福建版2024八年级数学下册第十七章勾股定理学情评估试卷（人教版附答案）

这是一份福建版2024八年级数学下册第十七章勾股定理学情评估试卷（人教版附答案），共11页。

第十七章学情评估一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．下列四组线段中，能构成直角三角形的是(　　)A．3，4，5 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，62．如图，货车卸货时支架侧面是Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，若AB＝2.5 m，AC＝2 m，则BC的长为(　　)A．1.5 m B．2 m C．2.5 m D．3 m(第2题)　　(第6题)3．在平面直角坐标系中，点P(eq \r(2)，eq \r(3))到原点的距离是(　　)A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.eq \r(5) D.eq \r(6)4．把命题“如果x＝y，那么eq \r(x)＝eq \r(y)”作为原命题，则下列结论正确的是(　　)A．原命题和逆命题都是真命题B．原命题和逆命题都是假命题C．原命题是真命题，逆命题是假命题D．原命题是假命题，逆命题是真命题5．若直角三角形的两边长a，b满足(a－4)2＋eq \r(b－3)＝0，则第三边的长是(　　)A．5 B.eq \r(7) C．5或7 D．5或eq \r(7)6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，则CD的长是(　　)A．5 B.eq \f(12,5) C.eq \f(4,5) D.eq \f(3,4)7．如图，每个小正方形的边长都是1，A，B，C分别在格点上，则∠ABC的度数为(　　)A．30° B．45° C．50° D．60°(第7题)　　　(第8题)8．如图，福州某小巷左右两侧都是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左端墙脚的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2 m，则小巷的宽度为(　　)A．0.7 m B．1.5 m C．2.2 m D．2.4 m9．如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为7，2号、3号两个正方形的面积和为4，则a，b，c三个正方形的面积和为(　　)A．11 B．15 C．10 D．22(第9题)　(第10题)10．如图是一个长、宽、高分别是6 cm、4 cm、3 cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的顶点A处沿着长方体的表面到顶点B处吃食物，那么它需爬行的最短路程是(　　)A．(3＋2 eq \r(13) ) cm B.eq \r(97) cm C.eq \r(85) cm D.eq \r(109) cm二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)11．等腰三角形腰长10 cm，底长16 cm，则底边上的高是____________．12．如图，在Rt△OBC中，OC＝1，OB＝2，∠BOC＝90°，以B为圆心，BC长为半径作弧，交BO于A，若点A在数轴上所表示的数为a，则a的值是__________．(第12题)(第13题)13．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，BC＝4 eq \r(5)，CD＝8，则∠ADC＝________度．14．我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图(如图)，可以说是充分肯定了我国数学的成就，也弘扬了我国古代的数学文化．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么(a＋b)2的值是____________．(第14题)　(第15题)15．把两个同样大小的含45°角的直角三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的一个锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝eq \r(2)，则CD＝________．16．如图，Rt△OA0A1在平面直角坐标系内，∠OA0A1＝90°，∠A0OA1＝30°，以OA1为直角边向外作Rt△OA1A2，使∠OA1A2＝90°，∠A1OA2＝30°，以OA2为直角边向外作Rt△OA2A3，使∠OA2A3＝90°，∠A2OA3＝30°，按此方法进行下去，得到Rt△OA3A4，Rt△OA4A5，…，Rt△OA2 024A2 025，若点A0(－1，0)，则点A2 025的纵坐标为________．三、解答题(本题共6小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(8分)如图，马路一边有一根5.4 m长的电线杆(AC)被一辆货车从离地面1.5 m处(点B处)撞断裂，倒下的电线杆顶部C1是否会落在离它底部3.8 m远的快车道上？说明理由．18．(8分)如图，已知∠B＝90°，BC＝1，AB＝eq \r(3)，CD＝2，AD＝2 eq \r(2).(1)求证：△ACD是直角三角形；(2)求四边形ABCD的面积．19．(8分)在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水，在河边新建了一个取水点H(A，H，B在一条直线上)，并新修了一条路CH，测得CB＝3 km，CH＝2.4 km，HB＝1.8 km.(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？(即问：CH与AB是否垂直？)请通过计算说明理由；(2)求原来的路线AC的长．20．(8分)如图，一个等腰直角三角尺不小心掉到两墙之间(∠ACB＝90°)，已知AB＝20 cm，AD为三块砖的厚度，BE为两块砖的厚度，求砌墙所用的砖每块的厚度(每块砖的厚度均相同)．21．(10分)我们已经知道了一些特殊的勾股数，如三个连续整数中的勾股数：3，4，5；三个连续偶数中的勾股数6，8，10，由此发现勾股数的正整数倍仍然是勾股数．(1)如果a，b，c是一组勾股数，即满足a2＋b2＝c2，求证：ka，kb，kc(k为正整数)也是一组勾股数．(2)另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出公式a＝2n＋1，b＝2n2＋2n，c＝2n2＋2n＋1(n为正整数)是一组勾股数，证明满足以上公式的a，b，c是一组勾股数．(3)值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式收集在我国的《九章算术》中，书中提到：当a＝eq \f(1,2)(m2－n2)，b＝mn，c＝eq \f(1,2)(m2＋n2)(m，n为正整数，m>n)时，a，b，c构成一组勾股数．