中考数学一轮复习：专题4.10 线段中的动点问题专项训练（华东师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习：专题4.10 线段中的动点问题专项训练（华东师大版）（解析版），共65页。

考卷信息：
本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对线段中的动点问题的理解！
1．（2023上·河北唐山·七年级校考期末）如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD=10cm，设点B的运动时间为t秒（0≤t≤10）．
(1)当t=2时，
①AB= cm；
②求线段CD的长度；
(2)用含t的代数式表示运动过程中AB的长；
(3)当BD=4cm时，求t的值；
(4)在运动过程中，若AB的中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由．
【答案】(1)①4；②3cm
(2)当0≤t≤5时，AB=2t；当5(3)3s或7s
(4)不变，5cm
【分析】（1）①根据AB=2t即可得出结论；
②先求出BD的长，再根据C是线段BD的中点即可得出CD的长；
（2）分两种情况进行讨论即可；
（3）根据时间＝路程÷速度计算即可；
（4）根据中点定义即可得出结论．
【详解】（1）解：①∵B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动，
∴当t=2时，AB=2t=2×2=4cm．
故答案为：4；
②∵AD=10，AB=4，
∴BD=AD−AB=10−4=6，
∵C是线段BD的中点，
∴CD=12BD=12×6=3cm．
∴线段CD的长度为3cm．
（2）∵B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动，
当点B从点A出发到点D时，t=10÷2=5，
∴当点B沿点A→D运动时，
这时：0≤t≤5，AB=2t；
当点B沿点D→A运动时，
这时：5（3）当点B沿点A→D运动时，AB=2t（0≤t≤5），
∴BD=AD−AB=10−2t，
又∵BD=4，
∴10−2t=4，
解得：t=3，
当点B沿点D→A运动时，AB=20−2t（5∴BD=AD−AB=10−20−2t=2t−10，
又∵BD=4，
∴2t−10=4，
解得：t=7，
综上所述，当BD=4cm时，求t的值为3s或7s；
（4）不变．
∵AB的中点为E，C是线段BD的中点，AD=10，
∴BE=12AB，BC=12BD，
∴EC=EB+BC
=12AB+12BD
=12AB+BD
=12AD
=12×10
=5cm，
即：EC的长为5cm．
【点睛】本题考查两点间的距离，线段的和与差，中点的定义，一元一次方程的应用，本题运用了分类讨论的方法．利用线段中点的定义及线段的和差得出相应的等量关系是解题关键．
2．（2023上·重庆南川·七年级统考期末）如图，直线l上有AB两点，AB=36cm，点O是线段AB上的一点，且OA=2OB．
(1)若点C是直线AB上一点，且满足AC=CO+CB，求CO的长；
(2)若动点P、Q分别从A、B两点同时出发，向右运动，点P的速度为3cm/s，点Q的速度为1cm/s．设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动．当t为何值时，2OP−OQ=8．
【答案】(1)4cm或36cm
(2)当t为4s或13.6s时，2OP−OQ=8
【分析】（1）根据AB=36cm，点O是线段AB上的一点，OA=2OB，设CO的长是x cm，当点C分别在线段AO上，线段OB上，线段AB的延长线上时，分别列出方程，解之即可得到答案；
（2）当运动时间为t s时，点P表示的数为3t−24，点Q表示的数为t+12，当点P与点Q重合时，即3t−24=t+12，得到t的值，然后分情况讨论，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵AB=36cm，OA=2OB，
∴OA+OB=3OB=AB=36cm，
解得，OB=12cm，OA=2OB=24cm，
设CO的长是x cm，依题意有：AC=CO+CB
①当点C在线段AO上时，24−x=x+12+x，解得，x=4；
②当点C在线段OB上时，24+x=x+12−x，解得，x=−12（舍去）；
③当点C在线段AB的延长线上时，24+x=x+x−12，解得，x=36，
故CO的长为4cm或36cm；
（2）解：当运动时间为t s时，点P表示的数为3t−24，点Q表示的数为t+12，
当3t−24=t+12时，t=18，
∴0≤t≤18．
∵2OP−OQ=8，
∴2|3t−24|−|t+12|=8，
当0⩽t<8时，有2×(24−3t)−(t+12)=8，解得，t=4；
当8≤t≤18时，有2×(3t−24)−(t+12)=8，
解得，t=13.6，
故当t为4s或13.6s时，2OP−OQ=8．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用和两点之间的距离，解题的关键是正确理解题意，弄清题中量的关系．
3．（2023·福建福州·七年级统考期末）（1）如图：若点C在线段AB上，线段AC＝10cm，BC＝6cm，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度；
（2）若点C在线段BA的延长线上，点M，N分别是AC，BC的中点，设BC﹣AC＝a，请根据题意画出图形，并求MN的长度（用含a的式子表示）；
（3）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，CP：CQ＝1：2？
【答案】（1）线段MN的长度是8cm；（2）MN＝12a，理由见解析；（3）当运动143或265时，CP：CQ＝1：2
【分析】（1）根据题意结合图形得出MN＝12（AC+BC），即可得出答案；
（2）直接根据题意画出图形，进而利用MN＝NC﹣MC＝12(BC−AC)求出即可；
（3）根据动点P、Q的运动方向和速度用含t的式子表示出CP和CQ，再列方程可得结论．
【详解】解：（1）∵线段AC＝10cm，BC＝6cm，点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=12AC，NC=12BC，
∴MN=MC+NC=12AC+12BC
＝12（AC+BC）＝12×16＝8（cm）；
答：线段MN的长度是8cm；
（2）如图：
MN＝12a．理由如下：
∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC＝12AC，NC＝12BC，
∵BC﹣AC＝a，
∴MN＝NC﹣MC＝12BC﹣12AC＝12(BC−AC)＝12a．
（3）∵点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，
而AC＝10cm，BC＝6cm，CP：CQ＝1：2
∴2CP=CQ ，
可分为三种情况讨论：
当点C在点P右侧，点Q的左侧时，有0则2(10−2t)=6−t ，解得：t=143 ；
当点C在点P、Q的左侧时，有5则2(2t−10)=6−t，解得：t=265 ；
当点C在点P的左侧，Q的右侧时，有6则2(2t−10)=t−6，解得：t=143，舍去，
综上所述，当运动143 或265 时，CP：CQ＝1：2．
【点睛】本题考查线段的计算，中点的定义，利用两点之间的距离和中点的定义分情况讨论列出一元一次方程是解题的关键．
4．（2023上·河北唐山·七年级期末）如图，∠PAQ=90°，点B、点C分别在边PA、QA上，且BA=12cm，CA=6cm，动点M沿AP边从点A出发，向点B以2cm/s的速度运动；动点N沿QA边从点C出发，向点A以1cm/s的速度运动；若M、N同时运动，用t(s)表示移动的时间．
（1）当AM=AN时，求t的值；
（2）①当t为何值时，点M恰好在AB的13处？
②在①的前提下，AM+AN等于BA+CA的13吗？
【答案】（1）t=2；（2）①t=2或t=4；②不等于．
【分析】（1）先根据“路程=速度×时间”可得AM,CN的长，再根据线段的和差可得AN的长，然后根据AM=AN建立方程，解方程即可得；
（2）①分AM=13AB和AM=23AB两种情况，由此建立方程，解方程即可得；
②根据①的结果，分别求出AM+AN和BA+CA的值即可得出结论．
【详解】解：（1）由题意得：AM=2tcm,CN=tcm，
∵CA=6cm，
∴AN=CA−CN=(6−t)cm，
当AM=AN时，则2t=6−t，
解得t=2；
（2）①当AM=13AB时，即2t=13×12，解得t=2，
当AM=23AB时，即2t=23×12，解得t=4，
综上，当t=2或t=4时，点M恰好在AB的13处；
②当t=2时，AM=2t=4(cm)，AN=6−t=4(cm)，
则AM+AN=8(cm)，BA+CA=12+6=18(cm)，
此时8≠13×18=6；
当t=4时，AM=2t=8(cm)，AN=6−t=2(cm)，
则AM+AN=10(cm)，
此时10≠13×18=6；
综上，在①的前提下，AM+AN不等于BA+CA的13．
【点睛】本题考查了线段的和差等知识点，较难的是题（2）①，注意分两种情况讨论是解题关键．
5．（2023上·安徽六安·七年级统考期末）如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒．
（1）当PB=2AM时，求x的值
（2）当P在线段AB上运动时，2BM−BP=________，请填空并说明理由．
（3）如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；②MA+PN的值不变，选择一个正确的结论，并求出其值．
【答案】（1）6；（2）24；理由见解析；（3）①MN长度不变，为12；②MA+PN的值改变，理由见解析．
【分析】（1）根据PB=2AM建立关于x的方程，解方程即可；
（2）将BM=24-x，PB=24-2x代入2BM-BP后，化简即可得出结论；
（3）利用PA=2x，AM=PM=x，PB=2x-24，PN=12PB=x-12，分别表示出MN及MA+PN的长度，即可作出判断．
【详解】解：（1）∵M是线段AP的中点，
∴AM=12AP=x，
PB=AB-AP=24-2x．
∵PB=2AM，
∴24-2x=2x，
解得x=6；
（2）∵AM=x，BM=24-x，PB=24-2x，
∴2BM-BP=2（24-x）-（24-2x）=24，即2BM-BP为定值；
（3）当P在AB延长线上运动时，点P在B点右侧．
∵PA=2x，AM=PM=x，PB=2x-24,PN=12PB=x-12，
∴①MN=PM-PN=x-（x-12）=12是定值；
②MA+PN=x+x-12=2x-12，是变化的．
【点睛】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度，有一定难度．
6．（2023上·广东深圳·七年级统考期末）已知：如图，点E是线段AB上一点，AB=15cm，动点C从E出发，以1cm/s的速度向A点运动，同时，动点D从B出发以2cm/s的速度向E运动﹒(C在线段AE上，D在线段BE上） ．
（1）若AE=6cm，当点C、D运动了2s，此时AC=____ cm,DE= cm;(填空）
（2）若AE=5cm，当线段CD=6cm时，求动点C和D运动的时间．
（3）若AE=5cm，当点C,D运动时，AC和ED有什么数量关系，请说明理由﹒
【答案】（1）4，5；（2）4；（3）AC=12ED，理由见解析.
