辽宁省盘锦市2023届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)

这是一份辽宁省盘锦市2023届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. (-4)2的平方根是( )
A. ±4B. 4C. ±2D. 2
2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 若一粒米的质量约是0.000021kg，将数据0.000021用科学记数法表示为( )
A. 21×10-4B. 2.1×10-6C. 2.1×10-5D. 2.1×10-4
4. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高(单位：cm)分别是：22，23，24，23，24，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是( )
A. 24，25B. 23，23C. 23，24D. 24，24
5. 在平面直角坐标系中，已知点A(-4,2)，B(-6,-4)，以原点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是( )
A. (-2,1)B. (-8,4)
C. (-8,4)或(8,-4)D. (-2,1)或(2,-1)
6. 一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1=47°，则∠2=( )
A. 40°
B. 43°
C. 45°
D. 47°
7. 意大利著名画家达⋅芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设左边图中空白部分的面积为S1，右边图中空白部分的面积为S2，则下列对S1，S2所列等式不正确的是( )
A. S1=a2+b2+2abB. S2=c2+ab
C. S1=S2D. a2+b2=c2
8. 如图，反比例函数y=kx的图象经过平行四边形ABCD对角线的交点P.知A，C，D，三点在坐标轴上，BD⊥DC，平行四边形ABCD的面积为6，则k的值为( )
A. -6
B. -5
C. -4
D. -3
9. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1.有下列结论：①b2=4ac，②abc>0，③a>c，④4a+c>2b，⑤若m>n>0，则x=m-1时的函数值小于x=n-1时的函数值.其中结论正确的个数为( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
10. 如图，边长分别为1和2的两个正方形，其中有一条边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形的面积为S1，小正方形与大正方形重叠部分的面积为S2，若S=S1-S2，则S随t变化的函数图象大致为( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 使式子2-x x-1有意义的x的取值范围是______ ．
12. 已知4x2+(k-3)xy+9y2是完全平方式，则k= ______ ．
13. 若点P(m+1,m)在第四象限，则点Q(-3,m+2)在第______象限．
14. 北京2022年冬奥会开启“坐着高铁看冬奥”新模式.北京赛区到延庆赛区乘高铁与乘班车通行路程均约60公里，已知高铁的平均速度是班车平均速度的3倍，乘高铁用时比乘班车少40分钟，则从北京赛区到延庆赛区乘高铁序需时间约为多少分钟？设从北京赛区到延庆赛区乘高铁所需时间约为x分钟，列方程为______ ．
15. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，连结OC，DB.如果OC//DB，OC=2 3，那么图中阴影部分的面积是______ ．
16. 在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=12BC，则△ABC的顶角的度数为 ．
17. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC18. 如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=A4A5=A4A5，过点A1，A2，A3，A4，A5分别作x轴的垂线与反比例函数y=2x(x≠0)的图象相交于点P1，P2，P3，P4，P5，得直角三角形OP1A1，A1P2A2，A2P3A3，A3P4A4，A4P5A5并设其面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，则S2022= ______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
先化简：(a2a+1-a+1)÷aa2-1，再从-1，0，1，2中选一个你认为合适的数作为a的值代入求值．
20. (本小题12.0分)
为了贯彻“减负增效”精神，某校掌握2022～2023学年度九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了2022～2023学年度九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间.根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图(图1，图2)，请根据统计图中的信息回答下列问题：
(1)本次调查的学生人数有 人；
(2)图2中α是 度，并将图1补充完整；
(3)请估算该校2022～2023学年度九年级学生自主学习时间不少于1.5小时的有 人；
(4)老师想从学习效果较好的4位同学(分别记为A、B、C、D，其中A为小亮)中随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或画树状图的方法求出选中小亮的概率．
