江苏省兴化市昭阳湖初级中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试题（原卷版+解析版）

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（考试时间：120分钟 卷面满分：150分）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题纸相应位置上）
1. 的倒数是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴的倒数是，
故选：D．
2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. 等边三角形B. 矩形C. 正五边形D. 平行四边形
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、C都只是轴对称图形；
B、既是轴对称图形又是中心对称；
D、只是中心对称图形．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱柱D. 四棱锥
【答案】B
【解析】
【分析】由主视图和左视图得出该几何体是柱体，再结合俯视图可得答案．
【详解】解：由主视图和左视图可知，该几何体是柱体，
又俯视图中为三角形，
∴该几何体为三棱柱，
故选：B．
【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
4. 三角形的重心是（ ）
A. 三角形三条边上中线的交点
B. 三角形三条边上高线的交点
C. 三角形三条边垂直平分线的交点
D. 三角形三条内角平分线的交点
【答案】A
【解析】
【详解】三角形的重心是三条中线的交点，
故选A．
5. 已知，是关于的方程的两个实数根，下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据根与系数的关系得出，，再逐个判断即可．
【详解】解：，是关于的方程的两个实数根，
，， ＞0，
∴不论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根，即，
故A选项符合题意；
∵不论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根，且，
∴不一定大于0，
故B选项不符合题意；
∵＜0，
∴，，
故C，D选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了根判别式和根与系数的关系，能熟练记住根与系数的关系是解题的关键.
6. 过点的直线不经过第三象限，若，则p的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
根据过点的直线不经过第三象限，可以得到和的关系，、的正负情况，再根据，即可用含的式子表示和用含的式子表示，然后即可得到相应的不等式组，再解不等式组即可．
【详解】解：过点的直线不经过第三象限，
，，，
，，
，
，
，
，，
，
解得，
故选：C．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接写在答题纸相应位置上）
7. 化简：=_____．
【答案】2
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义，求数a的算术平方根，也就是求一个正数x，使得x2=a，则x就是a的算术平方根，特别地，规定0的算术平方根是0．
【详解】∵22=4，
∴=2，
故答案为：2
【点睛】本题考查求算术平方根，熟记定义是关键．
8. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】提公因式后利用完全平方公式分解即可求得．
【详解】解：原式=，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查利用提公因式法及完全平方公式因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
9. 一组数据：6，9，9，11，12，这组数据的众数是__________．
【答案】9
【解析】
【分析】根据众数的定义求解即可．
【详解】这组数据的众数是9
故答案为：9．
【点睛】本题考查了众数问题，掌握众数的定义是解题的关键．
10. 亚洲陆地面积约为4400万平方千米，将44000000用科学记数法表示为_____．
【答案】4.4×107
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】44000000=4.4×107，
故答案为4.4×107．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____．
【答案】9
【解析】
【详解】解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9．
故答案：9．
12. 设A＝a+3，B＝a2﹣a+5，则A与B的大小关系是A_____B（填“＞，＝，＜”之一）
【答案】＜
【解析】
【分析】通过作差法和配方法比较A与B的大小．
【详解】解：∵A＝a+3，B＝a2﹣a+5，
∴B﹣A＝a2﹣a+5﹣a﹣3＝a2﹣2a+2＝（a﹣1）2+1
∵（a﹣1）2≥0．
∴（a﹣1）2+1＞0．
∴B＞A，即A＜B．
故答案是：＜．
【点睛】考查了配方法的应用，非负数的性质以及整式的加减，配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．
13. 如图，是某圆锥的左视图，其中，则圆锥的侧面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面积，三视图，根据三视图可知圆锥底面圆的直径为，母线长为，再根据圆锥的侧面积等于底面圆周长与母线长乘积的一半进行求解即可．
【详解】解：由题意可知，圆锥底面圆的直径为，母线长为，
∴圆锥的侧面积为，
故答案为：．
14. 如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交 于两点，过作轴的垂线，交函数的图象于点,连接，则的面积为_______.
【答案】6
【解析】
【分析】根据正比例函数y=kx与反比例函数的图象交点关于原点对称，可得出A、B两点坐标的关系，根据垂直于y轴的直线上任意两点纵坐标相同，可得出A、C两点坐标的关系，设A点坐标为（x，- ），表示出B、C两点的坐标，再根据三角形的面积公式即可解答．
【详解】∵正比例函数y=kx与反比例函数的图象交点关于原点对称，
∴设A点坐标为(x,−),则B点坐标为(−x, ),C(−2x,−)，
∴S =×(−2x−x)⋅(− −)=×(−3x)⋅(− )=6.
故答案为6.
【点睛】此题考查正比例函数的性质与反比例函数的性质，解题关键在于得出A、C两点.