【分析】（1）根据运动时间和各自速度可求得CE和BD，进而结合图形即可解答；
（2）求出BE=10，由CD=CE+BE﹣BD列出关于t的方程，解之即可解答；
（3）分别用t表示AC和DE，即可得出数量关系．
【详解】解：（1）∵t=2,vC=1,vD=2，
∴CE=2,BD=4，
∵AE=6，
∴AC=AE−CE=4，
DE=AB−AE−BD
=15−6−4
=5，
故答案为：4，5；
（2）当AE=5时，BE=10，
∴CD=CE+DE=t+10−2t=10−t=6，
∴t=4
（3）当AE=5时，
AC=AE−CE=5−t，
ED=BE−BD =10−2t
∴AC=12ED．
【点睛】本题考查与线段有关的动点问题、两点间的距离、线段之间的数量关系、一元一次方程的应用，解答的关键是读懂题意，结合图形，找出适当的等量关系列出方程．
7．（2023上·广西玉林·七年级统考期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB＝10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t>0）秒，
（1）写出数轴上点B所表示的数 ；
（2）求线段AP的中点所表示的数（用含t的代数式表示）；
（3）M是AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．

【答案】（1）-4；（2）6−3t ；（3）不变，图见解析，MN的长度为5．
【分析】（1）根据题意及数轴可得B点在原点的左侧，故可直接求解；
（2）根据题意可得P所表示的数为：6﹣6t，然后直接得到中点所表示的数；
（3）根据题意得到点P可能在线段AB上，也有可能在线段AB外，故分类讨论求解即可．
【详解】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，
∴OA＝6，
则OB＝AB﹣OA＝4，
点B在原点左边，
所以数轴上点B所表示的数为﹣4，
故答案为：﹣4；
（2）点P运动t秒的长度为6t，
∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴P所表示的数为：6﹣6t，
则线段AP的中点所表示的数为6+6-6t2=6−3t；
（3）线段MN的长度不发生变化，
理由：
分两种情况：

①当点P在A、B两点之间运动时，如图
MN＝MP+NP＝12BP+12PA＝12AB＝5
②当点P运动到B的左边时，如图

MN＝MP﹣NP＝12AP﹣12PB＝12AB＝5．
综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为5．
【点睛】本题主要考查数轴上的两点距离及线段的和差关系，关键是根据动点的运动得到线段的长，然后根据数轴上的两点距离列式求解即可．
8．（2023上·重庆彭水·七年级统考期末）如图，直线l上有A、B两点，AB=18cm， 点O是线段AB上的一点，OA=2OB.若动点P，Q分别从A、B同时出发，向右运动，点P的速度为3cm/s.点Q的速度为1cm/s.设运动时间为ts，当点P和点Q重合时，P,Q两点停止运动.
（1）当t为何值时，2OP−OQ=4？
（2）当点P经过点O时，动点M从点O出发，以4cm/s的速度也向右运动，当点M追上点Q后立即返回，以4cm/s的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以4cm/s的速度向点Q运动，如此往返，当点P与点Q重合时，P,Q两点停止运动，此时点M也停止运动，在此过程中，点M行驶的总路程是多少？
【答案】（1）2s或6.8s（2）20cm
【分析】（1）先由OA=2OB结合AB=OA+OB=18即可求出OA、OB的长度；分两种情况,由两点间的距离公式结合2OP-OQ=4即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）点M运动的时间就是点P从点O开始到追到点Q的时间，用这个时间乘以速度即可．
【详解】解：（1）∵AB=18cm，OA=2OB，
∴OA+OB=3OB=AB=18cm，
解得：OB=6cm，
OA=2OB=12cm．
12÷3=4秒，当0AP=3t，OP=12-3t，BQ=t，OQ=6+t，
∵2OP-OQ=4，
∴2(12-3t)-(6+t)=4，
解得
t=2；
当点P与点Q重合时，
3t=18+t，
t=9，
当4＜t≤9时，如图，
OP=3t-12，OQ=6+t，
则2(3t-12)-(6+t)=4，
解得t=6.8．
故当t为2s或6.8s时，2OP-OQ=4；
（2）4×（9-4）=20（cm）．
答：在此过程中，点M行驶的总路程是20cm．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、两点间的距离公式、以及分类讨论的数学思想，解题的关键是：（1）根据两点间的距离公式列出关于t的一元一次方程；解（2）的关键是求出点M运动的时间．
9．（2023上·七年级统考课时练习）直线l上有A，B两点，AB=24cm，点O是线段AB上的一点，OA=2OB.
（1）OA=__________cm，OB=___________cm；
（2）若C点是线段AO上的一点，且满足AC=CO+CB，求CO的长；
（3）若动点P，Q分别从A，B同时出发向右运动，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cms，设运动时间为t(s)，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动.
①当t为何值时，2OP−OQ=8；
②当点P经过点O时，动点M从点O出发，以3cms的速度向右运动.当点M追上点Q后立即返回.以同样的速度向点P运动，遇到点P后立即返回，又以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P，Q停止时，点M也停止运动.在此过程中，点M行驶的总路程为___________cm.
【答案】（1）16,8;（2）83;（3）①t=165 或16s;②48.
【分析】（1）由OA=2OB，OA+OB=24即可求出OA、OB．
（2）设OC=x，则AC=16-x，BC=8+x，根据AC=CO+CB列出方程即可解决．
（3）①分两种情形①当点P在点O左边时，2（16-2t）-（8+t）=8，当点P在点O右边时，2（2t-16）-（8+x）=8，解方程即可．
②点M运动的时间就是点P从点O开始到追到点Q的时间，设点M运动的时间为ts由题意得：t（2-1）=16由此即可解决．
【详解】(1)∵AB=24，OA=2OB，
∴20B+OB=24，
∴OB=8，0A=16，
故答案分别为16，8.
（2）设CO的长为xcm.
由题意，得x+(x+8)=24−8−x.
解得x=83.
所以CO的长为83cm.
(3)①当点P在点O左边时,2(16−2t)−(8+t)=8,t=165，
当点P在点O右边时,2(2t−16)−(8+t)=8，t=16，
∴t=165 或16s时，2OP−OQ=8.
②设点M运动的时间为ts,由题意：t(2−1)=16，t=16，
∴点M运动的路程为16×3=48cm.
故答案为48cm.
【点睛】此题考查一元一次方程的应用，两点间的距离，解题关键在于根据题意列出方程.
10．（2023上·广东湛江·七年级校考期末）如图，数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是-25、-10、10.

（1）填空：AB＝_________，BC＝__________；
（2）现有动点M、N都从A点出发，点M以每秒2个单位长度的速度向右移动，当点M移动到B点时，点N才从A点出发，并以每秒4个单位长度的速度向右移动，求点N移动多少时间，点N追上点M ?
（3）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动.试探索：BC－AB的值是否随着时间的变化而改变?请说明理由．
【答案】（1）AB＝15, BC＝20；（2）点N移动152秒时,点N追上点M；（3）BC－AB的值不会随着时间的变化而改变.
【分析】（1）根据数轴上任意两点间的距离公式等于这两点所表示的数的差的绝对值而得出结论；（2）设点N移动x秒时,点N追上点M，根据题意列出方程，解方程即可求解；（3）设运动时间是y秒,先分别求出y秒后A、B、C三点所对应的数，就可以表示出BC，AB的值，从而求出BC-AB的值而得出结论
【详解】解：（1）由题意，得
AB=−10−(−25)=15，BC=10−(−10)=20，
∴AB＝15, BC＝20；
（2）设点N移动x秒时,点N追上点M,由题意得：
4x=2x+15
解得 x=152
答：点N移动152秒时,点N追上点M.
（3）设运动时间是y秒,那么运动后A、B、C三点表示的数分别是-25-y、
-10+2y、10+5y,
∴BC= （10+5y）-(-10+2y)=20+3y
AB= (-10+2y)- (-25-y)=15+3y
∴BC－AB=20+3y-(15+3y)=5
∴BC－AB的值不会随着时间的变化而改变.
故答案为（1）AB＝15, BC＝20；（2）点N移动152秒时,点N追上点M；（3）BC－AB的值不会随着时间的变化而改变.
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，数轴，两点间的距离.
11．（2023上·湖北黄冈·七年级统考期末）如图，已知点A、点B是直线上的两点，AB=12厘米，点C在线段AB上．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．
(1)当点P、Q分别在线段AC、BC的中点时，线段PQ= 厘米；
(2)若AC=6厘米，点P、点Q分别从点C、点B同时出发沿射线BA方向运动，当运动时间为2秒时，求PQ的长；
(3)若AC=4厘米，点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线AB上运动，则经过多少时间后线段PQ的长为5厘米．
【答案】(1)6；(2)PQ= 4厘米；(3)经过1，3，13，133秒后PQ的长为5厘米．
【分析】（1）利用图象上点的位置得出当点P、Q分别在线段AC、BC的中点时，线段PQ=12AB即可得出答案；（2）利用当t=2时，BQ=2×2=4，则CQ=6-4=2，再利用PQ=CP+CQ求出即可；（3）利用图形分别讨论：当点P、Q沿射线BA方向运动，若点Q在点P的后面，当点P、Q沿射线BA方向运动，若点Q在点P前面，
当点P、Q在直线上相向运动，点P、Q在相遇前，当点P、Q在直线上相向运动，点P、Q在相遇后，进而得出答案即可．
【详解】(1)如图1，因为AB=12厘米，点C在线段AB上，
所以，当点P、Q分别在线段AC、BC的中点时，线段PQ=12AB=6．故答案为6；
(2)如图2，当t=2时，BQ=2×2=4，
则CQ=6-4=2．
因为CP=2×1=2，所以PQ=CP+CQ=2+2=4(厘米)．
(3)设运动时间为t秒．
①如图3，当点P、Q沿射线BA方向运动，若点Q在点P的后面，
得：t+8-2t=5，
解得t=3，
②如图4，当点P、Q沿射线BA方向运动，若点Q在点P前面，
得：2t-8-t=5，解得t=13．
③如图5，当点P、Q在直线上相向运动，点P、Q在相遇前，
得：t+2t=3，解得t=1．
④如图6，当点P、Q在直线上相向运动，点P、Q在相遇后，
得：t+2t=13，解得t=133．
综合可得t=1，3，13，133.所以经过1，3，13，133秒后PQ的长为5厘米．
【点睛】本题考查了点的运动问题，利用数形结合得出P，Q不同位置得出不同结论，注意不要漏解．
12．（2023下·山东淄博·七年级淄博市临淄区第二中学校考期中）如图，线段AB=12，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．
（1）出发多少秒后，PB=2AM？
（2）当P在线段AB上运动时，试说明2BM﹣BP为定值．
（3）当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；②MA+PN的值不变，选择一个正确的结论，并求出其值．
【答案】(1)3秒；（2）当P在线段AB上运动时，2BM﹣BP为定值12；（3）选①.
