河北省定州中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份河北省定州中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷（Word版附解析），共23页。试卷主要包含了 曲线在点处的切线方程是， 已知函数在，上为增函数，在， 已知，则的大小关系是， 已知函数， 下列求导运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 曲线在点处的切线方程是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知函数在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）.
A B.
C. D.
5. 已知函数（是的导函数），则（ ）
A. B. 1C. 2D.
6. 已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数，，，则实数a值可能为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. e
11. 已知函数（为常数），则下列结论正确的有（ ）
A. 时，恒成立
B. 时，是的极值点
C. 若有3个零点，则范围为
D. 时.有唯一零点且
三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分，）
12. 曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的周长为__________.
13. 若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围是______．
14. 已知函数，关于x的方程有3个不同的解，则m的取值范围是______.
四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演步骤．）
15. 已知函数的图象在点处的切线l过坐标原点．
（1）求实数a值；
（2）若直线l与抛物线相切，求抛物线的对称轴方程．
16. 已知函数，当时，函数有极小值0.
（1）求函数的解析式；
（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
17. 已知函数（e是自然对数的底数）.
（1）当时，求的极值点；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若有两个零点，求实数的取值范围.
18. 为正实数，已知函数 .
（1）若函数 有且仅有2个零点，求 的值；
（2）当 时，函数 的最小值为 ，求 的取值范围.
19. 已知函数．
（1）求曲线在处的切线并比较与的大小关系；
（2）记函数的极大值点为，已知表示不超过的最大整数，求．
高二数学三月月考试题
一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选可中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 曲线在点处的切线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求得函数的导数，将代入可得切线方程的斜率，再用点斜式即可得出答案.
【详解】因为，所以，
又因为曲线过点，
由点斜式可得，化简可得，
所以切线方程是，
故选：A.
2. 已知函数在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求导得到，然后根据在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，由求解即得.
【详解】由，得，
∵在，上为增函数；上为减函数,
∴两根分别位于和中，
得，即，解得.
故选：B
3. 已知，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】方法一：由正弦函数的单调性得出，再设，由其导数得出单调性，即可由得出，即，即可得出答案；
方法二：由正弦函数的单调性得出，再由为中间值得出，，，即，即可得出答案.
【详解】方法一：因在上单调递增，
所以.
设，则，
当时，，
所以再上单调递增，
所以，
所以，即，
所以.
综上，得，故选：B.
方法二：因为在上单调递增，
所以.
又.
综上，得，故选：B.
故选：B.
4. 已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由的图象得到的单调性，从而得到的正负，即可得解.
【详解】由的图象可知，在和上单调递增，在上单调递减，
则当时，时，时，
所以不等式的解集为.
故选：A
5. 已知函数（是的导函数），则（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】先对函数求导，代入，求出的值，进而求解的值即可.
【详解】因为
所以定义域为.
所以
当时，，，则
故选：A
6. 已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，由此构造函数，判断其单调性，将化为，即，即可求得答案.
【详解】由题意对任意的，都有，即，
令，则，
即为R上的增函数，
而，故，
又即，即，
所以，即不等式的解集为，
故选：D
7. 已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，原不等式等价于.构造函数，则在上单调递减，可得不等式在上恒成立，利用分离参数法可得在上恒成立，结合导数讨论函数的性质求出即可.
【详解】设，
，
等价于，即，
令，则，
所以函数在上单调递减，
则不等式在上恒成立，
即不等式在上恒成立，令，
则，令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又，且，
所以，解得，
即实数a的取值范围为.
故选：D.
8. 已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由可得，令，则直线与函数在上的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】因为函数在上有两个极值点，
所以在上有两个变号零点，
因为，令，即，可得．
令，则，
令，得，令，得，
所以，函数在上递增，在上递减，
因为，，，如下图所示：
当时，直线与函数在上的图象有两个交点，
设两个交点的横坐标分别为、，且，
由图可知，当或时，，此时，，
当时，，此时，，
所以，函数在上递增，在上递减，在上递增，
此时，函数有两个极值点，合乎题意.