21. (本小题12.0分)
如图1，反比例函数y=mx(m≠0)与一次函数y=kx+b(k≠0)的图象交于点A(1,3)，点B(n,1)，一次函数y=kx+b(k≠0)与y轴相交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)连接OA，OB，求△OAB的面积；
(3)如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接AE，把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．
22. (本小题12.0分)
图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成.图2是某种工作状态下的侧面结构示意图(MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂，EM//QN).已知基座高度MN为1m，主臂MP长为5m，测得主臂伸展角.∠PME=37°．
(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin53°≈45，tan53°≈43)

(1)求点P到地面的高度；
(2)若挖掘机能挖的最远处点Q到点N的距离为7m，求∠QPM的度数．
23. (本小题12.0分)
如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上的一点，以CD为直径的⊙O交BC于E，连接AE交CD于P，交⊙O于F，连接DF，∠BAC=∠DFE．
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若PCAP=23，AF=4，求PC的长．
24. (本小题12.0分)
小黄做小商品的批发生意，其中某款“中国结”每件的成本为15元，该款“中国结”的批发单价y(元)与一次性批发量x(x为正整数)(件)之间满足如图所示的函数关系．
(1)当200≤x≤400时，求y与x的函数关系式．
(2)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”，共支付7280元，求此次批发量．
(3)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”x(200≤x≤600)件，小黄获得的利润为w元，当x为何值时，小黄获得的利润最大？最大利润是多少元？
25. (本小题14.0分)
如图1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠OAB=30°，点C在线段OB上，OC=2BC，AO边上的一点D满足∠OCD=30°.将△OCD绕点O逆时针旋转α度(90°<α<180°)得到△OC'D'，C，D两点的对应点分别为点C'，D'，连接AC'，BD'，取AC'的中点M，连接OM．
(1)如图2，当C'D'//AB时，α=______°，此时OM和BD'之间的位置关系为______；
(2)画图探究线段OM和BD'之间的位置关系和数量关系，并加以证明．
26. (本小题14.0分)
如图，抛物线y=ax2+bx+3经过A(-1,0)、B(3,0)两点，交y轴于C，对称轴与抛物线相交于点P、与BC相交于点E，与x轴交于点H，连接PB．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在一点Q，使△QPB与△EPB的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
(3)抛物线上存在一点G，使∠GBA+∠PBE=45°，请求出点G的坐标．
答案和解析
1.答案：C
解析：解： (-4)2= 16=4，
4的平方根是±2，
故选：C．
根据平方根的定义，即可解答．
本题考查了平方根，解决本题的关键是熟记平方根．
2.答案：B
解析：解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
观察四个选项中的图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，仔细观察图形根据定义正确判断是解答本题的关键．
3.答案：C
解析：解：0.000021=2.1×10-5，
故选：C．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种表示数的方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题考查科学记数法表示较小的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4.答案：C
解析：解：将这组数据从小到大重新排列为22，23，23，23，24，24，25，25，26，
∴这组数据的众数为23cm，中位数为24cm，
故选：C．
将这组数据从小到大重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
5.答案：D
解析：解：∵点A(-4,2)，B(-6,-4)，以原点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，
∴点A的对应点A'的坐标是：(-2,1)或(2,-1)．
故选：D．
根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，即可求得答案．
此题考查了位似图形与坐标的关系．此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于±k．
6.答案：B
解析：
解：如图，∵∠1=47°，∠4=45°，
∴∠3=180°-(180°-∠1-∠4)=92°，
∵直尺对边平行，
∴∠5=∠3=92°，
∵∠6=45°，
∴∠2=180°-45°-92°=43°．
故选：B．
7.答案：A
