中考数学一轮复习：专题13.5 角平分线的判定与性质【八大题型】（举一反三）（华东师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习：专题13.5 角平分线的判定与性质【八大题型】（举一反三）（华东师大版）（解析版），共50页。

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\l "_Tc17141" 【题型1 利用角平分线的性质求长度】 PAGEREF _Tc17141 \h 1
\l "_Tc22379" 【题型2 利用角平分线的性质求面积】 PAGEREF _Tc22379 \h 6
\l "_Tc19085" 【题型3 利用角平分线的性质证明】 PAGEREF _Tc19085 \h 10
\l "_Tc32587" 【题型4 角平分线的判定】 PAGEREF _Tc32587 \h 17
\l "_Tc6038" 【题型5 尺规作角平分线】 PAGEREF _Tc6038 \h 23
\l "_Tc18514" 【题型6 角平分线的性质与判定综合运用】 PAGEREF _Tc18514 \h 28
\l "_Tc12720" 【题型7 利用角平分线的性质判断多结论问题】 PAGEREF _Tc12720 \h 40
\l "_Tc2449" 【题型8 角平分线的性质的实际应用】 PAGEREF _Tc2449 \h 46
【知识点1 角平分线的性质】
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
【题型1 利用角平分线的性质求长度】
【例1】（2023春·辽宁丹东·八年级统考期末）如图，AC平分∠DAB，CE⊥AB，BC=DC，AB=17，AD=9，则AE的长为（ ）

A．13B．12C．11D．10
【答案】A
【分析】过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F，由HL可证明Rt△DFC≌Rt△BEC和Rt△AFC≌Rt△AEC，从而得到BE=DF和AF=AE，利用AB+AD=AE+BE+AF−DF=2AE即可得到答案．
【详解】解：过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F，

∵AC平分∠DAB，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，
∴CF=CE，∠DFC=∠BEC=90°，
在Rt△DFC和Rt△BEC中，
CE=CFCD=CB，
∴Rt△DFC≌Rt△BECHL，
∴BE=DF，
在Rt△AFC和Rt△AEC中，
CE=CFAC=AC，
∴Rt△AFC≌Rt△AECHL，
∴AF=AE，
∵AB=17，AD=9，
∴AB+AD=AE+BE+AF−DF=2AE=17+9=26，
∴AE=13．
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用全等三角形的性质和角平分线的性质解答．
【变式1-1】（2023春·贵州·八年级统考期末）如图，已知AB∥CD，射线AE平分∠BAC，过点E作EH⊥AC于点H，作EF⊥AB于点F，并延长FE交CD于点G，连接CE．若∠AEC=90°，EH=1则FG的长为 ．

【答案】2
【分析】先根据平行线的性质可得∠BAC+∠ACD=180°，再根据角平分线的定义和“等角的余角相等”可得∠ACE=∠ECD，再由AB∥CD,GF⊥AB，可得GF⊥CD，由角平分线的性质可得EF=EH,EG=EH，即可求出FG的长．
【详解】∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
即∠BAE+∠CAE+∠ACE+∠ECD=180°．
∵∠AEC=90°，
∴∠CAE+∠ACE=90°，
∴∠BAE+∠ECD=90°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∴∠ACE=∠ECD，
∴CE平分∠ACD．
∵AB∥CD,GF⊥AB，
∴GF⊥CD．
∵EH⊥AC，
∴EF=EH=1,EG=EH=1，
∴FG=EF+EG=2．
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，“等角对等边”．熟练掌握以上知识，且证明CE平分∠ACD是解题的关键．
【变式1-2】（2023春·福建漳州·八年级校考期中）如图，△ABC中，∠A=90°，CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，若AB=8cm，AC=6cm，BC=10cm，则△BDE的周长是 cm．

【答案】12
【分析】根据角平分线的性质得出DE=AD，再证Rt△DAC ≌ Rt△DECHL，推出CE=AC，进而解答即可．
【详解】解：∵∠A=90°，CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，
∴DE=AD，
在Rt△DAC和Rt△DEC中，
DE=DADC=DC，
∴Rt△DAC ≌ Rt△DECHL，
∴AC=EC，
∴△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+AD+BE=AB+BC−CE=AB+BC−AC=8+10−6=12cm，
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据角平分线的性质得出DE=AD．
【变式1-3】（2023春·陕西西安·八年级陕西师大附中校考开学考试）如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E，若BD=5，则CE的值为 ．
【答案】52
【分析】延长BA、CE相交于点F，由角平分线的性质可得∠ABD=∠CBD，利用ASA证明△BCE≌△BFE，得到CE=EF，根据同角的余角相等得到∠ABD=∠ACF，通过ASA证明△ABD≌△ACF，得到BD=CF，从而即可得到答案．
【详解】解：如图，延长BA、CE相交于点F，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵CE⊥BD，
∴∠BEF=∠BEC=90°，
在△BCE和△BFE中，
∠ABD=∠CBDBE=BE∠BEF=∠BEC=90°，
∴△BCE≌△BFEASA，
∴CE=EF，
∵∠BAC=90°，CE⊥BD，
∴∠ACF+∠F=90°，∠ABD+∠F=90°，
∴∠ABD=∠ACF，
∵∠BAC=90°，∠BAC+∠CAF=180°，
∴∠BAC=∠CAF=90°，
在△ABD和△ACF中，
∠ABD=∠ACFAB=AC∠BAC=∠CAF=90°，
∴△ABD≌△ACFASA，
∴BD=CF，
∵CF=CE+EF=2CE，
∴BD=2CE=5，
∴CE=52，
故答案为：52．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、同角的余角相等，熟练掌握全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、同角的余角相等，添加适当的辅助线，是解题的关键．
【题型2 利用角平分线的性质求面积】
【例2】（2023春·陕西西安·八年级校考期末）如图，已知△ABC的周长是18，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=2，则△ABC的面积是（ ）

