2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2022年全国高中数学联赛一试+加试试题（A卷）

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一试试题（A卷)
一、填空题:本大题共8小题，每小题8分,满分64分.
1.集合A=n∣n3<2022<3n,n∈Z的所有元素之和为 .
2.设函数fx=x2+x+16x2≤x≤a,其中实数a>2.若fx的值域为[9,11],则a的取值范围是 .
3.一枚不均匀的硬币,若随机抛掷它两次均得到正面的概率是均得到反面的概率的9倍,则随机抛掷它两次得到正面、反面各一次的概率为 .
4.若复数z满足:z-3iz+i为负实数(i为虚数单位),z-3z+1为纯虚数,则z的值为 .
5.若四棱锥P-ABCD的棱AB,BC的长均为2,其他各条棱长均为1,则该四棱锥的体积为 .
6.已知函数y=fx的图像既关于点1,1中心对称,又关于直线x+y=0轴对称.若x∈0,1时,fx=lg2x+1,则flg210的值为 .
7.在平面直角坐标系中,椭圆Ω:x24+y2=1,P为Ω上的动点,A,B为两个定点,其中B的坐标为0,3.若△PAB的面积的最小值为1、最大值为5,则线段AB的长为 .
8.一个单位方格的四条边中,若有两条边染了颜色i,另两条边分别染了异于i色的另两种不同颜色,则称该单位方格是“i色主导”的.如图,一个1×3方格表的表格线共含10条单位长线段,现要对这10条线段染色,每条线段染为红、黄、蓝三色之一,使得红色主导、黄色主导、蓝色主导的单位方格各有一个.这样的染色方式数为 (答案用数值表示).
二、解答题:本大题共3小题,满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
9.(本题满分16分)若△ABC的内角A,B,C满足sinA=csB=tanC,求cs3A+cs2A-csA的值.
10.(本题满分20分)给定正整数mm≥3.设正项等差数列an与正项等比数列bn满足:an的首项等于bn的公比,{}的首项等于an的公差,且am=bm.求am的最小值,并确定当am取到最小值时a1与b1的比值.
11.(本题满分20分)在平面直角坐标系中,双曲线Γ:x23-y2=1.对平面内不在Γ上的任意一点P,记ΩP为过点P且与Γ有两个交点的直线的全体.对任意直线l∈Ωp,记M,N为l与Γ的两个交点,定义fpl=PM⋅PN.若存在一条直线l0∈Ωp满足:l0与Γ的两个交点位于y轴异侧,且对任意直线l∈Ωp,l≠l0,均有fPl>fPl0,则称P为“好点”.求所有好点所构成的区域的面积.
加试试题（A卷）
一.(本题满分40分)如图,在凸四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90∘,对角线BD上一点P满足∠APB=2∠CPD,线段AP上两点X,Y满足∠AXB=2∠ADB,∠AYD=2∠ABD.证明:BD=2XY.（答题时请将图画在答卷纸上）
二.(本题满分40分)设整数nn>1恰有k个互不相同的素因子,记n的所有正约数之和为σn.证明：σn∣2n-k∣.
三.(本题满分50分)设a1,a2,⋯,a100是非负整数,同时满足以下条件:
(1)存在正整数k≤100,使得a1≤a2≤⋯≤ak,而当i>k时ai=0；
(2)a1+a2+a3+⋯+a100=100;
(3)a1+2a2+3a3+⋯+100a100=2022.
求a1+22a2+32a3+⋯+1002a100的最小可能值.
四.(本题满分50分)求具有下述性质的最小正整数t：将100×100的方格纸的每个小方格染为某一种颜色,若每一种颜色的小方格数目均不超过104,则存在一个1×t或t×1的矩形,其中t个小方格含有至少三种不同颜色.