2024年重庆育才中学教育集团九年级数学 一诊模拟试题（原卷版+解析版）

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参考公式：抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线．
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卷上对应的位置涂黑．
1. 的倒数是（ ）
A. B. 2024C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴的倒数是，
故选；C．
2. 如图，该几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中，看不到的棱需要用虚线来表示．
【详解】解：从正面看易得，该几何体的视图为B，
故选：B
【点睛】本题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，掌握主视图的概念是解题的关键．
3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握例函数中为定值时解题关键．分别计算的值与比较，相等即该点在反比例函数图象上．
【详解】解：A、，反比例函数图象不经过点，不符合题意；
B、，反比例函数图象不经过点，不符合题意；
C、，反比例函数图象不经过点，符合题意；
D 、，反比例函数图象不经过点，不符合题意；
故选：C．
4. 如图，已知平分，是延长线上一点，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用，推出，，在根据平分得，即可求出答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
又∵平分，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线得定义，难度不大，熟练掌握平行线的性质是关键．
5. 在解决数学问题时，常常需要建立数学模型．如图，用大小相同的圆点摆成的图案，按照这样的规律摆放，则第9个图案中共有圆点的个数是（ ）

A. 80B. 81C. 82D. 83
【答案】C
【解析】
【分析】仔细观察图形，找到变化规律即可求解．
【详解】解：根据图中圆点的排列可知，
当时，圆点个数为；
当时，圆点个数为；
当时，圆点个数为；
当时，圆点个数为；
…
第个图案中圆点的个数为，
第9个图案中圆点的个数为，
故选：B．
【点睛】本题考查了图形的变化规律，找出图形之间的联系，找到规律是解题的关键．
6. 根据下列条件，不能画出唯一确定的△ABC的是（ ）
A. AB=3，BC=4，AC=6B. AB=4，∠B=45°，∠A=60°
C. AB=4，BC=3，∠A=30°D. ∠C=90°，AB=8，AC=4
【答案】C
【解析】
【分析】根据全等三角形的几种判定定理，根据选项中所给的条件，逐条判断是否满足全等三角形的判定定理即可．
【详解】A.，，，符合全等三角形的判定定理SSS，能画出唯一的，故本选项不符合题意；
B.，，，符合全等三角形的判定定理ASA，能画出唯一的，故本选项不符合题意；
C.，，，不符合全等三角形的判定定理SAS，不能画出唯一的，故本选项符合题意；
D.，，，符合全等直角三角形的判定定理HL，能画出唯一的，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，能够熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键．
7. 某品牌新能源汽车2021年的销售量为10万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了21.2万辆．如果设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为，那么可列出方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该品牌新能源汽车2023年的销售量=该品牌新能源汽车2021年的销售量从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率)，结合2023年的销售量比2021年增加了21.2万辆，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：，
故选：D．
8. 下列说法不正确的是（ ）
A. 矩形的对角线相等且互相平分B. 菱形的对角线互相垂直平分
C. 正方形的对角线相等且互相平分D. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的知识点是平行四边形及特殊平行四边形的性质、轴对称图形的识别，解题关键是熟练掌握特殊平行四边形的相关性质．
根据矩形、正方形、菱形、平行四边形的性质及轴对称图形的定义对选项进行逐一判断即可求解．
【详解】解：选项，“矩形的对角线相等且互相平分”正确，不符合题意，选项错误；
选项，“菱形的对角线互相垂直平分”正确，不符合题意，选项错误；
选项，“正方形的对角线相等且互相平分”正确，不符合题意，选项错误；
选项，平行四边形不是轴对称图形，“矩形、菱形、正方形都是轴对称图形”不正确，符合题意，选项正确．
故选：．
9. 如图，是的直径且，点在圆上且，的平分线交于点，连接并过点作，垂足为，则弦的长度为（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，解直角三角形，含30度角直角三角形特征，等腰三角形的判定与性质，由圆周角定理得到，由，求出的长，由等腰直角三角形的性质求出的长，由，求出而，得到即可．
【详解】解：是的直径，
，
，
，
，
平分，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
10. 已知，则下列说法：
①若，则；
②若的值与的取值无关，则；
③当时，若，则或；
④当时，有最小值为7，则．
