福建省福州市鼓楼区格致中学2023-2024学年九年级下学期数学3月月考模拟试卷

这是一份福建省福州市鼓楼区格致中学2023-2024学年九年级下学期数学3月月考模拟试卷，共17页。

A．三视图都相同B．俯视图与左视图相同
C．主视图与俯视图相同D．主视图与左视图相同
2．（4分）实数﹣的倒数是（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
3．（4分）下列说法错误的是（ ）
A．掷一枚硬币，正面朝上这一事件是随机事件
B．天气预报说明天的降水概率是80%，则明天一定会下雨
C．在单词mathematics（数学）中任意选择一个字母“a”的概率为
D．任意画一个五边形，其内角和是540°这一事件是必然事件
4．（4分）今年是共建“一带一路”倡议提出10周年，也是构建人类命运共同体理念提出10周年．2013年到2022年，中国与“一带一路”共建国家的累计双向投资超过3800亿美元．3800亿用科学记数法表示为（ ）
A．38×1010B．3.8×1011C．0.38×1012D．3.8×1012
5．（4分）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有凫起南海，七日至北海．雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起．问：何日相逢？其大意为：野鸭从南海飞到北海用7天，大雁从北海飞到南海用9天．它们从两地同时起飞，几天后相遇？设x天后相遇，根据题意所列方程正确的是（ ）
A．7x+9x＝1B．C．9x﹣7x＝1D．
6．（4分）高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝8米，净高CD＝8米，则此圆的半径OA＝（ ）
A．5米B．米C．6米D．米
7．（4分）小明向各种空水壶内匀速注水，壶内水的深度h（单位：cm）与注水时间t（单位：s）的函数关系如图所示，选项中是各种水壶的平面图，则小明使用的水壶是（ ）
A．B．
C．D．
8．（4分）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度BC．如图，无人机在P处测得正前方河流的点B处的俯角∠DPB＝α，点C处的俯角∠DPC＝45°，点A，B，C在同一条水平直线上．若AP＝45m，tanα＝3，则河流的宽度BC为（ ）
A．30mB．25mC．20mD．15m
9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴，y轴分别交于点A、B，点C坐标为（0，3），连接AC，以AC为边，∠ACD为直角，在AC右侧作等腰直角三角形ACD，则点D的坐标为（ ）
A．（3，﹣1）B．（2，﹣1）C．（3，﹣2）D．（2，﹣）
10．（4分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，AB的延长线交直线CD于点E，连接AC，BC．若∠ACD＝60°，AC＝3，则BE的长度是（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）在y＝中，x的取值范围为 ．
12．（4分）一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0的两根分别为x1，x2，则x12+x22的值为 ．
13．（4分）已知二次函数y＝3（x﹣a）2的图象上，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 ．
14．（4分）在一个不透明的袋子中，有若干个红球和白球，它们除颜色外完全相同，其中红球有12个，且从中摸出白球的概率为，则袋子中白球的个数为 ．
15．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝．以A为圆心，AD为半径作弧交BC于点E，则图中阴影部分的面积为 ．
16．（4分）已知过点B（3，﹣1）的抛物线y＝x2﹣x+c与坐标轴交于点A、C如图所示，连结AC，BC，AB，第一象限内有一动点M在抛物线上运动，过点M作AM⊥MP交y轴于点P，当点P在点A上方，且△AMP与△ABC相似时，点M的坐标为 ．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）．
18．（8分）如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：AQ＝2PQ．
19．（8分）解分式方程：．
20．（8分）先化简再求值：，其中x＝3．
21．（8分）2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，杭州某高校大学生积极参与志愿者活动，亚奥组委分给这个高校志愿者类型有：展示、联络、安保和运行，学生会根据名额分配情况绘制了如下不完整的两种统计图：根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）该校参加志愿者活动的大学生共有 人，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，安保对应的圆心角为 度；