请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数．22．(10分)综合与实践：构图法求三角形的面积答案一、1.A　 2.A　3.C　4.D　5.D　6.B　 7.B　8.C9．B　10.C二、11.6 cm　12.－eq \r(5)＋2　13.150　14.24　15.eq \r(3)－116．－eq \f(\r(3)·22 025,31 013)　点拨：∵∠OA0A1＝90°，∠A0OA1＝30°，∴A0A1＝eq \f(1,2)OA1，设OA1＝x，则A0A1＝eq \f(1,2)x，由题意得OA0＝1，∴x2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))eq \s\up12(2)＋12，解得x＝eq \f(2 \r(3),3).∴OA1＝eq \f(2 \r(3),3).同理可得OA2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2 \r(3),3)))eq \s\up12(2)，…，OAn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2 \r(3),3)))eq \s\up12(n).∴OA2 025＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2 \r(3),3)))eq \s\up12(2 025).∵2 025÷(360÷30)＝168……9，∴OA2 025所在直线与OA9所在直线重合，即点A2 025在y轴负半轴上，∴A2 025的纵坐标为－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2 \r(3),3)))eq \s\up12(2 025)＝－eq \f(\r(3)·22 025,31 013).三、17.解：不会落在离它底部3.8 m远的快车道上，理由如下：∵AB＝1.5 m，AC＝5.4 m，∴BC＝BC1＝AC－AB＝3.9 m，在Rt△ABC1中，AC1＝eq \r(BC12－AB2)＝eq \r(3.92－1.52)＝3.6 (m)，∵3.6＜3.8，∴倒下的电线杆顶部不会落在离它底部3.8 m远的快车道上．18．(1)证明：∵∠B＝90°，BC＝1，AB＝eq \r(3)，∴AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝eq \r(（\r(3)）2＋12)＝2，∵CD＝2，AD＝2 eq \r(2)，∴AC2＋CD2＝22＋22＝8，AD2＝(2 eq \r(2))2＝8，∴AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°.(2)解：S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝eq \f(1,2)×1×eq \r(3)＋eq \f(1,2)×2×2＝eq \f(\r(3),2)＋2.19．解：(1)是．理由：在△CHB中，∵CH2＋BH2＝2.42＋1.82＝9，BC2＝9，∴CH2＋BH2＝BC2，∴△CHB是直角三角形，∠CHB＝90°，∴CH是从村庄C到河边的最近路．(2)设AC＝x km，∵AB＝AC，∴AB＝x km.在Rt△ACH中，AH＝(x－1.8)km，CH＝2.4 km，∴x2＝(x－1.8)2＋2.42，解得x＝2.5.答：原来的路线AC的长是2.5 km.20．解：设砌墙所用的砖每块的厚度为x cm，则BE＝2x cm，AD＝3x cm，过点B作BF⊥AD于点F，易得AF＝x cm.∵∠ACB＝90°，∠BEC＝90°，∴∠ACD＋∠ECB＝90°，∠ECB＋∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE.由题意易得AC＝BC.在△ACD和△CBE中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADC＝∠CEB＝90°，,∠ACD＝∠CBE，,AC＝CB，))∴△ACD≌△CBE.∴AD＝CE，CD＝BE，∴BF＝DE＝5x cm.在Rt△AFB中，AF2＋BF2＝AB2，∴x2＋25x2＝400，解得x＝eq \f(10 \r(26),13)(负值已舍去)．∴砌墙所用的砖每块的厚度为eq \f(10 \r(26),13) cm.21．(1)证明：∵(ka)2＋(kb)2＝k2(a2＋b2)＝k2c2＝(kc)2，∴ka，kb，kc(k为正整数)也是一组勾股数．(2)证明：∵(2n＋1)2＋(2n2＋2n)2＝4n2＋4n＋1＋4n4＋8n3＋4n2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，(2n2＋2n＋1)2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，∴(2n＋1)2＋(2n2＋2n)2＝(2n2＋2n＋1)2，∴满足以上公式的a，b，c是一组勾股数．(3)解：5，12，13构成一组勾股数．(答案不唯一)22．解：(1)eq \f(7,2)(2)如图①所示．S△KMN＝2×4－eq \f(1,2)×2×1－eq \f(1,2)×2×2－eq \f(1,2)×1×4＝8－1－2－2＝3.(3)如图②所示．改造后的六边形花圃QRDEFG的面积为7×4－eq \f(1,2)×2×2－eq \f(1,2)×1×4－1－eq \f(1,2)×2×1－eq \f(1,2)×2×1－eq \f(1,2)×2×2＝19.问题提出在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为eq \r(5)，eq \r(10)，eq \r(13)，求△ABC的面积.素材1某数学兴趣小组发现，如果运用三角形面积公式S＝eq \f(1,2)ah(a为底边长，h为对应的高的长)求解，那么高h的计算较为复杂，进一步观察发现AB＝eq \r(5)＝eq \r(12＋22)，BC＝eq \r(10)＝eq \r(12＋32)，AC＝eq \r(13)＝eq \r(22＋32)，若把△ABC放到如图①所示的正方形网格中(每个小正方形的边长均为1)，且△ABC的三个顶点恰好都在小正方形的顶点处，这样无需求三角形的高，直接借助网格就能计算出△ABC的面积．这种借助网格计算面积的方法称为“构图法”.素材2某园艺公司对一块三角形花圃PQR进行改造，如图②所示，分别以原花圃的PQ，PR为边向外扩建正方形花圃PQGF，正方形花圃PRDE，并增加三角形花圃FPE，将原花圃改造为六边形花圃QRDEFG.任务1(1)请直接写出图①中的三角形ABC的面积：________.任务2(2)已知△KMN三边KM，MN，KN的长分别为eq \r(5)，2 eq \r(2)，eq \r(17)，请利用图③的正方形网格(每个小正方形的边长均为1)画出相应的△KMN，并求出它的面积.任务3(3)若三角形花圃PQR的边PQ＝2 eq \r(2)，PR＝eq \r(5)，QR＝3，请利用图④求改造后的六边形花圃QRDEFG的面积.