中考数学一轮复习：专题21.2 二次根式的乘除【九大题型】（举一反三）（华东师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习：专题21.2 二次根式的乘除【九大题型】（举一反三）（华东师大版）（解析版），共15页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc7597" 【题型1 求字母的取值范围】 PAGEREF _Tc7597 \h 1
\l "_Tc30159" 【题型2 二次根式乘除的运算】 PAGEREF _Tc30159 \h 2
\l "_Tc30502" 【题型3 二次根式的符号化简】 PAGEREF _Tc30502 \h 3
\l "_Tc26588" 【题型4 最简二次根式的判断】 PAGEREF _Tc26588 \h 5
\l "_Tc16820" 【题型5 化为最简二次根式】 PAGEREF _Tc16820 \h 6
\l "_Tc20913" 【题型6 已知最简二次根式求参数】 PAGEREF _Tc20913 \h 7
\l "_Tc9440" 【题型7 分母有理化】 PAGEREF _Tc9440 \h 8
\l "_Tc20176" 【题型8 比较二次根式的大小】 PAGEREF _Tc20176 \h 10
\l "_Tc8121" 【题型9 分母有理化的应用】 PAGEREF _Tc8121 \h 11
【知识点1 二次根式的乘除法则】
①二次根式的乘法法则：a∙b=a∙b(a≥0,b≥0)；
②积的算术平方根：a∙b=a∙b(a≥0,b≥0)；
③二次根式的除法法则：ab=ab(a≥0,b>0)；
④商的算术平方根：ab=ab(a≥0,b>0).
【题型1 求字母的取值范围】
【例1】（2022春•赵县校级月考）若要使等式xx−8=xx−8成立，则x的取值范围是 x＞8 ．
【分析】直接利用二次根式的性质进而得出关于x的不等式组求出答案．
【解答】解：∵等式xx−8=xx−8成立，
∴x≥0x−8＞0，
则x的取值范围是：x＞8．
故答案为：x＞8．
【变式1-1】（2022秋•犍为县校级月考）已知(x−3)⋅(−x−2)=3−x⋅x+2，使等式成立的x的取值范围是 ﹣2≤x≤3 ．
【分析】根据二次根式的性质得出关于x的不等式组，进而求出答案．
【解答】解：∵(x−3)⋅(−x−2)=3−x⋅x+2，
∴3−x≥0x+2≥0，
解得：﹣2≤x≤3．
故答案为：﹣2≤x≤3．
【变式1-2】（2022秋•南岗区期末）能使等式x−2x=x−2x成立的x的取值范围是（ ）
A．x＞0B．x≥0C．x＞2D．x≥2
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可．
【解答】解：由题意得：
x−2≥0x＞0，
解得：x≥2，
故选：D．
【变式1-3】（2022•宝山区校级月考）已知实数x满足2x2−x3=x•2−x，则x的取值范围是 0≤x≤2 ．
【分析】依据二次根式被开方数大于等于0和a2=a（a≥0）列不等式组求解即可．
【解答】解：∵原式=(2−x)x2=x•2−x，
∴x≥0且2﹣x≥0．
解得：0≤x≤2．
故答案为：0≤x≤2．
【题型2 二次根式乘除的运算】
【例2】（2022•长宁区期中）计算：
（1）5827•827•354；
（2）2112÷516⋅12．
【分析】（1）利用二次根式的乘法法则计算即可．
（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【解答】解：（1）原式＝5×827×3×36=4063．
（2）原式＝2×15×32×6×12=1235．
【变式2-1】（2022•长宁区期中）计算：223m÷166m•8m3．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简求出答案．
【解答】解：原式＝2×623m×16m×8m3
＝128m9
＝82m．
【变式2-2】（2022•青浦区校级月考）计算：35xy3÷(−415yx)⋅(−56x3y)（x＞0）．
【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算．
【解答】解：∵x＞0，xy3≥0，
∴y≥0，
∴原式=35xy3•（−154xy）•（−56x3y）
=−94x2y2•（−56x3y）
=−94xy•（−56xxy）
=158x2yxy．
【变式2-3】（2022•浦东新区校级月考）化简：2bab3(−32a3b)÷3ab（b＜0）．
【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．
【解答】解：∵由二次根式的性质可得a＜0，b＜0，
∴原式=2b•（﹣b）ab•（32aab）÷3ab−b
＝﹣3a2b÷3ab−b
＝﹣3a2b×（−b3ab）
＝a2b2×abab
＝abab．
【题型3 二次根式的符号化简】
【例3】（2022•安达市校级月考）已知xy＞0，将式子x−yx2根号外的因式x移到根号内的正确结果为（ ）
A．yB．−yC．−yD．−−y
【分析】根据被开方数大于等于0求出y＜0，再根据同号得正判断出x＜0，
【解答】解：∵−yx2＞0，
∴y＜0，
∵xy＞0，
∴x＜0，
∴x−yx2=−−yx2⋅x2=−−y．
故选：D．
【变式3-1】（2022•自贡期中）把二次根式a−1a3根号外的因式移到根号内为（ ）