（3）现有甲、乙、丙、丁4名展示志愿者，亚奥组委决定在这4名展示志愿者中任选2人参加亚运会开幕式，请用列表法或树状图，求甲和乙同时被选中参加开幕式的概率．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：作⊙O，使得圆心O在边AB上，⊙O过点B且与边AC相切于点D（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若∠ABC＝60°，AB＝4，求⊙O与△ABC重叠部分的面积．
23．（10分）综合与实践
某校数学小组的同学把“用数学的眼光观察校园”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了活动报告．请根据该活动报告完成后面的任务．
任务：
（1）请以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，并求出抛物线的表达式．
（2）若相邻某两根栏杆涂色部分的高度差为0.02米，求这相邻的两根栏杆分别是左起第几根？
24．（12分）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）如图1，点P为直线BC下方抛物线上一点，PD⊥BC于点D，求PD的最大值；
（3）如图2，M、N是抛物线上异于B，C的两个动点，若直线BN与直线CM的交点始终在直线y＝2x﹣9上，求证：直线MN必经过一个定点，并求该定点坐标．
25．（14分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．点D为AC的中点，点E为折线A﹣B﹣C上一动点，连接DE，以DE为边作正方形DEFG（点F为点D绕点E顺时针旋转90°得到），直线FG与直线BC，AC的交点分别为M，N．
（1）当点E在线段AB上时，
①若AE＝ED，求此时AE的长；
②若直线FG过点C，求此时正方形DEFG的面积；
（2）是否存在点E，使得△CMN是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长，若不存在，请说明理由．
福建省福州市鼓楼区格致中学2023-2024学年九年级下学期数学3月月考模拟试卷（答案）
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）如图，这是由4个完全相同的正方体搭成的几何体．关于这个几何体的三视图，下列说法中正确的是（ ）
A．三视图都相同B．俯视图与左视图相同
C．主视图与俯视图相同D．主视图与左视图相同
【答案】D
2．（4分）实数﹣的倒数是（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
【答案】A
3．（4分）下列说法错误的是（ ）
A．掷一枚硬币，正面朝上这一事件是随机事件
B．天气预报说明天的降水概率是80%，则明天一定会下雨
C．在单词mathematics（数学）中任意选择一个字母“a”的概率为
D．任意画一个五边形，其内角和是540°这一事件是必然事件
【答案】B
4．（4分）今年是共建“一带一路”倡议提出10周年，也是构建人类命运共同体理念提出10周年．2013年到2022年，中国与“一带一路”共建国家的累计双向投资超过3800亿美元．3800亿用科学记数法表示为（ ）
A．38×1010B．3.8×1011C．0.38×1012D．3.8×1012
【答案】B
5．（4分）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有凫起南海，七日至北海．雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起．问：何日相逢？其大意为：野鸭从南海飞到北海用7天，大雁从北海飞到南海用9天．它们从两地同时起飞，几天后相遇？设x天后相遇，根据题意所列方程正确的是（ ）
A．7x+9x＝1B．C．9x﹣7x＝1D．
【答案】B
6．（4分）高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝8米，净高CD＝8米，则此圆的半径OA＝（ ）
A．5米B．米C．6米D．米
【答案】A
7．（4分）小明向各种空水壶内匀速注水，壶内水的深度h（单位：cm）与注水时间t（单位：s）的函数关系如图所示，选项中是各种水壶的平面图，则小明使用的水壶是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
8．（4分）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度BC．如图，无人机在P处测得正前方河流的点B处的俯角∠DPB＝α，点C处的俯角∠DPC＝45°，点A，B，C在同一条水平直线上．若AP＝45m，tanα＝3，则河流的宽度BC为（ ）
A．30mB．25mC．20mD．15m
【答案】A
9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴，y轴分别交于点A、B，点C坐标为（0，3），连接AC，以AC为边，∠ACD为直角，在AC右侧作等腰直角三角形ACD，则点D的坐标为（ ）
A．（3，﹣1）B．（2，﹣1）C．（3，﹣2）D．（2，﹣）
【答案】A
10．（4分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，AB的延长线交直线CD于点E，连接AC，BC．若∠ACD＝60°，AC＝3，则BE的长度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）在y＝中，x的取值范围为 x＞﹣3 ．
【答案】见试题解答内容