因此，实数的取值范围为.
故选：B.
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据导数的计算公式以及导数运算法则，逐项判断即可得出结果.
【详解】由基本初等函数的求导公式以及导数运算法则可得：
对A，，A正确；
对B，，B错误；
对C，，C错误；
对D，，D正确.
故选：AD
10. 已知函数，，，则实数a的值可能为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. e
【答案】AD
【解析】
【分析】根据函数解析式，作出函数图象，结合导数的几何意义，求出曲线在时的切线或确定x>0时无限接近的直线，数形结合，确定a的取值范围，结合选项，即可得答案.
【详解】x>0时，,，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故结合指数函数以及x>0时函数的单调性作出的图象：
因为时，，，
故设过点的切线的切点坐标为，则，
即，则该切线斜率，
过点的切线方程为；
对于x>0时，时，当取无限大时，趋近于0，
即无限接近于，且，
故要使得，成立，
结合图象，可得且，即，
结合选项可知，符合题意，
故选：AD
11. 已知函数（为常数），则下列结论正确的有（ ）
A. 时，恒成立
B. 时，是的极值点
C. 若有3个零点，则的范围为
D. 时.有唯一零点且
【答案】CD
【解析】
【分析】对于AB,将和代入，判断函数的单调性，即可求解，对于D，将代入，利用零点存在性定理判断即可；对于C，将问题转化为，构造函数，利用导数求解函数的单调性即可求解.
【详解】对于A，当时，令，
令，则，在上单调递增，在上单调递减，故，在上单调递增,，故A错误；
对于B，当时，令，
令，则，在上单调递增，在上单调递减，故，在上单调递增,无极值，故B错误；
对于C，令，当时，显然，故不是函数的零点，当时，则，记，则，
令得或，故在单调递增，在单调递减，且，且当和时，，故有3个零点，则的范围为，C正确，
对于D，当时，，，令，，则，在上单调递增，在上单调递减，故，在上单调递增，则此时至多只有一个零点，
又，
由零点存在性定理可知，存在唯一的，满足，选项D正确；
故选：CD．
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分，）
12. 曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的周长为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】先利用导数的几何意义求得切线方程，从而求得切线与坐标轴的交点，由此得解.
【详解】因为，所以，则，
又，所以切线方程为，即，
则切线与坐标轴的交点为，，
则所求周长为.
故答案为：.
13. 若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】分类，讨论函数单调性，求出极值点，根据极值点大于零求解可得.
【详解】
当时，，此时在R上单调递增，无极值；
当时，令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以函数存在极小值点，
依题意，，解得，
所以，实数a的取值范围是．
故答案为：
14. 已知函数，关于x的方程有3个不同的解，则m的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用导数法研究函数的性质、对数函数的图象及函数图象的平移变换，进而可得函数的图象，将方程有3个不同的解转化为函数与图象的有个不同交点即可求解.
【详解】由题意可知，方程有3个不同的解转化为函数与图象的有个不同交点.
当时，，
由，即，解得，
由，即，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，取的极大值为；
作出与的大致图象，如图所示.
由图可知，要使函数与图象的有个不同交点，只需要.
所以m的取值范围是.
故答案为：.
四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演步骤．）
15. 已知函数的图象在点处的切线l过坐标原点．
（1）求实数a的值；
（2）若直线l与抛物线相切，求抛物线的对称轴方程．
【答案】（1）1 （2）．
【解析】
【分析】（1）求出，再由、可得曲线在点P处的切线方程，代入原点可得答案；
（2）求出直线l的方程与抛物线方程联立，利用解得，可得抛物线的方程为及对称轴方程．
【小问1详解】
由，再由，，
可得曲线在点P处的切线方程为，
整理为，
代入原点，有，可得，
故实a值为1；
【小问2详解】
由（1）可知直线l的方程为，
联立方程，消去y后整理，
有，解得，
可得抛物线的方程为，故抛物线的对称轴方程为．
16. 已知函数，当时，函数有极小值0.