A．6B．9C．18D．36
【答案】C
【分析】由角平分线的性质得到OM=OD=ON，由△ABC的面积=△AOB的面积+△OBC的面积+△OAC的面积，得到△ABC的面积=12AB+BC+AC⋅OD，由△ABC的周长=18，OD=2，即可求出△ABC的面积=12×18×2=18．
【详解】解：过O作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OM=OD，ON=OD，
∵△ABC的面积=△AOB的面积+△OBC的面积+△OAC的面积，
∴△ABC的面积=12AB⋅OM+12BC⋅OD+12AC⋅ON=12AB+BC+AC⋅OD，
∵△ABC的周长=18，OD=2，
∴△ABC的面积=12×18×2=18．
故选：C．

【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由三角形面积公式得到△ABC的面积=12AB+BC+AC⋅OD．
【变式2-1】（2023春·河南洛阳·八年级统考期末）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=10，DE=3，则△BCE的面积等于（ ）
A．9B．13C．15D．30
【答案】C
【分析】过E作EF⊥BC于F，根据角平分线性质得出EF=DE=3，根据三角形面积公式求出即可．
【详解】解：过E作EF⊥BC于F，
∵CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，
∴EF=DE=3，
∵BC=10，
∴△BCE的面积为12×BC×EF=15．
故选C．
【点睛】考查了三角形的面积和角平分线性质，能根据角平分线性质求出DE=EF是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
【变式2-2】（2023春·福建福州·八年级校考期中）如图，∠B=∠C=90°，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，若S△CDE:S△ABE=2:3，则S△ADE∶S△DCE= ．

【答案】5:2
【分析】过点E作EF⊥AD于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得BE=EF，然后证明Rt△ABE≌Rt△AFEHL，根据全等三角形的面积相等可得S△ABE=S△AFE，同理可得：S△EFD=S△ECD，设S△CDE=2k，S△ABE=3k，表示出S△ADE=5k，然后求解即可．
【详解】如图，过点E作EF⊥AD于F，

∵∠B=90°，
∴EB⊥AB，
∵AE平分∠BAD，
∴BE=EF，
在Rt△ABE和Rt△AFE中，
AE=AEBE=EF，
∴Rt△ABE≌Rt△AFEHL，
∴S△ABE=S△AFE，
同理：S△EFD=S△ECD，
设S△CDE=2k，S△ABE=3k，
∴S△ADE=S△AFE+S△EFD=S△ABE+S△CDE=3k+2k=5k，
∴S△ADE:S△DCE=5k:2k=5:2，
故答案为：5:2．
【点睛】此题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
【变式2-3】（2023春·山东枣庄·八年级校考期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△EFD的面积分别为50和4.5，则△AED的面积为 ．
【答案】41
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，再利用“HL”证明Rt△ADF≌Rt△ADH，Rt△DEF≌Rt△DGH，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可．
【详解】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，如图，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DF=DH，
在Rt△ADF和Rt△ADH中，
AD=ADDF=DH，
∴Rt△ADF≌Rt△ADHHL，
∴SRt△ADF=SRt△ADH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
DE=DGDF=DH，
∴Rt△DEF≌Rt△DGHHL，
∴SRt△DEF=SRt△DGH，
∵△ADG和△EFD的面积分别为50和4.5，SRt△ADE+SRt△DEF=S△ADG−SRt△DGH，
∴SRt△ADE+4.5=50−4.5
∴SRt△ADE=41．
故答案为：41．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，熟记性质并作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【题型3 利用角平分线的性质证明】
【例3】（2023春·四川绵阳·八年级校考期中）如图，已知∠C=60°，AE,BD是△ABC的角平分线，且交于点P．
(1)直接写出∠DPE=___________°；

(2)求证：PD=PE；
(3)探究AB、AD、BE的数量关系．
【答案】(1)120
(2)见解析
(3)AB=AD+BE
【分析】（1）根据角平分线平分线以及三角形的内角和定理，求出∠APB的度数，对顶角相等，即可得到∠DPE的度数；
（2）过点P作PF⊥AB,PG⊥AC,PH⊥BC，证明△PGD≌△PHE，即可得证；
（3）在AB上截取BM=BE，证明△BPM≌△BPE，△APM≌△APD即可得出结论．
【详解】（1）解：∵∠C=60°，
∴∠ABC+∠CAB=180°−∠C=120°，
∵AE,BD是△ABC的角平分线，
∴∠PAB=12∠CAB,∠PBA=12∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA=12∠CAB+12∠CBA=60°，
∴∠APB=180°−∠PAB+∠PBA=120°，
∴∠DPE=∠APB=120°；
故答案为：120；
（2）证明：过点P作PF⊥AB,PG⊥AC,PH⊥BC，

