内蒙古自治区包头市2024届高三一模数学（理）试题

这是一份内蒙古自治区包头市2024届高三一模数学（理）试题，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．设复数满足，，复数所对应的点位于第四象限；则（ ）
A．B．C．D．
3．某几何体的三视图如图所示，设三视图中三个直角顶点在该几何体中对应的点为，则点到它所对的面的距离为（ ）
A．B．C．D．
4．已知是奇函数，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
5．设甲盒中有4个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，4个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，用事件表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，用事件表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件与事件是互斥事件B．事件与事件是独立事件
C．D．
6．已知函数的最大值为2，其图象上相邻的两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则在区间上的最小值为（ ）
A．B．C．D．0
7．已知的二项展开式中第六项的系数为，则实数等于（ ）
A．B．C．D．1
8．如图，底面是边长为2的正方形，半圆面底面，点为圆弧上的动点．当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
9．已知等差数列中，，，设，则（ ）
A．245B．263C．281D．290
10．已知两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在该球面上，若两个圆锥的高之比为，它们的体积之和为，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
11．已知双曲线的右焦点为，若关于渐近线的对称点恰好落在渐近线上，则的面积为（ ）
A．B．2C．3D．
12．如图，在菱形中，，，分别为上的点，，．若线段上存在一点，使得，则等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．设抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线l与C交于P、Q两点，则 .
14．执行如图的程序框图，如果输入的，则输出的的取值范围是 ．
15．已知数列的前项和为，，，，则 ．
16．已知函数，若，现有下列4个结论：①；②；③；④．则其中正确的有 ．（填上你认为所有正确结论的序号）
三、解答题
17．为了比较两种治疗高血压的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，随机选取20位患者服用甲药，20位患者服用乙药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均降低的血压数值（单位：mmhg）．根据记录的数据绘制了如下茎叶图：

(1)根据茎叶图判断哪种药的疗效更好？并给出两种理由进行说明；
(2)求40位患者在服用一段时间后，日平均降低血压数值的中位数，并将日平均降低血压数值超过和不超过的患者数填入下面的列联表：
(3)根据（2）中的列联表，能否有的把握认为这两种药物的疗效有差异？
附：，
18．如图，在中，，是斜边上的一点，，．
(1)若，求和的面积；
(2)若，求的值．
19．如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，，点，是棱上的三等分点，点是棱的中点．，．
(1)证明：∥平面，且，，，四点共面；
(2)证明：平面平面；
(3)求直线与平面所成角的正弦值．
20．已知椭圆：，是的一个焦点，是上一点，为的左顶点，直线与交于不同的两点，．
(1)求的方程；
(2)直线，分别交轴于，两点，为坐标原点；在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
21．设函数．
(1)当时，讨论的单调性，并证明；
(2)证明：①当时，；
②当时，，当时，；
③当时，函数存在唯一的零点．
22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线的普通方程为，曲线的普通方程为．
(1)写出的一个参数方程；
(2)若直线的极坐标方程为，且该直线与或有公共点，求的取值范围．
23．已知．
(1)求不等式的解集；
(2)在直角坐标系中，求不等式组所确定的平面区域的面积．
超过
不超过
服用甲药
服用乙药
0.15
0.10
0.05
2.072
2.706
3.841
参考答案：
1．A
【分析】
根据题意，将集合化简，再由交集以及补集的运算，即可得到结果.
【详解】因为，
则，所以.
故选：A
2．B
【分析】
设出复数，由题意有，且，求出即可得解.
【详解】设，则，所以，
又，复数所对应的点位于第四象限，所以，
解得，从而.
故选：B.
3．D
【分析】
首先将三视图还原得到三棱锥，两两垂直，，然后根据等体积法求高即可.
【详解】
考虑三棱锥，两两垂直，，从点朝平面看时，顺时针排列.
分别将定为看向该几何体的主视图、左视图、俯视图视线方向，即得到所求三视图.
考虑将该几何体放入正方体中，
此时，该几何体的体积，
同时设到平面的距离为，则又有.
容易得到是边长为的等边三角形，故.
从而.
故选：D.
4．D
【分析】
根据题意，由奇函数的性质，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，则函数的定义域为，
即是定义在上的奇函数，则，
则，所以.
经检验，当时，为奇函数，满足题意.
故选：D.
5．C
【分析】
直接用古典概型、条件概率公式求出，，，，，然后逐项判断即可.
【详解】
由于甲盒中有6个球，其中有4个红球，2个白球，故，.
如果从甲盒中取出了红球，则在乙盒中取球时，有3个红球，4个白球，故，
如果从甲盒中取出了白球，则在乙盒中取球时，有2个红球，5个白球，故，
同时，我们有.
由于，故A错误；
由于，，故B错误；
而，，故C正确，D错误.
故选：C.
6．B
【分析】
利用题目条件求出的解析式，然后讨论在上的单调性即可.
【详解】
由条件知，，，
从而，，
所以，即，
又因为，故.
这说明，该函数在上递增，在上递减.
