贵州省黔东南州从江县东朗中学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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(时间∶120分钟 满分∶150分)
一、选择题(本题共12小题，每小题3分，共36分)
1. 下列数组是勾股数的是（ ）
A. 1，B. 3，4，5C. 6，8，14D. 7，23，26
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数逐一判断即可．
【详解】解：A．1，，不是整数，此数组不是勾股数，不符合题意；
B．，此数组是勾股数，符合题意；
C．，此数组不是勾股数，不符合题意；
D．，此数组不是勾股数，不符合题意．
故选：B
2. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（ ）
A. B. 4C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】过点P作x轴的垂线于点A，则△AOP是直角三角形，且已知两直角边，由勾股定理即可求得PO的长．
【详解】如图，过点P作x轴的垂线于点A
则△AOP是直角三角形
∵
∴OA=1，AP=3
由勾股定理得：
即P点到原点的距离为
故选：A．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中两点间的距离，方法是构造直角三角形，利用勾股定理解决．
3. 已知a，b，c为三角形的三边，且满足等式|a-5|+(b-12)2+=0，那么此三角形的形状为( )
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】因为a，b，c为三边，根据|a-5|+(b-12)2+=0，可找到这三边数量关系．
【详解】∵|a-5|+(b-12)2+=0
∴
∴
∴三角形直角三角形.
故选B.
【点睛】本题考查的知识点是勾股定理逆定理以及非负数的性质，解题关键是掌握绝对值、算术平方根和偶次幂都具有非负性．
4. 在一直角三角形中，两条直角边分别为和2，则这个三角形的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理求出斜边长，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：由勾股定理得，三角形的斜边长，
则这个三角形的周长，
故选：A
5. 如图，正方形的边落在数轴上，，以为圆心，长为半径作圆弧与数轴交于点，则点表示的数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理求出的长，即的长，由此即可求出点对应的数．
【详解】解：根据题意可得：，，
∴，
，
又∵点D在原点O的左侧，
点表示的数为，
故选：．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用以及实数与数轴的关系，得出的长是解题的关键．
6. 已知，，，，则斜边上的高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点作与点，由勾股定理求出的长，再由三角形面积，即可求出斜边上的高．
【详解】解：如图，过点作与点，

，，，
，
，
，
．
故选：．
【点睛】本题主要考查三角形的面积公式以及勾股定理，熟练掌握勾股定理求得是解本题的关键．
7. 计算的结果是（ ）
A. B. 1C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】把括号内的每一项分别乘以 再合并即可．
【详解】解：

故选：B．
【点睛】本题考查的是二次根式的乘法运算，掌握“二次根式的乘法运算法则”是解本题的关键．
8. 如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片则图中空白部分的面积为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的应用，算术平方根的实际应用，根据正方形的面积求出两个正方形的边长即可得出结果．
【详解】解：∵两张正方形纸片面积分别为和，
∴它们的边长分别为，，
∴，，
∴空白部分的面积

故选：A．
9. 射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为子弹的加速度，为枪筒的长．如果那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）
A 0.4103m/sB. 0.8103m/sC. 4102m/sD. 8102m/s
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知，代入化简求解即可．
【详解】解：由题意可知，（m/s）
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式，科学记数法的有关知识．
10. 已知，，则代数式的值为（ ）
A. 9B. C. 3D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】计算出m−n及mn的值，再运用完全平方公式可把根号内的算式用m−n及mn的代数式表示，整体代入即可完成求值．
【详解】∵，，
∴，mn=-1，
∴
=3．
故选：C．
【点睛】本题考查了求代数式的值，二次根式的混合运算，完全平方公式的应用，对被开方数进行变形并运用整体代入法求值是关键．
11. 按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（ ）
A. 14B. 16C. 8+5D. 14+
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：当n=时，n（n+1）=（+1）=2+＜15；
当n=2+时，n（n+1）=（2+）（3+）=6+5+2=8+5＞15，
则输出结果为8+5．
故选C．
考点：实数的运算．
12. 已知的整数部分是a，的小数部分是b，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．先估算出及的值，从而估算出与的值，进而求出，的值，进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
，
的整数部分是：10，
，
，
，
的小数部分是，
，
，
故选：B
二、填空题(本题共4小题，每小题4分，共16分)
13. 命题“等边三角形是等腰三角形”的逆命题是_____，它是___命题(填“真”或“假”)．
【答案】 ①. 等腰三角形是等边三角形 ②. 假
【解析】
【分析】本题考查的是命题与定理，涉及到互逆命题及等腰三角形的判定，解题关键是正确写出原命题的逆命题．根据等腰三角形的定义及互逆命题的关系进行判断即可．
【详解】解：命题：等边三角形是等腰三角形的逆命题为“等腰三角形是等边三角形”，该命题是假命题．
故答案为：等腰三角形是等边三角形，假
14. 如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为________．