则：∠PGD=∠PGC=∠PHE=90°，
∵AE,BD是△ABC的角平分线，且交于点P，
∴PG=PF=PH，
∵∠C+∠PGC+∠PHC+∠GPH=180°，
∴∠GPH=120°，
∵∠DPE=120°，
∴∠DPG=∠EPH，
∴△PGD≌△PHE，
∴PD=PE；
（3）解：在AB上截取BM=BE，

∵BP平分∠ABC，
∴∠PBM=∠PBE，
∵BP=BP，
∴△BPM≌△BPE，
∴∠BPM=∠BPE=180°−∠APB=60°，
∴∠APM=∠APB−∠BPM=60°，
∵∠APD=180°−∠APB=60°，
∴∠APD=∠APM，
∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP=∠MAP，
又AP=AP，
∴△APM≌△APD，
∴AM=AD，
∴AB=AM+BM=AD+AE．
【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加合适的辅助线，证明三角形全等．
【变式3-1】（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论．
【答案】相等，证明见解析
【分析】连接EB、EC，利用角平分线的性质和垂直平分线的性质可得EF=EG、EB=EC，然后借助“HL”证明Rt△EFB≌Rt△EGC，由全等三角形的性质可证明BF=CG．
【详解】BF与CG的大小关系为相等．
证明如下：连接EB、EC，如下图，
∵AE是∠BAC的平分线，且EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，
∴EF=EG，
∵ED⊥BC于D，D是BC的中点，
∴EB=EC，
∴Rt△EFB≌Rt△EGC(HL)，
∴BF=CG．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质以及垂直平分线段的性质，正确作出辅助线，熟练掌握相关判定与性质是解题关键．
【变式3-2】（2023春·湖北荆门·八年级校联考期末）如图，已知△ABC中，∠BAC、∠ABC的平分线交于O，AO交BC于D，BO交AC于E，连接OC，过O作OF⊥BC于F，

(1)试判断∠AOB与∠COF有何数量关系，并证明你的结论；
(2)若∠ACB=60°，探究OE与OD的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)∠AOB+∠COF=180°，证明见详解
(2)OE=OD，证明见详解
【分析】（1）过O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，根据角平分线性质求出OM=ON=OF，求出CO平分∠ACB，求出∠AOB=90°+12∠ACB，∠COF=90°−∠OCF，即可求出答案．
（2）求出∠MOE=∠DOF，∠OME=∠OFD，根据AAS证出△MOE≌△FOD即可．
【详解】（1）∠AOB+∠COF=180°，
证明：过O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，

∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，OF⊥BC，
∴OM=ON，ON=OF，
∴OM=OF，
∴O在∠ACB的角平分线上，
∴∠OCF=12∠ACB，
∵OF⊥BC，
∴∠CFO=90°，
∴∠COF+∠OCF=90°，
∴∠COF=90°−∠OCF，①
∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，
∴∠OAB=12∠CAB，∠OBA=12∠CBA，
∴∠AOB=180°−∠OAB+∠OBA
=180°−12∠CAB+∠CBA
=180°−12180°−∠ACB
=90°+12∠ACB
=90°+∠OCF，②
由①②得：∠AOB+∠COF=90°+∠OCF+90°−∠OCF=180°；
（2）OE=OD，
证明：∵∠ACB=60°，
∴由（1）知：∠AOB=90°+12∠ACB=90°+30°=120°，
∴∠EOD=∠AOB=120°，
∵OM⊥AC，OF⊥BC，
∴∠OME=∠OFD=90°，∠CMO=∠CFO=90°，
∴∠MOF=360°−90°−90°−60°=120°，
∴∠MOE=∠DOF=120°−∠MOD，
在△EOM和△DOF中
∠OME=∠OFD∠MOE=∠DOFOM=OF
∴△EOM≌△DOFAAS，
∴OE=OD．
【点睛】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力．
【变式3-3】（2023春·湖北荆门·八年级校联考期末）如图，已知△ABC中，∠BAC、∠ABC的平分线交于O，AO交BC于D，BO交AC于E，连OC，过O作OF⊥BC于F．
(1)试判断∠AOB与∠COF有何数量关系，并证明你的结论；
(2)若∠ACB=60°，探究OE与OD的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)∠AOB+∠COF=180°，见解析
(2)OE=OD，见解析
【分析】（1）过O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，根据角平分线性质求出OM=ON=OF，求出CO平分∠ACB，求出∠AOB=90°+12∠ACB，∠COF=90°−∠OCF，即可求出答案．
（2）求出∠MOE=∠DOF，∠OME=∠OFD，根据AAS证出△MOE≌△FOD即可．
【详解】（1）∠AOB+∠COF=180°，
证明：过O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，
∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，OF⊥BC，
∴OM=ON，ON=OF，
∴OM=OF，
∴O在∠ACB的角平分线上，
∴∠OCF=12∠ACB，
∵OF⊥BC，
∴∠CFO=90°，
∴∠COF+∠OCF=90°，
∴∠COF=90°−∠OCF，①
∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，
∴∠OAB=12∠CAB，∠OBA=12∠CBA，
∴∠AOB=180°−∠OAB+∠OBA
=180°−12∠CAB+∠CBA
=180°−12180°−∠ACB
=90°+12∠ACB
=90°+∠OCF，②
由①②得：∠AOB+∠COF=90°+∠OCF+90°−∠OCF=180°；
（2）OE=OD，
证明：∵∠ACB=60°，
∴由（1）知：∠AOB=90°+12∠ACB=90°+30°=120°，
∴∠EOD=∠AOB=120°，
∵OM⊥AC，OF⊥BC，
∴∠OME=∠OFD=90°，∠CMO=∠CFO=90°，
∴∠MOF=360°−90°−90°−60°=120°，
∴∠MOE=∠DOF=120°−∠MOD，
在△EOM和△DOF中
∠OME=∠OFD∠MOE=∠DOFOM=OF
∴△EOM≌△DOFAAS，
∴OE=OD．
【点睛】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力．
【知识点2 角平分线的判定】
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
【题型4 角平分线的判定】
【例4】（2023春·广东江门·八年级台山市新宁中学校考期中）如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD（OABC，直线l垂直平分AC；作∠ABC的平分线交直线l于点D，连接AD，CD；
(1)尺规作图补全图形；
(2)判断∠BAD和∠BCD的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)∠BAD+∠BCD=180°；证明见解析
【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）DM⊥AB交AB于点M；作DN⊥BC交BC的延长线于点N；构造Rt△DMA≌Rt△DNC(HL)可得∠BAD=∠DCN；进而得出结论；
【详解】（1）解：作图如下：
（2）解：∠BAD+∠BCD=180° ；理由如下：
如图，作DM⊥AB交AB于点M；作DN⊥BC交BC的延长线于点N；
∵l 垂直平分AC
∴DA=DC
∵BD平分∠ABC
∴DM=DN
在Rt△DMA 和Rt△DNC中
DA=DCDM=DN
∴Rt△DMA≌Rt△DNC(HL)
∴∠BAD=∠DCN
∵∠DCN+∠BCD=180°
∴∠BAD+∠BCD=180°
【点睛】本题考查了尺规作角平分线、中垂线的性质、角平分线的性质；运用角平分线的性质构造全等三角形是解题的关键．
【题型6 角平分线的性质与判定综合运用】
【例6】（2023春·四川达州·八年级校考期中）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH=50°．

(1)求∠ACE的度数；
(2)求证：AE平分∠CAF；
(3)若AC+CD=14，AB=10，且S△ACD=21，求△ABE的面积．
【答案】(1)40°
(2)见解析
(3)15
【分析】（1）根据邻补角的定义和垂直的定义可得∠ACD=80°、∠CHE=90°，进而得到∠ECH=40°,然后根据∠ACE=∠ACD−∠ECH即可解答；
（2）如图：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得EM＝EH、CE平分∠ACD、EN=EH，最后根据角平分线的判定定理即可解答；
（3）根据S△ACD=S△ACE+S△CED结合已知条件可得EM=3，最后运用三角形的面积公式即可解答．
【详解】（1）解：∵∠ACB=100°，
∴∠ACD=180°−100°=80°，
∵EH⊥BD，
∴∠CHE=90°，
∵∠CEH=50°，
∴∠ECH=90°−50°=40°，
∴∠ACE=∠ACD−∠ECH=80°−40°=40°．
（2）证明：如图：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，

