高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆测试题，共6页。试卷主要包含了已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
A.eq \f(1,3) B．eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(2),2) D．eq \f(2\r(2),3)
解析：选C ∵a2＝4＋22＝8，
∴a＝2eq \r(2)，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,2\r(2))＝eq \f(\r(2),2).
2．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(1,2)，则( )
A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2
C．a＝2b D．3a＝4b
解析：选B 因为椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，
所以a2＝4c2.
又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2.
3．焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B．eq \f(x2,4)＋y2＝1
C.eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1 D．x2＋eq \f(y2,4)＝1
解析：选A 依题意，得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝eq \r(22－12)＝eq \r(3)，故所求椭圆的标准方程是eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
4．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于eq \f(1,2)，则C的方程是( )
A.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,\r(3))＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,4)＋y2＝1
解析：选C 依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)⇒a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此其方程是eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.故选C.
5．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若eq \(AP,\s\up7(―→))＝2eq \(PB,\s\up7(―→))，则椭圆的离心率是( )
A.eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(1,3) D．eq \f(1,2)
解析：选D ∵eq \(AP,\s\up7(―→))＝2eq \(PB,\s\up7(―→))，∴|eq \(AP,\s\up7(―→))|＝2|eq \(PB,\s\up7(―→))|.
又∵PO∥BF，∴eq \f(|PA|,|AB|)＝eq \f(|AO|,|AF|)＝eq \f(2,3)，
即eq \f(a,a＋c)＝eq \f(2,3)，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).
6．已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1的左、右焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，则该椭圆的离心率是________；△ABF2的周长是________．
解析：由题意得a＝2，c2＝a2－b2＝2，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝8.
答案：eq \f(\r(2),2) 8
7．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C，D的椭圆的离心率为________．
解析：如图，AB＝2c＝4，
∵点C在椭圆上，
∴CB＋CA＝2a＝3＋5＝8，
∴e＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(4,8)＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
8．若点O和点F分别为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则eq \(OP,\s\up7(―→))·eq \(FP,\s\up7(―→))的最大值为_________.
解析：由题意，F(－1,0)，设点P(x0，y0)，则有eq \f(x\\al(2,0),4)＋eq \f(y\\al(2,0),3)＝1，解得yeq \\al(2,0)＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x\\al(2,0),4)))，因为eq \(FP,\s\up7(―→))＝(x0＋1, y0)，eq \(OP,\s\up7(―→))＝(x0, y0),
所以eq \(OP,\s\up7(―→))·eq \(FP,\s\up7(―→))＝x0(x0＋1)＋yeq \\al(2,0)
＝x0(x0＋1)＋3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x\\al(2,0),4)))＝eq \f(x\\al(2,0),4)＋x0＋3，
此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0＝－2，
因为－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，eq \(OP,\s\up7(―→))·eq \(FP,\s\up7(―→))取得最大值eq \f(22,4)＋2＋3＝6.
答案：6
9．求经过点M(1,2)，且与椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝1有相同离心率的椭圆的标准方程．
解：设所求椭圆方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝k1(k1>0)或eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,6)＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得eq \f(1,12)＋eq \f(4,6)＝k1或eq \f(4,12)＋eq \f(1,6)＝k2，解得k1＝eq \f(3,4)，k2＝eq \f(1,2)，故eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝eq \f(3,4)或eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,6)＝eq \f(1,2)，即所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,\f(9,2))＝1或eq \f(y2,6)＋eq \f(x2,3)＝1.
10．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝eq \f(\r(3),2)，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
解：椭圆方程可化为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,\f(m,m＋3))＝1，
由m>0，易知m>eq \f(m,m＋3)，
∴a2＝m，b2＝eq \f(m,m＋3).
∴c＝eq \r(a2－b2)＝ eq \r(\f(mm＋2,m＋3)).
由e＝eq \f(\r(3),2)，得 eq \r(\f(m＋2,m＋3))＝eq \f(\r(3),2)，解得m＝1，
∴椭圆的标准方程为x2＋eq \f(y2,\f(1,4))＝1.
∴a＝1，b＝eq \f(1,2)，c＝eq \f(\r(3),2).
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，
两焦点坐标分别为F1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，0))，F2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，0))，
顶点坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)))，B2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
1．[多选]若椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4＋k)＝1的离心率为eq \f(4,5)，则k的值可能为( )
A．－21 B．21
C．－eq \f(19,25) D．eq \f(19,25)
解析：选BC 当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝9，b2＝4＋k，得c2＝5－k.由eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5－k),3)＝eq \f(4,5)，得k＝－eq \f(19,25)；
当焦点在y轴上时，a2＝4＋k，b2＝9，得c2＝k－5.
由eq \f(c,a)＝eq \f(\r(k－5),\r(4＋k))＝eq \f(4,5)，得k＝21.
2．已知椭圆x2＋my2＝1的离心率e∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，则实数m的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，＋∞))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(4,3)))
解析：选A 在椭圆x2＋my2＝1中，当0