【分析】（1）分两种情况讨论，①点P在点B左边，②点P在点B右边，分别求出t的值即可．
（2）AM=x，BM=24-x，PB=24-2x，表示出2BM-BP后，化简即可得出结论．
（3）PA=2x，AM=PM=x，PB=2x-12，PN=12PB=x-6，分别表示出MN，MA+PN的长度即可作出判断．
【详解】解：（1）设出发x秒后PB=2AM，
当点P在点B左边时，AM=x，PA=2x，PB=12−2x
由题意得，12−2x=2x，
解得：x=3；
当点P在点B右边时，PA=2x，PB=2x−12，AM=x，
由题意得：2x−12=2x，方程无解；
综上可得：出发3秒后PB=2AM.
（2）∵AM=x，BM=12−x，PB=12−2x，
∴2BM−BP=2(12−x)−(12−2x)=12；
（3）选①；
∵PA=2x,AM=PM=x,PB=2x−12,PN=12PB=x−6，
∴①MN=PM−PN=x−(x−6)=6(定值)；
②MA+PN=x+x−6=2x−6(变化).
点睛：本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是用含有时间的式子表示出各线段的长度.
13．（2023上·江苏南通·七年级校考阶段练习）【新知理解】
如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．

(1)线段的中点 这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）；
(2)若AB=12cm，点C是线段AB的巧点，则AC= cm；
(3)【解决问题】如图②，已知AB=12cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s）．当t为何值时，A，P，Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由．
【答案】(1)是
(2)4或6或8
(3)t=127，125，3，6，367，理由见解析
【分析】（1）根据“巧点”的定义，判断即可；
（2）根据“巧点”的定义，分三种情况，求解即可；
（3）t秒后，AP=2t，AQ=12−t0≤t≤6，分三种情况，求解即可．
【详解】（1）解：如图，当C是线段AB的中点，则AB=2AC，

∴线段的中点是这条线段的“巧点”．
故答案为：是；
（2）解：∵AB=12cm，点C是线段AB的巧点，
∴AC=12×13=4cm或AC=12×12=6cm或AC=12×23=8cm；
故答案为：4或6或8；
（3）解：t秒后，AP=2t，AQ=12−t0≤t≤6
①由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除．
②当P为A、Q的巧点时，
Ⅰ．AP=13AQ，即2t=1312−t，解得t=127s；
Ⅱ．AP=12AQ，即2t=1212−t，解得t=125s；
Ⅲ．AP=23AQ，即2t=2312−t，解得t=3s；
③当Q为A、P的巧点时，
Ⅰ．AQ=13AP，即12−t=2t×13，解得t=365s（舍去）；
Ⅱ．AQ=12AP，即12−t=2t×12，解得t=6s；
Ⅲ．AQ=23AP，即12−t=2t×23，解得t=367s．
综上可得，当t=127，125，3，6，367秒时，A，P，Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点．
【点睛】本题考查了两点间的距离，一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
14．（2023上·福建三明·七年级三明市第三中学校考阶段练习）如图1，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．
（1）线段的中点 这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）
（2）若AB＝15cm，点C是线段AB的巧点，则AC＝ cm；
（3）如图2，已知AB＝15cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s）．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？并说明理由．
【答案】（1）是；（2）5或7.5或10；（3）1511s或158s或3013s或5s或307s或154s，理由见解析
【分析】（1）根据“巧点”的定义即可求解；
（2）分点C在中点的左边，点C在中点，点C在中点的右边，进行讨论求解即可；
（3）分①由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除；②当P为A、Q的巧点时；③当Q为A、P的巧点时；进行讨论求解即可．
【详解】解：（1）如图，当C是线段AB的中点，则AB=2AC，
∴线段的中点是这条线段的“巧点”．
故答案为：是；
（2）∵AB=15cm，点C是线段AB的巧点，
∴AC=15×13=5cm或AC=15×12=7.5cm或AC=15×23=10cm；
故答案为：5或7.5或10；
（3）由题意可得：t秒后，AP=3t，AQ=15−2t(0⩽t⩽6)，
①由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除．
②当P为A、Q的巧点时，
Ⅰ．AP=13AQ，即3t=13×(15−2t)，
解得：t=1511s；
Ⅱ．AP=12AQ，即3t=12×(15−2t)，
解得：t=158s；
Ⅲ．AP=23AQ，即3t=23×(15−2t)，
解得：t=3013s；
③当Q为A、P的巧点时，
Ⅰ．AQ=13AP，即(15−2t)=13×3t，
解得：t=5s；
Ⅱ．AQ=12AP，即(15−2t)=3t×12，
解得t=307s；
Ⅲ．AQ=23AP，即(15−2t)=3t×23，
解得：t=154s，
综上所述，当t为1511s或158s或3013s或5s或307s或154s时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点．
【点睛】本题考查了两点间的距离，一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
15．（2023上·山东枣庄·七年级统考期末）已知点C在直线AB上，线段AC=6cm，BC=4cm，点M，N分别是AC，BC的中点．
(1)画出示意图，并求线段MN的长度；
(2)如图，点C在线段AB上时，动点P，Q分别从A，B同时出发，点P以2cm/s的速度从点A向点B运动，点Q以1cm/s的速度从点B向点A运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．在整个运动过程中，当P是CQ中点时，P点运动了多少秒？
【答案】(1)MN=5cm或1cm
(2)P运动了165秒
【分析】（1）如图①，当A，B 在C两侧时，画出图形，根据中点的定义，因为M，N分别为AC，BC的中点，得到AM=CM=12 AC，CN=BN=12 BC，所以MN=CM+CN，如图②，A，B在C的同侧时，画出图形，根据M，N分别为AC，BC的中点，根据中点的定义得到AM=CM=12AC， CN=BN=12BC，由图知，MN=CM-CN可得结论．
(2)根据图形得到：AB=AC+BC，如图③，令点A表示的数为0，则C表示的数为6，B点表示的数为10，设运动的时间为t秒，得到P从A→ B用时，Q从B→A用时，P点表示的数位2t，Q点表示的数为10-t，当P为CQ的中点时，根据PC=PQ列方程可以求出t．
【详解】（1）如图①，
当A，B 在C两侧时，
∵M，N分别为AC，BC的中点，
∴AM=CM=12 AC，CN=BN=12 BC，
MN=CM+CN
=12AC+12 BC
=12 (AC+BC)
=12 (6+4)
=5cm．
如图②，
A，B在C的同侧时，
∵M，N分别为AC，BC的中点，
∴AM=CM=12AC， CN=BN=12BC，
由图知，MN=CM-CN=12AC−12BC=12(AC−BC)
∴MN=12(6−4)=1cm
综上，MN=5cm或1cm．
（2）∵AB=AC+BC=6+4=10cm 如图③，
令点A表示的数为0，则C表示的数为6，B点表示的数为10，
设运动的时间为t秒，
P从A→ B用时为：102=5 秒，
Q从B→A用时为：101=10 秒，
又0≤ t≤ 5．
P点表示的数为2t，Q点表示的数为10-t，
当P为CQ的中点时，PC=PQ．
∴PC=|2t−6| ，PQ=|2t−10+t|=|3t−10|
∴当2t-6=3t-10时，t=4（此情况不可能）；
当2t-6=-(3t-10)时，t=165
综上所述：P运动了165秒，
【点睛】本题考查了两点之间的距离，利用线段中点的性质解题．也考查了绝对值的几何意义，解题的关键是根据画出图形，利用中点的性质解题．
16．（2023上·湖北黄石·七年级校联考期中）已知点A，B，C在数轴上对应的数分别是a，b，c，其中a，c满足a+202+c−36=0，a，b互为相反数（如图1）．
(1)求a，b，c的值；
(2)如图1，若点A，B，C分别同时以每秒4个单位长度，1个单位长度和mm<4个单位长度想做运动，假设经过t秒后，点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间距离表示为AC．若AB−32AC的值始终保持不变，求m的值；
(3)如图2，将数袖在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中A，C两点在“折线数轴”上的距离为56个单位长度），动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度均为原来的一半，之后立刻恢复；同时，动点Q从点C出发仍以（2）中的每秒m个单位长度沿着“折线数轴”的负方向运动从点B运动到点O期间，速度均为原来的2倍，之后立刻恢复．设运动时间为t秒，请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等．
【答案】(1)a=−20，b=20，c=36
(2)m=2
(3)当t=2或6.5或11或17时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等
【分析】（1）令a+20=0，c−36=0可分别求出a和c的值，又由a，b互为相反数即可求出b的值；
（2）分别用含有t的式子表示出AB、AC的长度，再根据AB−32AC列式计算即可；
（3）P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等有四种情况，分别进行讨论即可．
【详解】（1）解：∵a+202+c−36=0，a+202≥0，c−36≥0，
∴a+20=0，c−36=0，
解得a=−20，c=36，
又∵ a，b互为相反数，
∴b=20，
综上所述：a=−20，b=20，c=36；
（2）解：经过t秒后，LA=4t，LB=t，LC=mtm<4，
∴AB=ab−LA+LB=40−3t，AC=ac−LA+LC=56−4−mt，∴AB−32AC=40−3t−3256−4−mt，
整理得32m=3，解得m=2；
（3）解：P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等有四种情况，
由题意得：P在AO上运动的速度VPAO=4，在OB上运动的速度VPOB=2，在BC上运动的速度VPBC=4；
Q在CB上运动的速度VQCB=2，在BO上运动的速度VQBO=4，在OA上运动的速度VQOA=2；
①P在AO， Q在OB上运动时，
∴PO=20−4t，OB=16−2t，PO=QB，
∴t=2；
②P在OB，Q在CB上运动时，
PO=t−204⋅2，QB=16−2t，
∴t=6.5；
③P在OB，Q在OB上运动时，
PO=t−204⋅2，QB=t−162⋅4，PO=QB，
∴t=11；
④P在BC，Q在OA上运动时，
PO=OB+t−204+202⋅4=20+4×t−15，QB=BO+t−162+204⋅2=20+2t−13，PO=QB
∴t=17，
综上所述，当t=2或6.5或11或17时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等．
【点睛】本题重点考查如何表示线段的长度，根据题目要求正确列出方程求解是解题的关键，另外还要注意运动过程中速度的变化．
17．（2023上·福建福州·七年级福州华伦中学校考期末）新规定：点C为线段AB上一点，当CA=3CB或CB=3CA时，我们就规定C为线段AB的“三倍距点”．
如图，在数轴上，点A所表示的数为−3，点B所表示的数为5．
（1）确定点C所表示的数为___________；
（2）若动点P从点B出发，沿射线BA方向以每秒2个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒．
①求AP的长度（用含t的代数式表示）；
②当点A为线段BP的“三倍距点”时，求出t的值．
【答案】（1）-1或3；（2）①AP=8−2t或AP=2t−8；②t=163或16
【分析】（1）设点C表示的数为c，根据定义即可求解；
（2）①根据点P的位置即可求出AP的长度；②由题意易得AB=8，然后由题意可分当AP=3AB时，当AB=3AP时，进而分类求解即可．
【详解】解：（1）设点C表示的数为c，
当CA=3CB时，
∴c+3=35−c，解得：c=3，
当CB=3CA时，则有：3c+3=5−c，
解得：c=−1；
故答案为-1或3；
（2）①由题意得：AB=8，
当点P在点A的右侧时，则有AP=8−2t；
当点P在点A的左侧时，则有AP=2t−8；
②设点P表示的数为p，
当AP=3AB时，此时−3−p=3×8，
解得：p=−27，
∴BP=5+27=32，
∴t=322=16；
当AB=3AP时，此时3−3−p=8，
解得：p=−173，
∴BP=5+173=323，
∴t=323÷2=163；
综上所述：当点A为线段BP的“三倍距点”时，t=163或16．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用及线段的和差关系，熟练掌握一元一次方程的应用及线段的和差关系是解题的关键．
18．（2023上·四川成都·七年级统考期末）已知，线段AB上有三个点C、D、E，AB=18，AC=2BC，D、E为动点（点D在点E的左侧），并且始终保持DE=8．
（1）如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
（2）如图2，点F为线段BC的中点，AF=3AD，求AE的长；
（3）若点D从A出发向右运动（当点E到达点B时立即停止），运动的速度为每秒2个单位，当运动时间t为多少秒时，使AD，BE两条线段中，一条的长度恰好是另一条的两倍．
【答案】（1）AD=7；（2）13；（3）t=103s或t=53s．
【分析】（1）由AB=18，AC=2BC，求解AC,BC，再利用E为BC中点，求解EC, 再求解DC， 最后利用AD=AC−CD，从而可得答案；
（2）由点F为线段BC的中点，求解CF,BF，再求解AF,AD，DF,EF,BE，再利用AE=AB−BE，即可得到答案；
（3）如图3，以A为原点建立数轴，则C,B分别表示12,18，先确定DE的最长运动时间，再在运动后，表示D对应的数为2t, E对应的数为8+2t, 求解AD,BE，再分两种情况列方程即可得到答案．
【详解】解：（1）如图1，
∵ AB=18，AC=2BC，
∴AC=23AB=12，BC=13AB=6，
∵ E为BC中点时，
∴CE=BE=12BC=3，
∵ DE=8,
∴DC=DE−CE=8−3=5，
∴AD=AC−CD=12−5=7.
