高考数学导数冲满分-专题17 单变量不含参不等式证明方法之虚设零点

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【例题选讲】
[例1] 已知函数f(x)＝aex－blnx，曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (1,e)－1))x＋1．
(1)求a，b；
(2)证明：f (x)>0．
[例2] (2015全国Ⅰ改编)设函数f(x)＝e2x－aln x．
(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；
(2)求证：当a＝2时，f(x)≥4．
[例3] 已知函数f(x)＝ax＋lnx，函数g(x)的导函数g′(x)＝ex，且g(0) g′(1)＝e，其中e为自然对数的底数．
(1)求f(x)的极值；
(2)当a＝0时，对于任意的x∈(0，＋∞)，求证：f(x)0，f(x)＋ex>x2＋x＋2．
3．已知函数f(x)＝e－x＋ax(a∈R)．
(1)讨论f(x)的最值；
(2)若a＝0，证明：f(x)>－eq \f(1,2)x2＋eq \f(5,8)．
4．已知f(x)＝(x－1)ex＋eq \f(1,2)ax2．
(1)当a＝e时，求f(x)的极值；
(2)对∀x>1，求证：f(x)≥eq \f(1,2)ax2＋x＋1＋ln(x－1)．
5．已知函数f(x)＝lnx＋eq \f(1,2)ax2＋x＋1．
(1)当a＝－2时，求f(x)的极值点；
(2)当a＝0时，证明：对任意的x>0，不等式xex≥f(x)恒成立．
6．设函数f(x)＝x＋axln x(a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)的极大值点为x＝1，证明：f(x)≤e－x＋x2．