辽宁省“创新发展教研联盟”2024届高三第一次联考数学试题（附参考答案）

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1．在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件； B．必要不充分条件； C．充要条件；D．既不充分也不必要条件．
3．函数的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
4．定义在R上的函数和的导函数分别为，，则下面结论正确的是
①若，则函数的图象在函数的图象上方；
②若函数与的图象关于直线对称，则函数与的图象关于点（，0）对称；
③函数，则；
④若是增函数，则.
A．①②B．①②③C．③④D．②③④
5．将函数的图象向右平移a个单位长度（a为常数，且），得到函数的图象，若在区间上单调递增，在区间上单调递减，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知三棱锥为正三棱锥，且，，点、是线段、的中点，平面与平面没有公共点，且平面，若是平面与平面的交线，则直线与直线所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．等差数列与的前项和分别为与，且，则（ ）
A．当时， B．当时， C．D．
10．如图，圆锥的底面圆的直径，母线长为，点是圆上异于，的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．与底面所成角为45°
B．圆锥的表面积为
C．的取值范围是
D．若点为弧的中点，则二面角的平面角大小为45°
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，有两个极值点 B．当时，的图象关于中心对称
C．当，且时，可能有三个零点D．当在上单调时，
三、填空题
12．已知直线与圆相交于，两点（为坐标原点），且为等腰直角三角形，则实数的值为 ；
13．已知是公差为2的等差数列，其前项和为，是与的等差中项，则= ；设，若对，使得恒成立，则的取值范围为
14．已知函数若函数有八个不同的零点，从小到大依次为，，，，，，，，则的取值范围为 .
四、解答题
15．已知数列是公比不相等的两个等比数列，令.
(1)证明：数列不是等比数列；
(2)若，是否存在常数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
16．如图所示，在三棱柱中，点G、M分别是线段AD、BF的中点.
(1)求证：平面BEG；
(2)若三棱柱的侧面ABCD和ADEF都是边长为2的正方形，平面平面ADEF，求二面角的余弦值；
17．某地区未成年男性的身高（单位：cm）与体重平均值（单位：kg）的关系如下表1：
表1 未成年男性的身高与体重平均值
直观分析数据的变化规律，可选择指数函数模型、二次函数模型、幂函数模型近似地描述未成年男性的身高与体重平均值之间的关系．为使函数拟合度更好，引入拟合函数和实际数据之间的误差平方和、拟合优度判断系数（如表2）．误差平方和越小、拟合优度判断系数越接近1，拟合度越高．
表2 拟合函数对比
(1)问哪种模型是最优模型？并说明理由；
(2)若根据生物学知识，人体细胞是人体结构和生理功能的基本单位，是生长发育的基础．假设身高与骨细胞数量成正比，比例系数为；体重与肌肉细胞数量成正比，比例系数为．记时刻的未成年时期骨细胞数量，其中和分别表示人体出生时骨细胞数量和增长率，记时刻的未成年时期肌肉细胞数量，其中和分别表示人体出生时肌肉细胞数量和增长率．求体重关于身高的函数模型；
(3)在（2）的条件下，若，．当刚出生的婴儿身高为50cm时，与（1）的模型相比较，哪种模型跟实际情况更符合，试说明理由．
注：，；婴儿体重符合实际，婴儿体重较符合实际，婴儿体重不符合实际．
18．已知抛物线的焦点为F，为其准线l与x轴的交点，过点E作直线与抛物线C在第一象限交于点A，B，且．
(1)求的值；
(2)设圆，过点A作圆M的两条切线分别交抛物线C于点P，Q，求面积的最大值．
19．已知函数．
(1)讨论的极值；
(2)当时，关于x的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
身高/cm
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重平均值/kg
函数模型
函数解析式
误差平方和
指数函数
二次函数
幂函数
参考答案：
1．A
【分析】
根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为，
则所求复数对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
2．B
【分析】
解出不等式的解集，判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案.
【详解】解，当时，即，则，此时解集为，
当时，即，则，此时解集为，
当时，即，则，此时解集为，
故“”成立时，等价于；
当“”成立时，等价于，
故成立时，不一定推出成立，反之成立，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
3．D
【分析】探讨给定函数的性质，结合当时函数值的符号即可判断作答.
【详解】函数定义域为，，
则有函数是奇函数，其图象关于原点对称，选项B，C不满足；
当时，，即，因此，选项A不满足，D符合条件.
故选：D
4．C
【详解】试题分析：①时，说明函数比函数增加的快，但函数的图像不一定在函数图像的上方，故①不正确；
②若函数与的图象关于直线对称，则.
若（m为常数），此时满足，所以②不正确；
③因为，所以，故③正确.
④由导数的几何意义可知是增函数即函数切线的斜率单调递增，所以函数是“凹型函数”，则必有.故④正确.
综上可得结论正确的是③④.
故选：C.
考点：函数的简单性质.
5．C
【分析】
根据三角函数平移法则得到，考虑这两种情况得到，根据三角函数单调区间得到n的最大值为，m的最小值为，代入计算得到答案.