（2）如图2，
∵ 点F为线段BC的中点，
∴CF=BF=12BC=3，
∵AB=AF+FB=18，
∴AF=18−3=15，
∵ AF=3AD，
∴AD=5，
∴DF=AF−AD=15−5=10，
∵DE=8，
∴EF=DF−DE=10−8=2，
∴BE=EF+BF=2+3=5，
∴AE=AB−BE=18−5=13.
（3）如图3，以A为原点建立数轴，则C,B分别表示12,18，
由运动开始前：BE=AB−DE=18−8=10，
∴ DE的最长运动时间为：102=5s,
运动后，由题意可得：D对应的数为2t, E对应的数为8+2t,
∴AD=2t,BE=18−(8+2t)=10−2t,
当AD=2BE时，
∴2t=2(10−2t),
∴6t=20,
∴t=103，
经检验：t=103符合题意，
当2AD=BE时，
∴4t=10−2t,
∴6t=10,
∴t=53,
经检验：t=53符合题意，
综上：当t=103s或t=53s时，AD，BE两条线段中，一条的长度恰好是另一条的两倍．
【点睛】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差关系，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键．
19．（2023上·湖南长沙·七年级校考期末）已知x＝﹣3是关于x的方程（k+3）x+2＝3x﹣2k的解．
（1）求k的值；
（2）在（1）的条件下，已知线段AB＝6cm，点C是线段AB上一点，且BC＝kAC，若点D是AC的中点，求线段CD的长．
（3）在（2）的条件下，已知点A所表示的数为﹣2，有一动点P从点A开始以2个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点B开始以4个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，当时间为多少秒时，有PD＝2QD？
【答案】（1）2；（2）1cm；（3）910秒或116秒
【分析】（1）将x＝﹣3代入原方程即可求解；
（2）根据题意作出示意图，点C为线段AB上靠近A点的三等分点，根据线段的和与差关系即可求解；
（3）求出D和B表示的数，然后设经过x秒后有PD＝2QD，用x表示P和Q表示的数，然后分两种情况①当点D在PQ之间时，②当点Q在PD之间时讨论即可求解．
【详解】（1）把x＝﹣3代入方程（k+3）x+2＝3x﹣2k得：﹣3（k+3）+2＝﹣9﹣2k，
解得：k＝2；
故k＝2；
（2）当C在线段AB上时，如图，
当k＝2时，BC＝2AC，AB＝6cm，
∴AC＝2cm，BC＝4cm，
∵D为AC的中点，
∴CD＝12AC＝1cm．
即线段CD的长为1cm；
（3）在（2）的条件下，∵点A所表示的数为﹣2，AD＝CD＝1，AB＝6，
∴D点表示的数为﹣1，B点表示的数为4．
设经过x秒时，有PD＝2QD，则此时P与Q在数轴上表示的数分别是﹣2﹣2x，4﹣4x．
分两种情况：
①当点D在PQ之间时，
∵PD＝2QD，
∴−1−2−2x=24−4x−−1，解得x＝910
②当点Q在PD之间时，
∵PD＝2QD，
∴−1−−2−2x=2−1−4−4x，解得x＝116．
答：当时间为910或116秒时，有PD＝2QD．
【点睛】本题考查了方程的解，线段的和与差，数轴上的动点问题，一元一次方程与几何问题，分情况讨论是本题的关键．
20．（2023上·辽宁大连·七年级统考期末）已知：如图线段AB=15，C为线段AB上一点，且BC=6．
（1）若E为AB中点，D为线段BC上一点且BD=2CD，求线段DE的长．
（2）若动点M从A开始出发，以1.5个单位长度每秒的速度向B运动，到B点结束；动点N从B点出发以0.5个单位长度每秒的速度向A运动，到A点结束，运动时间为t秒，当MC=NC时，求t的值．
【答案】（1）DE=72；（2）t=3s或t=152s或t=24s．
【分析】（1）根据中点的定义及线段的和差倍分计算即可；
（2）分三种情况讨论：①当M在线段AC上时，N在BC上时；②当M在线段CB上时，N在BC上时；③当M到B点停止，N在AC上时．分别列方程求解即可．
【详解】（1）∵AB=15，E是AB中点，
∴BE=AB2=152．
∵BC=6，BD=2CD，
∴BD=23BC=4，
∴DE=BE−BD=152−4=72；
（2）分三种情况讨论：
①当M在线段AC上时，N在BC上时．
MC=AC−AM=9−1.5t，
NC=BC−BN=6−0.5t．
∵MC=NC，
∴9−1.5t=6−0.5t，
∴t=3s；
②当M在线段CB上时，N在BC上时．
MC=1.5t−9，NC=6−0.5t．
∵MC=NC，
∴1.5t−9=6−0.5t，
∴t=152s；
③当M到B点停止，N在AC上时．
MC=BC=6，NC=0.5t−6．
∵MC=NC，
∴0.5t−6=6，
∴t=24s．
综上所述：t=3s或t=152s或t=24s．
【点睛】本题考查了线段的相关计算及一元一次方程的应用，数形结合并分类讨是解答本题的关键．
21．（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）已知式子M=(a−16)x3+20x2+10x+5是关于x的二次多项式，且二次项的系数为b，在数轴上有点A、B、C三个点，且点A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，如下图所示已知AC=6AB．
（1）a=_______；b=_______；c=________．
（2）若动点P、Q分别从C、O两点同时出发，向右运动，且点Q不超过点A．在运动过程中，点E为线段AP的中点，点F为线段BQ的中点，若动点P的速度为每秒2个单位长度，动点Q的速度为每秒3个单位长度，求BP−AQEF的值．
（3）点P、Q分别自A、B同时出发，都以每秒2个单位长度向左运动，动点M自点C出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t（秒），3【答案】（1）16，20，-8；（2）BP−AQEF=2；（3）1或0.5
【分析】（1）先根据多项式的定义、系数定义求出a、b的值，再根据数轴的定义及AC=6AB即可求出c的值；
（2）设运动时间为t秒，先求出CP、OQ的长，再根据线段的和差求出BP−AQ的长，然后根据线段的中点定义求出EF的长，从而即可得出答案；
（3）设点T所表示的数为x，先求出点P,Q,M,N所表示的数，再用含t，x的式子表示MQ,NT,PT的长，代入MQ−NT=3PT即可求出PT的值．
【详解】（1）由题意得：a−16=0,b=20
则a=16
∴AB=b−a=20−16=4,AC=a−c=16−c
∵AC=6AB
∴16−c=6×4
∴c=−8
故答案为：16；20；−8；
（2）由（1）知，AB=4,AC=16−c=16−(−8)=24,BC=b−c=20−(−8)=28
设运动时间为t秒
如图，由题意得：CP=2t,OQ=3t
∴BP−AQ=(BC−CP)−(AO−OQ)
=(28−2t)−(16−3t)
=12+t
∵点E为线段AP的中点，点F为线段BQ的中点
∴AE=12AP=12(AC−CP)=12(24−2t)=12−tBF=12BQ=12(BO−OQ)=12(20−3t)=10−32t
∴EF=AE−AF=AE−(BF−AB)
=12−t−(10−32t−4)
=6+12t
∴BP−AQEF=12+t6+12t=2
故BP−AQEF的值为2；
（3）设点T所表示的数为x
由题意得：点P所表示的数为a−2t=16−2t
点Q所表示的数为b−2t=20−2t
点M所表示的数为6t−8
点N所表示的数为6t−8−2=6t−10
∵3∴MQ=20−2t−(6t−8)=28−8t
NT=x−(6t−10)=x−6t+10
PT=16−2t−x
∵MQ−NT=3PT
∴28−8t−(x−6t+10)=316−2t−x
整理得：2+16−2t−x=316−2t−x
∴2+PT=3PT或2−PT=3PT
解得：PT=1或PT=0.5
故此时线段PT的长度为1或0.5．
【点睛】本题考查了线段的中点定义、线段的和差、数轴的定义，较难的是题（3），依据题意，正确求出点P,Q,M,N所表示的数是解题关键．
22．（2023·湖北武汉·七年级统考期末）如图，直线l上依次有三点A、B、C，且AB=8、BC=16，点P为射线AB上一动点，将线段AP进行翻折得到线段PA′（点A落在直线l上点A′处、线段AP上的所有点与线段PA′上的点对应）如图
（1）若翻折后A′C=2，则翻折前线段AP=______
（2）若点P在线段BC上运动，点M为线段A′C的中点，求线段PM的长度；
（3）若点P在射线BC上运动，点N为B′P的中点，点M为线段A′C的中点，设AP=x，用x表示A′M+PN．
【答案】(1) 11 ；(2) PM=12 ；(3)PN+A'M=8−12x,8【详解】试题分析：
（1）如图1，由题意可知：AA′=AB+BC-A′C=22，由AP=A′P可得AP=11；
（2）如图3当点A′在点C的左侧时，由（1）可得此时AA′=22，结合已知易得此时：PM=PA′+A′M=12AA'+12A'C=12AC=12×24=12；如图4，当点A′在点C的右侧时，同理可得：PM=PA′－A′M=12AA'−12A'C=12(AA'−A'C)=12AC=12 ；由此即可得到PM=12；
（3）根据题意分：①当8＜x＜12；②当x＞12两种情况结合图5、图6分析解答即可.
