数学人教A版 (2019)3.2 双曲线课后测评

这是一份数学人教A版 (2019)3.2 双曲线课后测评，共6页。试卷主要包含了已知双曲线C，已知F1，F2分别是双曲线C等内容，欢迎下载使用。

A． eq \f(1,4)B． eq \f(1,2)
C．2 D．4
解析：选D 双曲线x2－my2＝1的实轴长为2，虚轴长为2 eq \r(\f(1,m))，由双曲线x2－my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，可得2＝4 eq \r(\f(1,m))，解得m＝4.
2．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为 eq \r(2)，则点(4，0)到C的渐近线的距离为( )
A． eq \r(2) B．2
C． eq \f(3\r(2),2) D．2 eq \r(2)
解析：选D ∵e＝ eq \f(c,a)＝ eq \r(1＋\f(b2,a2))＝ eq \r(2)，∴ eq \f(b,a)＝1.
∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0.
∴点(4，0)到C的渐近线的距离d＝ eq \f(4,\r(2))＝2 eq \r(2).
3．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5，3)，则双曲线方程为( )
A． eq \f(x2,25)－ eq \f(y2,25)＝1 B． eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,9)＝1
C． eq \f(y2,16)－ eq \f(x2,16)＝1 D． eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,16)＝1
解析：选D 由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5，3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，
即 eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,16)＝1.
4．斜率为 eq \r(2)的直线与双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1， eq \r(3)) D．( eq \r(3)，＋∞)
解析：选D 因为斜率为 eq \r(2)的直线与双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1恒有两个公共点，所以 eq \f(b,a)> eq \r(2)，
所以e＝ eq \f(c,a)＝ eq \r(1＋\f(b2,a2))> eq \r(3).
所以双曲线离心率的取值范围是( eq \r(3)，＋∞).
5．已知双曲线 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,m)＝1的离心率e∈(1，2)，则m的取值范围是( )
A．(－12，0) B．(－∞，0)
C．(－3，0) D．(－60，－12)
解析：选A 显然m<0，所以a2＝4，b2＝－m，c2＝a2＋b2＝4－m，
因为e∈(1，2)，所以e2∈(1，4)，所以 eq \f(c2,a2)＝ eq \f(4－m,4)∈(1，4)，所以m∈(－12，0).
6．(2022·北京高考)已知双曲线y2＋ eq \f(x2,m)＝1的渐近线方程为y＝± eq \f(\r(3),3)x，则m＝________．
解析：依题意得m<0，令y2－ eq \f(x2,－m)＝0，
得y＝± eq \f(1,\r(－m))x＝± eq \f(\r(3),3)x，解得m＝－3.
答案：－3
7．若直线y＝x－4与双曲线 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,3)＝1相交于A，B两点，则|AB|＝________．
解析：将直线方程y＝x－4代入 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,3)＝1，整理得2x2－24x＋57＝0，则有x1＋x2＝12，x1·x2＝ eq \f(57,2).由弦长公式得|AB|＝ eq \r(1＋k2)· eq \r((x1＋x2)2－4x1x2)＝ eq \r(2)· eq \r(122－4×\f(57,2))＝2 eq \r(15).
答案：2 eq \r(15)
8．(2021·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为______________．
解析：∵e＝ eq \f(c,a)＝2，∴c＝2a，又c2＝a2＋b2，∴4a2＝a2＋b2，b2＝3a2，b＝ eq \r(3)a，∴双曲线C的渐近线方程为y＝± eq \f(b,a)x＝± eq \r(3)x.
答案：y＝± eq \r(3)x
9．已知F1，F2分别是双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，且双曲线C的实轴长为6，离心率为 eq \f(5,3).
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设点P是双曲线C上任意一点，且|PF1|＝10，求|PF2|.
解：(1)由题意知，2a＝6， eq \f(c,a)＝ eq \f(5,3)，解得a＝3，c＝5，
故b＝ eq \r(c2－a2)＝4.
所以双曲线C的标准方程为 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,16)＝1.
(2)因为a＋c＝8，|PF1|＝10＞8，所以点P可能在双曲线的左支上也可能在双曲线的右支上．
①若点P在双曲线的左支上，
则|PF2|－|PF1|＝2a＝6，所以|PF2|＝|PF1|＋6＝16;
②若点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝6，所以|PF2|＝|PF1|－6＝4.
综上，|PF2|＝16或4.
10．双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(0解：由l过两点(a，0)，(0，b)，
设l的方程为bx＋ay－ab＝0.
由原点到l的距离为 eq \f(\r(3),4)c，得 eq \f(ab,\r(a2＋b2))＝ eq \f(\r(3),4)c.
将b＝ eq \r(c2－a2)代入，平方后整理，得
16 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c2))) eq \s\up12(2)－16× eq \f(a2,c2)＋3＝0.令 eq \f(a2,c2)＝x，
则16x2－16x＋3＝0，解得x＝ eq \f(3,4)或x＝ eq \f(1,4).
因为e＝ eq \f(c,a)，有e＝ eq \r(\f(1,x)).故e＝ eq \f(2\r(3),3)或e＝2.