其中正确的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】①代入直接计算即可作答；②先表示出，根据的值与x的取值无关，即可知含x的项的系数为0，据此即可计算；③代入，可得，解方程即可求解；④根据有最小值为7，可得，代入，，可得，解不等式，即可求解．
【详解】解：①∵
∴
当时，原式，故①错误；
②
∵的取值无关，
∴
∴，故②错误；
③
当时，
∴或
解得：或；
故③正确；
④∵有最小值为7
∴
由②可得
当时，
∴
∴
解得：，故④正确
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多项式的加减混合运算，解绝对值方程，解一元一次不等式组等知识，掌握多项式的加减混合运算以及分类讨论的思想是解答本题的关键．
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. _____．
【答案】####
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题关键．先计算算术平方根、负整数指数幂、三角函数，再计算乘法，最后计算加减法即可．
【详解】解：
．
故答案为：6.5
12. 要使展开式中不含项和项，则__________．
【答案】11
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，掌握多项式乘多项式法则，理解展开式中不含项和项是解决本题的关键．利用多项式乘多项式法则先计算，再根据积的展开式中不含项和项求出a、b的值，最后代入计算即可．
【详解】解：
∵展开式中不含项和项，
，且．
．
．
故答案为：11．
13. 如图，在正五边形ABCDE内，以CD为边作等边，则的数为__________．
【答案】66°##66度
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质和多边形的内角和解答即可；
【详解】解：因为△CDF是等边三角形，
所以∠CDF=60°，
因为∠BCD=（5-2）×180°÷5=108°，
所以∠BCF=108°-60°=48°，
因为BC=CF，
所以∠BFC=（180°-48°）÷2=66°．
故答案为：66．
【点睛】此题考查了等边三角形和多边形的内角和，解题的关键是明确等边三角形的每个内角都是60°和多边形的内角和公式．
14. 如图，过轴正半轴上一点作轴的平行线，与反比例函数和的图象分别相交于点和点，点是轴上一点，连接．若的面积为8，则的值为______．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及值的几何意义，三角形面积的转化，连接、，轴，则，反比例函数得，则，根据的几何意义得即可．
【详解】解：如图，连接、，
轴，
，
反比例函数，
，
，
．
故答案为：9．
15. 如图，是等边三角形，是的外心，外接圆半径为，分别以，，为圆心，，，为半径作弧交的三边于点，，，，，，则阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查三角形外心的定义、等边三角形的性质、正多边形的中心角的定义、勾股定理、扇形的面积公式等知识，连接、、，则，由等边三角形的性质得，，则，延长交于点，则，所以，则，，所以，即可由，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接、、，则，
是等边三角形，
，，
，
平分，
延长交于点，则，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
16. 若关于x的一元一次不等式组有解，且关于y的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，根据分式方程解的情况求参数，先解不等式组得到，再解分式方程得到，由分式方程的解是非负整数得到且为整数，且，据此求出符合题意的a的所有值，再求和即可得到答案．
详解】解；
解不等式①得，
解不等式②得：，
∵不等式组有解，
∴，
∴；
去分母得：，
移项，合并同类项得，
解得，
∵分式方程的解为非负整数，
∴，且为整数，且
∴且为整数，且，
∴或或，
∴所有满足条件的整数的值之和是，
故答案为：．
17. 如图，矩形纸片，，，点在线段上，将沿向上翻折，点的对应点落在线段上，点，分别是线段与线段上的点，将四边形沿向上翻折，点恰好落在线段的中点处，则线段的长_________．
【答案】##
【解析】
【分析】过点作于，连接交于G，连接，证明四边形是正方形，进而证明，得到；证明，推出，则，由勾股定理得，由折叠的性质可得，设，则，在中，由勾股定理得，解得，即，根据折叠的性质，可得，，利用等面积法即可得到．
【详解】如图，过点作于，连接交于G，连接，
四边形是矩形，
，
将沿向上翻折，点C的对应点落在线段上，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
是线段的中点，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
由折叠的性质可得，
设，则，
在中，由勾股定理得，即，
解得，即，
根据折叠的性质，可得，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，添加辅助线，利用勾股定理是解题的关键．
18. 如果一个自然数的各位数字不为0，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，各位数字之和为8，则称数为“优数”，并把数分解成的过程，称为“最优分解”．例如：数_______“优数”(填：是或不是)；若把一个“优数”进行“最优分解”，即，与之和记为，与之差的绝对值记为，令，当能被8整除时，则满足条件的的最大值是__________．
【答案】 ①. 是 ②.
【解析】
【分析】此题主要考查了新定义，分解因数，整除问题；先将分解因数，再判断即可得出答案；设两位数的个位数字为，十位数字为，则两位数的个位数字为，十位数字为，，且，为正整数，得出，，进而得出，，进而得出，再判断出或或，最后分三种情况利用能被整除，求出的值，即可求出答案．
