【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题06 不等式 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）原卷及解析版

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一、单选题
1．（2020·北京·高三强基计划）若正实数x，y，z，w满足和，则的最小值等于（ ）
A．B．C．1D．前三个答案都不对
【答案】D
【分析】利用基本不等式可求最小值，从而可得正确的选项.
【详解】根据题意，有，
等号当时取得，因此所求最小值为．
故选：D.
2．（2021·北京·高三强基计划）已知，且，则的最小值是（ ）
A．B．
C．417D．以上答案都不对
【答案】A
【分析】根据题设条件可设，利用柯西不等式可求最小值.
【详解】由可得，
由对称性可设，则条件即即，
从而，
根据柯西不等式
，
等号当时取得．因此所求最小值为．
故选：A.
3．（2021·北京·高三强基计划）若a，b，c为非负实数，且，则的最小值为（ ）
A．3B．5C．7D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】利用非负性可求最小值.
【详解】根据题意，
有，
等号当时可以取得，因此所求最小值为5．
故选：B.
二、填空题
4．（2021·北京·高三强基计划）在锐角中，的最小值是_________．
【答案】
【分析】利用柯西不等式及三角形的恒等式可取最小值.
【详解】记题中代数式为M，我们熟知三角形中的三角恒等式：，
于是
，
等号当时取得，因此所求最小值为
故答案为：
5．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数满足，则的最小值为________．
【答案】##0.5
【详解】由柯西不等式知
，
且，所以，
且当时取到等号．
故答案为：.
6．（2022·浙江·高二竞赛）设a，b，c，，，则的最小值为______.
【答案】
【详解】由题意可得，且，
则，
原问题等价于求函数的最小值.
，
，
，
，
令，则，
由可得，
则单调递增，
，
则单调递增，，
此时，.
故答案为：.
7．（2021·全国·高三竞赛）设正实数满足，则最大值为_________．
【答案】
【详解】解析：最大值为．
记，则，故，即，对,
求和，并结合算术-几何平均不等式，
有，
故，等号当时取到．
所以原式的最大值为．
故答案为：.
8．（2021秋·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）设，则当_______时，取到最大值．
【答案】##2.5
【分析】巧妙利用换元得到，
将取对数运算得到，将所求问题转化为求的最大值问题，
由使用两次基本不等式可求出的最大值，考查等号取得条件即可.
【详解】设，则，设 ，则，
可知，.
，(当且仅当，即时取等号.)
所以，故有最大值，
所以就有最大值，即有最大值.
故答案为: .
【点睛】使用基本不等式求最值关键是要有定值才能求最值，没有明显的定值要进行变形拼凑.在此题中拼凑的定值有:①及，为求最大值做准备;② 通过提取公因式实现因式分解拼凑乘积， ，产生了与上面遥相呼应，可以使用基本不等式.
三、解答题
9．（2023·全国·高三专题练习）设，满足又设满足，证明：
【答案】证明见解析.
【分析】根据给定条件，利用多项式平方运算求出，再利用赋值法结合已知及进行不等式的放缩，推理判断作答.
【详解】，于是，
，
因为，则，
所以.
10．（2023·全国·高三专题练习）设，是两个实系数非零多项式，且存在实数使得记，证明：
【答案】证明见解析.
【分析】根据给定条件，利用多项式恒等定理求出多项式的对应项系数的关系，再按和讨论，并结合含绝对值不等式的性质推理作答.
【详解】因为，即，
则有，
于是，
若，则，
，
，
所以，于是，
若，则由，
得，
于是
，
于是，
，
所以，于是，
综上得：.
11．（2021·全国·高三竞赛）已知：a，b，，求证：.
【答案】证明见解析
【详解】，
因为a，b，，所以.
于是，
同理，.
则：
.
故题中的不等式成立.
12．（2021·全国·高三竞赛）求所有的正实数，使得存在实数满足．
【答案】
【详解】设，则不等式化为．
当时，；
当时，；当时，．
因此不等式可化为．
设，考虑在1和之间恒小于零，则，
故，
解得．所以的取值范围是．
13．（2022·新疆·高二竞赛）（1）若实数x，y，z满足，证明：；
（2）若2023个实数满足，求的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）不妨设，
则
.
