江苏省盐城市毓龙路实验学校2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. 2024D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查倒数定义，解题的关键是掌握倒数的定义．根据题意利用倒数定义即可得出本题答案．
【详解】解：的倒数是，
故选：A
2. 下列设计的图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：A选项：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故A选项错误；
B选项：既是中心对称图形，又是轴对称图形，故B选项正确；
C选项：不是中心对称图形，但是轴对称图形，故C选项错误；
D选项，是中心对称图形，但不是轴对称图形，故D选项错误，
故选：B．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，根据整式的运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A、与不是同类项不能合并，故错误，不符合题意；
B、，故原计算错误，不符合题意；
C、，故原计算错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意．
故选：D．
4. 把一个立体图形展开成平面图形，其形状如图所示，则这个立体图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据立体图形展开成的平面图形得该立体图形底面是三角形，侧面是长方形判断即可．
【详解】解：三棱柱的展开图底面是三角形，侧面是长方形，
和给出的立体图形展开成的平面图形一致，
故选：B．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，拥有良好的空间想象能力，能够结合所给的立体图形展开图进行想象推论是解题的关键．
5. 如图，已知BM平分∠ABC，且BMAD，若∠ABC＝70°，则∠A的度数是（ ）
A. 30°B. 35°C. 40°D. 70°
【答案】B
【解析】
【分析】先根据角平分线的性质，求出∠ABC的度数，再由平行线的性质得到∠A的度数．
【详解】解：∵BM平分∠ABC，
∴∠MBA＝∠ABC＝35°．
∵BM∥AD，
∴∠A＝∠MBA＝35°．
故选：B．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
6. 下列事件中的必然事件是（ ）
A. 三角形三个内角和为B. 射击运动员射击一次，命中靶心
C. 天空出现九个太阳D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此可得答案．
【详解】解：A、三角形三个内角和为，是必然事件，符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意；
C、天空出现九个太阳，是不可能事件，不符合题意；
D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
故选：A．
7. 如图，是的外接圆，，连接．若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，垂径定理的应用，圆的内接四边形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键；如图，连接，，求解，证明，再利用圆的内接四边形可得答案．
【详解】解：如图，连接，，

∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
8. 如图所示的是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ）
A. B. C. 且D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查利用图象法求解一元二次不等式，找到二次函数图象与x轴的交点横坐标即可求解，“数形结合”是解题关键．
【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，且抛物线与x轴交于，
∴抛物线与x轴另一交点坐标为，
∴不等式的解集是或
故选：D．
二、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
9. 要使二次根式有意义，则实数x的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：
10. 2024年春节期间，西安大唐不夜城全天客流量在人左右，将用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键要正确确定a的值以及n的值．
根据科学记数法表示较大数时，一般形式为的形式，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此即可求解，
【详解】解：，
故答案为：．
11. 学校现有甲、乙两支篮球队，每支球队队员身高的平均数都为1.92米，方差分别为米，米，则身高较整齐的球队为__________队（填“甲”或“乙”）．
【答案】甲
【解析】
【分析】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差的意义：反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
【详解】解：由于，故身高较整齐的球队为甲队．
故答案为：甲．
12. 已知钟面上的分针长9厘米，那么分针针尖经过20分钟滑过的弧线长为________厘米．（结果保留π）
【答案】6π
【解析】
【分析】分针针尖经过20分钟时转过的圆心角为120°，代入弧长公式计算即可求解．
【详解】解：由题意可得，分针针尖经过20分钟滑过的弧线长为：=6π（厘米）．
