河北省沧州市沧州十校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题

这是一份河北省沧州市沧州十校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题，共10页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，已知复数满足，则，古希腊数学家特埃特图斯，已知复数，则，设向量，则等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章､第七章.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量，那么（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则的虚部为（ ）
A.-1 B.-2 C. D.2
3.若是平面内一组不共线的向量，则下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（ ）
A.与 B.与
C.与 D.与
4.（ ）
A. B.
C. D.
5.在四边形中，若，且，则该四边形一定是（ ）
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形
6.已知复数满足，则（ ）
A. B.1 C. D.
7.在中，内角的对边分别为，已知，且，则（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
8.古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数.已知，若，则（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数，则
A.的虚部为
B.是纯虚数
C.的模是
D.在复平面内对应的点位于第四象限
10.设向量，则（ ）
A. B.
C. D.
11.在中，角的对边分别为，已知的周长为，则（ ）
A.若，则是等边三角形
B.存在非等边满足
C.内部可以放入的最大圆的半径为
D.可以完全覆盖的最小圆的半径为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知，若，则__________.
13.已知平面内三点不共线，且点满足，则是的__________心.（填“重”或“垂”或“内”或“外”）
14.在中，角所对的边分别为，且，若的面积为，则边上中线长的最小值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知复数.
（1）若复数在复平面内的对应点落在第二象限，求实数的取值范围；
（2）若虚数是方程的一个根，求实数的值.
16.（本小题满分15分）
已知向量.
（1）当为何值时，与垂直？
（2）当为何值时，与平行？
17.（本小题满分15分）
在中，角的对边分别为，已知.
（1）求和的值；
（2）求的面积.
18.（本小题满分17分）
如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的四等分点，设.
（1）若长为长为，求的长；
（2）若是上一点，且，试判断三点是否共线？并说明你的理由.
19.（本小题满分17分）
在中，角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.
2023~2024学年度第二学期高一年级3月份月考试卷·数学
参考答案､提示及评分细则
1.A 因为，所以.故选A.
2.B 的虚部为-2.故选B.
3.D 由不共线，可知与与与必不共线，都可作为平面向量的基底，而，故与共线，不能作为该平面内所有向量的基底.故选D.
4.C .故选.
5.A ，此时四边形为平行四边形，因为，所以，即对角线长相等，故四边形为矩形.故选.
6.C 根据题意，.所以.故选C.
7.A ，即为，即有，即有，又，则，解得.故选A.
8.B 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系，
由题意得，则.因为，所以解得所以.故选B.
9.AC 对于，由虚部定义知的虚部为，故正确；对于，纯虚数要求实
部为0，故B错误；对于，故C正确；对于D，在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D错误.故选AC.
10.AB 对于，因为，所以，故A正确；
对于，故正确；
对于，则，所以与不垂直，故C错误；
对于D，因为，所以不共线，故D错误.故选AB.
11.ACD 因为的周长为3，且，可得，由余弦定理得.
对于，因为，所以，即，则，所以为等边三角形，故A正确；
对于，假设，则，即，则，此时为等边三角形，故B错误；
对于，由，可得，当且仅当时等号成立，解得或（舍去），所以的面积的内切圆半径为，所以内部可以放入的最大圆的半径为，故C正确；
对于，设外接圆的半径为，因为，所以，解得或（舍去），由，可得，因为，所以，所以可以完全覆盖的最小圆的半径为，故D正确.故选ACD.
12.2 由题意，得所以.
13.垂 因为，同理，故为的垂心.
14. ，由正弦定理得，整理得，即，，则.如图，设边上的中点为，在中，由余弦定理，得，又，由代入上式，并整理得，当且仅当时取“=”，所以边上中线长的最小值为.
15.解：（1）.
因为在复平面内的对应点落在第二象限，所以
解得.
因此，实数的取值范围是.
（2）因为虚数是方程的一个根，所以也是方程的一个根，
于是，解得.
所以，因此.
16.解：（1）因为，
，
，
若可得，
即，得，
即时，与垂直.
（2）当时，有，
解得，
即时，与平行.
17.解：（1）在中，由，可得.
又由及，可得.
由余弦定理得，得，
因为，故解得.
所以.
（2）由（1）知，，
所以的面积.
18.解：（1）是的中点，
，
.
（2）三点不共线，
理由如下：
由（1）知，，
，
.
易知与不平行，
三点不共线.
19.解：（1）由正弦定理得，
整理得，所以，
又，所以.
（2）法一：由（1）知，即.
因为为锐角三角形，所以解得.
由正弦定理，得，
则
，
当时，，则.
又，
所以，所以，
所以，即，
所以周长的取值范围是.
法二：（数形结合）
过点作，垂足为，
在直线上取一点，使，则与均为直角三角形.
为锐角三角形，
点在线段上（不含端点）.
在Rt中，，易得，
，周长为；
在Rt中，，易得，周长为，
所以周长的范围是.