又，所以在区间上的最小值为.
故选：B.
7．C
【分析】
写出展开式的通项，即可求出二项展开式中第六项的系数，从而得到方程，解得即可.
【详解】二项式展开式的通项为
其中且，
所以二项展开式中第六项的系数为，
依题意可得，解得.
故选：C
8．D
【分析】由题意当三棱锥的体积最大时,此时点处于半圆弧的正中间位置.此时建立适当的空间直角坐标系，求出平面，平面的法向量，由法向量夹角余弦的坐标公式即可求解.
【详解】三棱锥的体积与到平面的距离成正比，
故当三棱锥的体积最大时,此时点处于半圆弧的正中间位置.
点处于半圆弧的正中间位置时，记的中点为，以其为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系.
平面显然有法向量，
，
设为平面的法向量，
则该向量与和均垂直，
所以，从而.
令，解得，
故符合条件，
显然二面角为锐角，
因此所求余弦值为.
故选：D.
9．C
【分析】
根据给定条件，求出等差数列的公差及通项公式，判断正数、负数项，再求出
【详解】等差数列中，由，，得公差，
则，显然当时，，当时，，
所以
.
故选：C
10．B
【分析】首先根据同底圆锥高的比得到，两个圆锥的高分别是，而由它们的体积之和为即可求出，进而得解.
【详解】
记该截面和球的半径分别为，由于两个圆锥的高之比为，
故球心到该截面的距离为，从而，.
而两个圆锥的高分别是，故体积之和.
从而，故，.
该球的表面积.
故选：B.
11．A
【分析】
根据题意，由点与点关于直线对称可得，，再由三角形的面积公式，即可得到结果.
【详解】
设与渐近线的交点为，
由题意可知，，，
所以，
则.
故选：A
12．A
【分析】
以为基底可表示出，由三点共线可构造方程求得，将所求数量积化为，根据数量积的定义和运算律可求得结果.
【详解】
，，，，
，
，
三点共线，，解得：，，
.
故选：A.
13．
【分析】
由题意求出直线l的方程，联立方程组，由抛物线的焦点弦公式求解即可.
【详解】抛物线的焦点为，
过F且斜率为2的直线l方程为：，设，，
联立得：，则，
所以.
故答案为：.
14．
【分析】
根据题意，由程序框图代入计算，即可得到结果.
【详解】由程序框图可知，当时，，则，
当时，，
当时，取得最大值9，当或时，取得最小值5，则，
综上所述，的取值范围是.
故答案为：
15．6
【分析】
根据题意，由递推公式可得数列是周期为6的数列，再由代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，，，
则，，，，，
所以数列是周期为6的数列，且，
所以.
故答案为：6
16．①③
【分析】先证明是偶函数，且在上递增，然后利用当且仅当，为条件变形，从而进一步分析.
【详解】显然定义域为全体实数，
又，所以是偶函数，
当时，
从而在上递增，故当且仅当，
因为，所以，显然同号，
所以，，，从而①③正确，②④错误.
故答案为：①③.
【点睛】关键点点睛：关键是得到当且仅当，由此即可顺利得解.
17．(1)乙药的疗效更好，理由见解析
(2)，列联表见解析
(3)没有95%的把握认为这两种药物的疗效有差异
【分析】
（1）根据茎叶图数据分析即可；
（2）根据茎叶图数据分析出中位数，即可得到列联表；
（3）计算出卡方，即可判断.
【详解】（1）乙药的疗效更好．参考理由如下：
（ⅰ）用各自的平均数说明．
设甲药观测数据的平均数为，乙药观测数据的平均数为，
由茎叶图可知，，
，
因为，所以乙药的疗效更好．
（ⅱ）用茎2和茎3上分布的数据说明．
由茎叶图可知，用甲药有的患者日平均降低血压数值在20及以上，
用乙药有的患者日平均降低血压数值在20及以上，所以乙药的疗效更好．
（ⅲ）用各自的中位数说明．
由茎叶图可知，用甲药的患者日平均降低血压数值的中位数为，
用乙药的患者日平均降低血压数值的中位数为，所以乙药的疗效更好．
（ⅳ）用各自的叶在茎上的整体分布说明．
由茎叶图可知，用甲药的患者日平均降低血压数值分布集中在“单峰”茎1上，且关于茎1大致呈对称分布；
用乙药的患者日平均降低血压数值分布集中在“单峰”茎2上，且关于茎2大致呈对称分布，
又用两种降压药患者日平均降低血压数值都分布的区间内，所以乙药的疗效更好．
（2）由茎叶图可知内有个数据，内有个数据，内有个数据，，则中位数位于之间，
且内的数据从小到大排列为，，，，，，，，，，，，，，，
所以中位数．
列联表如下：
（3）由于，
所以没有的把握认为这两种药物的疗效有差异．
18．(1)，
(2)
【分析】（1）在中由正弦定理可求，从而确定是等边三角形，为等腰三角形，求出边角可得面积.
（2）设出长，在与中，用双余弦可得的值.