【详解】解：，
是优数；
设两位数的个位数字为，十位数字为，
则两位数的个位数字为，十位数字为，，且，为正整数，
则，，
，
，
令，则，
，
即且为整数，
，
，
，且为整数，
或或，
①当时，，此数的个位数字必为，
，
，
能被整除，
或，
或，
②当时，，此数的个位数字为或，
，
，
能被整除，
能被整除，
，
，
③当时，，
，
，
能被整除，
能被整除，
而的个位数字为，
或或，
或不符合要求或不符合要求，
要最大，则最大，
而两位数，十位数字是，
所以最大，
当，时，，，
；
当，时，，，
，
故答案为：是；．
三、解答题：（本大题共8小题，19题8分，20-26题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查整式、分式的化简，根据相关运算法则计算即可；
（1）先去括号，再合并同类项即可；
（2）根据分式的计算法则计算，即可解答．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
原式
．
20. 如图，在四边形中，．
（1）用直尺和圆规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接、；在线段的延长线上取一点，使得，连接．（保留作图痕迹，不写作法和结论）
（2）在（1）所作图形中，证明：是等腰三角形（补全证明过程）
证明：平分，
，
，
，
在和中，
，
，
______②，
，
四边形为平行四边形，
垂直，
平行四边形为______③，
，
，
，
即：_____④，
是等腰三角形．
【答案】（1）见解析；
（2）①；②；③菱形；④．
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的作图方法作图，再以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，连接，，即可．
根据全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定可得答案．
本题考查作图复杂作图、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、线段垂直平分线的作法是解答本题的关键．
【小问1详解】
根据题意，画图如下：
．
【小问2详解】
证明：平分，
，
，
，
在和中，
，
，
．
，
四边形为平行四边形．
垂直，
平行四边形为菱形，
．
，
，
即：，
是等腰三角形．
故答案为：；；菱形；．
21. 笛卡尔说：“数学是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源”，为提高学生对学习数学的兴趣和培养学生的数学爱好，某校开展了一次趣味数学竞赛，并从七年级和八年级各随机抽取名学生的数学竞赛成绩，进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，共分成组，：，：，：，：）．部分信息如下：
七年级学生组的竞赛成绩为：，，，，，，，．
八年级被抽取学生的竞赛成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
七、八年级抽取的竞赛成绩统计表
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______ ；______ ；______．
（2）根据以上数据分析，你认为哪个年级学生的数学竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级学生共有人，请你估计该校学生中数学竞赛成绩不低于分的有多少人？
【答案】（1），，；
（2）七年级成绩较好，理由见解析；
（3）该校学生中数学竞赛成绩不低于分的大约有人．
【解析】
【分析】本题考查了中位数、众数以及用样本估计总体，理解中位数、众数的意义是正确解答的关键．
（1）分别根据中位数、众数的意义求解即可求出、，用“ 组”的人数除以可得的值；
（2）从平均数、中位数、众数的角度比较得出结论；
（3）用总人数乘七、八年级不低于分人数所占百分比即可．
【小问1详解】
解：由题意可知，把被抽取七年级名学生的数学竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为，，故中位数；
在被抽取的八年级名学生的数学竞赛成绩中，分出现的次数最多，故众数；
，故，
故答案为：，，；
【小问2详解】
七年级成绩较好，理由：因为七年级学生成绩的中位数比八年级的高，所以七年级成绩较好；
【小问3详解】
七年级成绩不低于分的有：（人），
人，
答：该校学生中数学竞赛成绩不低于分的大约有人．
22. 某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．
（1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？
（2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？
【答案】（1）购买杂酱面80份，购买牛肉面90份
（2）购买牛肉面60份
【解析】
【分析】（1）设购买杂酱面份，则购买牛肉面份，由题意知，，解方程可得的值，然后代入，计算求解，进而可得结果；
（2）设购买牛肉面份，则购买杂酱面份，由题意知，，计算求出满足要求的解即可．
【小问1详解】
解：设购买杂酱面份，则购买牛肉面份，
由题意知，，
解得，，
∴，
∴购买杂酱面80份，购买牛肉面90份；
【小问2详解】
解：设购买牛肉面份，则购买杂酱面份，
由题意知，，
解得，
经检验，是分式方程的解，
∴购买牛肉面60份．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程．
23. 如图1，在矩形中，，．动点P从B出发以的速度向C运动，动点Q从C出发以的速度向B运动，两点同时出发，当其中一个点到达终点时另一个点立即停止运动，运动时间记为．把线段绕点A逆时针旋转得线段，连接，．运动过程中的面积记为，且，的长度记为．