【详解】
将函数的图象向右平移个单位长度，
得到，又，
所以，所以．
当时，，又，故；
当时，a随x的变化而变化，不可能为常数，
不合题意，所以．
对于，令，解得，
当时，令，则；
对于，令，解得，
当时，令，则，
所以当在区间上单调递增，在区间上单调递减时，
n的最大值为，m的最小值为，
所以的最大值为．
故选：C．
6．D
【分析】由题意可知平面平面，利用面面平行的性质定理可得出，然后取线段的中点，连接、，可得出，由此可得出直线与直线所成的角为或其补角，在中计算出，即可得解.
【详解】因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，
取中点，连接，，
、分别为、的中点，则，所以，同理，
所以异面直线和所成角即为或其补角.
取中点，则，，又，所以平面，
又平面，所以，所以.
在中，，，所以.
所以直线和所成角的正切值为，
故选：D.
【点睛】本题考查异面直线所成角的正弦值的计算，考查了面面平行性质定理的应用，考查计算能力，属于中等题.
7．D
【分析】
根据直线与双曲线相切，推出，，再求出,消去可得结果.
【详解】因为双曲线与直线有唯一的公共点，
所以直线与双曲线相切，
联立，消去并整理得，
所以，即，
将代入，得，
得，因为，，所以，
所以，，即，
由可知，
所以过点且与垂直的直线为，
令，得，令，得，
则，，
由，得，，
代入，得，即，
故选：D
8．D
【解析】先判断是奇函数且在上为增函数，所以由可得，由当时，得，构造函数，，然后分，和三种情况求解即可
【详解】解：的定义域为，
因为，
所以为奇函数，
因为函数在上均为增函数，
所以在上为增函数，所以在上为增函数，
由得，
所以，
所以，即，
当时，，
令，
当时，，舍去，
当时，对称轴为，
当时，即，则有，解得，所以，
当时，即，有，得，所以，
当时，即，有，得，所以，
综上，，
故选：D
【点睛】关键点点睛：此题考查奇函数性质的应用，考查函数单调性的应用，考查转化思想和分类思想，解题的关键是利用函数在上为增函数且为奇函数，将恒成立转化为恒成立，然后构造函数，利用二次函数的性质讨论求解即可，属于中档题
9．AC
【分析】
由和两个式子，结合下标和性质进行推导判断.
【详解】对于A：因为所以，
代入得，所以，故A正确.
对于B：由A知，由得，故B不正确.
对于C：由，
所以，所以，故C正确.
对于D：由C知，
所以，故D不正确.
故选：AC
10．AC
【分析】对于A，根据面，由判断；对于B，由圆锥的侧面积公式求解判断；对于C，由求解判断；对于D，取的中点，连接，，易得为二面角的平面角求解判断.
【详解】对于A，因为面，所以是与底面所成角，
在中，圆锥的母线长是，半径，
则，所以，则A正确；
对于B，圆锥的侧面积为，表面积为，则B错误；
对于C，当点与点重合时，为最小角，
当点与点重合时，达到最大值，
又因为与，不重合，则，
又，可得，则C正确；
对于D，如图所示，
，
取的中点，连接，，又为的中点，则，
因为，所以，又面，面，所以，
又，面，故，
所以为二面角的平面角，
因为点为弧的中点，所以，，则，则D错误.
故选：AC.
11．BC
【分析】
特殊值法可排除A项，利用函数的对称性可判定B，取特殊值结合导数研究函数的单调性、极值与最值可判定C，利用导函数非负结合判别式可判定D.
【详解】对于A，当时，，，
若时，，则在定义域内单调递增，无极值点，故A错误；
对于B，当时，，，则，所以的图象关于中心对称，故B正确；
对于C项，当时，，
，
取，即时，此时，
所以当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以函数极小值为，函数极大值为，
即，所以在有一个零点，
又因为，，
所以在有一个零点，在有一个零点，
即当时，有三个零点，故C正确；
对于D项，若在定义域上是单调函数，
则恒成立，所以，解得，所以D错误，
故选：BC．
【点睛】关键点睛：本题C项，利用导数研究函数的零点个数，结合极大小值的正负及取特殊点判断函数值符合是关键.
12．
【解析】根据直角三角形的性质与垂径定理求得圆心到直线的距离,再用公式求解即可.
【详解】由题,因为为等腰直角三角形,故,故圆心到直线的距离.即.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了根据直线与圆相交求参数的问题,重点在于垂径定理的运用.属于基础题.
13．
【分析】
根据等差中项性质结合等差数列的相关公式列式计算，求得首项，即可求得通项公式；进而可得的表达式，利用作差法判断其单调性，确定最大值，结合数列不等式恒成立，即可求得参数范围.
【详解】由题意知是公差为2的等差数列，是与的等差中项，
则，即，
故；
故，
则，
当时，，数列的项增大；当时，，数列的项是减小的；
故为数列的最大值项，
对，使得恒成立，则，
即的取值范围为，
故答案为：，
14．
【分析】
由得，转化为函数与的图象有八个交点，画出与的图象，结合图象进行分析求解.