15. 如图所示，已知锐角中，，，的面积为15，D，E，F分别为AB，BC，AC边上的动点，则周长的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查的是轴对称路径最短、对称的性质和等腰直角三角形新的判定和性质，作出点F关于AB、BC的对称点，将的周长转化为的长是解题的关键．作点F关于、的对称点，，连接、，则的周长为，根据对称性知是等腰直角三角形，则，即当当最小时，最小，即的周长最小
【详解】解：如图，作点F关于、的对称点，，连接、，
∴，，，，
∴的周长为，
∴当、D、E、四点共线时，
的周长为，
∵，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴当最小时，最小，即的周长最小，
∴当时，最小，
∵的面积为15，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 在中，，D为平面内一点，连接，连接．则线段的最小值为_________．
【答案】-4
【解析】
【分析】如图，以AC为边作等边三角形OAC，再以O为圆心，OA为半径作圆O，交BC于D2，由圆周角定理可得点D是圆O上一动点，AD2为直径，利用勾股定理可求得CD2，连接OB交圆O于D1，当点D在D1位置时，BD最小，过O作OE⊥BC于E，根据垂径定理和三角形的中位线性质求得OE、CE、BE，利用勾股定理求解OB即可解答．
【详解】解：∵∠ADC=30°，D为平面内一点，AC=4，
∴点以AC为边作等边三角形OAC，再以O为圆心，OA为半径作圆O，交BC于D2，由∠AOC=60°=2∠ADC可知点D是圆O上一动点，
∵∠ACB=90°，
∴AD2为直径，则AD2=2OA=2AC=8，
∴CD2= = ，
连接OB交圆于D1，当点D位于D1位置时，BD最小，
过O作OE⊥BC于E，则CE=ED2= CD2= ，
∴BE=BC-CE=，
∴OE为△ACD2的中位线，
∴OE= AC=2，
在Rt△OEB中，OB===，
∴BD最小值为-4．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形的中位线，借助隐形圆解决最值问题是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，计102分．请在答题纸规定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明过程或演算步骤）
17.
（1）计算：；
（2）化简：
【答案】17.
18.
【解析】
【分析】本题考查0指数幂，特殊三角函数值，绝对值的性质，负指数幂及分式的化简求值，
（1）根据，，及绝对值性质，根式的混合运算直接求解即可得到答案；
（2）先通分计算括号里的，再因式分解约分即可得到答案；
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
18. 某校随机抽取部分学生，对“学习习惯”进行问卷调查．设计的问题：对自己做错的题目进行整理、分析、改正；答案选项为：A．很少，B．有时，C．常常，D．总是．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图：
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空：___________%，___________%，“常常”对应扇形的圆心角度数为___________；
（2）请你补全条形统计图；
（3）若该校有名学生，请你估计其中“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有多少名？
【答案】（1），，
（2）见解析 （3）名
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联问题，旨在考查学生的数据处理能力．
（1）根据“有时”的条形统计图和扇形统计图的数据计算出总人数，即可求解；
（2）计算出“常常”的人数即可求解；
（3）计算出样本中“总是”所占比例即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得：总人数为：（名）；
∴，
，
“常常”对应扇形的圆心角度数为：，
故答案为：，，
【小问2详解】
解：“常常”的人数为：（名），
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
解：（名），
故：该校有名学生其中“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有名
19. 在学校组织的朗诵比赛中，甲、乙两名学生以抽签的方式从3篇不同的文章中抽取一篇参加比赛，抽签规则是：在3个相同的标签上分别标注字母A、B、C，各代表1篇文章，一名学生随机抽取一个标签后放回，另一名学生再随机抽取．用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求甲、乙抽中同一篇文章的概率．
【答案】．
【解析】
【详解】解：如图：
所有可能的结果有9种，甲、乙抽中同一篇文章的情况有3种，概率为=．
20. 如图，在△ABC中，点D是AB的中点，AC＜BC．
（1）试用无刻度的直尺和圆规，在BC上作一点E，使得直线ED平分△ABC的周长；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若AB＝10，AC＝2EC，求AE的长．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】（1）延长BC，以点C为圆心，AC长为半径画弧交BC延长线于点F，作线段BF的中垂线MN，交BC于点E，连接DE即为所求；
（2）连接AE，设EC=m，则AC=2m，由线段比及相似三角形的判定得出△ACE∽△BCA，利用其性质求解即可得出结果．
【小问1详解】
解：如图所示，延长BC，以点C为圆心，AC长为半径画弧交BC延长线于点F，作线段BF的中垂线MN，交BC于点E，连接DE即为所求；
根据作图可得AC=CF，BE=EF，BD=AD，
∴BE+BD=EF+AD=EC+AC+AD，