（1）求函数的解析式；
（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用极值点及对应的极小值列出方程组，再求解并验证作答.
（2）根据给定条件，分离参数并构造函数，再求出函数的最小值作答.
【小问1详解】
函数，求导得：，因为当时，函数有极小值0，
因此，解得，此时，
当时，，当时，，于是得函数在处取得极小值0，
所以函数的解析式为.
【小问2详解】
，不等式，
令，，求导得，
因此函数在上单调递减，则当时，，
因为存在，使不等式成立，则存在，使不等式成立，即有，
所以实数的取值范围是.
17. 已知函数（e是自然对数的底数）.
（1）当时，求的极值点；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）极小值点为，无极大值点.
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）求导即可得函数单调性进而可求极值点，
（2）根据和两种情况，即可根据导数正负求解单调性，
（3）将式子变形为有两个零点，构造函数，求导即可结合零点存在性定理求解.
【小问1详解】
当时，,则.
当时，，此时函数递减，当时，，此时函数递增，
所以极小值点为，无极大值点.
【小问2详解】
求导
①当时，，在上递增
②当时，
当时，，在上递减，
当时，，此时函数在上递增.
【小问3详解】
等价于有两个零点，
令，则在时恒成立，所以在时单调递增，故，
所以有两个零点，等价于有两个零点.
因为 ，
①当时，，在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意舍去，
②当时，令，得，单调递增，令，得，单调递减，
所以.
若，得，此时恒成立，没有零点；
若，得，此时有一个零点.
若，得，因为，，，
所以在，上各存在一个零点，符合题意，
综上，的取值范围为.
【点睛】本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题判断函数零点个数的常用方法：
(1) 直接法： 令则方程实根的个数就是函数零点的个；
(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；
(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.
18. 为正实数，已知函数 .
（1）若函数 有且仅有2个零点，求 的值；
（2）当 时，函数 的最小值为 ，求 的取值范围.
【答案】（1）或3
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用导数讨论函数的单调性然后结合函数的零点个数即得；
（2）根据a的取值分类讨论结合条件可得不等式进而即得.
【小问1详解】
①当 时，，在上单调递增，只有一个零点，则 不成立.
②当时，令 ，则 或 ，且.
当 时，在 上单调递增；
当 时，在 上单调递减；
当 时，在 上单调递增.
函数有且仅有两个零点，且 ，所以 ，即 .
③当时，令 ，则 或 ，且
当 时，在 上单调递增；
当 时，在 上单调递减；
当 时，在 上单调递增.
函数 有且仅有两个零点，且，所以 ，即 .
综上所述：的取值为 或3.
【小问2详解】
由（1）可知：
①当 时，在 上单调递增，则 ，故 成立.
②当时，分为如下两种情况，
当 时，在 上单调递增，在 上单调递减，则 ，可得，故 ；
当时，在 ，上单调递增，在 上单调递减，则 ，可得，故；
③当时，在 ，上单调递增，在 上单调递减，则 可得，所以；
综上所述：.
19. 已知函数．
（1）求曲线在处的切线并比较与的大小关系；
（2）记函数的极大值点为，已知表示不超过的最大整数，求．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义求切线的斜率，根据点斜式方程求切线方程；
（2）利用导数判断函数的单调性，确定其最大值的表达式，再利用导数求其最大值的范围，由此可求整数m的值．
【小问1详解】
由题得，切点为，
因为，所以．
故所求切线为
又
当时，，所以；
当时，，所以
综上，．
【小问2详解】
因
所以
令，得或
因为在上单增，
故在有根，可知在上增，上减，在上增
所以，的极大值点为且且．
故
所以，故．