解析：解：由勾股定理得：a2+b2=c2，
由题意得：S1=a2+b2+2×12ab=c2+ab，
S2=C2+2×12ab=c2+ab，
所以S1=S2
故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意，
故选：A．
根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题．
本题考查勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
8.答案：D
解析：解：如图所示，过点P作PE⊥y轴于点E，

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，
又∵BD⊥x轴，
∴ABDO为矩形，
∴AB=DO，
∴S矩形ABDO=S▱ABCD=6，
∵P为对角线交点，PE⊥y轴，
∴四边形PDOE为矩形面积为3，
即DO⋅EO=3，
∴设P点坐标为(x,y)，
k=xy=-3，
故选：D．
将平行四边形面积转化为矩形BDOA面积，再得到矩形PDOE面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可．
本题考查了反比例函数k的几何意义以及平行四边形的性质，理解等底等高的平行四边形与矩形面积相等是解题的关键．
9.答案：C
解析：解：①∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ=b2-4ac>0，
∴b2>4ac
所以①错误；
②∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴a、b同号，
∴b>0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c>0，
∴abc>0，
所以②正确；
③∵x=-1时，y<0，
即a-b+c<0，
∵对称轴为直线x=-1，
∴-b2a=-1，
∴b=2a，
∴a-2a+c<0，即a>c，
所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴x=-2和x=0时的函数值相等，即x=-2时，y>0，
∴4a-2b+c>0，
∴4a+c>2b，
所以④正确．
⑤∵m>n>0，
∴m-1>n-1>-1，
由x>-1时，y随x的增大而增大知x=m-1时的函数值大于x=n-1时的函数值，
所以⑤错误；
故选：C．
①利用抛物线与x轴有2个交点和判别式的意义对①进行判断；
②由抛物线开口方向得到a>0，由抛物线对称轴位置确定b>0，由抛物线与y轴交点位置得到c>0，则可作判断；
③利用x=-1时a-b+c<0，然后把b=2a代入可判断；
④利用抛物线的对称性得到x=-2和x=0时的函数值相等，即x=-2时，y>0，则可进行判断；
⑤根据m>n>0，得出m-1和n-1的大小及其与-1的关系，利用二次函数的性质即可判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质及点的坐标特征．
10.答案：A
解析：解：随着t的增加，s由大变小，所以排除B；由于边长不同，不能是0，且恒定，然后再逐渐变大，所以排除D；由于t是匀速，所以就对称，所以可以排除C；所以只剩下选项A．
故选：A．
随着t的增加，s由大变小，由于边长不同，不能是0，且恒定，然后再逐渐变大，由于是匀速，所以就对称，即可求出答案．
主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的变化趋势，结合实际情况采用排除法求解．
11.答案：x>1
解析：解：∵式子2-x x-1有意义，
∴x-1>0，
解得x>1．
故答案为：x>1．
根据二次根式有意义和分式有意义的条件列不等式，再解答即可．
本题主要考查了二次根式有意义和分式有意义的条件，根据条件列出关于x的不等式是解答本题的关键．
12.答案：15或-9
解析：解：∵4x2+(k-3)xy+9y2=(2x)2±2⋅2x⋅3y+(3y)2是完全平方式，
∴k-3=±12，
∴k=15或-9．
故答案为：15或-9．
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13.答案：二
解析：解：∵点P(m+1,m)在第四象限，
∴m+1>0m<0，
∴-1∴1∴点Q(-3,m+2)在第二象限，
故答案为：二．
根据点P(m+1,m)在第四象限，求出m的取值范围，得到1本题考查了点的坐标，根据点P(m+1,m)在第四象限，求出m的取值范围是解题的关键．
14.答案：60x=60x+40×3
解析：解：设从北京赛区到延庆赛区乘高铁所需时间约为x分钟，
由题意得：60x=60x+40×3，
故答案为：60x=60x+40×3．
设从北京赛区到延庆赛区乘高铁所需时间约为x分钟，由题意：北京赛区到延庆赛区乘高铁与乘班车通行路程均约60公里，高铁的平均速度是班车平均速度的3倍，乘高铁用时比乘班车少40分钟，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
15.答案：2π
解析：解：连接OD，BC，
∵CD⊥AB，OC=OD，
∴DM=CM，∠COB=∠BOD，
∵OC//BD，
∴∠COB=∠OBD，
∴∠BOD=∠OBD，
∴OD=DB，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∴∠BOC=60°，
∵DM=CM，
∴S△OBC=S△OBD，
∵OC//DB，
∴S△OBD=S△CBD，
∴S△OBC=S△DBC，
∴图中阴影部分的面积=扇形COB的面积=60π×(2 3)2360=2π．
故答案为：2π．
连接OD，BC，根据垂径定理和等腰三角形的性质得到DM=CM，∠COB=∠BOD，推出△BOD是等边三角形，得到∠BOC=60°，根据扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，圆周角定理，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．
