山东省聊城市东昌府区多校联考2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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时间：120分钟 分值：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．）
1. 如图所示放置的正三棱柱的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查三视图的判断，熟练掌握俯视图是从上往下看得到的图形，是解题的关键．
【详解】解：如图所示的正三棱柱的俯视图是
故选：A．
2. 今年1月3日，我国的嫦娥四号探测器成功在月球背面着陆，标志着我国已经成功开始了对月球背面的研究，填补了国际空白．月球距离地球的平均距离为38.4万千米，数据38.4万用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：38.4万．
故选B．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项可判断A；根据负整数指数幂和零指数幂的意义可判断B；根据单项式与单项式的乘法、积的乘方法则可判断C；根据同底数幂的乘法法则可判断D．
【详解】解：A．，故不正确；
B．，故不正确；
C．，故不正确；
D．，正确．
故选D．
【点睛】本题考查了合并同类项，负整数指数幂和零指数幂的意义，单项式与单项式的乘法，同底数幂的乘法，积的乘方等知识，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4. 如图，数轴上有M，N，P，Q四点，则这四点中所表示的数最接近的是（ ）
A. 点MB. 点NC. 点PD. 点Q
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了估算无理数的大小，实数与数轴等知识点，能估算出的范围是解此题的关键．先估算出的范围，再求出的范围，再根据数轴得出选项即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
即，
从数轴可知：N点符合，
故选：B．
5. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则进行判断便可．
【详解】解：A、不是同类二次根式不能合并，选项错误；
B、不是同类二次根式不能合并，选项错误；
C、，选项正确；
D、，选项错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟记法则是解题的关键．
6. 在反比例函数（为常数）上有三点，，，若，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．据此解答即可．
【详解】解：∵，
∴函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，
∵，
∴．
故选C．
7. 不等式组的解集是x＞1，则m的取值范围是（ ）
A. m≥1B. m≤1C. m≥0D. m≤0
【答案】D
【解析】
【分析】表示出不等式组中两不等式的解集，根据已知不等式组的解集确定出m的范围即可．
【详解】解：不等式整理得：，由不等式组的解集为x＞1，得到m+1≤1，解得：m≤0.
故选D.
【点睛】本题考查了不等式组的解集的确定.
8. 已知，一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据反比例函数图象确定b符号，结合已知条件求得a的符号，由a,b的符号确定一次函数图象所经过的象限．
【详解】解：若反比例函数 经过第一、三象限，则 ．所以 ．则一次函数 的图象应该经过第一、二、三象限；
若反比例函数经过第二、四象限，则a0．则一次函数的图象应该经过第二、三、四象限．
故选项A正确；
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
9. 如图，有一块半径为，圆心角为的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先利用扇形的弧长公式求得圆锥的底面周长，求得底面半径的长，然后利用勾股定理求得圆锥的高．
【详解】解：设圆锥的底面周长是l，则l=m，
则圆锥的底面半径是：m，
则圆锥的高是：m．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
10. 定义：在平面直角坐标系中，对于点当点满足时，称点是点的“倍增点”．已知点，有下列结论：①点，都是点的“倍增点”：②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点的坐标为；③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象上的点的坐标、一次函数图象上的点的坐标，解题时要熟练掌握并理解．
依据题意，由“倍增点”的意义进行计算进而判断①；设满足题意得“倍增点”A为，从而可以求得，进而可以判断②；设抛物线上的“倍增点”为，从而建立方程求得解，可以判断③．
【详解】解：依据题意，由“倍增点”的意义，
∵，，
∴点，都是点的“倍增点”．
∴①正确．
对于②，由题意，可设满足题意得“倍增点”A为，
∴．
∴．
∴．
∴②正确．
对于③，可设抛物线上的“倍增点”为，
∴．
∴．
∴此时满足题意的“倍增点”有两个．
∴③正确．
故选：D．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．直接填写答案．）
11. 因式分解： ______ ．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式2x2，然后再利用平方差公式进行分解即可得答案.
【详解】2x2-32x4
=2x2 (1-16x2)
=2x2 (1+4x)(1-4x)，
故答案为2x2 (1+4x)(1-4x)．
【点睛】本题考查了综合提公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键.
