高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线同步达标检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线同步达标检测题，共5页。试卷主要包含了已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。
A． eq \f(19,4) B． eq \f(9,2) C．3 D．4
解析：选D 抛物线x2＝4y的准线方程为y＝－1，根据抛物线定义可知5＝n＋1，即n＝4.
2．若坐标原点到抛物线y＝mx2的准线的距离为2，则m＝( )
A．± eq \f(1,8) B．± eq \f(1,4) C．±4 D．±8
解析：选A 抛物线y＝mx2的准线方程为y＝－ eq \f(1,4m)，由题意知 eq \f(1,|4m|)＝2，解得m＝± eq \f(1,8).
3．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆 eq \f(x2,3p)＋ eq \f(y2,p)＝1的一个焦点，则p＝( )
A．2 B．3 C．4 D．8
解析：选D 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，椭圆 eq \f(x2,3p)＋ eq \f(y2,p)＝1的焦点坐标为(± eq \r(2p)，0).
由题意得 eq \f(p,2)＝ eq \r(2p)，解得p＝0(舍去)或p＝8.
4．已知动点P(x，y)满足5 eq \r((x－1)2＋(y－2)2)＝|3x＋4y－1|，则点P的轨迹为( )
A．直线 B．抛物线
C．双曲线 D．椭圆
解析：选B 把5 eq \r((x－1)2＋(y－2)2)＝|3x＋4y－1|化为 eq \r((x－1)2＋(y－2)2)＝ eq \f(|3x＋4y－1|,5)，由于点(1，2)不在直线3x＋4y－1＝0上，满足抛物线的定义，则点P的轨迹为抛物线．
5.如图是抛物线形拱桥，当水面在AB时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m，当水位上升0.5 m后，水面宽( )
A． eq \r(3) m B． eq \r(6) m
C．2 eq \r(3) m D．2 eq \r(6) m
解析：选C 如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，将A(－2，－2)代入x2＝my，得m＝－2，可得抛物线方程为x2＝－2y，将B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，－\f(3,2)))代入，得x0＝± eq \r(3)，故水面宽度为2 eq \r(3) m．
6．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－ eq \f(y2,a)＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________.
解析：根据抛物线的定义得1＋ eq \f(p,2)＝5，p＝8.不妨取M(1，4)，则AM的斜率为2，由已知得－ eq \r(a)×2＝－1，故a＝ eq \f(1,4).
答案： eq \f(1,4)
7．(2021·北京高考)已知抛物线C：y2＝4x，C焦点为F，点M在C上，且|FM|＝6，则M的横坐标是________；作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝________．
解析：由题意得点F(1，0)，设点M(x，±2 eq \r(x))，则|FM|＝x＋1＝6，解得x＝5.易得点N(5，0)，从而S△FMN＝ eq \f(1,2)(xN－xF)·MN＝ eq \f(1,2)×4×2 eq \r(5)＝4 eq \r(5).
答案：5 4 eq \r(5)
8．抛物线y＝－ eq \f(1,4)x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________．
解析：抛物线标准方程为x2＝－4y，其焦点坐标为(0，－1)，准线方程为y＝1，则|MF|的长度等于点M到准线y＝1的距离，从而点M到两定点F，E的距离之和的最小值为点E(1，－3)到直线y＝1的距离．即最小值为4.
答案：4
9.如图是抛物线型拱桥，设水面宽|AB|＝18 m，拱顶距离水面8 m，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF.若|CD|＝9 m，那么|DE|不超过多少米才能使货船通过拱桥？
解：如图所示，以点O为原点，过点O且平行于AB的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则B(9，－8).
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0).
∵B点在抛物线上，
∴81＝－2p·(－8)，∴p＝ eq \f(81,16)，
∴抛物线的方程为x2＝－ eq \f(81,8)y.
当x＝ eq \f(9,2)时，y＝－2，即|DE|＝8－2＝6.
∴|DE|不超过6 m才能使货船通过拱桥．
10．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若P为抛物线C上的动点，求线段FP的中点M的轨迹方程．
解：(1)抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－ eq \f(p,2)，因为抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5，所以根据抛物线的定义可知，3＋ eq \f(p,2)＝5，
所以p＝4，所以抛物线C的方程是y2＝8x.