试题解析：
（1）如图1，当翻折后点A′在点C的左侧时，∵AB=8，BC=16，A′C=2，
∴AA′=AB+BC-A′C=22，
又∵由折叠的性质可知：AP=A′P，
∴AP=11；
(2)①当A′在点C的左侧时，如图3，
由题知PA=PA′，
∵M为AC中点，
∴MA′=MC，
∴PM=PA′+A′M=12AA'+12A'C=12AC=12×24=12；
②当A′在点C的右侧时，如图4，
∵M为A′C中点，
∴MA′=MC，
∴PM=PA′－A′M=12AA'−12A'C=12(AA'−A'C)=12AC=12 ；
综上可得：PM=12 ；
（3）①当8＜x＜12 此时，A′在C的左侧，如图5，
PB′=PB=x－8，
∵N为BP中点，
∴PN=x−82，
∵A′C=24－2x，
∵M为A′C中点，
∴A'M=24−2x2=12−x，
∴PN+A'M=x−82+12−x =8−12x；
②当x＞12 ，此时，A′在C的右侧，如图6
PB′=PB=x－8，PN=x−82，
A′C=2x－24，
∵M为A′C中点，
∴A'M=2x−242=x−12，
∴PN+A'M=x−82+x−12 =32x−16；
③当x＞24时，如图7，点P不在线段BC上了，不予考虑，
∴综上所述：PN+A'M=8−12x,8点睛：（1）解第2小题时，要注意需分点A′在点C的左侧和右侧两种情况画出符合题意的图形，分别讨论；（2）解第3小题时，需注意题目中限定的条件，点P在线段BC上运动，同时需分点A′落在点C的左侧和右侧两种情况讨论.
23．（2023上·江苏扬州·七年级阶段练习）如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，这点叫做这条折线的“折中点”．如图，点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，请解答以下问题：
（1）当AC＞BC时，点D在线段 上； 当AC＝BC时，点D与 重合；当AC＜BC时，点D在线段 上；
（2）若AC＝18cm,BC＝10cm,若∠ACB=90°,有一动点P从C点出发，在线段CB上向点B运动，速度为2cm/s, 设运动时间是t（s）, 求当t为何值，三角形PCD 的面积为10cm2？
（3）若E为线段AC中点，EC＝8cm，CD＝6cm，求CB的长度．
【答案】（1）AC，C，BC； (2) 52s；（3）CB的长度是4 cm 或28cm.
【详解】试题分析：（1）根据图形以及阅读材料所给的信息直接填空即可；(2)如图4，先表示PC=2t，由折中点的定义得AD=14，根据三角形的面积公式列式可求t的值；（3）分当点D在线段AC上与BC上两种情况求解即可.
试题解析：
(1)当AC>BC时，如图1，点D在线段AC上；

当AC=BC时，如图2，点D与C重合；

当AC
因此，本题正确答案是：AC，C，BC.
（2）如图4，根据题意得：PC=2t，

∵AC=18，BC=10 cm，
∴AC+BC=18+10=28 cm，
∵D点是折中点，
∴AD=14cm，
∴CD=18-14=4cm，
∵∠ACB=90°，
∴S△PCD=12⋅CD⋅PC，
即10=12×4×2t，
解得t=52，
则当t为52秒时，三角形PCD的面积为10cm2；
(3)分两种情况：
①点D在线段AC上时，如图5，
∵E为线段AC中点,EC=8 cm,
∴AC=2CE=16cm，
∵CD=6cm，
∴AD=AC-CD=16-6=10cm，
∵D为折中点，
∴AD=CD+BC，
∴BC=AD-CD=10-6=4cm；
②点D在线段BC上,如图6,
∵E为线段AC中点，EC=8cm，
∴AC=2CE=16cm，
∴AD=AC+CD=16+6=22cm，
∴BD=AC+CD=22cm，
∴BC=BD+CD=22+6=28cm.
综上所述，CB的长度是4 cm 或28 cm.
24．（2023下·重庆北碚·七年级重庆市朝阳中学校考期中）如图，直线AB上，AB=15cm，点C是线段AB上的一点，CA=2CB．
(1)CA=______cm，CB=_______cm；
(2)若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s．动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．问；当t为何值时，2CP−CQ=2cm．
【答案】(1)10，5；
(2)135s或273s
【分析】（1）由点C是线段AB上的一点，CA=2CB，结合已知即可求解；
（2）分点P在点C的左边、点P在点C的右边两种情况，列方程求解即可.
【详解】（1）∵AB=15cm，CA=2CB，
∴AC=23AB=23×15=10cm，CB=AB−AC=15−10=5cm，
故答案为：10，5；
（2）①当点P在点C的左边时，
210−2t−5+t=2，
解得t=135；
当点P在点C的右边时，
22t−10−5+t=2，
解得t=273．
故当t为135s或273s时，2CP−CQ=2cm．
【点睛】此题考查的是线段的和差倍分及一元一次方程的应用，根据两点间距离列出方程求解即可．
25．（2023上·辽宁抚顺·七年级统考期末）如图，P是线段AB上一点，AB=18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线BA向左运动，到达点A处即停止运动．
(1)若点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s．
①若2cm②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，求AP:PB；
(2)若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD=3AC，求AP的长度．
【答案】(1)①12cm；②1:2
(2)92cm
【分析】（1）①先计算BD，PC，再计算AC+PD；②利用中点的性质求解；
（2）将AP用其它线段表示即可．
【详解】（1）解：①由题意得：BD=2×2=4(cm)，PC=1×2=2(cm)．
∴AC+PD=AB−PC−BD=18−2−4=12(cm)．
②点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，设运动时间为t，
则：AP=2PC=2t，BP=2BD=4t，
∴AP:PB=2t:4t=1:2．
（2）解：设运动时间为ts，则PC=tcm，BD=3tcm，
∴BD=3PC，
∵PD=3AC．
∴PB=PD+BD=3PC+3AC=3(PC+AC)=3AP
∴AP=14AB=92(cm)．
【点睛】本题考查线段上动点问题、求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是求解本题的关键．
26．（2023上·湖南邵阳·七年级统考期末）如图，在直线AB上，线段AB=20，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动，M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒．
(1)若点P在线段AB上运动，当MP=7时，NP= ；
(2)若点P在射线AB上运动，当MP=2NP时，求点P的运动时间t的值；
(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、MP、NP有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．
【答案】(1)3；
(2)203或20；
(3)NP−MP=12AB，理由见解析．
【分析】（1）由中点的含义先求解AM=MP=7，证明PN=BN=12BP，再求解PB=AB−AB=6，从而可得答案；
（2）①当点P在线段AB上，MP=2NP， ②当点P在线段AB的延长线上，MP=2NP，再建立方程求解即可；
（3）先证明MP=12AP=t，NP=12AB+AP=t+10，可得NP−MP=t+10−t=10，从而可得结论．
【详解】（1）解：∵M为AP的中点，N为BP的中点，MP=7，
∴AM=MP=7，PN=BN=12BP，
∴AP=14，
∵线段AB=20，
∴PB=AB−AB=20−14=6，
∴PN=BN=3．
（2）①当点P在线段AB上，MP=2NP，如图，
∵AP=2t，M为AP的中点，
∴MP=12AP=t，2NP=BP=AB−AP=20−2t
∴t=20−2t
解得t=203
②当点P在线段AB的延长线上，MP=2NP，如图，
同理：MP=12AP=t，2NP=BP=AP−AB=2t−20
∴t=2t−20
解得t=20
综上所述，当MP=2NP时，点P的运动时间t的值为203或20．
（3）当点P在线段AB的反向延长线上时，NP−MP=12AB，理由如下：
如图，
∵AP=2t，M为AP的中点，N为BP的中点，
∴MP=12AP=t，NP=12BP=12AB+AP=t+10，
∴NP−MP=t+10−t=10，
∴NP−MP=12AB．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，线段中点的含义，线段的和差运算，理解题意，清晰的分类讨论是解本题的关键．
27．（2023上·河南驻马店·七年级校联考期末）线段AB=16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD=2，E为BC的中点，
(1)如图1，当AC=4时，求DE的长．
(2)如图2，F为AD的中点
①点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由，若不会，请求出EF的长．
②当CF=0.8时，请直接写出线段DE的长．
【答案】(1)4
(2)①不变，4；②4.2或5.8
【分析】（1）首先根据题意求出BC的长度，然后由E为BC的中点求出BE的长度，最后即可求出DE的长；
（2）由题意可得AD+BC=AB+CD，由F为AD的中点和E为BC的中点表示出FD+CE=12AD+BC，代入EF=FD+CE−CD，即可求出EF长．
【详解】（1）解：因为AC=4，AB=16
所以BC=12
因为E为BC的中点．
所以CE=6，因为CD=2，
所以DE=6−2=4
（2）解：①因为E是线段BC的中点，F是线段AD的中点，
所以AF=FD=12AD，CE=BE=12BC．
因为EF=FD+DE
=12AD+12BC−CD
=12AD+BC−CD
=12(AD+BD+CD)−CD
=12AB−12CD
=12×16−1=7
所以线段EF的长度不会发生变化，EF=7．
②4.2或5.8．
提示：当点F在点C的左侧时，如图1所示。
因为FC=0.8，CD=2，
所以FD=FC+CD=2.8．
由①知EF=7．
所以DE=EF−FD=7−2.8=4.2．
当点F在点C的右侧时，如图2所示．
因为FC=08，CD=2．
所以FD=CD−FC=1.2