12. 某批次1000个防护口罩中有20个不合格，从这1000个口罩中随机抽取1个，恰好取到不合格口罩的概率是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．根据不合格品件数与产品的总件数比值即可解答．
【详解】∵1000个防护口罩中，有20个是不合格产品，
∴从中任意抽取一件检验，则抽到不合格产品的概率是，
故答案为：．
13. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是______.
【答案】且．
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义，以及根的判别式，得出不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】解：根据题意得且，
解得：且．
的取值范围为且．
故答案为：且．．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
14. 如果关于x的分式方程有增根，那么m的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】先解关于x的分式方程，得，由题意，该方程有增根，因为增根为，所以，由此可求出m的值．
【详解】解：
去分母得，，
移项得，，
合并同类项得，，
∵关于x的分式方程有增根，
∴，即，
故答案为：-4．
【点睛】本题考查了含参分式方程的解法，增根的概念，正确理解以上概念并进行正确的计算，是解题的关键．
15. 对于实数m，n，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数x的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据定义，分和两种情况进行解方程，得出x的值．
【详解】解：当时，，
解得：，（不合题意，舍去）；
当时，，
解得：（不合题意，舍去）；
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，解一元二次方程和解一元一次方程，体现了分类讨论的数学思想，分和两种情况进行解方程是解题的关键．
16. 如图，二次函数（是常数，且）的图象与正比例函数的图象相交于两点，若点的横坐标为，点的横坐标为，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：；；关于的方程的两根为；；．其中正确的是______．（只填写序号）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据所给图象可以得出， ，再结合对称轴，即可判断；根据二次函数与正比例函数的交点坐标即可判断；由方程根与系数的关系即可判断；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】解：由图象可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，故、正确；
∵二次函数的图象与正比例函数的图象相交于两点，点的横坐标为，点的横坐标为，
∴关于的方程的两根为，故正确；
由得，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，故错误；
∵，
∴，
∵
∴，故正确；
∴正确的是，
故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17 （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，分式的混合运算，求解特殊角的三角函数值，零次幂与负整数指数幂的含义，绝对值的化简，熟练以上运算的运算法则是解题的关键
（1）分别计算零次幂，负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，再合并即可；
（2）先通分计算括号里，再将除法转成乘法进行计算即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
18. 解不等式组，并写出它非负整数解．
【答案】，它的非负整数解有0，1
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后写出非负整数解即可．
【详解】解：，
解①得，
解②得，
∴，
∴它的非负整数解有0，1．
19. 2023年10月26日，神州十七号发射成功，三位宇航员将在太空驻留约6个月．某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况，开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：
请根据图表信息解答下列问题：
（1）求a，b，c的值；
（2）补全频数分布直方图；
（3）估计此次航天知识竞赛的平均成绩；
（4）某班有2名男生和2名女生的成绩都为100分，若从这4名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率．
【答案】（1），，
（2）见解析 （3）分
（4）
【解析】
【分析】（1）成绩在的频数为10，频率为0.1，由频率，频数，总数的关系可求出调查人数，进而求出a、b、c的值；
（2）根据频数分布表中的频数补全频数分布直方图；
（3）根据加权平均数的计算方法计算即可；
（4）从2男1女三人中随机选取2人，用树状图法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【小问1详解】
调查人数为：（人），5，，，
答：，，；
【小问2详解】
由各组频数补全频数分布直方图如下：
【小问3详解】
（分）；
【小问4详解】
用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：
共有12种等可能出现的结果，其中1男1女的有8种，
所以抽取的2名学生恰好为1男1女的概率是．
【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力，列表法或树状图法求概率以及条形统计图，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析统计图，才能作出正确解决问题．
20. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用18万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等．
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，求至少购买多少个A型充电桩？
【答案】20. A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元
21. 至少购买14个A型充电桩
【解析】
【分析】本题考查了分式的应用以及一元一次不等式的应用：
（1）设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价为万元，根据“用18万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等”列出分式方程，求解即可；