∵BE平分∠ABC，
∴EM＝EH，
∵∠ACE=∠ECH=40°，
∴CE平分∠ACD，
∴EN=EH，
∴EM=EN，
∴AE平分∠CAF．
（3）解：∵AC+CD=14，S△ACD=21，EM=EN=EH，
∴S△ACD=S△ACE+S△CED=12AC⋅EN+12CD⋅EH=12(AC+CD)⋅EM=21，
即12×14⋅EM=21，解得EM=3，
∵AB=10，
∴S△ABE=12AB⋅EM=15．
【点睛】本题主要考查了邻补角的性质、角平分线的性质与判定定理、三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．
【变式6-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，连接DE、CD，EF⊥CD于F，DE＝CE．
（1）如图1，求证：DF＝CF；
（2）如图2，若∠AED＝∠ABC，EG⊥BC于G，连接BE交CD于H，求证：∠ABE＝∠CBE；
（3）如图3，在（2）的条件下，若BC＝6CG，DH＝4，求HF的长．
【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）1
【分析】（1）证明Rt△EFD≅Rt△EFC(HL)，可得结论．
（2）证明ΔEMD≅ΔEGC(AAS)，推出EM=EG，再利用角平分线的性质定理解决问题即可．
（3）如图3中，过点B作BN⊥CD于N，过点E作EM⊥AB于M，过点H作HQ⊥BC于Q，HP⊥AB于P．利用面积法证明DH:CH=2:3，求出CH，CF，可得结论．
【详解】（1）证明：如图1中，∵EF⊥CD，
∴∠EFD=∠EFC=90°，
在RtΔEFD和RtΔEFC中，
ED=ECEF=EF，
∴Rt△EFD≅Rt△EFC(HL)，
∴DF=CF．
（2）证明：如图2中，过点E作EM⊥AB于M．
∵EG⊥BC，
∴∠EMD=∠EGC=90°，
∵∠AED+∠DEC=180°，∠AED=∠ABC，
∴∠ABC+∠DEC=180°，
∵∠ABC+∠BCE+∠DEC+∠BDE=360°，
∴∠BCE+∠BDE=180°，
∵∠ADE+∠BDE=180°，
∴∠ADE=∠BCE，
在ΔEMD和ΔEGC中，
∠EMD=∠EGC=90°∠ADE=∠BCEED=EC，
∴ΔEMD≅ΔEGC(AAS)，
∴EM=EG，
∵EM⊥AB，EG⊥BC，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．
（3）解：如图3中，过点B作BN⊥CD于N，过点E作EM⊥AB于M，过点H作HQ⊥BC于Q，HP⊥AB于P．
∵ΔEMD≅ΔEGC，
∴DM=GC，EM=EG，
在Rt△BEM和Rt△BEG中，
BE=BEEM=EG，
∴Rt△BEM≅Rt△BEG(HL)，
∴BM=BG，
∵BC=6CG，
∴BD=BM−DM=BG−CG=BC−2CG=4CG，
∵BH平分∠ABC，HP⊥AB，HQ⊥BC，
∴HP=HQ，
∴SΔDBH:SΔCBH=12⋅BD⋅HP:12⋅BC⋅HQ=4:6=2:3，
∵SΔDBH:SΔCBH=12⋅DH⋅BN:12⋅CH⋅BN，
∴DH:CH=2:3，
∵DH=4，
∴CH=6，
∴CD=DH+CH=4+6=10，
∴CF=12CD=5，
∴HF=CH−CF=6−5=1．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理和性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
【变式6-2】（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）我们定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
(1)如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角．
①直接写出∠E与∠A的数量关系___________；
②连接AE，猜想∠BAE与∠CAE的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E在BD的延长线上，连CE，若已知DE=DC=AD，求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
【答案】(1)①∠E=12∠A；②∠CAE+∠BAE=180°，理由见解析
(2)见解析
【分析】（1）①运用角平分线的定义，以及三角形外角的性质，推导得到∠DCE=∠ABE+12∠A，∠DCE=∠ABE+∠E，即、可得出∠E=12∠A；②过点E作EM⊥BA交BA延长线于点M，过点E作EN⊥AC交AC于点N，过点E作EH⊥BD交BD延长线于点H，运用角平分线的性质及判定定理可证∠MAE=∠CAE，由∠MAE+∠BAE=180°，可得∠CAE+∠BAE=180°；
（2）过D作DM⊥BA交BA于点M，过D作DN⊥BC交BC延长线于点N，先证四边形DMBN是矩形，再证△AMD≌△CND，最后证得CE平分∠ACN，BD平分∠ABC即可．
【详解】（1）解：①∵BE平分∠ABC，即∠ABE=∠EBC=12∠ABC，
∴∠ACD=∠ABC+∠A=2∠ABE+∠A．
∵CE平分∠ACD，即∠ACE=∠ECD=12∠ACD，
∴∠DCE=∠ABE+12∠A．
又∵∠DCE=∠ABE+∠E，
∴∠E=12∠A．
②猜想：∠CAE+∠BAE=180°，理由如下：
如图2，过点E作EM⊥BA交BA延长线于点M，过点E作EN⊥AC交AC于点N，过点E作EH⊥BD交BD延长线于点H，
∵CE平分∠ACD，EN⊥AC，EH⊥BD，
∴EN=EH，
同理，EM=EH，
∴EM=EN，
∵EM⊥AB，EN⊥AC，
∴AE平分∠MAC，即∠MAE=∠CAE，
∵∠MAE+∠BAE=180°，
∴∠CAE+∠BAE=180°．
（2）证明：如图3，过D作DM⊥BA交BA于点M，过D作DN⊥BC交BC延长线于点N，
∵DM⊥BA，DN⊥BC，∠ABC=90°，
∴∠DMB=90°，∠DNB=90°，∠ABC=90°，
∴四边形DMBN是矩形，
∴∠MDN=90°，
即∠MDC+∠CDN=90°，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADM+∠MDC=90°，
∴∠ADM=∠CDN，
∵DM⊥BA，DN⊥BC，
∴∠AMD=∠DNC=90°，
在△AMD与△DNC中，
∵∠AMD=∠DNC∠ADM=∠CDNAD=DC，
∴△AMD≌△CNDAAS，
∴DM=DN，
∵DM⊥BA，DN⊥BC，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=45°，即BD平分∠ABC，
∴∠ECN=∠DBC+∠E=45°+∠E，
∵∠ADC=90°，AD=DC，
∴∠ACD=∠CAD=45°，
∴∠ACE=45°+∠DCE，
∵DE=DC，
∴∠E=∠DCE，
∴∠ACE=∠ECN，
∴CE平分∠ACN，
∵BD平分∠ABC，
∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
【点睛】本题考查了角平分线的性质及判定，全等三角形的性质及判定，熟练掌握角平分线判定定理及相关性质是解题的关键．
【变式6-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）在△ABC中，∠BAC=60°，线段BF、CE分别平分∠ABC、∠ACB交于点G．