A．−1aB．1aC．−1aD．−−1a
【分析】根据二次根式的性质先判断a的符号，然后再进行计算．
【解答】解：由题意可知−1a3＞0，
∴a＜0，
∴a−1a3=a•1−a−1a=−−1a，
故选：D．
【变式3-2】（2022•张家港市校级期末）将（2﹣x）1x−2根号外的因式移到根号内，得（ ）
A．x−2B．2−xC．﹣22−xD．−x−2
【分析】根据二次根式的性质得出x﹣2的符号，进而化简二次根式得出即可．
【解答】解：由题意可得：x﹣2＞0，
则原式=−(x−2)2×1x−2=−x−2．
故选：D．
【变式3-3】（2022春•龙口市期中）把（a﹣b）−1a−b根号外的因式移到根号内结果为 −b−a ．
【分析】先根据二次根式成立的条件得到−1a−b＞0，则a﹣b＜0，所以原式变形为﹣（b﹣a）−1a−b，然后利用二次根式的性质得到−(b−a)2•−1a−b，再利用二次根式的乘法得到−(b−a)2⋅1b−a，再约分即可．
【解答】解：∵−1a−b＞0，
∵a﹣b＜0，
∴原式＝﹣（b﹣a）−1a−b=−(b−a)2•−1a−b=−(b−a)2⋅1b−a=−b−a．
故答案为−b−a．
【知识点2 最简二次根式】
我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【题型4 最简二次根式的判断】
【例4】（2022秋•浦东新区校级月考）在25、aba、18x、x2−1、0.6中，最简二次根式是 aba、x2−1 ．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：aba、x2−1是最简二次根式，
故答案为：aba、x2−1．
【变式4-1】（2022春•曲靖期末）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A．48B．14C．abD．4a+4
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．
【解答】解：A、48=43，故A不符合题意；
B、14是最简二次根式，故B符合题意；
C、ab=abb，故C不符合题意；
D、4a+4=2a+1，故D不符合题意；
故选：B．
【变式4-2】（2022秋•玉田县期末）下列各式：①25②2n+1③2b4④0.1y是最简二次根式的是 ②③ （填序号）．
【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案．
【解答】解：②2n+1③2b4 是最简二次根式，
故答案为：②③．
【变式4-3】（2022春•建昌县期末）在二次根式12、12、30、x+2，40x2，x2+y2中，是最简二次根式的共有 3 个．
【分析】结合选项根据最简二次根式的概念求解即可．
【解答】解：二次根式12、12、30、x+2，40x2，x2+y2中，是最简二次根式的是30、x+2，x2+y2，
故答案为：3
【题型5 化为最简二次根式】
【例5】（2022春•安阳期末）下列二次根式化成最简二次根式后，被开方数与另外三个不同的是（ ）
A．2B．58C．28D．12
【分析】先把B、C、D化成最简二次根式，再找被开方数不同的项．
【解答】解：∵2是最简二次根式，
58=102，28=27，12=22．
∴化成最简二次根式后，被开方数相同的是A、B、D．
故选：C．
【变式5-1】（2022春•番禺区期末）把下列二次根式化成最简二次根式
（1）3100
（2）32
（3）4x33
【分析】（1）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；
（3）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案．
【解答】解：（1）3100=310；
（2）32=42；
（3）4x33=2xx3=2x3x3．
【变式5-2】（2022秋•合浦县月考）把下列各式化成最简二次根式：
（1）275132−12227；
（2）−abc2c32a4b．
【分析】本题需先将二次根式分母有理化，分子的被开方数中，能开方的也要移到根号外．
【解答】解：（1）原式=2752527=275×53×13=913=33；
（2）当b，c同为正数时，原式=−abc2×ca2×c2b=−c24a2bc．
当b，c同为负数时，原式=−abc2×（−ca2）×c2b=−c24a2bc．
当c＝0时，原式＝0．
【变式5-3】（2022秋•安岳县期末）x2−1xy−y化成最简二次根式是 ±y(x+1)y ．
【分析】对被开方数的分母进行因式分解，然后约分；最后将二次根式的被开方数的分母有理化，化简求解．
【解答】解：原式=(x−1)(x+1)y(x−1)=x+1y；
①当y＞0时，上式=y(x+1)y
②当y＜0时，上式=−y(x+1)y；
故答案是：±y(x+1)y．
【题型6 已知最简二次根式求参数】
【例6】（2022春•浉河区校级期末）若二次根式5a+3是最简二次根式，则最小的正整数a为 2 ．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：若二次根式5a+3是最简二次根式，则最小的正整数a为2，
故答案为：2．
【变式6-1】（2022春•武江区校级期末）若a是最简二次根式，则a的值可能是（ ）
A．﹣4B．32C．2D．8