（2）设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩个，根据购买总费用不超过26万元，列出一元一次不等式，解不等式，求出最小整数解即可．
【小问1详解】
解：设A型充电桩的单价为x万元，
由题意得：，
化为整式方程得：，
解得，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元；
【小问2详解】
解：设购买A型充电桩m个，
由题意得：，
解得，
m是正整数，
m的最小值为14．
答：至少购买14个A型充电桩．
21. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．
（1）求该商品每月的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式：（不需要求自变量取值范围）
（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
（3）为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？
【答案】（1）
（2）销售单价应定为70元
（3）80元
【解析】
【分析】本题二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键．
（1）根据销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，列出函数关系式即可；
（2）利用总利润等于单件利润乘以销量列出一元二次方程进行求解即可；
（3）设总利润为，根据总利润等于单件利润乘以销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求最值即可．
【小问1详解】
解：由题意，得：；
【小问2详解】
由题意，得：
解得：或；
∵使顾客获得更多的实惠，
∴；
答：销售单价应定为70元．
【小问3详解】
设总利润为，由题意，得：，
∴，
∴当时，有最大值为元；
答：为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．
22. 阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________；
（2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；
（3）提升：已知实数s，t满足且，求的值．
【答案】（1），
（2）
（3）的值为或．
【解析】
【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可；
（3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而由，求得或，最后分类讨论分别代入求值即可．
【小问1详解】
解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，．
故答案为：，；
【小问2详解】
解：∵一元二次方程的两根分别为m、n，
∴，，
∴
；
【小问3详解】
解：∵实数s、t满足，
∴s、t可以看作方程的两个根，
∴，，
∵
，
∴或，
当时，
，
当时，
，
综上分析可知，的值为或．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．
23. 阅读理解题：
阅读材料：
如图1，四边形是矩形，是等腰直角三角形，记为、为，若，则．

证明：设，∵，∴，
易证
∴，
∴
∴，
若时，当，则．
同理：若时，当，则．
根据上述材料，完成下列问题：
如图2，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，已知．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出的值；
（3）求直线的解析式．
【答案】（1）
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）首先求出点，然后设，在中，利用勾股定理求出，得到，然后代入求解即可；
（2）首先根据，得到，，求出，，然后利用正切值的概念求出，然后证明出四边形是矩形，得到，然后由即可求出；
（3）首先根据矩形的性质得到，，然后利用求出，进而得到，然后设直线的解析式为，利用待定系数法将和代入求解即可．
【小问1详解】
将代入得，，
∴，
∵直线与反比例函数的图象交于点，
∴设，
∵，，
∴在中，，
∴，
∴解得，，
∵点A的横坐标要大于点B的横坐标，
∴应舍去，
∴，
∴，
∴将代入，解得；
∴反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
∵，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，即，
∴解得，
∴，
∴，
∴设直线的解析式为，
∴将和代入得，，
∴解得，
∴直线解析式为．
【点睛】此题考查了反比例函数，一次函数和几何综合题，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是正确理解材料的内容．
24. 如图，为已知抛物线经过两点，与轴的另一个交点为，顶点为，连结．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点为该抛物线上一动点（与点不重合），设点的横坐标为．
①当时，求的值；
②该抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①或或或；②点的坐标为(，)或（0，5）
【解析】
【分析】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）①先求得直线的表达式为：，利用，解方程即可；
②分点P在直线BC下方、上方两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：
，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）①令，则，
解得或，即点，
如图1，过点作轴的平行线交于点，
设直线的表达式为：，
将点的坐标代入一次函数表达式得，
解得，
并解得：直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
∴或，
解得或或或；
②设直线BP与CD交于点H，
当点P在直线BC下方时，
∵∠PBC=∠BCD，
∴点H在BC的中垂线上，
线段BC的中点坐标为，
过该点与BC垂直的直线的k值为-1，
设BC中垂线的表达式为：，
将点代入上式并解得：
直线BC中垂线表达式为：，
同理直线的表达式为：，
解方程组，得：，即点，
同理可得直线的表达式为：，
解方程组，
得：或（舍去），
则，
故点P (，)；
当点P（P′）在直线BC上方时，
∵∠PBC=∠BCD，
∴BP′∥CD，
则直线BP′的表达式为：，
将点B坐标代入上式并解得：，
即直线BP′的表达式为：，
解方程组，
得：x=0或-4（舍去-4），
则，
故点P（0，5）；
故点P的坐标为(，)或（0，5）．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
成绩/分
频数/人
频率
10
0.1
15
0.35
40