(1)如图1，求∠BGC的度数；
(2)如图2，求证：EG=FG；
(3)如图3，过点C作CD⊥EC交BF延长线于点D，连接AD，点N在BA延长线上，连接NG交AC于点M，使∠DAC=∠NGD，若EB:FC=1:2，CG=10，求线段MN的长．
【答案】(1)120°
(2)见解析
(3)5
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=120°，根据BF平分∠ABC、CE平分∠ACB，得出∠GBC=∠GBE=12∠ABC，∠GCB=∠GCF=12∠ACB，求出∠GBC+∠GCB=60°，根据三角形内角和得出∠BGC+∠GBC+∠GCB=180°，即可求出结果；
（2）作GH平分∠BGC交BC于点H，证明△BGE≌△BGH，得出EG=GH，证明△CGF≌△CGH，得出FG=GH，即可证明结论；
（3）作DP⊥BC交BC延长线于点P，作DQ⊥AB交BA延长线于点Q，作DR⊥AC于点R，证明CD平分∠ACP，根据DR⊥AC，DP⊥BC，得出DR=DP，根据BF平分∠ABC，DR⊥AC，DQ⊥AB，得出DP=DQ，证明DR=DQ，证明△NEG≌△CFG，得出NG=CG=10，证明△BEG≌△MFG，得出BE=MF，作FL⊥NG于点L，FK⊥CG于点K，GW⊥MC于点W，根据S△MGF=12MG⋅FL=12MF⋅GW，S△CGF=12GC⋅FK=12FC⋅GW，得出MGGC=MFFC=12，求出MG=5即可得出答案．
【详解】（1）解：在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∵∠BAC=60°
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵BF平分∠ABC、CE平分∠ACB，
∴∠GBC=∠GBE=12∠ABC，∠GCB=∠GCF=12∠ACB，
∴∠GBC+∠GCB=60°，
在△BGC中，∠BGC+∠GBC+∠GCB=180°，
∴∠BGC=120°．
（2）解：作GH平分∠BGC交BC于点H，如图所示：

∴∠BGH=∠CGH=60°，
∵∠BGE=∠CGF=∠GBC+∠GCB=60°，
∴∠BGH=∠CGH=∠BGE=∠CGF，
∵∠GBC=∠GBE，BG=BG
∴△BGE≌△BGH，
∴EG=GH，
∵∠GCH=∠GCF，CG=CG，
∴△CGF≌△CGH，
∴FG=GH，
∴EG=FG；
（3）解：作DP⊥BC交BC延长线于点P，作DQ⊥AB交BA延长线于点Q，作DR⊥AC于点R，如图所示：
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠ACE，
∵CD⊥EC，
∴∠ECD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∵∠ACB+∠ACP=180°，
∴∠ACP=2∠ACD，
∴CD平分∠ACP，
∵DR⊥AC，DP⊥BC，
∴DR=DP，
∵BF平分∠ABC，DR⊥AC，DQ⊥AB，
∴DP=DQ，
∴DR=DQ，
∴AD平分∠QAC，
∵∠BAC=60°，
∴∠DAQ=∠DAC=60°，
∴∠NGD=∠DAC=60°，
由（1）得∠BGC=120°，
∴∠BEG=∠FGC=180°−∠BGC=60°，
∵∠MGF=∠ABF+∠BNG=60°，
∠FGC=∠FBC+∠ECB=60°，
∠ABF=∠FBC，
∴∠BNG=∠ECB，
∵∠ECB=∠ACE，
∴∠ACE=∠BNG，
由（2）得EG=FG，
∴△NEG≌△CFG，
∴NG=CG=10，
∠NEG=∠CFG，
∵∠NEG+∠BEG=180°，
∠CFG+∠MFG=180°，
∴∠BEG=∠MFG，
∴△BEG≌△MFG，
∴BE=MF，
∵BE:FC=1:2，
∴MF:FC=1:2，
作FL⊥NG于点L，FK⊥CG于点K，GW⊥MC于点W，
∵∠MGF=∠CGF=60°，
∴FK=FL，
S△MGF=12MG⋅FL=12MF⋅GW，
S△CGF=12GC⋅FK=12FC⋅GW，
∴MGGC=MFFC=12，
∴MG=5，
∴MN=NG−MG=5．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的判定和性质，三角形面积的计算，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．
【题型7 利用角平分线的性质判断多结论问题】
【例7】（2023春·湖北襄阳·八年级统考开学考试）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，BF是中线，AE与BF相交于O，∠C>∠ABC以下结论正确的有（ ）

