广东省深圳实验、湛江一中、珠海一中三校2024届高三上学期12月联考数学试卷(含答案)

这是一份广东省深圳实验、湛江一中、珠海一中三校2024届高三上学期12月联考数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合,集合,则( )
A.B.C.D.
2．若复数z满足,则在复平面上所对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．在梯形中,设,,若,则( )
A.B.C.D.
4．已知函数,则的最大值为( )
A.1B.4C.D.5
5．若,则( )
A.B.C.D.
6．已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上,圆台的下底面过球心,上底面半径为1,则圆台的体积为( )
A. B.C.D.
7．已知抛物线的焦点为F,直线与C交于A,B两点,与其准线交于点D,若,则( )
A.B.1C.D.4
8．已知函数,过点作的切线l,若,则直线l的条数为( )
A.0B.1C.2D.3
二、多项选择题
9．某中学选派甲、乙、丙、丁、戊5位同学参加数学竞赛,他们的成绩统计如下：
则下列结论正确的为( )
A.这5位同学成绩的中位数是80
B.这5位同学成绩的平均数是76
C.这5位同学成绩的第75百分位数是80
D.若去掉戊的成绩,则剩余四人成绩的方差保持不变
10．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象,则下列结论正确的为( )
A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称
C.在区间上单调递减D.的图象与的图象关于对称
11．已知圆,点P在圆上,过P可作的两条切线,记切点分别为A,B,则下列结论正确的为( )
A.当,时,点P可是上任意一点
B.当,时,可能等于
C.若存在P使得为等边三角形,则r的最小值为2
D.若存在P使得的面积为,则r可能为3
12．已知点P在棱长为2的正方体的表面上运动,且四面体的体积恒为,则下列结论正确的为( )
A.P的轨迹长度为
B.四面体的体积最大值为
C.二面角的取值范围为
D.当的周长最小时,
三、填空题
13．设等差数列的前n项和为,若,,则公差___________________.
14．某学校拟开展研究性学习活动,现有四名优秀教师将对三个研究性学习小组予以指导,若每个小组至少需要一名指导教师,且每位指导教师都恰好指导一个小组,则不同的指导方案数为___________________
15．已知奇函数及其导函数的定义域均为R,若恒成立,则_________________.
16．已知双曲线C的离心率为e,左、右焦点分别为,,点M在C的左支上运动且不与顶点重合,记I为的内心,,若,则的取值范围为______________.
四、解答题
17．已知为数列的前n项和,且满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)记,求数列的前n项和.
18．已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求证：;
(2)若的面积为,且,求b.
19．如图,在三棱锥中, 为等腰直角三角形,, 为等边三角形.
(1)证明：;
(2)若直线与平面所成的角为,点E在棱上,且,求二面角的大小.
20．已知某足球赛事的决赛将在甲、乙两队之间进行.其规则为：每一场比赛均须决出胜负,按主、客场制先进行两场比赛（第一场在甲队主场比赛）,若某一队在前两场比赛中均获胜,则该队获得冠军;否则,两队需在中立场进行第三场比赛,且其获胜方为冠军.已知甲队在主场、客场、中立场获胜的概率依次为,,,且每场比赛的胜负均相互独立.
(1)当甲队获得冠军时,求决赛需进行三场比赛的概率;
(2)若主办方在决赛的前两场中共投资m（千万元）,则能在这两场比赛中共盈利（千万元）.如果需进行第三场比赛,且主办方在第三场比赛中投资n（千万元）,则能在该场比赛中盈利（千万元）.若主办方最多能投资一千万元,请以决赛总盈利的数学期望为决策依据,则其在前两场的投资额应为多少万元？
21．已知函数,.
(1) 讨论的单调性;
(2) 当时,若的极小值点为,证明：存在唯一的零点,且.
22．在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为和,设的面积为S,内切圆半径为r,当时,记顶点M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)已知点E,F,P,Q在C上,且直线与相交于点A,记,的斜率分别为,.