12．（4分）一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0的两根分别为x1，x2，则x12+x22的值为 16 ．
【答案】16．
13．（4分）已知二次函数y＝3（x﹣a）2的图象上，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 a≤2 ．
【答案】见试题解答内容
14．（4分）在一个不透明的袋子中，有若干个红球和白球，它们除颜色外完全相同，其中红球有12个，且从中摸出白球的概率为，则袋子中白球的个数为 24 ．
【答案】袋子中白球的个数为24个．
15．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝．以A为圆心，AD为半径作弧交BC于点E，则图中阴影部分的面积为 9﹣﹣ ．
【答案】9﹣﹣．
16．（4分）已知过点B（3，﹣1）的抛物线y＝x2﹣x+c与坐标轴交于点A、C如图所示，连结AC，BC，AB，第一象限内有一动点M在抛物线上运动，过点M作AM⊥MP交y轴于点P，当点P在点A上方，且△AMP与△ABC相似时，点M的坐标为 （，）或（11，35） ．
【答案】（，）或（11，36）．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）．
【答案】11﹣2．
18．（8分）如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：AQ＝2PQ．
【答案】见解答过程．
19．（8分）解分式方程：．
【答案】无解．
20．（8分）先化简再求值：，其中x＝3．
【答案】，．
21．（8分）2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，杭州某高校大学生积极参与志愿者活动，亚奥组委分给这个高校志愿者类型有：展示、联络、安保和运行，学生会根据名额分配情况绘制了如下不完整的两种统计图：根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）该校参加志愿者活动的大学生共有 40 人，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，安保对应的圆心角为 144 度；
（3）现有甲、乙、丙、丁4名展示志愿者，亚奥组委决定在这4名展示志愿者中任选2人参加亚运会开幕式，请用列表法或树状图，求甲和乙同时被选中参加开幕式的概率．
【答案】（1）40；
（2）144；
（3）．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：作⊙O，使得圆心O在边AB上，⊙O过点B且与边AC相切于点D（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若∠ABC＝60°，AB＝4，求⊙O与△ABC重叠部分的面积．
【答案】（1）见解答；
（2）π+．
23．（10分）综合与实践
某校数学小组的同学把“用数学的眼光观察校园”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了活动报告．请根据该活动报告完成后面的任务．
任务：
（1）请以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，并求出抛物线的表达式．
（2）若相邻某两根栏杆涂色部分的高度差为0.02米，求这相邻的两根栏杆分别是左起第几根？
【答案】（1）y＝﹣0.25x2+0.65；
（2）相邻的两根栏杆分别是左起第5根和第6根．
24．（12分）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）如图1，点P为直线BC下方抛物线上一点，PD⊥BC于点D，求PD的最大值；
（3）如图2，M、N是抛物线上异于B，C的两个动点，若直线BN与直线CM的交点始终在直线y＝2x﹣9上，求证：直线MN必经过一个定点，并求该定点坐标．
【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）；
（2）PD最大为；
（3）证明见解答．
25．（14分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．点D为AC的中点，点E为折线A﹣B﹣C上一动点，连接DE，以DE为边作正方形DEFG（点F为点D绕点E顺时针旋转90°得到），直线FG与直线BC，AC的交点分别为M，N．
（1）当点E在线段AB上时，
①若AE＝ED，求此时AE的长；
②若直线FG过点C，求此时正方形DEFG的面积；
（2）是否存在点E，使得△CMN是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
②5；
（2）或或或．
课题
用数学的眼光观察校园
调查方式
实地查看了解
对象
校门口的隔离栏
调查内容
平面图

数学眼光
各个栏杆上涂有颜色部分的顶端及点A，B所在曲线呈抛物线形（栏杆宽度忽略不计）
相关数据
隔离栏AB长为2.6米，隔离栏的长AB被12根栏杆等分成13份，左起第4根栏杆涂色部分的高度CE＝0.36米
课题
用数学的眼光观察校园
调查方式
实地查看了解
对象
校门口的隔离栏
调查内容
平面图

数学眼光
各个栏杆上涂有颜色部分的顶端及点A，B所在曲线呈抛物线形（栏杆宽度忽略不计）
相关数据
隔离栏AB长为2.6米，隔离栏的长AB被12根栏杆等分成13份，左起第4根栏杆涂色部分的高度CE＝0.36米