由①知EF=7，所以DE=EF−FD=7−1.2=5.8
综上所述，当CF=0.8时，线段DE的长为4.2或5.8．
【点睛】此题考查了线段的和差计算以及有关线段中点的计算问题，解题的关键是正确分析题目中线段之间的数量关系．
28．（2023上·湖北十堰·七年级统考期末）如图，已知线段AB=24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB方向运动，运动时间为t秒（t>0），点M为AP的中点．
(1)若点P在线段AB上运动，当t为多少时，PB=AM？
(2)若点P在射线AB上运动，N为线段PB上的一点．
①当N为PB的中点时，求线段MN的长度；
②当PN=2NB时，是否存在这样的t，使M，N，P三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点？如果存在，请求出t的值；如不存在，请说明理由．
【答案】(1)8；
(2)①12．②当t=487时，P是MN的中点；当t=965时，N是MP的中点．
【分析】（1）根据M是线段AP的中点，可得AM=12AP=t，从而得到PB=24−2t，再由PB=AM，即可求解；
（2）①分两种情况讨论：当点P在B点左侧时；当点P在B点或B点右侧时，即可求解；②分三种情况讨论：当048时，即可求解．
【详解】（1）解∶根据题意得：AP=2t，
∵M是线段AP的中点，
∴AM=12AP=t， PB=AB−AP=24−2t．
∵PB=AM，
∴24−2t=t，
解得t=8．
∴当t=8时，PB=AM；
（2）①当点P在B点左侧时．
∵M是线段AP的中点，
∴PM=12AP=t，
∵N是线段PB的中点，
∴PN=12BP=1224−2t=12−t．
∴MN=t+12−t=12．
当点P在B点或B点右侧时．
∵M是线段AP的中点，
∴PM=12AP=t，
∵N是线段PB的中点，
∴PN=12BP=122t−24=t−12．
∴MN=t−t−12=12，
综上所述，线段MN的长度为12；
②当PN=2NB时，存在这样的t，使M、N、P三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点．
当0由题意得：PM=t,PN=2324−2t，
∵PM=PN，
∴t=2324−2t，解得， t=487．
当12由题意得：PM=t,PN=232t−24，
∵PM=2PN，
∴t=2×232t−24，解得， t=965．
当t>48时，
由题意得：PM=t,PN=232t−24，
∵PN=2PM，
∴2t=232t−24，解得，t=−24（舍去）．
综上，当t=487时，P是MN的中点；当t=965时，N是MP的中点．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，本题是动点问题，解题时可根据图形，用t表示出相应线段的长，再根据已知条件列出方程．解题时要按照点的不同位置进行分类讨论，避免漏解．
29．（2023上·重庆·七年级重庆八中校考期末）如图所示，已知点E，点C和点D是线段AB上的点，点C是线段AB的中点，AD＝2BD，AE＝25AC，AB＝30；动点M从点A出发以每秒2个单位的速度向B点运动，动点M到达B点后立即以相同的速度从B点返回到A点．动点M从点A出发的同时动点N从点B出发以每秒1个单位的速度向A点运动，当点N到达点A时，两点停止运动．动点N的运动时间记为t．
（1）求线段ED的长；
（2）当MN＝125CD时，请直接写出t的值．
【答案】（1）14；（2）6或18
【分析】（1）根据中点的定义，以及线段的和差关系，可求线段ED的长；
（2）分情况讨论，①当t<15时，即M没有到B点时；②当t≥15时，即M从B返回A点，根据线段的和差关系，求解即可
【详解】（1）∵AD=2BD,AB=30,AD+BD=AB，
∴3BD=30，即BD=10
∴AD=20
∵点C是线段AB的中点，
∴AC=12AB=15，
∴AE=25AC=25×15=6，
∴ED=AD−AE=20−6=14，
∴ED=14，
（2）MN=125CD=125(AD−AC)=125×(20−15)=12，
①当t<15时，即M没到B点时，
MN=30−(2t+t)=12，
解得t=6；
②当t≥15时，即M点从B点返回，
MN=1×t−2(t−15)=12，
解得t=18，
综上所述，t的值为6或18．
【点睛】本题考查了线段的和差计算，掌握中点定义以及分类讨论是解题的关键．
30．（2023上·山西太原·七年级校考期末）如图，直线上有A，B，C，D四个点，BC=2CD，AD=8CD，CD=4cm．

(1)线段AB=______cm
(2)动点P，Q分别从A点，D点同时出发，点P沿线段AC以3cm/秒的速度，向右运动，到达点C后立即按原速向A点返回；点Q沿线段DA以1cm/秒的速度，向左运动；P点再次到达A点时，两点同时停止运动．设运动时间为t（单位：秒）
①求P，Q两点第一次相遇时，运动时间t的值；
②求P，Q两点第二次相遇时，与点A的距离．
【答案】(1)20cm
(2)8、20cm
【分析】（1）根据BC=2CD，AD=8CD，CD=4cm算出BC,AD，再根据AB=AD−BC−CD即可解答；
（2）①根据P，Q两点第一次相遇时，P，Q两点所走的路程之和是DA的长列方程即可求解；
②根据P，Q两点第二次相遇时，P点所走的路程与AC的差和Q所走的路程与CD的差相等列方程即可求解；
【详解】（1）∵CD=4cm,BC=2CD,AD=8CD
∴BC=2×4=8cm,AD=8×4=32cm
∴AB=AD−BC−CD=32−8−4=20cm
故线段AB的长为20cm．
（2）①P，Q两点第一次相遇时根据题意可得：3t+t=32
解得： t=8 秒
故P，Q两点第一次相遇时，运动时间t的值是8秒；
②由（1）得 AC=AB+BC=28cm
当P，Q两点第二次相遇时： 3t−28=t−4
解得： t=12 秒
∴ PC=3×12−AC=36−28=8 cm
∴ AP=28−8=20 cm
故P，Q两点第二次相遇时，与点A的距离是20cm
【点睛】本题考查了两点之间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解答该题的关键．
31．（2023上·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考期中）已知多项式a+10x3+20x2−5x+3是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b．
(1)a=___________，b=___________，线段AB=___________；
(2)若数轴上有一点C，使得AC=32BC，点M为AB的中点，求MC的长___________；
(3)有一动点G从点A出发，以3个单位每秒的速度向右方向运动，同时动点H从点B出发，以1个单位每秒的速度在数轴上作同方向运动，设运动时间为t秒（t<10），点D为线段GB的中点，点F为线段DH的中点，点E在线段GB上且GE=13GB，在G，H的运动过程中，求DE+DF的值___________．（用含t的代数式表示）
【答案】(1)−10；20；30
(2)3或75
(3)252−34t
【分析】（1）由题意直接求解即可；
（2）注意分情况讨论，①当点C在AB之间时，如图1，②当点C在B右侧时，如图2，分别计算AC和AM的长，相减可得结论；
（3）本题有两个动点G和H，根据速度和时间可得点G表示的数为：−10+t，点Ｈ表示的数为：20+56t，根据中点的定义得点D和点F表示的数，由GE=13GB得GE的长和点E表示的数，根据数轴上两点的距离可得DE和DF的长，相加可得最后的值．
【详解】（1）∵多项式a+10x3+20x2−5x+3是关于x的二次多项式，
∴a+10=0，
∴a=−10；
∵二次项系数为b，
∴b=20；
∴线段AB=30．
（2）分两种情况：
①当点C在AB之间时，如图1，
∵AC=32BC，AB=30，
∴AC=18，
∵点M为AB的中点，
∴AM=15，
∴CM=18−15=3；
②当点C在B右侧时，如图2，
∵AC=32BC，AB=30，
∴AC=90，
∴CM=90−15=75，
综上，MC的长是3或75．
（3）由题意得，点G表示得数为：−10+3t，点H表示的数为：20+t，
∵t<30，AB=30，
∴点G在线段AB之间，
∵D为BG中点，
∴点D表示的数为：20+(−10+3t)2=5+32t，
∵F是DH中点，
∴点F表示的数为：5+32t+20+t2=50+5t4，
∵BG=20−(−10+3t)=30−3t，EG=13BG，
∴EG=30−3t3=10−t，
∴点E表示的数为：−10+3t+10−t=2t，
∴DE+DF=(5+32t)−2t+50+5t4−(5+32t)=252−34t，
∴DE+DF的值为252−34t．
【点睛】本题考查多项式和数轴，根据点的运动特点，分情况列出合适的代数式进行求解是解题关键．
32．（2023上·湖北黄石·七年级统考期末）如图，已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且AB=12．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．设点P的运动时间为t秒．
(1)解决问题：
①当t=1时，写出数轴上点B，P所表示的数；
②若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？
(2)探索问题：若M为AQ的中点，N为BP的中点．当点P在A，B两点之间运动时，探索线段MN与线段PQ的数量关系（写出过程）．
【答案】(1)①点B表示-4，点P表示5；②1.8秒或3秒
(2)2MN+PQ=12或2MN-PQ=12，过程见解析
【分析】（1）①根据已知可得B点表示的数为8-12；点P表示的数为8-3t；
②点P运动x秒时，与Q相距2个单位长度，则AP=3x，BQ=2x，根据AP+BQ=AB-3，或AP+BQ=AB+3，列出方程求解即可；
（2）根据点P在点A、B两点之间运动，故MN=MQ+NP-PQ，由此可得出结论．
【详解】（1）解：①∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=12，
∴点B表示的数是8-12=-4，
∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴点P表示的数是8-3×1=5．
②设点P运动x秒时，与Q相距3个单位长度，
则AP=3x，BQ=2x，
∵AP+BQ=AB-3，
∴3x+2x=9，
解得：x=1.8，
∵AP+BQ=AB+3，
∴3x+2x=15
解得：x=3．
∴点P运动1.8秒或3秒时与点Q相距3个单位长度．
（2）2MN+PQ=12或2MN-PQ=12；理由如下：
P在Q右侧时有：MN=MQ+NP-PQ
=12AQ+12BP-PQ
=12（AQ+BP-PQ）-12PQ