故答案为：6π．
【点睛】本题考查了弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），知道分针1分钟转6°是解题的关键．
13. 如图，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用阴影部分的面积除以整个大正方形的面积即可得．
【详解】解：设每个小正方形的边长为1，
则整个大正方形的面积为，
阴影部分的面积为，
所以这个点取在阴影部分的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求几何概率，正确求出阴影部分的面积是解题关键．
14. 在中，，，，则的面积是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查含30度的直角三角形的性质及勾股定理，掌握30度所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．
过点作于，利用，求出，再用面积公式计算面积即可．
【详解】解：过点 作于，

∵，
∴，
则有，
又∵
∴，
∴，
∴，
故答案是：．
15. 如图，在矩形纸片中，，．点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处，若平分交于，则点到直线的距离为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】过作于，于，利用的面积，即可得到的长；进而得出的长，再根据等腰直角，即可得到的长，进而得出结论．
【详解】解：如图所示，过作于，于，
平分，，，
，
中，，，
，
设，则，
，
，
解得，
，
中，，
由折叠可得，平分，
又平分，
，
中，，
即点到直线的距离为．
故答案：．
【点睛】本题主要考查了折叠问题、勾股定理以及角平分线的性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
16. 如图，抛物线的解析式为，将抛物线绕点顺时针旋转得到图形，图形分别与轴、轴正半轴交于点、，连接，则的面积为 ____________________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知，将抛物线绕点O顺时针旋转得到图形的对称轴为直线，设直线与抛物线在第一象限的交点为，把绕点顺时针旋转得到，然后解方程组求出点坐标，求出即可，
本题考查二次函数图象与几何变换，关键是通过旋转的性质得出点M坐标．
【详解】解：由题意可知，将抛物线绕点O顺时针旋转得到图形的对称轴为直线，设直线与抛物线在第一象限的交点为，
∴把绕点顺时针旋转得到，如图所示：
联立方程组得：，解得：或，
∴点坐标为：，
∴，，
∵对称性，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了绝对值，特殊角的余弦值，利用二次根式的性质化简．解题的关键在于正确的运算．
先分别计算绝对值，特殊角的余弦值，利用二次根式的性质化简求值，然后进行加减运算即可．
【详解】解：
．
18. 解不等式组，并在数轴上表示此不等式组的解集．
【答案】，图见解析
【解析】
【分析】本题考查解不等式组，分别解不等式①和②，再根据同大取大，同小取小，相交取中间，相背无解即可得到答案；
【详解】解：
解不等式①得，
，
解不等式②得，
，
在数轴上表示如下，
，
∴不等式组的解集为：．
19. 先化简，再从，0，1，2中选择一个恰当的数代入求值．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，先通分括号内的式子，再算括号外的乘法，然后从，0，1，2中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：
，
当，0，1时原分式无意义，
，
当时，原式．
20. 春节是流行疾病的高发季节，为此初三1班展开以“养成良好卫生习惯，做好手部消毒”的主题班会，并在市场购买乙醇类喷雾消毒剂，其中包含100ml、200ml、300ml、500ml共四种容量不同的消毒剂．现将这四种消毒剂各取一瓶分别装到4个封装后完全相同的纸箱，并将这4个纸箱随机摆放．
（1）若小明从这4个纸箱中随机选取一个，则所选纸箱里消毒剂容量恰好为300ml的概率是______．
（2）若小明从这4个纸箱中随机选取2个，请利用列表或树状图的方法，求所选两个纸箱里消毒剂的容量之和大于400ml的概率．
【答案】（1）
（2）所选两个纸箱里消毒剂的容量之和大于400ml的概率为．
【解析】
【分析】本题考查了利用概率公式求概率，利用画树状图求概率，熟练掌握和运用求概率的方法是解决本题的关键．
（1）根据概率公式即可求得；
（2）首先画出树状图，展示所有12种等可能的结果数，再找出两个数字之和大于400ml所占的结果数，再根据概率公式计算．
【小问1详解】
解：∵一共有4个箱子，每个箱子被选取的概率相同，而纸箱里消毒剂容量恰好为300ml的有1个，
∴这4个纸箱中随机选1个，所选纸箱里消毒剂容量恰好为300ml的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中所选两个纸箱里消毒剂的容量之和大于400ml的结果有8种，
∴所选两个纸箱里消毒剂的容量之和大于400ml的概率为．
21. 如图，在平行四边形中，是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，且．
（1）求证：为线段的中点；
（2）若，求平行四边形的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是平行四边形的性质与判定，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握特殊四边形的判定与性质是解本题的关键；
（1）由平行四边形的性质先证明，可得，从而可得结论；
（2）先证明四边形为菱形，再利用菱形的性质求解对角线的长，从而可得答案.
