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高考数学导数专题-15.同构视角解决极值点偏移问题
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这是一份高考数学导数专题-15.同构视角解决极值点偏移问题,共5页。试卷主要包含了同构单调性解决极值点偏移,已知函数,若,不妨设,求证,若方程有两个实根,且,证明等内容,欢迎下载使用。
类型1.同构单调性解决极值点偏移
例1.(2021新高考1卷)已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)设为两个不相等的正实数,且,证明:.
解析:(2)因为,故,即,
故,设,由(1)可知不妨设.下面我们证明
由于,于是可得:.
构造函数,则上式显然成立,于是可得:
,得证!
注:此题条件透露了一个关键的条件:,所以可以进行代换构造出一个单调函数同构出极值点偏移!但是,从同构单调性视角来解决另一个不等式,我没有想到,有兴趣的读者可以继续研究!
例2.已知函数,若,不妨设,求证:.
证明:,为了消掉参数,即证明:
,于是只需函数在区间上递增!求导易证!
类型2.利用同构包装极值点偏移
这一类问题就是利用同构将函数或者最后的偏移不等式包装的复杂,丑陋,乍一看可能无从下手,但是只要注意一些常见的指对同构形式,适当转化,它就漏出真面目了!典例就是2022年甲卷21题.当然,要玩同构,这些基本的同构形式必须熟悉:
= 1 \* GB3 ①; = 2 \* GB3 ②; = 3 \* GB3 ③; = 4 \* GB3 ④; = 5 \* GB3 ⑤.
例3.若方程有两个实根,且,证明:
证明:因为,则,令,其中,则有,,所以,函数在上单调递增,
因为方程有两个实根、,令,,则关于的方程也有两个实根、,且,要证,即证,即证,即证,(这个结论我在前面已经证明过,这里再度证明)
由已知,所以,,整理可得,
不妨设,即证,即证,
令,即证,其中,构造函数,其中,
,所以,函数在上单调递增,当时,,故原不等式成立.
点评:脱去同构的外衣,它就是一个非常普通的极值点偏移!
习题1.已知函数,其中.
(1)略;
(2)令函数,若存在使得,证明:
.
证明:,令,则上述函数变形为,对于,,则,即在上单调递增,所以若使得,则存在对应的、,使得,证明. (前两讲已证,此处略去)
二.习题演练
习题1.(2022全国甲卷)
已知函数.
(1)若恒成立,求的取值范围;(公众号:凌晨讲数学)
(2)若有两个零点,证明:.
解析:(1),令,则,于是
.于是等价于在上恒成立,故.
(2)由(1)可得有两个零点等价于在上有一个零点,即
,此时,有两个解,且.(凌晨)
此时,,两式相除,可得:.
于是,欲证只需证明:(对数均值不等式).
即证明:,令,只需证明,易证!
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