【分析】根据二次根式有意义的条件判断A选项；根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断B，C，D选项．
【解答】解：A选项，二次根式的被开方数不能是负数，故该选项不符合题意；
B选项，32=62，故该选项不符合题意；
C选项，2是最简二次根式，故该选项符合题意；
D选项，8=22，故该选项不符合题意；
故选：C．
【变式6-2】（2022秋•崇川区校级期末）若2m+n−2和33m−2n+2都是最简二次根式，则m＝ 1 ，n＝ 2 ．
【分析】利用最简二次根式定义列出方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值．
【解答】解：∵若2m+n−2和33m−2n+2都是最简二次根式，
∴m+n−2=13m−2n+2=1，
解得：m＝1，n＝2，
故答案为：1；2．
【变式6-3】（2022春•宁都县期中）已知：最简二次根式4a+b与a−b23的被开方数相同，则a+b＝ 8 ．
【分析】已知两个最简二次根式的被开方数相同，因此它们是同类二次根式，即：它们的根指数和被开方数相同，列出方程组求解即可．
【解答】解：由题意，得：a−b=24a+b=23解得：a=5b=3，
∴a+b＝8．
【知识点3 分母有理化】
①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母
组成平方差公式；
②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个
二次根式的有理化因式不止一个．
【题型7 分母有理化】
【例7】（2022秋•曲阳县期末）把3a12ab化去分母中的根号后得（ ）
A．4bB．2bC．12bD．b2b
【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可．
【解答】解：∵a＞0，ab＞0，即a＞0，b＞0；
∴3a12ab=3⋅a23⋅a⋅b=12b=b2b．
故选：D．
【变式7-1】（2022•沂源县校级开学）分母有理化：
（1）132= 26 ；（2）112= 36 ；（3）1025= 22 ．
【分析】根据分母有理化的一般步骤计算即可．
【解答】解：（1）132=232×2=26，
（2）112=312×3=36，
（3）1025=10×525×5=22，
故答案为：26；36；22．
【变式7-2】（2022春•海淀区校级期末）下列各式互为有理化因式的是（ ）
A．a+b和a−bB．−a和a
C．5−2和−5+2D．xa+yb和xa+yb
【分析】根据有理化因式定义：如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式，结合各个选项中两个代数式特征作出判断即可．
【解答】解：A.a+b•a−b=(a+b)(a−b)，因此a+b和a−b不是有理化因式，故选项A不符合题意；
B．−a•a=−a，所以−a和a是有理化因式，因此选项B符合题意；
C．（5−2）（−5+2）＝﹣（5−2）2，所以5−2和−5+2）不是有理化因式，因此选项C不符合题意；
D．（xa+yb）•（xa+yb）＝（xa+yb）2，因此xa+yb和xa+yb不是有理化因式，所以选项D不符合题意；
故选：B．
【变式7-3】（2022•宝山区校级月考）分母有理化：2−3+52+3+5
【分析】根据二次根式的性质以及运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式=(2+5−3)2(2+5+3)(2+5−3)
=(2+5−3)2(2+5)2−3
=10−6−15+510+2
=(10−6−15+5)(10−2)(10+2)(10−2)
=310−366
=10−62
【题型8 比较二次根式的大小】
【例8】（2022春•海淀区校级期末）设a=22−3，b=1a，则a、b大小关系是（ ）
A．a＝bB．a＞bC．a＜bD．a＞﹣b
【分析】本题考查二次根式，先求出b的值，再与a比较得出结果．
【解答】解：∵a＝22−3
∴b=1a=122−3=−（22+3）
所以a＞b．
故选：B．
【变式8-1】（2022春•金乡县期中）已知a=15−2，b＝2+5，则a，b的关系是（ ）
A．相等B．互为相反数
C．互为倒数D．互为有理化因式
【分析】求出a与b的值即可求出答案．
【解答】解：∵a=15−2=5+2，b＝2+5，
∴a＝b，
故选：A．
【变式8-2】（2022春•长兴县期中）二次根式25，25，25的大小关系是（ ）
A．25＜25＜25B．25＜25＜25C．25＜25＜25D．25＜25＜25
【分析】本题可先将各式分母有理化，然后再比较它们的大小．
【解答】解：将三个二次根式化成同分母分数比较：
∵25=105，25=255=205，25；
∴25＜25＜25．
故选：C．
【变式8-3】（2022秋•雨城区校级期中）利用作商法比较大小
比较a+1a+2与a+2a+3的大小．
【分析】根据作商比较法，看最后的比值与1的大小关系，从而可以解答本题．
【解答】解：a+1a+2a+2a+3=a+1a+2×a+3a+2=a+3+4aa+4+4a＜1，
∴a+1a+2＜a+2a+3．
【题型9 分母有理化的应用】
【例9】（2022春•大连月考）阅读材料：
黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2+3）（2−3）＝1，（5+2）（5−2）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解：如13=1×33×3=33，2+32−3=(2+3)(2+3)(2−3)(2+3)=7+43．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
（1）4+7的有理化因式可以是 4−7 ，232分母有理化得 23 ．
（2）计算：
①11+2+12+3+13+4+⋯+11999+2000．
②已知：x=3−13+1，y=3+13−1，求x2+y2的值．
【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；
（2）①原式各项分母有理化，合并即可得到结果；
②将x与y分母有理化后代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：（1）4+7的有理化因式可以是4−7，232分母有理化得：23；
故答案为：4−7；23
（2）①原式=2−1+3−2+⋯+2000−1999=2000−1＝205−1；
②∵x=3−13+1=2−3，y=3+13−1=2+3，
∴x2+y2＝7﹣43+7+43=14．
【变式9-1】（2022•潮南区模拟）“分母有理化”是根式运算的一种化简方法，如：2+32−3=(2+3)(2+3)(2+3)(2−3)=7+43；除此之外，还可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简4+7−4−7，可以先设x=4+7−4−7，再两边平方得x2＝（4+7−4−7）2＝4+7+4−7−2(4+7)(4−7)=2，又因为4+7＞4−7，故x＞0，解得x=2，4+7−4−7=2，根据以上方法，化简6−36+3+8+43−8−43的结果是（ ）
A．3﹣22B．3+22C．42D．3
【分析】直接利用有理化因式以及二次根式的性质、完全平方公式分别化简得出答案．
【解答】解：设x=8+43−8−43，
两边平方得x2=(8+43−8−43)2=8+43+8−43−2(8+43)(8−43)=8，
∵8+43＞8−43，
∴x＞0，
∴x＝22，
原式=6−36+3+22
=(6−3)2(6+3)(6−3)+22
=9−623+22
＝3﹣22+22
＝3．
故选：D．
【变式9-2】（2022•普定县模拟）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：12=1⋅22⋅2=2(2)2=22，
（1）将12+1分母有理化可得 2−1 ；
（2）关于x的方程3x−12=11+3+13+5+15+7+⋯+197+99 的解是 112 ．
【分析】（1）根据材料进行分母有理化即可；
（2）先分母有理化，再根据式子的规律即可求解．
【解答】解：（1）12+1=2−1(2+1)(2−1)=2−1
故答案为：2−1；
（2）3x−12=11+3+13+5+15+7+⋯+197+99，
3x−12=13+1+15+3+17+5+⋯+199+97，
3x−12=3−1(3+1)(3−1)+5−3(5+3)(5−3)+7−5(7+5)(7−5)+⋯+99−97(99+97)(99−97)，
3x−12=12（3−1+5−3+7−5+⋯+99−97），
6x﹣1＝﹣1+99，
6x＝311，
x=112，
故答案为：112．
【变式9-3】．（2022春•九龙坡区校级月考）材料一：有这样一类题目：将a±2b化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mm=b，则将a±2b将变成m2+n2±2n，即变成（m±n）2开方，从而使得a±2b化简．
例如，5±26=3+2±26=（3）2+（2）2±22×3=（3±2）2，所以5±26=(3±2)2=3±2；
材料二：在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到如53，23，23+1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：53=5×33×3=533（一）；23=2×33×3=63（二）；23+1=2(3−1)(3+1)(3−1)=2(3−1)(3)2−12=3−1（三）．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
23+1还可以用以下方法化简：23+1=3−13+1=(3)2−123+1=(3+1)(3−1)3+1=3−1（四）；
请根据材料解答下列问题：
（1）3−22= 2−1 ；4+23= 3+1 ．
（2）化简：23+1+25+3+27+5+⋯+22n+1+2n−1．
【分析】（1）根据材料一和完全平方公式即可得出答案；
（2）根据材料二将每一个式子分母有理化，并合并同类二次根式可得出答案．
【解答】解：（1）∵3﹣22=2+1﹣22=（2−1）2，
∴3−22=(2−1)2=2−1，
∵4+23=3+1+23=（3+1）2，
∴4+23=(3+1)2=3+1，
故答案为：2−1，3+1；
（2）23+1+25+3+27+5+⋯+22n+1+2n−1
=2(3−1)(3+1)(3−1)+2(5−3)(5+3)(5−3)+•••+2(2n+1−2n−1)(2n+1+2n−1)(2n+1−2n−1)
=3−1+5−3+7−5+•••+2n+1−2n−1
＝﹣1+2n+1．