【小问1详解】
证明：四边形为平行四边形
∴，，
为中点，
在和中，，
，
，
为线段的中点.
【小问2详解】
，
为直角三角形，
，
，
四边形为平行四边形，
四边形为菱形，
连接交于点，
，
，
，
在中，
，
.
22. 科学实验是获取经验事实和检验科学假说、理论真理性的重要途径，某校为进一步培养学生实践创新能力，提高学生科学素养，营造爱科学、学科学、用科学的浓厚氛围，将开展“崇尚科学科技月”主题教育活动，学校科技部随机对该校部分学生进行了“最希望演示的一项实验”问卷调查，得到下列不完整的统计图，请结合统计图，回答下列问题：

（1）求此次调查中接受调查的人数；
（2）通过计算，请补全条形统计图；
（3）如果这所学校有1500名学生，请估计该校最希望演示B项实验的学生有多少人?
【答案】（1）50人 （2）见解析
（3）240人．
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图，样本估计总体等知识，熟练掌握统计图的意义，准确理解题意和计算是解题的关键．
（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量即可；
（2）先计算C类的人数为(人)，完善统计图即可．
（3）用总人数乘以样本中演示B项实验的学生的占比即可得到答案．
【小问1详解】
解：根据题意，得（人），
故此次调查中接受调查的人数为50人．
【小问2详解】
C类的人数为（人），补图如下：
小问3详解】
（人）
答：估计该校最希望演示B项实验的学生有240人．
23. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留作图痕迹．要求：
（1）在图①中画面积为3的，且点在格点上；
（2）在图②中画面积为6的，且点、均在格点上；
（3）在图③中画面积为4的矩形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）画一个底边是3，高为2的三角形即可，
（2）画一个底边是3，高为2的平行四边形即可，
（3）以为边作矩形，面积为4，则，作一条线段等于，而且，利用平行线分线段成比例定理，构造相似三角形使相似比为将分成两部分即可解答．
【小问1详解】
解：如图，为所求，
【小问2详解】
解：如图，为所求，
【小问3详解】
解：如图，矩形为所求．
24. 如图1，等腰中，，以为直径的与所在直线、分别交于点、，于点．
（1）求证：为的切线；
（2）当时，若，，求的长．
（3）如图2，当时，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）6
（3）6
【解析】
【分析】（1）连接，证出，由切线的判定可得出结论；
（2）过点作于点，证明，得出，即 ，求出，由勾股定理可得出答案；
（3）证明，得出，证明，得出，求出的长，由勾股定理可得出答案．
【小问1详解】
解：证明: 连接，
∵是等腰三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径,
∴是的切线；
【小问2详解】
过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形,
∴，
∵，
∴，
∵，
∴,
，即 ，解得，
设的半径为，则有，
∵，
∴，
在中, ，
由勾股定理可得： ，即，
解得，
故,
∴，
故长为；
【小问3详解】
∵为的直径,
∴，
∵,
∴，
如图所示, 连接，
∵，
由勾股定理可得： ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
，即 ，
解得，
∵为的直径，
，
，
∴，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，三角形相似的性质和判定，勾股定理，矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
25. 某机械厂每月固定生产甲、乙两种零件共80万件，并能全部售出．甲零件每件成本10元，售价16元；乙零件每件成本8元，售价12元．设生产甲零件万件．所获总利润万元．
（1）写出与的函数关系式；
（2）如果每月投入的总成本不超过740万元，应该怎样安排甲、乙零件的产量，可使所获的总利润最大？最大总利润是多少万元？
（3）该厂在销售中发现：某月甲零件售价每提高1元，甲零件销量会减少5万件，乙零件售价不变，不管生产多少都能卖出．在（2）获得最大利润的情况下，为了获得更大的利润，该厂决定提高甲零件的售价，并重新调整甲、乙零件的生产数量．求甲零件售价提高多少元时，可获总利润最大？最大总利润是多少万元？
【答案】25.