16.答案：30°或150°或90°
解析：
解：①BC为腰，
∵AD⊥BC于点D，AD=12BC，AC=BC，
在Rt△ADC中，AD=12AC，
∴∠ACD=30°，
如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，
如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°-30°=150°，
②BC为底，如图3，
∵AD⊥BC于点D，AD=12BC，
∴AD=BD=CD，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，
∴∠BAD+∠CAD=12×180°=90°，
∴顶角∠BAC=90°，
综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．
故答案为30°或150°或90°．
17.答案：6
解析：
解：由基本作图方法得出：DE垂直平分AB，
则AF=BF，
可得AF=AH，AC⊥FH，
∴FC=CH，
∴AF+FC=BF+FC=BC=3，
∴△AFH的周长为：AF+FC+CH+AH=2BC=6．
故答案为：6．
18.答案：12022
解析：解：设OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5=m，
则P1(m,2m)，P2(2m,22m)，P3(3m,23m)，P4(4m,24m)，P5(5m,25m)，
∴P1A1=2m，P2A2=22m，P3A3=23m，P4A4=24m，P5A5=25m，
∴S1=12×m⋅2m=1，
S2=12×m⋅22m=12，
S3=12×m⋅23m=13，
S4=12×m⋅24m=14，
S5=12×m⋅25m=15，
由此可得S2022=12×m⋅22022m=12022，
故答案为：12022．
设OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5=m，利用反比例的解析式和反比例函数图象上点的坐标的特征求得点P1，P2，P3，P4，P5的坐标(用含m的代数式表示)，进而得到每个小直角三角形的高，依据每个小直角三角形的底均为m，利用三角形的面积公式即可求得S1，S2，S3，S4，S5的值，依此规律即可得出结论．
本题主要考查了反比例函数的系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用线段的长度得到相应点的坐标和利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
19.答案：解：(a2a+1-a+1)÷aa2-1
=a2-(a-1)(a+1)a+1⋅(a+1)(a-1)a
=a2-a2+1a+1⋅(a+1)(a-1)a
=1a+1⋅(a+1)(a-1)a
=a-1a，
∵当a=-1，0，1时原分式无意义，
∴a=2，
当a=2时，原式=2-12=12．
解析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把合适的a的值代入进行计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
20.答案：40 54 330
解析：解：(1)∵自主学习的时间是1小时的有12人，占30%，
∴12÷30%=40(人)，
故答案为：40；
(2)640×360°=54°，
40×35%=14(人)；
补充图形如图：

故答案为：54；
(3)600×14+840=330(人)，
故答案为：330；
(4)画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，选中小亮A的有6种，
∴P(A)=612=12．
(1)由自主学习的时间是1小时的有12人，占30%，即可求得本次调查的学生人数；
(2)由640×360°=54°，40×35%=14；即可求得答案；
(3)首先求得这40名学生自主学习时间不少于1.5小时的百分比，然后可求得该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时的人数；
(4)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中小亮A的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查了用列表法或画树状图法求概率与扇形统计图、条形统计图的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
21.答案：解：(1)∵点A(1,3)，点B(n,1)在反比例函数y=mx(m≠0)上，
∴m=1×3=n×1，
∴m=3，n=3，
∴反比例函数为y=3x，点B(3,1)，
把A、B的坐标代入y=kx+b得k+b=33k+b=1，
解得k=-1b=4，
∴一次函数为：y=-x+4；
(2)令x=0，则y=-x+4=4，
∴C(0,4)，
∴S△AOB=S△BOC-S△AOC=12×4×(3-1)=4；
(3)如图2，过A点作x轴的平行线CD，作FC⊥CD于C，ED⊥CD于D，
设E(a,3a)(a>1)，
∵A(1,3)，
∴AD=a-1，DE=3-3a，
∵把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点为F，恰好也落在这个反比例函数的图象上，
∴∠EAF=90°，AE=AF，
∴∠EAD+∠CAF=90°，
∵∠EAD+∠AED=90°，
∴∠CAF=∠AED，
在△ACF和△EDA中，
∠CAF=∠AED∠ACF=∠EDA=90°AF=EA，
∴△ACF≌△EDA(AAS)，
∴CF=AD=a-1，AC=DE=3-3a，
∴F(3a-2,4-a)，
∵F恰好也落在这个反比例函数的图象上，
∴(3a-2)(4-a)=3，
解得a=6或a=1(舍去)，
∴E(6,12).