（2）因为2023为奇数，则中必存在（令）同号，
不妨设同号，则：
．
不妨设，则，所以：
．
当且仅当
或时等号成立．
因此的最大值为．
14．（2021·全国·高三竞赛）设m为正整数，且，求所有的实数组，使得，对所有成立．
【答案】证明见解析.
【分析】第一步化简原式，第二步利用不等式即可得到或，这两种情况是对称的，不妨证明的时候成立，所以原式成立.
【详解】由已知 ，得 ，故全相等．
注意到若实数满足，则，即．因此，．
设中有，个b，则有，且
，
即．
由不等式，若，
，
因此必取等，即或，这两种情况是对称的，不妨，则
，
知，则．
若，则，即．
若，则，即．
综上可知，要么1个个；要么全是．
15．（2021·全国·高三竞赛）求最大的正实数，使得对任意正整数n及正实数，均有．
【答案】的最大值为3．
【分析】先取，通过对其求和可得的范围，再利用放缩法可得，最后求出最大的正实数的值.
【详解】一方面，取，得
即
．
令，得．
另一方面对正实数x，y有，故
，
，
，
……
．
以上各式相加，得
．
故时，原不等式恒成立．综上，的最大值为3．
16．（2021·全国·高三竞赛）已知证明：存在，使得.
【答案】证明见解析
【详解】不妨，设，
当时，因为，
即，当且仅当时，等号成立.
故，所以存在，使得，即.
所以存在，使得.
17．（2021·全国·高三专题练习）已知：，，.求证：.
【答案】证明见解析.
【分析】构造一个直角三角形，使其两直角边长分别为和，而斜边之长则为（如图所示），证明不等式成立；再证明,即得证.
【详解】证明：为了使得条件与待证式的中间部分在形式上接近一些，我们将该条件作如下变形：
，进而有.①
我们来构造这样一个直角三角形，使其两直角边长分别为和，而斜边之长则为（如图所示）.显然，这个直角三角形的三边长之间的关系是符合①的，从而满足条件.
由图所示，根据定理“三角形任意两边之和大于第三边”，而有不等式成立.
至于这个双联不等式的右边部分，也可由图，并根据直角三角形的边角关系知，.
于是有
所证不等式成立.
18．（2021·全国·高三专题练习）已知a，b为正数，且，证明.
【答案】证明见解析
【分析】如图所示，可先构造，再构造，最后，作，由图形直观得，即得证.
【详解】证明：由于.
可先构造，使得，，如图所示.
此时，.
再以为斜边，为直角边构造，则
.
最后，作，
过点D作交于点E，由得，
由图形直观得，
即.
19．（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）设皆为正数，且满足，证明：
【答案】证明见解析
【详解】证法一：由AM-GM不等式有：
，
即.
证法二：
不妨设,则.
从而原题转化为:
已知,求证.
令,则.
不失一般性,我们设,则：
(1)若,由Jesen不等式有：
.
(2)若.
容易得到取得最小值当且仅当.
20．（2023·全国·高三专题练习）实数和正数使得有三个实数根．且满足：（1）；（2），求的最大值.
【答案】
【分析】解法一：设，，，利用韦达定理可化简所求式子为，结合基本不等式可求得最大值，验证取等条件即可确定结果；
解法二：由可令，，由此可化简所求式子为，令，，利用导数可求得，即为所求式子的最大值.
【详解】解法一：由题意可设：，，
，可令，
由韦达定理得：，
则，，
则要取得最大值，则，
（当且仅当，即时取等号），
又满足，
取，，则，此时，，，，，时，，
的最大值为.
解法二：，
又，
，
令，，
，
；
令，则，
令，则，令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
；
当，时，即，，，，，时，，
的最大值为.