26. 生产甲零件50万件，生产乙零件30万件时，可使所获的总利润最大，最大总利润是420万元
27. 甲零件售价提高4元时，可获总利润最大，最大总利润是500万元
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）根据总利润单价利润零件数分别求出甲、乙零件的利润，然后求和即可得到答案；
（2）先根据总成本不超过740万元求出，进而根据一次函数的性质求解即可；
（3）设甲零件的售价提高m元，总利润为W，根据总利润单价利润零件数求出W关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得，
；
【小问2详解】
解：由题意得，，
解得，
∵，，
∴y随x增大而增大，
∴当时，y最大，最大值为，
∴，
∴生产甲零件50万件，生产乙零件30万件时，可使所获的总利润最大，最大总利润是420万元；
【小问3详解】
解：设甲零件的售价提高m元，总利润为W万元，
由题意得，
，
∵，
∴当时，最大，最大为500，
∴甲零件售价提高4元时，可获总利润最大，最大总利润是500万元．
26. 如图，小红在学习了正方形相关知识后，对正方形进行了探究，在正方形的外侧作了直线．
（1）【动手操作】
点关于直线的对称点为，连接，，其中交直线于点．依题意在图①中补全图形；
（2）【问题解决】
在（1）的条件下，若，求的度数；
（3）【拓展延伸】
如图②，若，点关于直线的对称点为，连接，，其中交直线于点．探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）
（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，补全图形即可；
（2）连接，根据轴对称的性质得出，，根据正方形的性质可得，根据等腰三角形的性质即可得答案；
（3）连接、、，根据轴对称的性质，利用可证明，根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理得出，在和中，利用勾股定理表示出即可得答案．
【小问1详解】
解：（1）补全图形如图①所示．
【小问2详解】
如图，连接，
∵点是点关于的对称点，
∴，．
∴．
∵四边形是正方形，
∴．
∵，．
∴．
∴．
【小问3详解】
．理由如下：
如图，连接、、，
∵四边形是正方形，且点与点关于直线对称，
∴，，
在和中，，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵在和中，，，
∵，
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
27. 定义：若函数的图象上至少存在一个点，该点关于x轴的对称点落在函数的图象上，则称函数，为关联函数，这两个点称为函数，的一对关联点．例如，函数与函数为关联函数，点和点是这两个函数的一对关联点．
（1）判断函数与函数是否为关联函数？若是，请直接写出一对关联点；若不是，请简要说明理由；
（2）若对于任意实数，函数与始终为关联函数，求的值；
（3）若函数与函数(，为常数)为关联函数，且只存在一对关联点，求的取值范围．
【答案】（1）函数与函数是关联函数，和或和是这两个函数的一对关联点
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据新定义，设和是这两个函数的一对关联点，分别代入解析式，列出方程组，解方程组即可求解．
（2）跟将新定义得出，根据与值无关得出，即可求解；
（3）设和是这对函数的关联点，只存在一对关联点，根据题意得出，则关于的方程，有两个相等的实数根，得出，代入代数式，根据二次函数的性质即可求解．
小问1详解】
解：函数与函数是关联函数
依题意，设和是与函数这两个函数的一对关联点，
∴，
解得：或，
∴和或和是这两个函数的一对关联点；
【小问2详解】
解：∵对于任意实数，函数与始终为关联函数，
∴，
，
即，
∴，，
∴；
【小问3详解】
解：与函数(，为常数)为关联函数，且只存在一对关联点，
设和是这对函数的关联点，
∴，
即关于的方程，有两个相等的实数根，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了新定义，反比例函数与一次函数交点问题，轴对称的性质，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．