①∠BAD+∠ABD=∠CAD+∠C；②S△ABF=S△CBF；
③∠EAD=12∠C−∠ABC；④S△ABE:S△ACE=AB:AC；
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】解：由高的定义，得∠BAD+∠ABD=∠CAD+∠C=90°，①正确；由中线得AF=CF，两三角形等底同高，于是S△ABF=S△CBF,②正确；根据直角三角形两锐角互余及外角知识，得∠EAD=90°−(∠ABC+∠BAE)，结合角平分线定义可判断③正确；如图，过点E作EH⊥AB,EI⊥AC，垂足为H，I，根据角平分线性质，得EH=EI，可证得S△ABE:S△ACE=(12AB⋅EH):(12AC⋅EI)=AB:AC．④正确．
【详解】解：∵AD是高，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∴∠BAD+∠ABD=∠CAD+∠C=90°，①正确；
∵BF是中线，
∴AF=CF．
令△ABC中AC边上的高为h，
∴S△ABF=12AF⋅ℎ=12CF⋅ℎ=S△CBF,②正确；
∵∠EAD+∠AED=90°,∠AED=∠ABC+∠BAE
∴∠EAD=90°−(∠ABC+∠BAE).
∵AE是角平分线，
∴∠BAE=12∠BAC=12(180°−∠ABC−∠ACB)=90°−12∠ABC−12∠ACB．
∴∠EAD=90°−(∠ABC+90°−12∠ABC−12∠ACB)=12(∠C−∠ABC)，③正确；
如图，过点E作EH⊥AB,EI⊥AC，垂足为H，I，
∵AE是角平分线，
∴EH=EI．

S△ABE:S△ACE=(12AB⋅EH):(12AC⋅EI)=AB:AC．④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形角平分线，中线，高的定义，直角三角形性质，三角形内角和定理，角平分线性质；熟练掌握相关定义是解题的关键．
【变式7-1】（2023春·山东威海·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，BD，CE交于点O，分别过点O作OM⊥AB于点M，作ON⊥AC于点N．下列结论：①∠BOC=120°；②OE=OD；③AM=AN；④EM=DN．其中正确的有（ ）

A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】A
【分析】根据BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，求出∠OBC=20°,∠OCB=40°，再根据三角形的内角和定理，即可求出∠BOC=120°，即可判断①；连接AO，则AO平分∠BAC，推出∠BOE=∠COD=60°，则∠OEM=∠OBE+∠BOE=80°，∠ODN=180°−∠OCD−∠COD=80°，进而得出△OEM≌△ODNAAS，即可判断②④；通过证明Rt△AOM≌Rt△AONHL，即可判断③．
【详解】解：①∵∠ABC=40°，∠ACB=80°，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠OBC=20°,∠OCB=40°，
在△OBC中，∠BOC=180°−20°−40°=120°，
故①正确，符合题意；
②④连接AO，
∵BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴AO平分∠BAC，
∵OM⊥AB，ON⊥AC，
∴OM=ON，∠OME=∠OND=90°，
∵∠BOC=120°，
∴∠BOE=∠COD=180°−120°=60°，
∴∠OEM=∠OBE+∠BOE=20°+60°=80°，∠ODN=180°−∠OCD−∠COD=80°，
∴∠OEM=∠ODN，
在△OEM和△ODN中，
∠OEM=∠ODN∠OME=∠OND=90°OM=ON，
∴△OEM≌△ODNAAS，
∴OE=OD，EM=DN．
故②④正确，符合题意；
③在Rt△AOM和Rt△AON中，
AO=AOOM=ON，
∴Rt△AOM≌Rt△AONHL，
∴AM=AN，
故③正确，符合题意．
综上：正确的有①②③④，共4个．
故选：A．

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，解题的关键是掌握三角形的三条角平分线交于一点，角平分线上的点到两边距离相等．
【变式7-2】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD，BE，CF分别是△ABC的中线、角平分线和高线，BE交CF于点G，交AD于点H，下面说法中一定正确的是（ ）
△ACD的面积等于△ABD的面积； ②∠CEG=∠CGE；
③∠ACF=2∠ABE； ④AH=BH．

A．①②③④B．①②③C．②④D．①③
【答案】B
【分析】①根据三角形中线平分三角形的面积，即可判断△ACD的面积等于△ABD的面积；
②先根据同角的余角相等证得∠CAB=∠BCG，再根据角平分线的定义得出∠ABE=∠CBE，最后根据三角形外角的性质得出∠CEG=∠CAB+∠ABE，∠CGE=∠CBE+∠BCG，即可得证；
③先根据同角的余角相等证得∠ACF=∠CBF再根据角平分线的定义得出∠CBF=2∠ABE，于是推出∠ACF=2∠ABE；
④无法证得AH=BH．
【详解】解：∵AD是△ABC的中线，
∴CD=BD，
∴△ACD的面积等于△ABD的面积，
故①正确；
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵CF是△ABC的高线，
∴∠CFA=90°，
∴∠CAB+∠ACF=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACF+∠BCG=90°，
∴∠CAB=∠BCG，
∵∠CEG是△ABE的一个外角，
∴∠CEG=∠CAB+∠ABE，
∵∠CGE是△BCG的一个外角，
∴∠CGE=∠CBE+∠BCG，
∴∠CEG=∠CGE，
故②正确；
∵CF是△ABC的高线，
∴∠CFB=90°，
∴∠CBF+∠BCF=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACF+∠BCF=90°，
∴∠ACF=∠CBF，
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠CBF=2∠ABE，
∴∠ACF=2∠ABE，
故③正确；
无法证得AH=BH，故④错误；
故正确的有①②③
故选∶B．
【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形外角的性质，同角的余角相等，角平分线的定义，熟练掌握这些性质是解题的关键．
【变式7-3】（2023春·湖北武汉·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，∠BOD=45°，OF⊥AD，下列结论：①AD平分∠BAC；②AD=OG+OF；③若BD=3，AB=12，则AG=9；④ S△ACD:S△ABD=AB:AC；其中正确的是（ ）