解析：(1)用待定系数法即可求解；
(2)求得点C的坐标，然后根据S△AOB=S△BOC-S△AOC求得即可；
(3)过A点作x轴的平行线CD，作FC⊥CD于C，ED⊥CD于D，设E(a,3a)(a>1)，通过证得△ACF≌△EDA(AAS)，得到F(3a-2,4-a)，代入y=3x，即可求得a的值，从而求得点E的坐标．
本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形结合解决此类问题，是非常有效的方法．
22.答案：解：(1)过点P作PG⊥QN，垂足为G，延长ME交PG于点F，

由题意得：MF⊥PG，MF=GN，FG=MN=1m，
在Rt△PFM中，∠PMF=37°，PM=5m，
∴PF=PM⋅sin37°≈5×35=3(m)，
∴PG=PF+FG=3+1=4(m)，
∴点P到地面的高度约为4m；
(2)由题意得：QN=7m，
在Rt△△PFM中，∠PMF=37°，PF=3m，
∴∠MPF=90°-∠PMF=53°，FM=PFtan37∘≈334=4(m)，
∴FM=GN=4m，
∴QG=QN-GN=7-4=3(m)，
在Rt△PQG中，tan∠QPG=QGPG=34，
∴∠QPG≈37°，
∴∠QPM=∠QPG+∠MPG=90°，
∴∠QPM的度数约为90°．
解析：(1)过点P作PG⊥QN，垂足为G，延长ME交PG于点F，根据题意可得：MF⊥PG，MF=GN，FG=MN=1m，然后在Rt△PFM中，利用锐角三角函数的定义求出PF的长，从而利用线段的和差关系，进行计算即可解答；
(2)由题意得：QN=7m，在Rt△△PFM中，利用锐角三角函数的定义求出FM的长，再利用直角三角形的两个锐角互余可求出∠MPF=53°，然后利用线段的和差关系求出QG=3m，从而在Rt△PQG中，利用锐角三角函数的定义可求出tan∠QPG的值，进而求出∠QPG的度数，最后利用角的和差关系，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.答案：(1)证明：∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°，
∵∠DFE=∠DCB，∠BAC=∠DFE，
∴∠DCB=∠BAC，
∴∠DCB+∠B=90°，
∴∠CDB=180°-(∠DCB+∠B)=90°，
∵CD是⊙O的直径，
∴AB是⊙O的切线；
(2)解：连接DE，

∵CD是⊙O的直径，
∴∠CED=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠DEC=90°，
∴AC//DE，
∴∠EAC=∠AED，∠ACP=∠EDP，
∴△ACP∽△EDP，
∴PCAP=PDPE=23，
∵∠DFE=∠DCB，∠DPF=∠EPC，
∴△DPF∽△EPC，
∴PDPE=PFPC=23，
∴AP-AFPC=23，
∴AP-4PC=23，
∴APPC-4PC=23，
32-4PC=23，
∴PC=245，
∴PC的长为245．
解析：(1)根据直角三角形的两个锐角互余可得∠BAC+∠B=90°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠DFE=∠DCB，从而可得∠DCB=∠BAC，进而可得∠DCB+∠B=90°，然后利用三角形内角和定理求出∠CDB=90°，即可解答；
(2)连接DE，根据直径所对的圆周角是直角可得∠CED=90°，从而可得∠ACB+∠DEC=90°，进而可得AC//DE，再利用平行线的性质可得∠EAC=∠AED，∠ACP=∠EDP，从而可得△ACP∽△EDP，然后利用相似三角形的性质可得PCAP=PDPE=23，再证明8字模型相似三角形△DPF∽△EPC，从而利用相似三角形的性质可得PDPE=PFPC=23，进而可得AP-AFPC=23，最后进行计算即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24.答案：解：(1)设当200≤x≤400时y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
把(200,30)和(400,20)代入解析式得：200k+b=30400k+b=20，
解得k=-120b=40，
∴当200≤x≤400时y与x的函数关系式为y=-120x+40；
(2)由图可知，当x=200时，所付款为30×200=6000(元)，
当x=400时，所付款为20×400=8000(元)，
∵6000<7280<8000，
∴购买数量位于200与400之间，
∴(-120x+40)x=7280，
解得x1=280，x2=520(舍去)，
答：此次批发量为280件；
(3)当200≤x≤400时，
w=(-120x+40-15)x=-120x2+25x=-120(x-250)2+3125，
∵-120<0，
∴当x=250时，w有最大值，最大值为3125；
