中考数学一轮复习：专题21.1 二次根式【九大题型】（举一反三）（华东师大版）（解析版）

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\l "_Tc19902" 【题型1 根据二次根式概念判断二次根式】 PAGEREF _Tc19902 \h 1
\l "_Tc15001" 【题型2 根据二次根式的定义求字母的值】 PAGEREF _Tc15001 \h 2
\l "_Tc22687" 【题型3 根据二次根式有意义条件求范围】 PAGEREF _Tc22687 \h 4
\l "_Tc26490" 【题型4 根据二次根式有意义条件求值】 PAGEREF _Tc26490 \h 4
\l "_Tc31760" 【题型5 利用二次根式的性质化简（数字型）】 PAGEREF _Tc31760 \h 6
\l "_Tc18191" 【题型6 利用二次根式的性质化简（字母及复合型）】 PAGEREF _Tc18191 \h 7
\l "_Tc10049" 【题型7 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式】 PAGEREF _Tc10049 \h 9
\l "_Tc28876" 【题型8 含隐含条件的参数范围化简二次根式】 PAGEREF _Tc28876 \h 10
\l "_Tc3254" 【题型9 复杂的复合型二次根式化简】 PAGEREF _Tc3254 \h 12
【知识点1 二次根式的定义】
形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，叫做二次根号，a叫做被开方数.
【题型1 根据二次根式概念判断二次根式】
【例1】（2022春•宁津县期末）下列各式中，一定是二次根式的个数为（ ）
3，m，x2+1，34，−m2−1，a3（a≥0），2a+1（a＜12）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】根据二次根式的定义即可作出判断．
【解答】解：3一定是二次根式；
当m＜0时，m不是二次根式；
对于任意的数x，x2+1＞0，则x2+1一定是二次根式；
34是三次方根，不是二次根式；
﹣m2﹣1＜0，则−m2−1不是二次根式；
a3是二次根式；
当a＜12时，2a+1可能小于0，不是二次根式．
故选：A．
【变式1-1】（2022春•顺平县期末）下列各式是二次根式的是（ ）
A．−2B．−2C．32D．x
【分析】根据二次根式的定义，形如a（a≥0）的式子是二次根式，即可解答．
【解答】解：A、−2无意义，故A不符合题意；
B、−2是二次根式，故B符合题意；
C、32不是二次根式，故C不符合题意；
D、x（x≥0）是二次根式，故D不符合题意；
故选：B．
【变式1-2】（2022春•宜城市期末）在式子2，33，x2+1，x+y中，二次根式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据二次根式的定义，形如a（a≥0）的式子是二次根式，即可解答．
【解答】解：在式子2，33，x2+1，x+y中，二次根式有2，x2+1，
共有2个，
故选：B．
【变式1-3】（2022春•凤庆县期末）下列各式：5、a2，−3，38，x−1(x⩾1)，x2+2x+1中，一定是二次根式的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】利用二次根式的定义对每个式子进行判断即可．
【解答】解：∵式子a（a≥0）是二次根式，
∴5，a2，x−1（x≥1），x2+2x+1是二次根式，−3无意义，38是三次根式，
∴一定是二次根式的有：5，a2，x−1（x≥1），x2+2x+1，
故选：B．
【题型2 根据二次根式的定义求字母的值】
【例2】（2022春•莱州市期末）若12n是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．1B．3C．6D．12
【分析】根据12＝22×3，若12n是整数，则12n一定是一个完全平方数，据此即可求得n的值．
【解答】解：∵12＝22×3，
∴12n是整数的正整数n的最小值是3．
故选：B．
【变式2-1】（2022春•昭阳区校级月考）若80n是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】先化简80，然后根据二次根式的定义判断即可．
【解答】解：∵80=45，
∴正整数n的最小值是：5．
故选：D．
【变式2-2】（2022春•信州区校级月考）当x＝ −12 时，代数式3−2x+1有最大值，其最大值是 3 ．
【分析】根据二次根式的非负性分析求值．
【解答】解：∵2x+1≥0，
∴−2x+1≤0，
∴3−2x+1≤3，
∴当2x+1＝0时，即x=−12，
3−2x+1有最大值为3，
故答案为：−12；3．
【变式2-3】（2022•金牛区校级自主招生）已知a为实数，则代数式27−12a+2a2的最小值为（ ）
A．0B．3C．33D．9
【分析】把被开方数用配方法整理，根据非负数的意义求二次根式的最小值．
【解答】解：∵原式=27−12a+2a2
=2(a2−6a+9)+9
=2(a−3)2+9
∴当（a﹣3）2＝0，即a＝3时
代数式27−12a+2a2的值最小，为9即3
故选：B．
【知识点2 二次根式有意义的条件】
（1）二次根式中的被开方数是非负数；（2）二次根式具有非负性：a≥0.