（1）求出、的函数关系式，并写出的取值范围．
（2）在图2的平面直角坐标系中，画出、的函数图象，并写出函数图象的一条性质： ．
（3）结合图象，当时，直接写出的取值范围．
【答案】（1），
（2）当时，y随x的增大而减小（当时，y随x的增大而增大）．图见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由两个动点的移动速度可知，，点P与点Q相遇前，点P与点Q相遇后，，由此可得的函数关系式；过点E作于点F，根据证明，推出，可得；
（2）根据（1）中所求函数关系式，在坐标系内描点连线即可；
（3）根据（2）中所画图象，找出图象在图象上方部分对应的t的取值范围即可．
【小问1详解】
解：由题意知，，
当点P与点Q相遇时，，
当点Q到达点B时，两点停止运动，此时，
当点P与点Q相遇前，，
当点P与点Q相遇后，，
；
如图1，过点E作于点F，

由旋转得，，
四边形是矩形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
综上可知，，；
【小问2详解】
解：、函数图象如下图所示，图象的性质为：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大．
【小问3详解】
解：由（2）可知，当时，、的图象有交点，
解方程组，得，
、的图象的交点坐标为，
结合函数图象可知，当时，的取值范围为．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，一次函数图象和性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，两条直线交点与二元一次方程组的关系等，解题的关键是求出、的函数关系式．
24. 某动物园熊猫基地D新诞生了一只小熊猫，吸引了大批游客前往观看．由于A、B之间的道路正在进行维护，暂时不能通行．游客由入口A进入园区之后可步行到达点C，然后可以选择乘坐空中缆车从，也可选择乘坐观光车从．已知点C在点A的北偏东45°方向上，点D在点C的正东方向，点B在点A的正东方向300米处，点D在点B的北偏东60°方向上，且米．（参考数据：，，）