因为0 eq \r(2)，
所以离心率e为2.
1．双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为( )
A．2sin 40° B．2cs 40°
C． eq \f(1,sin 50°) D． eq \f(1,cs 50°)
解析：选D 由题意可得－ eq \f(b,a)＝tan 130°，
所以e＝ eq \r(1＋\f(b2,a2))＝ eq \r(1＋tan2130°)＝ eq \r(1＋\f(sin2130°,cs2130°))
＝ eq \f(1,|cs130°|)＝ eq \f(1,cs 50°).
2．已知双曲线C： eq \f(x2,3)－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝( )
A． eq \f(3,2) B．3
C．2 eq \r(3) D．4
解析：选B 法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝± eq \f(1,\r(3)) x．设两条渐近线的夹角为2α，则有tan α＝ eq \f(1,\r(3))＝ eq \f(\r(3),3)，所以α＝30°.所以∠MON＝2α＝60°.又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示．
在Rt△ONF中，|OF|＝2，
则|ON|＝ eq \r(3).
在Rt△OMN中，
|MN|＝|ON|·tan 2α＝ eq \r(3)·tan 60°＝3.故选B.
法二：因为双曲线 eq \f(x2,3)－y2＝1的渐近线方程为y＝± eq \f(\r(3),3)x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝ eq \f(\r(3),3)x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F(2，0)，所以直线MN的方程为y＝－ eq \r(3)(x－2)，
由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－\r(3)(x－2)，,y＝\f(\r(3),3)x，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(3,2)，,y＝\f(\r(3),2)，))
所以M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，所以|OM|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝ eq \r(3)，
所以|MN|＝ eq \r(3)|OM|＝3，故选B.
3．(2022·全国甲卷)记双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值__________．
解析：双曲线C的渐近线方程为y＝± eq \f(b,a)x，若直线y＝2x与双曲线C无公共点，则 eq \f(b,a)≤2，∴ eq \f(b2,a2)≤4，
∴e2＝ eq \f(c2,a2)＝1＋ eq \f(b2,a2)≤5，又e＞1，∴e∈(1， eq \r(5)]，
∴填写(1， eq \r(5)]内的任意值均可．
答案：2((1， eq \r(5)]内的任意值均可，答案不唯一)
4．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆(x－5)2＋y2＝16相切．
(1)求双曲线的离心率；
(2)P(3，－4)是渐近线上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，若PF1⊥PF2，求双曲线的方程．
解： (1)设经过第一、三象限的渐近线的方程为y＝kx，则 eq \f(5k,\r(k2＋1))＝4，解得k＝ eq \f(4,3).
若双曲线焦点在x轴上，则 eq \f(b,a)＝ eq \f(4,3)，e＝ eq \f(5,3)；
若双曲线焦点在y轴上， 则 eq \f(a,b)＝ eq \f(4,3)，e＝ eq \f(5,4)，
故所求双曲线的离心率为e＝ eq \f(5,3)或e＝ eq \f(5,4).
(2)由题意设F1(－c，0)，F2(c，0)，
由PF1⊥PF2，得 eq \(PF1,\s\up6(―→))· eq \(PF2,\s\up6(―→))＝0，
所以(3＋c)(3－c)＋16＝0，即c＝5，
由(1)知 eq \f(b,a)＝ eq \f(4,3)，又a2＋b2＝c2＝25，所以a＝3，b＝4，所以双曲线的方程为 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,16)＝1.
5. 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为( eq \r(3)，0).
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋ eq \r(2)与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且 eq \(OA,\s\up6(―→))· eq \(OB,\s\up6(―→))>2，其中O为原点，求k的取值范围．
解：(1)设双曲线C的方程为
eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
由已知得a＝ eq \r(3)，c＝2.
又因为a2＋b2＝c2，所以b2＝1，
故双曲线C的方程为 eq \f(x2,3)－y2＝1.
(2)将y＝kx＋ eq \r(2)代入 eq \f(x2,3)－y2＝1中，
得(1－3k2)x2－6 eq \r(2)kx－9＝0，
由直线l与双曲线交于不同的两点得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－3k2≠0，,Δ＝(－6\r(2)k)2＋36(1－3k2)>0，))
即k2≠ eq \f(1,3)且k2<1.①
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
则xA＋xB＝ eq \f(6\r(2)k,1－3k2)，xAxB＝ eq \f(－9,1－3k2).
由 eq \(OA,\s\up6(―→))· eq \(OB,\s\up6(―→))>2得xAxB＋yAyB>2，
而xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋ eq \r(2))(kxB＋ eq \r(2))
＝(k2＋1)xAxB＋ eq \r(2)k(xA＋xB)＋2
＝(k2＋1)· eq \f(－9,1－3k2)＋ eq \f(\r(2)k·6\r(2)k,1－3k2)＋2＝ eq \f(3k2＋7,3k2－1)，
于是 eq \f(3k2＋7,3k2－1)>2，解此不等式得 eq \f(1,3)由①②得 eq \f(1,3)故k的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(\r(3),3)))∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，1)).