高考数学导数专题-4.双极值点问题探究

这是一份高考数学导数专题-4.双极值点问题探究，共8页。试卷主要包含了 已知函数．， 已知函数等内容，欢迎下载使用。

例1. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，证明：．
二．自主练习
1.已知函数.
讨论函数的单调性；
若函数有两个极值点，证明：.
2. 已知函数.
若函数在是减函数，求实数的取值范围；
若函数在上存在两个极值点，且，证明：.
已知上的函数存在两个极值点为，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
4．已知函数.
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若存在两个极值点，，证明：.
5．已知函数有两个极值点，.
（1）求的取值范围；
（2）证明：.
6．已知函数有两个不同的极值点、.
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求证：，且.
4.解：（1）函数的定义域为，，
令，则.
①当时，，恒成立，函数的单调递增区间为.
②当时，，方程有两根，，，
当时，；当时，；当，.
的单调递增区间为、，
单调递减区间为.
（2）证明：由（1）知，当时，存在两个极值点，，
函数在上单调递减，则，，
不妨设，则.
由于
，
且，所以，
则.
5.解：（1）∵，
∴有两个不等正根，，
∴，
解得.
（2）由已知得，，，
，
，
，
，
令，则，，，，
∴是增函数，，
即.
6.解：（1），定义域为，.
由题意可知，方程在上有两个不等的实根、，
则，解得.
因此，实数的取值范围是；
（2）由题意可知，、为方程的两个实根，
由于，则，
当时，，，
由（1）可知，
，
，令，设，.
，所以，函数在上单调递减，
所以，，因此，.
练习9【详解】
计算导数得到，结合构造新函数得到
要使得存在两个不同的极值点，则要求有两个不同的根，且，则，解得，而
，构造新函数，计算导数得到，结合前面提到的a的范围可知在单调递增，故，因而，表示为区间则是，故选A。