（1）求的长度（精确到个位）；
（2）已知空中缆车的速度是每分钟200米，观光车的速度是每分钟320米，若游客想尽快到达熊猫基地D，应选择乘坐空中缆车还是观光车？
【答案】（1）米；
（2）应选择乘坐观光车．
【解析】
【分析】（1）作于M，于N，推出四边形是矩形，得到，求出（米），由锐角的正切定义求出的长，由是等腰直角三角形，得到，求出的长，即可解决问题；
（2）分别求出乘坐空中缆车，观光车所用的时间，即可判断．
【小问1详解】
解：作于M，于N，

∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴（米），
∵，
∴（米），
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴（米），
∴（米），
∴（米）；
【小问2详解】
解：由勾股定理得到（米），
∴（米），
∴乘坐观光车的时间是（分钟），
乘坐空中缆车的时间是（分钟），
∴应选择乘坐观光车．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用—方向角问题，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用三角函数定义来解决问题．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接．

（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，直线交轴于点，点为线段下方抛物线上的一点，过点作轴交直线于点，在直线上取点，连接，使得，求的最大值及此时点的坐标；
（3）连接，把原抛物线沿射线方向平移个单位长度，点是平移后新抛物线上的一点，过点作垂直轴于点，连接，直接写出所有使得的点的横坐标．
【答案】25.
26. 取得最大值，
27. 或0或或
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）作于点E，由三线合一得，证明得．求出直线的解析式，设，则，表示出，进而得出关于m的函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可；
（3）先利用推出，再求出平移后的解析式，然后设，得出，求出n即可．
【小问1详解】
∵抛物线与轴交于、两点，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
作于点E，

∵，，
∴点E是的中点，
当时，，
∴，
∴，
∵轴，
∴
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
设直线的解析式，
把代入，得，
解得，
∴，
设，则，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴
，
∴当时，取得最大值，，
∴；
【小问3详解】
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵抛物线沿射线方向平移个单位长度，
∴抛物线向右平移了2个单位，向下平移了4个单位，
∵，
∴平移后的解析式为，
∵，，
∵，
∴，，
∴，
∴
设，则，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，，，，
综上可知，点M的横坐标为或0或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数的平移，二次函数与坐标轴的交点，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，二次函数与几何综合，熟悉二次函数的性质和推导是解答本题的关键．
26. 在中，，，是等边三角形，连接、．

（1）如图1，当、、三点在同一直线上时，、交于点，且．若，求的长；
（2）如图2，当、、三点在同一直线上时，中点，连接、，求证：．
（3）如图3，在（2）的条件下，，在直线上运动，将沿翻折得到，连接，是上一点，且，是直线上的另一个动点，连接，将沿翻折得到，连接，当最小时，直接写出此时点到直线的距离．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）点到直线的距离为：．
【解析】
【分析】（1）解求得，计算得出，然后解求得；
（2）延长至，是，连接，，设与交于，证明，进而证明得出，进一步得出结论；
（3）作于，取点，连接，，先证得点在过点且与垂直的直线上运动，点在以点为圆心，2为半径的圆上运动，过点作的垂线段，交圆于，当点运动到点时，此时最小，解直角梯形，求得的值，进而求得，，作，解，进一步求得结果．
【小问1详解】
解：，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
在中，，，
，
，
在中，，，
；
【小问2详解】
证明：如图1，

延长至，是，连接，，设与交于，
，，
，
，，
∴，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
即：，
是等边三角形，
，，
，
；
【小问3详解】
解：如图，

作于，取点，连接，，
，
，
，
，
，
由（2）得，
是等边三角形，
，，
，
，
即：，
，
，
点在过点且与垂直的直线上运动，
，
点在以点为圆心，2为半径的上运动，
作直线于，当点在处时，交圆于，最小，
作于，
，
∴，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
作于，
，
，
，
，
，
所以此时点到直线距离为：．
【点睛】本题考查等腰三角形性质，解直角三角形，全等三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
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