A．①③④B．①②③C．①③D．①②③④
【答案】B
【分析】证出＋∠DAC=∠F=45°−∠CBO=∠BAO，则可得出①正确； 证明△ABO≌△FBOASA，由全等三角形的性质得出 AO=FO，AB=BF，证明 △AOG≌△FODASA，由全等三角形的性质得出 OD=OG，DF=AG，则可判断②正确； 求出 AG=DF=BF−BD=9，可得出③正确，由三角形面积公式及角平分线的性质可得出④错误．
【详解】∵BE平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO=12∠ABC，
∵∠BOD=45°，
∴∠AOB=180°−∠BOD=180°−45°=135°，
∵OF⊥AD，
∴∠AOE=∠EOG=45°，
∴∠BOF=180°−∠EOG=135°，
∴∠BAO=180°−135°−∠ABO=45°−∠ABO，
∵OF⊥AD，∠ACB=90°，
∴∠F=∠DAC，
∴∠DAC=∠F=180°−135°−∠CBO=45°−∠CBO=∠BAO，
∴AD平分∠BAC，
故①正确；
∵∠BOA=∠BOF=135°，
又∵BO=BO，∠ABO=∠FBO，
∴△ABO≌△FBOASA，
∴AO=FO，AB=BF，
∵∠ADC+∠DAC=90°=∠ADC+∠F，
∴∠F=∠DAC，
又∵∠AOF=∠FOD=90°，
∴△AOG≌△FODASA，
∴OD=OG，DF=AG，
∴AD=AO+OD=OF+OG，
故②正确；
∵BD=3，AB=12，
∴BF=AB=12，
∴AG=DF=BF−BD=9，
故③正确；
∵AD平分∠BAC，
∴点D到AB，AC的距离相等，设为ℎ，
∴S△ACD=12×AC×ℎ，S△ABD=12×AB×ℎ，
∴S△ACDS△ABD=12×AC×ℎ12×AB×ℎ=ACAB，
故④错误；
故选: B.
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．
【题型8 角平分线的性质的实际应用】
【例8】（2023春·辽宁丹东·八年级统考期末）如图，两条公路AO，BO交于点O，村庄M，N的位置如图所示，M在公路OA上，现要修建一个快递站P，使快递站到两条公路的距离相等，且到两村庄的距离也相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．

【答案】见解析
【分析】作线段MN的垂直平分线EF，作∠AOB的角平分线OT，则OT交EF于一点，即为点P．
【详解】解：点P即为所求，如图所示：

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式8-1】（2023春·湖南株洲·八年级校考期末）如图，有三条道路围成Rt△ABC，其中BC=1000m，一个人从B处出发沿着BC行走了800m到达D处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时这个人到AB的最短距离为 m．

【答案】200
【分析】过D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质得出DE=DC，再求出DC的长即可．
【详解】解：如图，过D作DE⊥AB于点E，
，
∵∠ACB=90°，
∴DC⊥AC，
∵AD为∠CAB的平分线，DE⊥AB，
∴DE=DC，
∵BC=1000m，BD=800m，
∴DC=BC−BD=200m，
∴DE=DC=200m，
∴此时这个人到AB的最短距离为200m，
故答案为：200．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【变式8-2】（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭P供大家休息，且凉亭P到草坪三边的距离相等，利用直尺和圆规，确定凉亭P的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】分别作∠ABC与∠ACB的平分线，两角平分线的交点就是凉亭P的位置．
【详解】以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交AB、BC于点D、E，分别以点D、E为圆心，大于12DE长为半径画弧，两弧交于点M，作射线BM；再以点C为圆心，适当长为半径画弧分别交AC、BC于点G、F，分别以点G、F为圆心，大于12GF长为半径画弧，两弧交于点N，作射线CN．CN交BM于点P，P就是凉亭的位置．
【点睛】本题主要考查了尺规作图——作角平分线，解决问题的关键是熟练掌握基本作图——作角的平分线，角平分线的性质．
【变式8-3】（2023春·陕西西安·八年级统考期中）如图，两条公路AB，CD形成S区域，S区域内有两个农贸市场E，F，现想在S区域内建一个货物中转站M，使M不仅到两条公路距离相等，且到两个农贸市场距离也相等，请在图中求作点M的位置．（要求用尺规作图，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】作CT平分∠BCD，作PS垂直平分线段EF，PS交CT于点M，点M即为所求．
【详解】解：如图，点M即为所求．
【点睛】本题考查了作图—应用与设计作图，角平分线的性质，线段垂直平分线，正确的理解题意并作出图形是解决本题的关键．