高考数学导数专题-34.卡根法应用

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例1．已知函数，曲线在处的切线方程为．
（1）求实数a，b的值；
（2）如果不等式恒成立，求整数k的最大值．
【答案】（1），；（2）3．
【解析】（1）∵，
∴，
由题意可得，，
解可得，，，
（2）由（1）可得，，
由恒成立可得，，
令，
则，
令，
则，
∴单调递增，而，，
所以有唯一的实数根，且，
∴，
∴，，故k的最大值3．
例2．设函数.
（1）求函数的单调增区间；
（2）当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：）
【解析】（1）因为，
所以，
①当时，由，解得；
②当时，由，解得；
③当时，由，解得；
④当时，由，解得；
⑤当时，由，解得，
综上所述，当时，的增区间为；
当时，的增区间为；
时，的增区间为.
（2）当时，，所以，
而，
因为均为上的增函数，
故为上的增函数，
而，，
故在上有且只有一个零点，
且且时，；当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
故，
因为，所以，
所以，而整数，使得关于x的不等式有解，故，
故存在整数满足题意，且的最小值为0.
例3．已知函数，.
（1）若，讨论函数在定义域内的极值点个数；
（2）若，函数在上恒成立，求整数的最大值.
【解析】（1）的定义域为；且，
因为方程的，
①当，即时，恒成立，
此时对于恒成立，
所以在上单调递增，故极值点个数为；
②当，即时，
设方程的两根分别为和，
则，，所以，，设 ，
则，，
由即可得：或，
由即可得：
所以在和上单调递增，
在上单调递减，故极值点个数为2；
综上所述，当时，极值点个数为，当时，极值点个数为2.
（2）时，，则，
令，则，
所以在上单调递增，
而，，
所以存在，使，即，故，
当时，，；当时，，；
即在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
所以，因为，即的最大值为3.
【点睛】由不等式恒成立（或能成立）求参数时，（1）可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；（2）可根据不等式，直接构成函数，利用的单调性以零点存在定理可判断的单调性，进而可得的最小值，只需，再结合是整数即可求解.
【针对训练】
1．已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．
2．已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）令，若在恒成立，求整数a的最大值．
参考数据：，
3．已知函数，.
（Ⅰ）函数的图象与的图象无公共点，求实数的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数，使得对任意的，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出整数的最大值；若不存在，请说理由.
（参考数据：，,）.
【强化训练】
4．已知函数，（，为自然对数的底数），且在点处的切线方程为.
(1)求实数，的值；
(2)求证：.
5．已知函数，．
(1)函数的图象与的图象无公共点，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数m，使得对任意的，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，求出整数m的最大值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．（1）具体见解析；（2）.
【分析】（1）先确定函数的定义域，求导后得，根据正负进行讨论，可得函数的单调区间；
（2）中可通过分离参数将问题转化成在区间内恒成立求解，令，结合函数零点存在定理可求得的最值．
【详解】（1）函数的定义域为．
由题意得，
当时，，则在区间内单调递增；
当时，由，得或（舍去），
当时，，单调递增，
当时，，单调递减．
所以当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）由，
得，
因为，所以原命题等价于在区间内恒成立．
令，
则，
令，则在区间内单调递增，
又，
所以存在唯一的，使得，
且当时，，单调递增，
当时，，，
所以当时，有极大值，也为最大值，且 ，
所以，
又，所以,
所以，
因为，
故整数的最小值为2．
【点睛】本题属于导数的综合应用题．第一问中要合理确定对进行分类的标准；第二问利用分离参数的方法解题，但在求函数的最值时遇到了导函数零点存在但不可求的问题，此时的解法一般要用到整体代换，即由可得，在解题时将进行代换以使问题得以求解．
2．（1）答案见解析；（2）3.
【分析】求得，结合二次函数性质对a进行讨论求解单调性；
由题设可得，将问题转化为恒成立，构造并应用导数研究最小值，由即可求整数a的最大值．
【详解】的定义域为且，
①当时，由得：，
∴时，的增区间为，减区间为，
②当时，令得：或，
∴的增区间为和减区间为
③当时，恒成立，此时的增区间为，无递减区间：
④当时，令得：或，
∴的递增区间为和，减区间为．
，则恒成立．
令，则，
令，，知在上递增且，，
∴，使，即在递减，在递增，
∴，
∴由知：整数a的最大值为3．
【点睛】关键点点睛：第二问，将题设问题转化为恒成立，构造函数并应用导数研究最值，求参数.
3．（Ⅰ），（Ⅱ）1
【详解】试题分析：（Ⅰ）函数图象无公共点，可以转化为方程无实根，此方程可用分离参数法化为无实根，从而只要求出函数的值域即可，这可导数的知识求得；（Ⅱ）同样问题转化为“不等式对恒成立”，即对恒成立，因此问题转化为
求函数的最小值．
试题解析：（Ⅰ）函数与无公共点，
等价于方程在无解
令，则令得
因为是唯一的极大值点，故
故要使方程在无解，
当且仅当，故实数的取值范围为
（Ⅱ）假设存在实数满足题意，则不等式对恒成立.
即对恒成立.
令，则，
令，则，
∵在上单调递增，，，
且的图象在上连续，
∴存在，使得，即，则，
∴ 当时，单调递减；
当时，单调递增，
则取到最小值，
∴ ，即在区间内单调递增.
，
∴存在实数满足题意，且最大整数的值为.
考点：转化与化归思想．导数的综合应用．
【名师点睛】命题“对任意的，都有函数的图象在的图象的下方”等价于不等式“不等式对恒成立”，从而转化为“对恒成立”，最终转化为“求函数的最小值”．容易出错的地方是误认为函数的最大值小于或等于函数的最小值，解题时要注意．
4．(1)，；
(2)详见解析.
【分析】（1）依据题设条件借助导数的几何意义建立方程组，通过解方程组使得问题获解；
（2）先将不等式进行等价转化，再构造函数运用导数的单调性分析推证.
（1）
∵，
∴，且，
又在点处的切线方程为，
∴切点为，
∴
解得：，．
（2）
由（1）可知，，且的定义域为，
令，定义域为
则，
令，显然在为减函数，且，，
∴，使得，即，
当时，，∴，∴为增函数；
当时，，∴，∴为减函数．
∴ ，
又∵，∴，，，
∴，即，
∴．
【点睛】关键点点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，设立了两个问题，旨在考查导数的几何意义及导数在研究函数的单调性、最值（极值）等方面的综合运用．求解第一问时，依据题设条件借助导数的几何意义建立方程组，通过解方程组使得问题获解；求解第二问时，先将不等式进行等价转化，再构造函数，然后运用导数的单调性进行分析推证恒成立．
5．(1)
(2)存在，1
【分析】（1）将函数与无公共点，等价于方程在无解，根据导数求最值即可求解.
（2）将图像位置关系转化为对恒成立,构造函数,利用导数处理单调型即可求解.
（1）
函数与无公共点，
等价于方程在无解，
令，则，令，得，
因为是唯一的极大值点，故
故要使方程在无解，当且仅当，故实数a的取值范围为；
（2）
假设存在实数m满足题意，则不等式对恒成立．
即对恒成立．
令，则，令，则，
∵在上单调递增，，，且的图象在上连续，
∴存在，使得，即，则，
∴当时，单调递减；
当时，单调递增，
则取到最小值，
∴，即在区间内单调递增．
，
∴存在实数m满足题意，且最大整数m的值为1．
＋
0
－
增
极大值
减
x
e
+
0
-
增
极大值
减