当400∴当x=600时，利润最大，最大值为600×(20-15)=3000(元)，
∵3000<3125，
∴当x=250时，小黄获得的利润最大，最大利润是3125元．
解析：(1)由待定系数法即可求解；
(2)首先判断出购买的数量大于200小于400，则由数量×单价=付款项，列出关于x的一元二次方程，解方程即可；
(3)分200≤x≤400和400本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解一元二次方程，二次函数的应用等知识，正确理解题意，准确列出方程或函数关系是接替关键．
25.答案：(1)150 垂直 ;
(2)OM⊥BD'，OM= 32BD'，
证明：取AO的中点E，连接ME，延长MO交BD'于N，
∵AC'的中点M，
∴EM//OC'，EM=12OC'，
∴∠OEM+∠AOC'=180°，∵∠AOB=∠C'OD'=90°，
∴∠BOD'+'AOC'=180°，
∴∠OEM=∠BOD'，
∵∠OAB=∠OC'D'=30°，
∴EOEM=12AO12OC'=AOOC'= 3OB 3OD'=OBOD'，
∴EOOB=EMOD'，
∴△EOM∽△OBD'，
∴∠AOM=∠2，OMBD'=EOOB=AO2OB= 32，
即OM= 32BD'，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOM+∠3=180°-∠AOB=90°，∴∠2+∠3=90°，
∴OM⊥BD'．
解析：解：(1)∵C'D'//AB，
∴∠ABD'+∠C'D'B=180°，
∵∠ABO=∠C'D'O=60°，
∴∠OBD'+∠BD'O=60°，
∴∠BOD'=120°，
∴∠BOC'=360°-90°-90°-120°=150°，
∴α=150°，此时，OM⊥BD'；
故答案为：150，垂直；
(2)见答案．
(1)根据平行线的性质得到∠ABD'+∠C'D'B=180°，
根据周角的定义即可得到结论；
(2)取AO的中点E，连接ME，延长MO交BD'于N，根据三角形的中位线的性质得到EM//OC'，EM=12OC'，根据相似三角形的性质得到∠AOM=∠2，OMBD'=EOOB=AO2OB= 32，根据垂直的定义即可得到结论．
本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
26.答案：解：(1)把A(-1,0)，B(3,0)两点代入抛物线解析式得：
a-b+3=09a+3b+3=0，
解得：a=-1b=2，
∴该抛物线的解析式为y=-x2+2x+3①；
(2)存在，理由：
由y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，
则顶点P(1,4)，对称轴为直线x=1，
∴H(1,0)，
∴PH=4，BH=2，
∵B(3,0)，C(0,3)，
∴直线BC解析式为y=-x+3，
∴点E(1,2)，
如图，过点E作EQ//PB，交抛物线于Q，此时△QPB与△PEB的面积相等，

由点P、B的坐标得，直线PB的表达式为：y=-2(x-3)，
则直线QE的表达式为：y=-2(x-1)+2②，
联立①②并整理得：x2-4x+1=0，
解得：x=2± 3，
则点Q的坐标为(2- 3,2 3)或(2+ 3,-2 3)；
对于直线QE，设QE交x轴于点R，
令y=-2(x-1)+2=0，
解得：x=2，即点R(2,0)，
则BR=3-2=1，
取点R'使BR=BR'，过点R'作PB的平行线l，如图，则点R'(4,0)，
则直线l的表达式为：y=-2(x-4)，
联立y=-x2+2x+3和y=-2(x-4)得：x2-4x+5=0，
则Δ=16-20<0，无解，
故在点B的右侧不存在点Q，
综上，点Q的坐标为(2- 3,2 3)或(2+ 3,-2 3)；
(3)∵B(3,0)，C(0,3)，
∴OB=OC，
∴∠CBO=45°，
若点G在直线AB的上方时，

∵PH⊥AB，∠CBO=45°，
∴∠HEB=45°，
∴∠PBE+∠BPE=45°，
∵∠GBA+∠PBE=45°，
∴∠BPE=∠GBA，
∴tan∠BPH=tan∠GBA=BHPH=OFOB，
即24=OF3，
∴OF=32，
∴点F(0,32)，
∴直线BF解析式为：y=-12x+32③，
联立①③得：-x2+2x+3=-12x+32，
解得：x=3y=0或x=-12y=74，
∴点G的坐标为(-12,74)；
若点G在直线AB的下方时，
由对称性可得：点F'(0,-32)，
∴直线BF解析式为：y=12x-32④，
联立①④得：-x2+2x+3=12x-32，
解得：x=-32y=-94或x=3y=0，
∴点G'的坐标为(-32,-94)，
综上所述：点G的坐标为：(-32,-94)或(-12,74).
解析：(1)把A、B两点坐标代入函数式，列式求得a，b的值，即求出解析式；
(2)由等底等高的两个三角形的面积相等，可求点Q的坐标；
(3)分两种情况讨论，由锐角三角函数可求OF的长，可求点F坐标，可得BF解析式，联立方程组可求点G坐标．