(2)由(1)可知F(2，0)，设P(x0，y0)，M(x，y)，
则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x0＋2,2)，,y＝\f(y0,2)，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x－2，,y0＝2y，))
而点P(x0，y0)在抛物线C上，所以y eq \\al(2,0)＝8x0，
所以(2y)2＝8(2x－2)，即y2＝4(x－1)，
所以点M的轨迹方程是y2＝4(x－1).
1．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝2x的焦点，P(x0，y0)为C上一点，若|PF|＝ eq \f(3,2)x0，则△POF的面积为( )
A．1 B． eq \r(2) C． eq \f(\r(2),2) D． eq \f(\r(2),4)
解析：选D 由题意知，F的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，因为点P(x0，y0)为C上一点，|PF|＝ eq \f(3,2)x0，则 eq \f(1,2)＋x0＝ eq \f(3,2)x0，解得x0＝1，所以P(1，± eq \r(2))，则△POF的面积为： eq \f(1,2)× eq \f(1,2)× eq \r(2)＝ eq \f(\r(2),4).
2．(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝( )
A．2 B．2 eq \r(2)
C．3 D．3 eq \r(2)
解析：选B 如图，由题意可知F(1，0)，设A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y eq \\al(2,0),4)，y0))，则由抛物线的定义可知|AF|＝ eq \f(y eq \\al(2,0),4)＋1.因为|BF|＝3－1＝2，所以由|AF|＝|BF|，可得 eq \f(y eq \\al(2,0),4)＋1＝2，解得y0＝±2，所以A(1，2)或A(1，－2).不妨取A(1，2)，则|AB|＝ eq \r((1－3)2＋(2－0)2)＝ eq \r(8)＝2 eq \r(2)，故选B.
3.已知△FAB，点F的坐标为(1，0)，点A，B分别在图中抛物线y2＝4x及圆(x－1)2＋y2＝4的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，那么△FAB的周长的取值范围是( )
A.(2，6) B．(4，6)
C．(2，4) D．(6，8)
解析：选B 抛物线的准线l：x＝－1，焦点F(1，0)，由抛物线定义可得|AF|＝xA＋1，所以△FAB的周长＝|AF|＋|AB|＋|BF|＝xA＋1＋(xB－xA)＋2＝3＋xB.由抛物线y2＝4x及圆(x－1)2＋y2＝4可得交点的横坐标为1，所以xB∈(1，3)，所以3＋xB∈(4，6).
4．对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1).
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)
解析：抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋ eq \f(p,2)＝1＋ eq \f(5,2)＝ eq \f(7,2)≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，0))，过该焦点的直线方程为y＝k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．
答案：②④
5．在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．求曲线C1的方程．
解：法一：设点M的坐标为(x，y)，由已知得|x＋2|＝ eq \r((x－5)2＋y2)－3.
易知圆C2上的点位于直线x＝－2的右侧，
于是x＋2＞0，所以 eq \r((x－5)2＋y2)＝x＋5.
化简得曲线C1的方程为y2＝20x.
法二：由题设知，条件“对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值”等价于“曲线C1上任意一点M到圆心C2(5，0)的距离等于它到直线x＝－5的距离”．所以曲线C1是以点(5，0)为焦点，直线x＝－5为准线的抛物线，所以曲线C1的方程为y2＝20x.
6.如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
解：(1)抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－ eq \f(p,2)，
于是4＋ eq \f(p,2)＝5，p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.
(2)由题意得A(4，4)，B(0，4)，M(0，2).又F(1，0)，
所以kAF＝ eq \f(4,3)，则直线FA的方程为y＝ eq \f(4,3)(x－1).
因为MN⊥FA，所以kMN＝－ eq \f(3,4)，
则直线MN的方程为y＝－ eq \f(3,4)x＋2.
解方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－\f(3,4)x＋2，,y＝\f(4,3)(x－1)，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(8,5)，,y＝\f(4,5)，))所以N eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，\f(4,5))).