【知识点3 判断二次根式有意义的条件】
如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是
非负数；（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
【题型3 根据二次根式有意义条件求范围】
【例3】（2022春•来凤县期末）若代数式15x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞5B．x≥5C．x≠5D．x＜5
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】解：∵15x﹣1≥0，
∴x≥5．
故选：B．
【变式3-1】（2022春•泰山区期末）若式子a+1a−2有意义，则a的取值范围为（ ）
A．a≥﹣1B．a≠2C．a≥﹣1且a≠2D．a＞﹣1
【分析】既要使二次根式a+1有意义，即a+1≥0，又要使分式有意义，即a﹣2≠0即可．
【解答】解：由题意得，
a+1≥0且a﹣2≠0，
即a≥﹣1且a≠2，
故选：C．
【变式3-2】（2022春•泰山区期末）若(3x−4)2=4−3x，则x的取值范围是 x≤43 ．
【分析】根据二次根式的性质列出不等式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：4﹣3x≥0，
∴x≤43，
故答案为：x≤43．
【变式3-3】（2022春•睢县期中）若4x6−|x|有意义，则x的取值范围为 x≥0且x≠6 ．
【分析】应从两方面考虑x的取值范围：分母不为0和二次根式有意义．
【解答】解：由4x6−|x|有意义，则6﹣|x|≠0且4x≥0，
解得x≥0且x≠6．
【题型4 根据二次根式有意义条件求值】
【例4】（2022春•海淀区校级期末）已知a，b都是实数，b=1−2a+4a−2−2，则ab的值为 4 ．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得，
1−2a≥04a−2≥0，
解得：a=12，
则b＝﹣2，
故ab的值为（12）﹣2＝4．
故答案为：4．
【变式4-1】（2022春•西湖区校级期中）某数学兴趣小组在学习二次根式a2=|a|后，研究了如下四个问题，其中错误的是（ ）
A．在a＞1的条件下化简代数式a+a2−2a+1的结果为2a﹣1
B．a+a2−2a+1的值随a变化而变化，当a取某个数值时，上述代数式的值可以为0.6
C．当a+a2−2a+1的值恒为定值时，字母a的取值范围是a≤1
D．若a2−2a+1=(a−1)2，则字母a必须满足a≥1
【分析】根据二次根式的性质，得到a2−2a+1=|a﹣1|=a−1(a＞1)0(a=1)1−a(a＜1)，然后逐个选项进行判断即可．
【解答】解：a2−2a+1=|a﹣1|=a−1(a＞1)0(a=1)1−a(a＜1)，
当a＞1时，a+a2−2a+1=a+a﹣1＝2a﹣1，
当a＝1时，a+a2−2a+1=a+a﹣1＝2a﹣1＝1，
当a＜1时，a+a2−2a+1=a﹣a+1＝1，
因此A选项、C选项、D选项均正确，只有B选项不正确，
故选：B．
【变式4-2】（2022春•海安市校级月考）若x，y是实数，且y＜x−1+1−x+12，求|1−y|y−1的值为 ﹣1 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x−1≥01−x≥0，解不等式组可得x＝1，进而可得y＜12，再根据绝对值的性质可得1﹣y＞0，然后化简约分即可．
【解答】解：由题意得：x−1≥01−x≥0，
解得：x＝1，
则y＜12，
|1−y|y−1=1−yy−1=−1，
故答案为：﹣1．
【变式4-3】（2022•勃利县期末）已知a满足|2017﹣a|+a−2018=a，则a﹣20172的值是 2018 ．
【分析】先依据二次根式有意义得到a≥2018，进而化简原式求出答案．
【解答】解：∵|2017﹣a|+a−2018=a，
∴a﹣2018≥0，
故a≥2018，
则原式可变为：a﹣2017+a−2018=a，
故a﹣2018＝20172，
则a﹣20172＝2018．
故答案为：2018．
【知识点4 二次根式的性质】
性质1：a2=a（a≥0），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
性质2：a2=a=a（a≥0）−a（a