【详解】（1）由，，可得．
在中，由正弦定理可得，所以，
所以或，又，故只能有．
因此，，又，所以是等边三角形，
所以，
又在中，，，故，
所以，，
.
（2）令，，，则，
在与中，由余弦定理可得，
消去，得，
整理得，所以得，所以．
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由中位线得，结合线面平行的判定定理即可证得∥平面，要证，，，四点共面，只需，只需，连接，结合条件证明四边形是平行四边形即可；
（2）由勾股定理得，由线面垂直的性质得，进一步由线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证；
（3）建立适当的空间直角坐标系，分别求出直线与平面的方向向量、法向量，由向量夹角的坐标公式即可求解.
【详解】（1）
因为F，G分别为的中点，
所以，
又平面CFG，平面，
所以平面．
连接HE，在中，，
所以，且，
因为，，
所以，且，
所以四边形为平行四边形．
所以，
又，所以，
故C，E，F，G四点共面．
（2）由题意可知，，，，
所以，故．
又平面，平面，所以，
又平面，
故平面，
又平面，
所以平面平面．
（3）
因为平面，平面，
所以，，
在平面内，，，
所以．
所以两两互相垂直，
以C为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
向量，，，
设平面的法向量为，则由，得，
可取，
设直线与平面所成角为，则．
因此直线与平面所成角的正弦值为．
20．(1)
(2)存在，H的坐标为和．
【分析】
（1）将点坐标代入椭圆方程，再结合椭圆的几何性质，解方程组即可求解；
（2）设点，表示出直线的方程，从而得到点的坐标，同理得到点的坐标，再由得到，坐标代入后结合题中条件进一步计算求出点的坐标即可求解.
【详解】（1）由题意可知，椭圆C的半焦距，
由得，
把D的坐标代入C的方程得，
由解得
所以C的方程为．
（2）假设在轴上存在点H，使得．
设，由，可知，
所以，即，所以．
因为直线交椭圆C于P，Q两点，则P，Q两点关于y轴对称．
设，，（，且），
由题意得，则直线RP的方程为，令，得，
直线RQ的方程为，令，得，
因为，所以，
又因为在C上，所以，即，
所以，得．
当时，由，得，
，，
所以，，
所以，又，为锐角，所以，
所以，满足题意，同理当时，也满足题意．
所以，在轴上存在点H，使得，且H的坐标为和．
21．(1)在单调递减，在单调递增，证明见解析
(2)①证明见解析；②证明见解析；③证明见解析
【分析】（1）求导得，令，继续求导发现即在上单调递增，结合即可得的单调性，从而也可得证；
（2）①构造函数，求导得其单调性、最值即可得证；
②构造函数，求导得其单调性即可得证；
③当时，，，设，则，由①、②得在单调递增，然后分类讨论得在单调递减，从而，由此可得单调，由零点存在定理即可得解.
【详解】（1）因为，所以，
设，则，
所以当时，，函数在上单调递增，
所以在上单调递增，又，
所以当时；当时，
因此，当时，在单调递减，在单调递增，
所以．
（2）①设，则，
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，即时，．
②设，则，
所以在上单调递增，且，
所以当时，，即；
当时，，即．
③当时，，，
设，则，
当时，由①、②，得
，
所以在单调递增；
当时，
（ⅰ）若，由①知，得，故，
又由②知当时，成立，
则，此时单调递减，
（ⅱ）若，则，
此时单调递减，
由（ⅰ）（ⅱ）可知在单调递减，即在单调递减．
综上，可知当时，，所以在上单调递增，
又，，
所以根据零点存在定理可知在上存在唯一零点．
【点睛】关键点点睛：第二问③的关键是结合①、②结论得在单调递增，然后分类讨论得在单调递减，由此即可顺利得解.
22．(1)（为参数，）
(2)
【分析】
（1）由题意直接三角换元结合的范围即可得的范围，由此即可得解；
（2）将直线的极坐标方程转换为普通方程，通过数形结合的方法分类讨论即可求解的范围.
【详解】（1）：，设，，又，，
所以的参数方程为（为参数，）．
（2）把，代入中，
得，即，
数形结合可知，若直线与有公共点，
则，

若直线与有公共点，当直线与相切时，有，结合图像可知得，
所以当时，直线与有公共点，

综上，当时，直线与或有公共点．
23．(1)或；
(2).
【分析】
（1）将写成分段函数的形式，再分类讨论求解不等式即可；
（2）画出不等式组表示的平面区域面积，结合点到直线的距离公式以及三角形面积公式，即可求得结果.
【详解】（1）因为，
故当时，，得，
当时，，无解，
当时，，得；
综上，不等式的解集为或.
（2）如图所示，做出不等式组
即所确定的平面区域（图中阴影部分），为四边形，
其中，，，，
设直线与y轴的交点为，则，
所以，
其中，．
求时，以线段BC为底，点A到BC的距离为高，
又，；
则可求得，所以．
超过
不超过
服用甲药
7
13
服用乙药
13
7