【详解】由函数的解析式可知：
时，，所以的图象与在上的图象关于直线对称；
时，，所以只需把在上的图象向右平移6个单位即可得在上的图象.
由得，函数与的图象如图所示：

由，即有，由图可知，，
故，即，则，；
由的图象性质，有，，
，，
则，，
所以，
因为，，所以，而对勾函数在上单调递减，
所以，，，，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：分段函数的有关零点的问题通常用数形结合的方法，画函数图象时常考虑用函数的图象变换结合函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）和函数图象的对称性.
15．(1)证明见解析
(2)存在，或
【分析】（1）要证明证不是等比数列，只需证即可，由此计算即可证明结论；
（2）假设存在常数，使得数列为等比数列，则利用等比中项性质，列式化简求解，可求得k的值，验证即得结论.
【详解】（1）设的公比分别为，
为证不是等比数列，只需证.
而，
由于，且不为零，
因此，故不是等比数列.
（2）假设存在常数，使得数列为等比数列，
则有，
将代入上式，得，
即，
整理得，
解得或.
经检验，当时，，
此时数列为等比数列；
当时，，
数列为等比数列，
所以，存在常数或，使得数列为等比数列.
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）取BE中点N，
则平行且等于，AG也平行且等于，而平行且等于，
所以平行且等于，
因此四边形为平行四边形，∥，
又平面BEG，平面BEG，
所以平面BEG；
（2）由已知易证建立以A为原点，以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，

则，，，，，，，，
所以，
设为面的法向量，则
，
同理可求平面的法向量为，
.
所以二面角的余弦值为.
17．(1)指数函数模型是最优模型；理由见解析
(2)
(3)（2）中幂函数模型更适合，理由见解析
【分析】
（1）由表中数据比较指数函数模型误差平方和以及的大小，即得结论；
（2）根据身高与骨细胞数量以及体重与肌肉细胞数量的关系，结合已知数据，即可求得答案；
（3）分别计算出两种模型函数下的婴儿体重，比较大小，即得结论.
【详解】（1）
因为，所以指数函数模型误差平方和最小，
因为，所以指数函数模型最大，
所以指数函数模型是最优模型；
（2）
因为，所以，
因为，
所以，所以，
所以体重关于身高的函数模型为；
（3）
把代入，得不符合实际，
把，代入得，
把代入，得符合实际，
所以（2）中幂函数模型更适合.
18．(1)
(2)
【分析】
（1）根据准线l与x轴的交点坐标确定，再利用抛物线的定义将点点距转化为点线距，最后利用相似性得出比值；
（2）先求出点的坐标，然后设直线PQ的方程及点的坐标，联立直线与抛物线方程，根据根与系数的关系确定直线PQ的斜率，再根据直线AP与圆M相切确定点的坐标与圆半径的关系，最后将三角形面积转化为三次函数，利用导数确定最值．
【详解】（1）
由题意得，所以抛物线C的方程为．
由得．
过B作于点，过A作于点，，且，
由抛物线定义知，，
所以，即．
（2）
设点，所以，
所以，解得，所以．
设切线AP，AQ的斜率为，因为轴，由对称性知．
设直线PQ的方程为，
将直线PQ的方程代入抛物线方程得①，所以
所以，同理得，
所以，
所以，即，
代入方程①，由得，
因为直线AP的方程为，即，
所以．
因为直线AP与圆M相切，所以，即，
不妨设，所以，
所以，
因为，n随r的增大而增大，所以，
所以，
直线PQ的方程为，即，
所以，
点A到直线PQ的距离为，
所以，
令，
则，
当时，，为增函数；
当时，，为减函数，
所以当时，取得最大值，
所以面积的最大值为．
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是根据直线与圆相切求出的范围；二是借助导数工具求解三次函数的最值.
19．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出的导函数，再对分类讨论，求出的单调性，进而可得极值；
（2）可转化为在上恒成立，令，则在上恒成立，对求导，对分类讨论，求出使恒成立的的范围即可．
【详解】（1），
若，则，则在上单调递减，无极值；
若，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，无极大值；
若，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，无极小值；
综上所述，若，无极值；
若，，无极大值；
若，，无极小值；
（2）时，，所以有在上恒成立，
即在上恒成立，
令，转化为在上恒成立，
，
当时，所以在上单调递增，，
满足题意；
当时，令，，
则，设，，
则，因为，所以，
所以，所以在上单调递增，
所以，即在上恒成立，
所以即在上单调递增，
又因为，
当即时，，在上恒成立，所以在上单调递增，所以在上恒成立，
当时，，
如果在上恒成立，则在上单调递减，则无最小值，不符合题意；
如果有解时，设，则在上单调递减，在上单调递增，则在时，，不符合题意；
综上所述，，即实数的取值范围是．
【点睛】方法点睛：本题主要考查利用函数的导数解不等式恒成立的问题，解决此类问题的一般方法是：
（1）分离参数将原不等式恒成立问题转化为函数的最值问题；
（2）构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值；
（3）得出参数的取值范围．