21．（2021·全国·高三竞赛）设，记：，其中求和是对1，2，…，n的所有个k元组合进行的，求证：．
【答案】证明见解析
【详解】任取，由柯西不等式，有：
．
所以．
其中求和对1，2，…，n的所有个元组合进行．
上式左边实际上是一些k元组合的求和，因对任意k元组合，选这k个数的元组合有个（余下的个数中任意一个数都与其构成一个元组合），
故．
这样便有，
所以．
再注意到，即得：
．
这就证明了，其中．
即有．
22．（2021·全国·高三竞赛）已知，且满足，求的最大值.
【答案】当为偶数时，最大值为，当n为奇数时，最大值为.
【详解】当且仅当时等号成立.
（1）当为偶数时，最大时，显然需满足，否则用替换依然满足条件，且值增大.
设，所以.
当且仅当（为奇数，为偶数或为偶数，为奇数）时等号成立.
（2）当为奇数时，必存在同号，不妨设同号，则：
.
不妨设，则，所以：
.
当且仅当或时等号成立.
23．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数满足．证明：．
【答案】证明见解析.
【详解】当时，由平均值不等式知．
又，则，所以
．
当时，即证．
由于，所以
，
所以．
命题得证．
24．（2021·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考竞赛）数列定义为，．证明，存在正整数，使得．
【答案】证明见解析
【详解】由题意．对，我们有：
；．
两式相减，得：，
即．
对有．取，则
，
从而满足要求．
25．（2021·全国·高三竞赛）给定正整数．求最大的实数．使得对任意正实数恒成立，其中．
【答案】
【详解】当时，令，则
．
当时，．
令，则问题化为：，证明：．
当时，首先证明：
． ①
①式，由均值不等式知成立．
由①式知
．
假设时，对任意正实数结论成立．
则时，由对称性不妨设中最大，则，
所以，由归纳假设知，此时结论成立．
由数学归纳法知，．故．
当时，．
由于，令，则，所以．
综上所述，
26．（2019·河南·高二校联考竞赛）锐角三角形ABC中，求证：.
【答案】证明见解析
【详解】原不等式等价于.
在三角形ABC中，，
.
令，则原不等式等价于.
而上式左边，故原不等式得证
27．（2022·贵州·高二统考竞赛）正数，满足，求证：．
【答案】证明见解析
【详解】
（柯西不等式），
由均值不等式可得，
令，，其中，
则，所以．
所以．
28．（2022·江苏南京·高三强基计划）已知整数，证明：.
【答案】证明见解析
【详解】解同除：，
设，原题即证：，
而，
所以，
即，，
又
，
所以，
即，，
综上可得：时，，即.
29．（2022·浙江杭州·高三学军中学校考竞赛）设实数满足，求的最小值.
【答案】答案见解析
【分析】由特例可得当为偶数时，的最小值为0，当为奇数时，问题可转化为“给定正奇数，设满足，,则恒成立.”，利用逐步调整法可证后者.
【详解】当为偶数时，取，故的最小值为0；
当为奇数时，也可只取，其余为0，此时，
下证当为奇数时，恒成立.（利用换元可以得到更直观的形式如问题2）.
问题2：给定正奇数，设满足，,则恒成立.
证明：注意到若同号，即有，
因为为正奇数，则必定存在一组同号，否则若均异号，则的符号必定相异.
若还存在其他组，则可得成立，
若无其他组同号，不妨，可设，（若等于0的可以进行小范围微调，只要不影响绝对值内数值的符号即可）.
因为无其他组同号，故，
此时同号.记，则且对，
设，下面将在条件下进行调整.
①若存在.令
则
②若存在.令
则
由上述讨论知，经过有限次调整可得：对，除至多一个（设为外，其余.因此就有，
不妨设，则，故，原不等式得证.
至此我们完成了问题2在奇数情况下的解答，即所求.
综上，当为偶数时，的最小值为0；当为奇数时，的最小值为2.
30．（2021·浙江·高二竞赛）设，，，，
证明.
【答案】证明见解析.
【详解】等价于已知，，，，证：，
由三元均值不等式有，
由柯西不等式有，
所以有，
则可知，
由柯西不等式有，
则有.
，∴，
又∵，
所以,
所以原不等式成立.