2024年高考第二次模拟考试数学（新高考专用01）试卷（Word版附解析）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1.设集合，则（ ）
A． B．C．,或D．
2.已知复数（，且），且为纯虚数，则（ ）
A．1 B．C．D．
3.已知向量，，若与共线，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4. “”是“”（ ）
A． 充分不必要条件B． 必要不充分条件C． 充分必要条件D． 既不充分也不必要条件
5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（ ）
A．60 B．114 C．278D．336
6.已知：，点，若上总存在，两点使得为等边三角形，则的取值范围是（ ）
A．B．
C． D．
7.已知中，，，是边上的动点．若平面，，且与面所成角的正弦值的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8.加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（ ）

A．椭圆的离心率为B．椭圆的蒙日圆方程为
C．若为正方形，则的边长为D．长方形的面积的最大值为18
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两个不同点，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值是6B．若点，则的最小值是4
C．D．若，则直线的斜率为
10.已知双曲线的左、右焦点别为，，过点的直线l与双曲线的右支相交于两点，则（ ）
A． 若的两条渐近线相互垂直，则B． 若的离心率为，则的实轴长为
C． 若，则D． 当变化时，周长的最小值为
11.在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，则（ ）
A．与是异面直线B．存在点，使得，且平面
C．与平面所成角的余弦值为D．点到平面的距离为
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.若二项式的展开式中二项式系数之和为64，则二项展开式中系数最大的项为
13.若函数 的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数 是__________.
14. 若过点的直线自左往右交抛物线及圆于四点，则的最小值为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知数列的前n项和为，且对于任意的都有．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项中的最大值为，最小值为，令，求数列的前20项和．
16．（15分）灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.
（1）求的分布列；
（2）若满足的n的最小值为，求；
（3）在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较与哪种方案更优.
17．（15分）如图,在三棱柱中,直线平面ABC,平面平面.
(1)求证:;
(2)若,在棱上是否存在一点,使二面角的余弦值为?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
18．（17分）已知函数．
(1)若直线与函数的图象相切，求实数a的值；
(2)若函数有两个极值点和，且，证明：．（e为自然对数的底数）．
19．（17分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点与两定点Q,P的距离之比是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为,定点分别为椭圆的右焦点与右顶点A,且椭圆C的离心率为
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，过右焦点F斜率为的直线与椭圆相交于,D(点B在轴上方),点S,T是椭圆上异于B,D的两点，SF平分平分
（1）求的取值范围；
（2）将点S、F、T看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT外接圆的面积为,求直线的方程.