=12AB-12PQ
=12（12-PQ），
即2MN+PQ=12．
同理P在Q左侧时有：2MN-PQ=12．
【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论．
33．（2023上·四川成都·七年级统考期末）已知代数式M＝（a﹣16）x3+20x2+10x+9是关于x的二次多项式，且二次项系数为b．如图，在数轴上有A、B、C三个点，且A、B、C三点所表示的数分别是a、b、c，已知AC＝6AB．
（1）直接依次写出a、b、c的值： ， ， ；
（2）若动点P、Q分别从C、O两点同时出发，向右运动，且点Q不超过点A．在运动过程中，E为线段AP的中点，F为线段BQ的中点，若动点P的速度为每秒2个单位长度，动点Q的速度为每秒3个单位长度，则BP−AQEF的值是 ；
（3）若动点P、Q分别从A、B两点同时出发，都以每秒2个单位长度的速度向左运动，动点M从点C出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t秒，若动点P、Q分别从C、O两点同时出发，3＜t＜72时，数轴上有一点N与点M的距离始终为2个单位长度，且点N在点M的左侧，T为线段MN上的一点（点T不与M、N重合），在运动的过程中，若满足MQ﹣NT＝3PT（点T不与点P重合），求出此时线段PT的长度．
【答案】（1）16，20，﹣8；（2）2；（3）PT＝1或PT=12
【分析】（1）根据M=(a−16)x3+20x2+10x+9是关于x的二次多项式，二次项的系数为b，可计算得a、b以及AB的值；结合AC=6AB，通过计算即可得到答案；
（2）设点P的出发时间为t秒，根据点E为线段AP的中点，点F为线段BQ的中点，若动点P的速度为每秒2个单位长度，动点Q的速度为每秒3个单位长度，分别得EF、BP、AQ，通过计算即可得到答案；
（3）设点P的出发时间为t秒，P点表示的数为16−2t，Q点表示的数为20−2t，M点表示的数为6t−8，N点表示的数为6t−10，T点表示的数为x，得MQ，NT，PT；结合MQ−NT=3PT，通过求解方程即可完成求解．
【详解】解：（1）∵M=(a−16)x3+20x2+10x+9是关于x的二次多项式，二次项的系数为b
∴a＝16，b＝20，
∴AB＝4，
∵AC＝6AB，
∴AC＝24，
∴16−c=24，
∴c=−8，
故答案为：16，20，−8
（2）设点P的出发时间为t秒，由题意得：
①当t＜163时，
EF＝AE﹣AF
=12AP−12BQ+AB
=12（24﹣2t）−12（20﹣3t）+4
＝6+t2，
∴BP﹣AQ＝（28﹣2t）﹣（16﹣3t）＝12+t，
∴BP−AQEF=2；
②当t≥163时，此时点Q与点A重合，
即AQ＝0，点F对应的数值为12（16+20）＝18；
此时点P在点O的右侧，即OP＝2t﹣8，
而PB＝|2t﹣8﹣20|＝|28﹣2t|，
则点E对应的值为12（2t﹣8+16）＝t+4，
则EF＝|18﹣（t+4）|＝|14﹣t|，
而BP﹣AQ＝PB＝|28﹣2t|，
故BP−AQEF=2；
故答案为：2
（3）设点P的出发时间为t秒，P点表示的数为16﹣2t，Q点表示的数为20﹣2t，M点表示的数为6t﹣8，N点表示的数为6t﹣10，T点表示的数为x，
∴MQ＝28﹣8t，NT＝x﹣6t+10，PT＝|16﹣2t﹣x|，
∵MQ﹣NT＝3PT，
∴28﹣8t﹣（x+10﹣6t）＝3|16﹣2t﹣x|，
∴x＝15﹣2t或x=332−2t，
∴PT＝1或PT=12．
【点睛】本题考查了数轴、代数式、整式加减、绝对值、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握数轴、代数式、整式加减、绝对值、一元一次方程的性质，从而完成求解．
34．（2023上·安徽蚌埠·七年级统考期末）如图，点A,B在数轴上分别表示有理数a,b，且a,b满足|a+2|+(b−5)2=0．
（1）点A表示的数是___________，点B表示的数是____________．
（2）若动点P从点A出发以每秒3个单位长度向右运动，动点Q从点B出发以每秒1个单位长度向点A运动，到达A点即停止运动P,Q两点同时出发，且Q点停止运动时，P也随之停止运动，求经过多少秒时，P,Q第一次相距3个单位长度？
（3）在（2）的条件下整个运动过程中，设运动时间为t秒，若AP的中点为M,BQ的中点为N，当t为何值时，BM+AN=3PB？
【答案】（1）﹣2，5；（2）1秒；（3）1秒或3511秒．
【分析】（1）由非负数的性质得a+2＝0，且b﹣5＝0，得出a＝﹣2，b＝5；
（2）求出AB＝7，设经过x秒时，P、Q第一次相距3个单位长度，则AP＝3x，BQ＝x，可列方程 7﹣3x﹣x＝3，解方程即可；
（3）由题意得t秒后，AP＝3t，BQ＝t，由中点的定义得AM＝12AP＝32t，BN＝12BQ＝12t，对P、M、B三点的位置分类讨论，用含t的式子表示BM、PB、AN长，由题意得出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）∵a,b满足|a+2|+(b−5)2=0，
∴a+2＝0， b﹣5＝0，
∴a＝﹣2，b＝5，
即点A所对应的数是﹣2，点B所对应的数是5；
故答案为：﹣2，5；
（2）AB＝5﹣（﹣2）＝7，
设经过x秒时，P、Q第一次相距3个单位长度，
则AP＝3x，BQ＝x，PQ＝AB﹣AP﹣BQ，
列方程得，7﹣3x﹣x＝3，
解得：x＝1，
答：经过1秒时，P、Q第一次相距3个单位长度；
（3）由题意得：t秒后，AP＝3t，BQ＝t，
∵AP的中点为M，BQ的中点为N，
∴AM＝12AP＝32t，BN＝12BQ＝12t，
如图1，当点P、M都在点B的左侧时，
BM＝AB﹣AM＝7﹣32t，PB＝AB﹣AP＝7﹣3t，AN＝AB﹣BN＝7﹣12t，
∵BM+AN＝3PB，
∴7﹣32t +7﹣12t＝3（7﹣3t），
解得：t＝1；
如图2，当点M在点B的左侧，点P在点B的右侧时，
BM＝AB﹣AM＝7﹣32t，PB＝AP﹣AB＝3t﹣7，AN＝AB﹣BN＝7﹣12t，
∵BM+AN＝3PB，
∴7﹣32t +7﹣12t＝3（3t﹣7），
解得：t＝3511；
③如图3，当点P、M都在点B的右侧时，
BM＝AM﹣AB＝32t﹣7，PB＝AP﹣AB＝3t﹣7，AN＝AB﹣BN＝7﹣12t，
∵BM+AN＝3PB，
∴32t﹣7+7﹣12t＝3（3t﹣7），
解得：t＝218（舍去）；
综上所述，当t为1秒或3511秒时，BM+AN＝3PB．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、两点的距离、非负数的性质以及分类讨论等知识；关键是数形结合，正确列出一元一次方程．
35．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校联考期末）如图，A、B、C三点在数轴上，点A表示的数为−10，点B表示的数为14，点C为线段AB的中点.动点P在数轴上，且点P表示的数为x.
（1）求点C表示的数；
（2）点P从点A出发，向终点B运动.设BP中点为M.请用含x的整式表示线段MC的长.
（3）在（2）的条件下，当x为何值时，AP−CM=2PC？
【答案】（1）2；（2）MC=5+x2；（3）当x=−25或x=6时，有AP−CM=2PC成立.
【分析】（1）根据中点的定义，即可求出点C的坐标；
（2）先表示出点M的数，然后利用线段上两点之间的距离，即可表示出MC的长度；
（3）分别求出AP，MC和PC的长度，结合题意，分为三种情况进行讨论，即可求出x的值.
【详解】解：（1）点A表示的数为−10，点B表示的数为14，
∴线段AB=14−(−10)=24，
∴点C表示的数为：14−24÷2=2；
（2）根据题意，
点M表示的数为：14+x2，
∴线段MC的长度为：14+x2−2=5+x2；
（3）根据题意，
线段AP的长度为：x+10，
线段MC的长度为：5+x2，
线段PC的长度为：2−x，
∵AP−CM=2PC，
∴x+10−(5+x2)=22−x，
整理得：2−x=14x+52，
①当点P在点C的左边时，x<2，则2−x>0，
∴2−x=14x+52，
解得：x=−25；
②当点P与点C重合时，x=2，
∴14x+52=0，
解得：x=−10（不符合题意，舍去）；
③当点P在点C的右边时，x>2，则2−x<0，
∴x−2=14x+52，
解得：x=6.
∴当x=−25或x=6时，有AP−CM=2PC成立.
【点睛】本题考查了数轴上的动点的问题，数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，以及绝对值的意义，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离.
36．（2023上·吉林延边·七年级校考期末）点A，B在数轴上表示的数如图所示. 动点P从点A出发，沿数轴向右以每秒2个单位长度的速度运动到点B，再从点B以同样的速度运动到点A停止，设点P运动的时间为t秒，解答下列问题.
（1）当t=2时，AP= 个单位长度，当t=6时，AP= 个单位长度；
（2）直接写出整个运动过程中AP的长度(用含t的代数式表示)；
（3）当AP=6个单位长度时，求t的值；
（4）当点P运动到线段AB的3等分点时，t的值为 .
【答案】（1）4, 8；（2）2t个单位长度或20-2t个单位长度；（3）t=3或7；（4）53，103，203，253.
【分析】（1）当t=2时，列式计算即可；当t=6时，点P到达点B，而且从点B向左运动1秒，即可求出答案；
（2）根据题意，可分为两个过程，点P从点A运动到点B，和从点B运动回点A，进行分类讨论，即可得到答案；
（3）当AP=6，分别代入（2）中的结论，即可求出答案；
（4）根据题意，AB的三等分点有两个点，可分为4种情况进行分析，即可得到答案.
【详解】解：（1）根据题意，AB=7−(−3)=10，
∴点P从点A运动到点B需要：102=5秒；
∴当t=2时，AP=2×2=4；
当t=6时，AP=10+10−2×6=8；
故答案为：4，8 .
（2）根据题意，
当0≤t≤5时，AP=2t；
当5∴整个运动过程中AP的长度为：2t个单位长度或20−2t个单位长度；
（3）∵AP=6，
当2t=6时，解得：t=3；
当20-2t=6时，解得：t=7；
（4）∵AB=10，
①当AP=13AB=103时，t=103÷2=53；
②当AP=23AB=203时，t=203÷2=103；
③当AP=AB+13AB=403时，t=403÷2=203；
④当AP=AB+23AB=503时，t=503÷2=253；
综上所述，t的值为：53或103或203或253.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，以及数轴上动点的问题等知识；熟练掌握数轴上两点之间的距离表示方法与正确理解题意列出方程是解题的关键．注意熟练进行分论讨论，避免漏接.