【答案】64
【解析】
【分析】两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方．利用勾股定理即可求出．
【详解】解：两个阴影正方形的面积和为 ，
故答案为：64．
【点睛】本题考查了正方形的面积以及勾股定理的应用，准确识图是解题的关键．
15. 已知的三边长分别为1，k，3，则化简的结果是_______．
【答案】12-4k
【解析】
【分析】根据三边关系可知：2＜k＜4，从而可化简原式．
【详解】解：由题意可知：2＜k＜4，
∴1＜9-2k＜5，1＜2k-3＜5，
∴原式=
=9-2k-2k+3
=12-4k，
故答案为：12-4k．
【点睛】本题考查二次根式的化简，解题的关键是根据题意得出k的范围，本题属于基础题型．
16. 如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则图中、、三个实数的积为______．
【答案】18
【解析】
【分析】根据每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的积均相等和图中的数据，可以得到方，然后求解即可．
【详解】解：∵每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的积均相等，
∴，
解得，，

故答案为：18．
【点睛】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的等式．
三、解答题(本题共9小题，共98分)
17. 在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c．
（1）若a＝5，b＝10，求c的值；（2）若c＝，b＝1，求a的值．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）由勾股定理知：c2＝a2+b2．
（2）由勾股定理知：a2＝c2﹣b2．
【详解】（1）由勾股定理知：c2＝a2+b2＝52+102＝125．则．
（2）由勾股定理知：a2＝c2﹣b2＝（）2﹣12＝．则．
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
18. 已知，计算x﹣y2的值．
【答案】-
【解析】
【详解】由题意得：，
解得：x=，
把x=代入y=﹣4，得y=﹣4，
当x=，y=﹣4时x-y2=﹣16=﹣14．
19. 若最简二次根式与是同类根式，求的值．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．结合同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可．
【详解】解：最简二次根式与是同类根式，
，
，
解得：，．
．
20. 已知，分别求①；②的值．
【答案】①，②9
【解析】
【分析】利用、的值计算出，，再利用因式分解的方法把变形为，然后利用整体代入的方法计算；
利用通分和完全平方公式变形得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵，
，，
①；
②．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．
21. 先化简，再求值：，其中．
【答案】,
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算即可．
【详解】解：
；
当时，原式
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22. 已知大圆的半径为R，小圆的半径为r，且，圆环面积为S．
（1）用含S的代数式表示小圆的半径r；
（2）当和时，分别求出r的值．
【答案】（1）
（2）当时，；当时，
【解析】
【分析】本题利用了圆环的面积公式以及求代数式的值．
（1）圆环的面积大圆的面积小圆的面积，据此可列代数式；
（2）把和代入代数式计算即可．
【小问1详解】
，
∴．
【小问2详解】
当时，．
当时，．
23 人教版八年级上册课本第85页中有下面这道题：
小明同学按照下面的方法解决了这个问题：
如图，过点A作，延长至D，使，连接，交直线l于点C，连接，此时最短，根据对称可知：，∴此时最短．
请你帮助小明解决如下问题：
过点B作，垂足为F，若米，米，米，求的长．
【答案】500米
【解析】
【分析】过点D作交的延长线于G，如图，可得四边形是矩形，进而得出米，米，然后在直角三角形中，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：过点D作交的延长线于G，如图，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴米，米，
∴米，
在直角三角形中，根据勾股定理可得：米．
【点睛】本题考查了求两线段和的最小值、勾股定理以及矩形的判定和性质等知识，正确理解题意、掌握解答的方法是关键．
24. 对于已知三角形的三边长a，b，c，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究．阅读下面材料，回答问题∶
古希腊的几何学家海伦(，约公元50年)给出求三角形面积的海伦公式∶，其中；我国南宋时期数学家秦九韶(约1202—约1261)，曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式∶S=．
（1）若的三边长a，b，c分别为2，3，4，选用其中一个公式，计算的面积；
（2）若的三边长a，b，c分别为1，3，，请用秦九韶公式计算的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的应用，以及数学常识，熟练掌握二次根式性质是解本题的关键．
（1）根据海伦公式或根据秦九韶公式计算△的面积；
（2）根据秦九韶公式计算的面积．
【小问1详解】
根据海伦公式计算△的面积∶
其中
，
，
∴
或根据秦九韶公式计算的面积，
．
【小问2详解】
根据秦九韶公式计算△的面积∶
25. 先阅读下面的材料，再解答下列问题．
∵(＋)(－)＝a－b，
∴a－b＝(＋)(－)．
特别地，(＋)(－)＝1，
∴＝＋.
当然，也可以利用14－13＝1，得1＝14－13，
∴＝＝＝＝＋.
这种变形叫做将分母有理化．
利用上述思路方法计算下列各式：
（1）（＋＋＋…＋）×(＋1)；
（2）－－.
【答案】（1）2 020；（2）1.
【解析】
【分析】（1）先把每一部分分母有理化，化简后合并同类二次根式即可.
（2）先把每一部分分母有理化，化简后合并同类二次根式即可.
【详解】（1）原式

（2）原式
【点睛】考查分母有理化，正确找出分母有理化因式是解题关键.1
b
3
a
2
6
c
问题1 如图13.4-1，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？