高考数学导数专题-21.拉格朗日中值定理及应用

这是一份高考数学导数专题-21.拉格朗日中值定理及应用，共2页。试卷主要包含了刘维尔不等式，利普希茨条件，割线斜率等内容，欢迎下载使用。
手法1.刘维尔不等式
例1.（2017天津）设，定义在上的函数在区间
内有一个零点，为的导函数.
（1）求的单调区间；
（2）设，函数，求证：；
（3）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且 满足.
手法2.利普希茨条件
上面例题便是关于刘维尔不等式在高考中的经典应用，下面我们再看以利普希茨条件为背景的2019天津卷导数题.
例2.（2019天津理20）设函数为的导函数.
（1）求的单调区间；
（2）当时，证明.
手法3.割线斜率.
例3.已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）设,如果对任意,,求的取值范围.
解析：（2）法一:不妨设,而当时,由（1）可知在单调递减,从而,
等价于,.
构造函数,只需在单调递减,即
在恒成立,分离变量法:,只需.
法二:由拉格朗日定理知,,等价于在
存在,使得成立,只需恒成立,只需证明
,得或(舍去).
需要注意的是，拉格朗日定理并不是解决这类割线斜率问题的完美解决办法，很多题目盲目使用甚至还会出错，具体错误原因请见下面参考文献.
参考文献：查晓东，金沛阳.割线斜率取值范围问题再研究.[J].数学通讯