2023-2024学年福建省南平市建瓯市芝华中学高一（下）第一次段考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省南平市建瓯市芝华中学高一（下）第一次段考数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在△ABC中，若BA=a，BC=b，则CA=( )
A. aB. a+bC. b−aD. a−b
2.已知向量a=(1,2)，b/​/a，那么向量b可以是( )
A. (2,1)B. (−1,2)C. (−1,−2)D. (−2,1)
3.已知a=(1,−1)，b=(−1,3)，则a⋅(2a+b)=( )
A. 0B. 1C. −1D. 2
4.已知点A(−4,−2 3)，B(−2,0)，C( 3,m)，O为坐标原点，若OA+OB与OC共线，则m=( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
5.在△ABC中，若a= 2，∠A=π6，csC=−13，则c=( )
A. 33B. 23C. 8 39D. 83
6.已知a,b均为单位向量.若|a−b|=1，则a在b上的投影向量为( )
A. 32aB. 12aC. 32bD. 12b
7.在△ABC中，若|AB+AC|=1，|CA+CB|=2，则△ABC的面积的最大值为( )
A. 16B. 15C. 14D. 13
8.如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则PC⋅PD的取值范围为( )
A. (0,16)
B. [0,16]
C. (0,4)
D. [0,4]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量OA=(3,−4),OB=(6,−3),OC=(5−m,−3−m)，若∠ABC为锐角，则实数m可能的取值是( )
A. −1B. 0C. 12D. 1
10.在△ABC中，若acsA=bcsB，则△ABC的形状可能为( )
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 不存在
11.下列说法正确的是( )
A. |a⋅b|≤|a||b|
B. 若a与b平行，b与c平行，则a与c平行
C. 若a⋅b=c⋅b且b≠0，则a=c
D. a和b的数量积就是a在b上的投影向量与b的数量积
12.在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB中点，下列说法正确的是( )
A. AB+AC−AD=0
B. DA+EB+FC=0
C. 若AB|AB|+AC|AC|= 3AD|AD|，则BD是AB在BC的投影向量
D. 若点P是线段AD上的动点(不与A、D重合)，且BP=λBA+μBC，则λμ的最大值为18
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在△ABC中，AB=2，D为AB的中点，若BC=DC= 2，则AC的长为______．
14.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b⋅csC=2a+c.若b=4，则△ABC的外接圆半径为______．
15.若两个非零向量a，b满足|a+b|=|a−b|=|2a|，则a−b与a的夹角为______．
16.如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，则OP=xOA+yOB，若AP=3PB，|OA|=4，|OB|=2，且OA与OB的夹角为60°，则OP⋅AB的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知|a|=4，|b|=8，a与b的夹角为2π3．
(1)求|a+b|；
(2)当k为何值时，(a+2b)⊥(ka−b)？
18.(本小题10分)
已知向量m=(sinx,1),n=( 3csx,12cs2x)，函数f(x)=m⋅n．
(1)求函数f(x)的最大值及相应自变量的取值；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)=12,a=2，求b+c的取值范围．
19.(本小题10分)
△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AC=4，BC=2，AD=λAB(0−34．
当BA//BC时，(−3)×(−m)−(−1−m)×(−1)=0，解得m=12．
当∠ABC为锐角时，实数m的取值范围是(−34,12)∪(12,+∞)．
所以实数m可能的取值是0，1．
故选：BD．
利用向量的减法法则及向量减法的坐标表示，根据已知条件及向量的数量积的坐标表示，结合向量共线的条件即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
10.【答案】ABC
【解析】解：因为acsA=bcsB，
所以a×b2+c2−a22bc=b×a2+c2−b22ac，整理得(a2−b2)(a2+b2−c2)=0，解得a=b或a2+b2=c2，
当a=b时，△ABC是等腰三角形，
当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形，
当a=b且a2+b2=c2时，△ABC是等腰直角三角形．
故选：ABC．
利用余弦定理进行角化边，再整理式子求解即可．
本题主要考查三角形的形状判断，属于基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：|a⋅b|=||a||b|cs〈a,b〉|=|a||b||cs〈a,b〉|≤|a||b|，故A正确；
当b为零向量时，满足a与b平行，b与c平行，但a与c不一定平行，故B错误；
a⋅b=c⋅b即(a−c)⋅b=0，
则|a−c||b|cs=0，
当a−c与b垂直时成立，不一定a−c=0，即推不出a=c，故C错误；
由投影向量的定义可知，
a在b上的投影向量为(a⋅b|b|)b|b|=(a⋅b)|b|2b，
(a⋅b|b|2)b⋅b=(a⋅b|b|2)b2=(a⋅b|b|2)|b|2=a⋅b，故D正确．
故选：AD．
根据向量的数量积的定义，结合三角函数的值域可以判定A；
当b为零向量时，利用零向量和任意向量都平行的规定可以判定B；
由a⋅b=c⋅b移项变形，利用数量积的性质，进而判定C；
利用投影向量的定义和数量积的定义运算可以判定D．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：如图所示：
对于A，∵D是BC的中点，∴AB+AC=2AD，
∴AB+AC−AD=2AD−AD=AD≠0，故A选项错误；
对于B，∵E，F分别是边BC，AC，AB中点，
∴BE=12(BA+BC)，CF=12(CA+CB)，
∴DA+EB+FC=−12(AB+AC)−12(BA+BC)−12(CA+CB)
=−12AB−12AC+12AB−12BC+12AC+12BC=0，故B选项正确；
对于C，AB|AB|，AC|AC|，AD|AD|分别表示平行于AB，AC，AD的单位向量，
∴AB|AB|+AC|AC|表示∠BAC的平分线的向量．
∵AB|AB|+AC|AC|= 3AD|AD|，∴AD为∠BAC的平分线，
又∵AD为BC的中线，∴AD⊥BC，如图所示：
BA在BC的投影为|BA|csB=|BA|×|BD||BA|=|BD|，
∴BD是BA在BC的投影向量，故C选项正确；
对于D，如图所示：
∵P在AD上，设BP=tBA+(1−t)BD，0