即DE平分△ABC的周长；
【小问2详解】
连接AE，
∵AC=2EC，
∴设EC=m，则AC=2m，
由作图可知：BE=AC+EC=3m，
∴BC=4m，
∴==，
又∵∠C=∠C，
∴△ACE∽△BCA，
∴==，
又∵AB=10，
∴AE=AB=5．
【点睛】题目主要考查基本作图、垂直平分线的作法、相似三角形的判定和性质等，熟练掌握运用基本知识点是解题关键．
21. 为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵树是原计划的倍，结果提前4天完成任务，原计划每天种树多少棵？
【答案】原计划每天种树60棵．
【解析】
【详解】试题分析：设原计划每天种树x棵，则实际每天种树为x棵，根据实际比原计划提前4天完成任务，列方程求解．
试题解析：设原计划每天种树x棵，则实际每天种树为x棵，
由题意得，，
解得：x=60，
经检验，x=60是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天种树60棵．
考点：分式方程的应用．
22. 受疫情影响，运输受阻，某村一蔬菜种植大户大量蔬菜滞销，村书记联系各企事业单位团购，西红柿成本价为4元/千克，销售价为6元/千克；茄子成本价为5元/千克，销售价为8元/千克．通过团购，两种蔬菜共销售5000千克，其中西红柿的销售量不少于2000千克．
（1）若西红柿和茄子的总成本为22400元，分别求出西红柿和茄子的销售量．
（2）当西红柿的销售量为多少时，两种蔬菜的总利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）西红柿的销售量为600千克，则茄子的销售量为400千克；
（2）当西红柿的销量为2000千克时，两种蔬菜的总利润最大，最大利润是13000元
【解析】
【分析】（1）设西红柿的销售量为x千克，则茄子的销售量为5000-x千克，根据题意列出一元一次方程求解即可得出结果；
（2）设西红柿销量为x千克，销售两种蔬菜的总利润为y元，则茄子的销售为(000-x)千克，得出总利润的关系式为一次函数，及其自变量的取值范围，根据一次函数的性质即可得很粗最大利润．
【小问1详解】
解：设西红柿的销售量为x千克，则茄子的销售量为5000-x千克，
∴4x+5(000-x)=22400，
∴x=2600，
000-x=2400，
∴西红柿的销售量为2600千克，则茄子的销售量为2400千克；
【小问2详解】
解：设西红柿销量为x千克，销售两种蔬菜的总利润为y元，则茄子的销售为(000-x)千克，
∴y=(6-4)x+(8-5)(5000-x)，
y=-x+15000，其中2000≤x≤5000，
y随x的增大而减小，
∴x最小时y最大，
当x=2000时y最大，
y=-2000+15000=13000，
∴当西红柿的销量为2000千克时，两种蔬菜的总利润最大，最大利润是13000元．
【点睛】题目主要考查一元一次方程及一次函数的应用，理解题意，列出相应方程及函数解析式是解题关键．
23. 某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面36米的P处，无人机测得操控者A的俯角为37°，测得教学楼楼顶的点C处的俯角为45°，又经过人工测量，操控者A和教学楼BC间的距离为68米，求教学楼BC的高度．（注：点A，B，C，P都在同一平面上．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】16米
【解析】
【分析】过点P作PE⊥AB于点E，过点C作CF⊥PE于点F，则四边形BCFE是矩形，先解直角三角形AEP求出AE的长，从而求出BE的长，进而得到CF的长，再解直角三角形CFP求出PF的长即可得到EC的长，由此即可得到答案．
【详解】解：过点P作PE⊥AB于点E，过点C作CF⊥PE于点F，则四边形BCFE是矩形，
∴∠PEA=∠CFE=90° ，
由题意可知：PE=36米，∠A=37°，∠PCF=45°
∴tan∠A==0．75，
∴AE=48米，

∵AB=68米，
∴BE=20米，
∴CF=BE=20米，
∵∠PFC=90°，∠PCF=45°，
∴tan∠PCF==1，
∴PF=CF=20米
∴BC=EF=PE-PF=16米
答：教学楼BC 高16米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
24. 如图，四边形内接于，，点E在的延长线上，．
（1）若为的直径，求证：是的切线；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）的长为
【解析】
【分析】（1）先根据直径所对的圆周角等于90度得出，再通过导角得出，进而可得，即可证明是的切线；
（2）过点B作，垂足为F，先证是等腰直角三角形，求出，，根据圆内接四边形的性质得出，进而证明，根据对应边成比例即可求出的长．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
如图，过点B作，垂足为F，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
在中，，
∴，
化为整式方程得，
解得，
经检验：是原方程的根，
∴，，
∴，
在中，
，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，解直角三角形，圆周角定理等，综合性质较强，有一定难度，解题的关键是（1）掌握切线的判定定理；（2）证明．
25. 已知点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y＝ax+5分别交x轴正半轴，y轴于点A、B．
（1）求抛物线的顶点M的坐标（用含有b的式子表示）；
（2）如图1，若二次函数图象也经过点A、B，试求出该二次函数解析式，并求出a的值；
（3）如图2，点A坐标为（5，0），若点M在△AOB内部（不包含边界）．
①求b的范围；
②若点C（，y1），D（，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．
【答案】（1）(b，4b+1)
（2）y=-(x-2)2+9；a=-1
（3）①0