( = 1 \* rman i)设的中点为G,的中点为H,证明：存在唯一常数,使得当时,;
( = 2 \* rman ii)若,当最大时,求四边形的面积.
参考答案
1．答案：D
解析：
2．答案：C
解析：
3．答案：A
解析：
4．答案：B
解析：
5．答案：D
解析：
6．答案：A
解析：
7．答案：C
解析：
8．答案：C
解析：
9．答案：BC
解析：
10．答案：AD
解析：
11．答案：AC
解析：
12．答案：BCD
解析：
13．答案：2
解析：
14．答案：36
解析：
15．答案：1
解析：
16．答案：
解析：
17．答案：(1)
(2)
解析：(1),
当时,,
两式相减得,即 (),
当时,,符合上式,
的通项公式为.
(2),
,
.
18．答案：(1)
(2)8
解析：(1)由余弦定理,得,
又, ,
,
,
,
,
又A,,
.
(2)由(1)可知,
,,即,
,
, ,,
记的面积为S,
,
.
19．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：如图,取的中点O,连接,,
,,
为等边三角形,,
又,,平面,
平面,
又平面,
.
(2)由(1)不难知道,在平面内,若过C作直线的垂线交于点Q,
则该垂线亦为平面的垂线,故直线在平面内的射影为直线,
为直线与平面所成的角,即,,
不妨设, ,O为的中点, ,
为等边三角形, ,
在中,由正弦定理,得,,
,即,
由(1)知,,且,
以O为坐标原点,,,所在的直线分别为x,y,z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,易得,,,,
则有,,
易知为平面的一个法向量,
设为平面的一个法向量,
则 即
则平面的一个法向量为,
,
由图可知,二面角为锐角,
二面角的余弦值为,二面角的大小为.
20．答案：(1)
(2)主办方在决赛的前两场的投资额应为0.75千万元,即750万元
解析：(1)记“甲队获得冠军”为事件A,“决赛进行三场比赛”为事件B,
由题可知,
,
当甲队获得冠军时,决赛需进行三场比赛的概率为.
(2)设主办方在决赛前两场中共投资x（千万元）,其中,
若需进行第三场比赛,则还可投资（千万元）,
记随机变量为决赛的总盈利,则可以取,,
,,
随机变量的分布列为
的数学期望,
令,则,
当,即时,取得最大值,
主办方在决赛的前两场的投资额应为0.75千万元,即750万元.
21．答案：(1)当时,在上单调递增,在上单调递减;
当时,在,上单调递增,在上单调递减;
当时,在R上单调递增;
当时,在,上单调递增,在上单调递减.
(2)存在唯一的零点,且
解析：(1),
若,由,则时,,单调递增;时,,单调递减;
时,令,得或,
若,则或时,,单调递增;时,,单调递减;
若,则在R上恒成立,在R上单调递增;
若,则或时,,单调递增;时,,单调递减.
综上,当时,在上单调递增,在上单调递减;
当时,在,上单调递增,在上单调递减;
当时,在R上单调递增;
当时,在,上单调递增,在上单调递减.
(2)由(1)知,时,在,上单调递增;在上单调递减,则的极小值点为,
由极大值,且当时,,
存在唯一的零点,满足,
化简得,,
,即,
,
设,,
,
当时,,单调递增,
时,,单调递减,
从而当时,有最小值,
综上所述,存在唯一的零点,且.
22．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意得,
易知,
由椭圆定义可知,动点M在以A,B为焦点,且长轴长为4的椭圆上,
又M不能在直线上,
C的方程为：.
(2)( = 1 \* rman i)设,,,易知直线的方程为,
联立,得,∴,
,,即,
同理可得,,
,
欲使,则,即, ,
存在唯一常数,使得当时,.
( = 2 \* rman ii) 由( = 1 \* rman i)易知,且,
,
即,同理可得,,
, ,记,
,
当且仅当,即时取等,
由椭圆的对称性,不妨设此时,,且直线和的夹角为,
则,不难求得,
此时,易知,且,
四边形的面积为.
学生
甲
乙
丙
丁
戊
成绩
84
72
80
68
76
P