37．（2023上·湖南长沙·七年级长郡中学校考期中）已知数轴上的A、B两点所对应的数分别为a、b．P为数轴上的一个动点．其中a，b满足（a﹣1）2+|b+5|＝0，
（1）若点P为AB的中点，求P点对应的数．
（2）若点P从A点出发，以每秒2个单位的速度向左运动，t秒后，求P点所对应的数以及PB的距离．
（3）若数轴上点M、N所对应的数为m、n，其中A为PM的中点，B为PN的中点，无论点P在何处，MNAB是否为一个定值？若是，求出定值：若不是，请说明理由．
【答案】（1）-2；（2）P点表示1﹣2t， PB＝|6﹣2t|；（3）MNAB是一个定值，定值为2．
【分析】（1）先确定a、b定值，由数轴上数中点的特点，求出P点的对应数；
（2）由题意可知，P点t秒后运动距离2t，P点表示1﹣2t，即可求PB；
（3）设P点表示的数为x，由两个中点，可知x＝2﹣m，x＝﹣10﹣n，求得m﹣n＝12，即MN＝|m﹣n|＝12，所以MNAB＝＝2．
【详解】解：（1）由（a﹣1）2+|b+5|＝0，
∴a＝1，b＝﹣5，
∴AB＝6，
∵点P为AB的中点，
∴P点对应为﹣2；
（2）P点t秒后运动距离2t，
∴P点表示1﹣2t，
PB＝|1﹣2t+5|＝|6﹣2t|；
（3）设P点表示的数为x，
∵A为PM的中点，
∴x＝2﹣m，
∵B为PN的中点，
∴x＝﹣10﹣n，
∴2﹣m＝﹣10﹣n，
∴m﹣n＝12，
∵MN＝|m﹣n|＝12，
∴MNAB＝126＝2，
∴MNAB是一个定值，定值为2．
【点睛】本题主要考查实数的性质、一元一次方程的相关知识；弄清题意，找到运动后点所对应的数以及结合数轴确定中点所对应的数是解题的关键.
38．（2023上·江苏盐城·七年级校联考期中）如图，点A、B、C在数轴上对应的数分别是−12、b、c，且b、c满足(b−9)2+c−20=0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，设运动时间为t秒．
（1）b=____，c=____，A、C两点间的距离为____个单位；
（2）①若动点P从A出发运动至点C时，求t的值；
②当P、Q两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数；
（3）当t=___时，P、Q两点到点B的距离相等．
【答案】（1）9，20，32；（2）①t=412；②相遇点对应的数为6；（3）当t=12或25时，点P、Q到点B的距离相等．
【分析】（1）根据b−92+c−20=0可先求出b、c的值，然后再由数轴两点距离可求解；
（2）①点P从点A运动到点C可得当点P在AO上时，点P在OB上时及点P在BC上时，然后分别求出时间，进而问题可求解；
②由题意易得当点C到达变速点B时，点P所运动到的位置可求，然后再根据相遇问题进行求解，最后在利用数轴求解即可；
（3）由（1）（2）及题意可分：①当015，然后根据数轴两点距离及线段的和差关系进行列方程求解即可．
【详解】解：（1）∵b−92+c−20=0，
∴b−9=0,c−20=0，
∴b=9,c=20，
∴A、C两点距离为：20−−12=32；
故答案为9，20，32；
（2）①由题意可分：当点P从A运动到O和从B运动到C时，所需时间为：12+11÷2=232s，
点P从点O到点B属于变速区，所以速度为2÷2=1单位/秒，此时所需时间为9÷1=9s，
∴点P从点A到点C的时间为：232+9=412s；
②当点C到达变速点B时，所需时间为11÷1=11s，此时点P运动的路程为：12+11−6×1=17，即在数轴上所表示的数为5，此时点Q的速度为1×3=3单位/秒，
∴4÷1+3=1s，
∴5+1×1=6，
∴相遇点所表示的数为6；
（3）由（1）（2）及题意可分：
①当0则有AB=21，AP=2t，PB=21-2t，BC=11，BQ=11-t，
∵BP=BQ，
∴21−2t=11−t，
解得：t=10（不符合题意，舍去）；
②当6∵点P的速度为1单位/秒，Q速度不变，
∴PB=21−12+t−6×1=15−t，BQ=11-t，
∵PB=BQ，
∴15−t=11−t，方程无解；
③当点Q的速度变为3单位/秒时，即11∴PB=15-t，BQ=CQ−CB=BQ=3t−11=3t−33，
∵PB=BQ，
∴15−t=3t−33，
解得t=12，
④当点Q和点P都过了“变速区”，即t>15，如图所示：
∴PB=2t−15=2t−30，BQ=OQ+OB=1×t−14+9=t−5，
∵PB=BQ，
∴2t−30=t−5，
解得：t=25；
综上所述：当t=12或25时，点P、Q到点B的距离相等；
故答案为12或25．
【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题及线段的和差、一元一次方程的解法，熟练掌握数轴上的动点问题及线段的和差、一元一次方程的解法是解题的关键．
39．（2023上·浙江金华·七年级校考阶段练习）如图，已知数轴上点A表示的数为−3，B是数轴上位于点A右侧一点，且AB=12．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向点B方向匀速运动，设运动时间为t秒．
（1）数轴上点B表示的数为__________；点P表示的数为__________．（用含t的代数式表示）
（2）动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向点A方向匀速运动；点P、点Q同时出发，当点P与点Q重合后，点P马上改变方向，与点Q继续向点A方向匀速运动（点P、点Q在运动过程中，速度始终保持不变）；当点P到达A点时，P、Q停止运动．运动时间为t秒．
①当点P与点Q重合时，求t的值，并求出此时点P表示的数．
②当点P是线AQ的三等分点时，求t的值．
【答案】（1）9，−3+2t；（2）①t=4，此时点P表示的数为5；②当t=127秒或3秒或6秒或365秒时，点P是线段AQ的三等分点．
【分析】（1）根据数轴上的两点距离可直接进行求解；
（2）①根据重合前两者的路程和等于AB的长即可列方程求解；
②分点P与点Q相遇前和相遇后，依据点P是线段AQ的三等分点进行求解即可．
【详解】解：（1）由题意易得：
点B表示的数为：−3+12=9，点P表示的数为−3+2t；
故答案为9，−3+2t；
（2）①根据题意得：
1+2t=12，解得：t=4，
∴−3+2t=−3+2×4=5，
答：当t=4秒时，点P与点Q重合，此时点P表示的数为5
②点P与点Q重合前：
当2AP=PQ时，则有：2t+4t+t=12，
解得：t=127；
当AP=2PQ时，则有：2t+t+t=12，
解得：t=3；
点P与点Q重合后：
当AP=2PQ时，则有28−t=2t−4，
解得：t=6；
当2AP=PQ时，则有48−t=t−4，
解得：t=365；
综上所述：当t=127秒或3秒或6秒或365秒时，点P是线段AQ的三等分点．
【点睛】本题主要考查线段的和差关系、一元一次方程的解法及数轴上的动点问题，熟练掌握线段的和差关系、一元一次方程的解法及数轴上的动点问题是解题的关键．
40．（2023上·安徽合肥·七年级合肥市庐阳中学校考阶段练习）如图，在数轴上的A点表示数a，B点表示数b，a、b满足a+22+b−5=0

(1)点A表示的数为____________，点B表示的数为______________.
(2)若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A 处以2个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以3个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）．
①当t=1时，乙小球到原点的距离=__________________；
当t=3时，乙小球到原点的距离=__________________．
②试探究：甲、乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由；若能，请计算说明．
(3)现将小球乙看成动点P，当点P运动到线段OB上时，分别取OB和AP的中点E,F，试判断AB−OPEF的值是否为定值，若不是，请说明理由；若是，请求出该定值．
【答案】(1)−2，5
(2)①2，4；②能，当t=35或t=7时，甲、乙两小球到原点的距离相等
(3)AB−OPEF的值是定值，这个定值为2
【分析】（1）根据偶次方和绝对值的非负性求出a,b的值，由此即可得；
（2）①当t=1时，乙小球运动的距离为3，再利用OB的长减去3即可得；当t=3时，乙小球运动的距离为9，再利用9减去OB的长即可得；
②先求出乙小球从点B运动到原点O所需时间为53秒，再分两种情况：053，分别建立方程，解方程即可得；
（3）先求出AB=7，点E表示的有理数为52，再分两种情况：①0【详解】（1）解：∵a+22+b−5=0，
∴a+2=0，b−5=0，
解得a=−2,b=5，
则点A表示的数为−2，点B表示的数为5，
故答案为：−2，5．
（2）解：①∵点B表示的数为5，
∴OB=5，
当t=1时，乙小球运动的距离为1×3=3，
则乙小球到原点的距离为5−3=2，
当t=3时，乙小球运动的距离为3×3=9，
则乙小球到原点的距离为9−5=4，
故答案为：2，4；
②假设甲、乙两小球到原点的距离能相等，
乙小球从点B运动到原点O所需时间为5÷3=53（秒），
当0解得t=35，符合题设；
当t>53时，2t−−2=3t−5，
解得t=7，符合题设；
综上，当t=35或t=7时，甲、乙两小球到原点的距离相等．
（3）解：由（1）可知，AB=5−−2=7，点P从点B运动到点O，再从点O运动到点B所需时间为2×53=103（秒），
∵点E是OB的中点，点B表示的数为5，
∴点E表示的有理数为52，
①如图，当0
∴OP=5−3t，
∵点F是AP的中点，点A表示的数为−2，
∴点F表示的有理数为−2+5−3t2=3−3t2，
∴EF=52−3−3t2=2+3t2，
∴AB−OPEF=7−5−3t2+3t2=2；
②如图，当53
∴OP=3t−5，
∵点F是AP的中点，点A表示的数为−2，
∴点F表示的有理数为−2+3t−52=3t−72，
∴EF=52−3t−72=12−3t2，
∴AB−OPEF=7−3t−512−3t2=2，
综上，AB−OPEF的值是定值，这个定值为2．
【点睛】本题考查了偶次方和绝对值的非负性、一元一次方程的应用、数轴、整式加减的应用、线段中点等知识点，熟练掌握数轴的性质是解题关键．