上：当∠AOE=15°时，t=11s或15s或35s．
【点睛】本题考查的是几何图形中角的和差关系，角的动态定义的理解，一元一次方程的应用，“数形结合与利用一元一次方程解决动态几何问题”是解本题的关键.
39．（2022上·广东佛山·七年级统考期末）如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板（∠M=30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．
(1)将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，OM恰好平分∠BOC．
①t的值是_________；
②此时ON是否平分∠AOC？说明理由；
(2)在（1）的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠MON？请说明理由；
(3)在（2）的基础上，经过多长时间，∠BOC=10°？请画图并说明理由．
【答案】(1)①5；②是，理由见解析
(2)5，理由见解析
(3)703秒或803秒，理由见解析
【分析】（1）①由∠AOC的度数，求出∠COM的度数，根据互余可得出∠CON的度数，进而求出时间t；
②根据图形和题意得出∠AON+∠BOM=90°，∠CON+∠COM=90°，再根据∠BOM=∠COM，即可得出ON平分∠AOC；
（2）根据图形和题意得出∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM=45°，再根据转动速度从而得出答案；
（3）需要分两种情况，当射线OC在直线AB上方时，在直线下方时两种情况，再根据旋转建立方程即可．
【小题1】解：①∵∠AON+∠BOM=90°，∠COM=∠MOB，
∵∠AOC=30°，
∴∠BOC=2∠COM=150°，
∴∠COM=75°，
∴∠CON=15°，
∴∠AON=∠AOC-∠CON=30°-15°=15°，
∴∠AON=∠CON，
解得：t=15°÷3°=5；
故答案为：①5；
②是，理由如下：
由上可知，∠CON=∠AON=15°，
∴ON平分∠AOC；
【小题2】经过5秒时，OC平分∠MON，理由如下：
∵∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM，
∵∠MON=90°，
∴∠CON=∠COM=45°，
∵三角板绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，射线OC也绕O点以每秒6°的速度顺时针旋转，
设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，
当OC平分∠MON时，∠CON=∠COM=45°，
∴∠AOC-∠AON=45°，
可得：30°+6t-3t=45°，
解得：t=5；
【小题3】根据题意，有两种情况，当射线OC在直线AB上方时，如图4①，当射线OC在直线直线AB下方时，如图4②，
则有30°+6t+10°=180°，或30°+6t-10°=180°，
解得t=703或803，
∴经过703秒或803秒时，∠BOC=10°．
【点睛】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键．
40．（2022上·福建厦门·七年级厦门一中校考期末）如图（1），∠BOC和∠AOB都是锐角，射线OB在∠AOC内部，∠AOB=α，∠BOC=β．（本题所涉及的角都是小于180°的角）
(1)如图（2），OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：
①当α=40°，β=70°时，∠COM=______，∠CON=______，∠MON=______；
②∠MON=______（用含有α或β的代数式表示）．
(2)如图（3），P为∠AOB内任意一点，直线PQ过点O，点Q在∠AOB外部：
①当OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度数为______；
②当OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度数为______；
（∠MON的度数用含有α或β的代数式表示）
(3)如图（4），当α=40°，β=70°时，射线OP从OC处以5°/分的速度绕点O开始逆时针旋转一周，同时射线OQ从OB处以相同的速度绕点O逆时针也旋转一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少分钟时，∠MON的度数是40°？
【答案】(1)35°，55°，20°，12α
(2)12α，180°−12α
(3)8分钟或48分钟时，∠MON=40°
【分析】（1）根据角平分线的定义判断即可；
（2）①根据∠MON=12∠POB+∠POA求解即可，②根据∠MON=12∠BOQ+∠QOA求解即可；
（3）分OP在∠AOB的外部和内部两种情况讨论，在外部时根据旋转的时间乘以速度等于∠POA+∠AOB+∠BOC，在内部时可以判断∠POM=35°，∠MON=∠POM−PON =40°．
【详解】（1）解：①∵ OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
当α=40°，β=70°时，∠COM= 12∠BOC=12β=35°，
∠CON= 12∠AOC=12(∠AOB+∠BOC)=12α+β=55°，
∠MON= ∠CON−COM=12α+β−12β=12α=20°
②∠MON =∠CON−COM=12α+β−12β=12α
故答案为：35°，55°，20°，12α
（2）解：①OM平分∠POB，ON平分∠POA，
∴ ∠MON=12∠POB+∠POA =12∠AOB=12α
②∵ OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，
∴ ∠MON=12∠BOQ+∠QOA =12360°−∠AOB=180°−12α
故答案为：12α，180°−12α
（3）解：根据题意∠POQ=∠BOC=β
∵ OM平分∠POQ，
∴∠POM=12∠POQ=12β=35°
如图1所示，当OP在∠AOB的外部时，
∵∠AON+∠PON=∠AOB+∠BOC+∠COP−∠MON，
∴∠AON+35°=70°+40°+5t°−40°，
∴∠AON=35°+5t°，
∵ON平分∠AOP，
∴∠AON=12∠AOB+∠BOC+∠COP=55°+5t2°，
∴35+5t=55+5t2，
解得t=8；
如图2所示，当OP在∠AOB的外部时，

∵∠MON的度数是40°，∠MON=∠PON+POM
∴∠PON=5°
∵ON平分∠AOP，
∴∠POA=2∠PON=10°
∴∠POC=∠BOC+∠AOB+∠AOP=120°
则OP旋转了360°−120°=240°
∴240÷5=48分
即48分钟时，∠MON的度数是40°；
如图3，当OP在∠AOB的内部时，
∵∠MON=∠POM−∠PON
即40°=35°−∠PON
∴∠PON=−5°
此情况不存在；
如图4所示，当OP在∠AOB的外部时，
∵∠MON=∠AOP−∠POM−∠AON，
∴70°+40°−360°−5t°−35°=70°+40°−360°−5t°2+40°，
∴110−360+5t−35=110−360+5t2+40，
∴5t−250=150，
解得t=80（舍去）；
综上所述，8分钟或48分钟时，∠MON=40°．
【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的意义，掌握角平分线的意义是解题的关键．