高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用课时练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用课时练习，共7页。
A．l∥α
B．l⊥α
C．直线l与平面α相交但不垂直
D．无法确定
解析：选B ∵μ＝eq \f(1,4)a，∴μ∥a，∴l⊥α.
2．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z等于( )
A．3 B．6
C．－9 D．9
解析：选C ∵l⊥α，v与平面α平行，
∴u⊥v，即u·v＝0，
∴1×3＋(－3)×(－2)＋z×1＝0，∴z＝－9.
3．[多选]在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，给出下列结论正确的是( )
A．平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)
B．平面B1CD的一个法向量为(1,1，1)
C．平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)
D．平面ABC1D1的一个法向量为(0,1,1)
解析：选AC ∵eq \(AD,\s\up7(―→))＝(0,1,0)，AB⊥AD，AA1⊥AD，又AB∩AA1＝A，∴AD⊥平面ABB1A1，∴A正确；
∵eq \(CD,\s\up7(―→))＝(－1,0,0)，而(1,1,1)·eq \(CD,\s\up7(―→))＝－1≠0，∴(1,1,1)不是平面B1CD的法向量，∴B不正确；
∵eq \(B1C,\s\up7(―→))＝(0,1，－1)，eq \(CD1,\s\up7(―→))＝(－1,0,1)，(1,1,1)·eq \(B1C,\s\up7(―→))＝0，(1,1,1)·eq \(CD1,\s\up7(―→))＝0，B1C∩CD1＝C，∴(1,1,1)是平面B1CD1的一个法向量，∴C正确；
∵eq \(BC1,\s\up7(―→))＝(0,1,1)，而eq \(BC1,\s\up7(―→))·(0,1,1)＝2≠0，∴(0,1,1)不是平面ABC1D1的法向量，即D不正确．故选A、C.
4.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝eq \f(2,3)A1D，AF＝eq \f(1,3)AC，则( )
A．EF至多与A1D，AC之一垂直
B．EF⊥A1D，EF⊥AC
C．EF与BD1相交
D．EF与BD1异面
解析：选B 建立分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为1，则eq \(DA1,\s\up7(―→))＝(1,0,1)，eq \(AC,\s\up7(―→))＝(0,1,0)－(1,0,0)＝(－1,1,0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，0，\f(1,3)))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(1,3)，0))，eq \(EF,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3)，－\f(1,3)))，eq \(BD1,\s\up7(―→))＝(－1，－1,1)＝－3eq \(EF,\s\up7(―→)).
∴eq \(EF,\s\up7(―→))·eq \(DA1,\s\up7(―→))＝0，eq \(EF,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→))＝0，
∴EF⊥A1D，EF⊥AC，EF∥BD1.
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
解析：选B 建系如图，设正方体的棱长为2，
则A(2,2,2)，A1(2,2,0)，
C(0，0,2)，B(2,0,2)，
∴M(2,1,1)，N(1,1,2)，
∴eq \(MN,\s\up7(―→))＝(－1,0,1)．
又平面BB1C1C的一个法向量为
n＝(0,1,0)，
∵－1×0＋0×1＋1×0＝0，
∴eq \(MN,\s\up7(―→))⊥n，∴MN∥平面BB1C1C.
6．已知a＝(0,1,1)，b＝(1,1,0)，c＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对．
解析：∵a·b＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0，a·c＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0，b·c＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0，∴a，b，c中任意两个都不垂直，即α，β，γ中任意两个都不垂直．
答案：0
7．已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝(2，m,1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，则实数m的值是________．
解析：∵l∥平面ABC，∴存在实数x，y，使a＝xeq \(AB,\s\up7(―→))＋yeq \(AC,\s\up7(―→)).∵eq \(AB,\s\up7(―→))＝(1,0，－1)，eq \(AC,\s\up7(―→))＝(0,1，－1)，
∴(2，m,1)＝x(1,0，－1)＋y(0,1，－1)
＝(x，y，－x－y)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＝x，,m＝y，,1＝－x－y，))∴m＝－3.
答案：－3
8．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为________．
解析：建立以AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，设AB＝a，点P坐标为(0,0，b)，则B1(a,0,1)，D(0,1,0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1，0))，eq \(AB1,\s\up7(―→))＝(a,0,1)，eq \(AE,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1，0))，eq \(DP,\s\up7(―→))＝(0，－1，b)，
∵DP∥平面B1AE，
∴存在实数λ，μ，使eq \(DP,\s\up7(―→))＝λeq \(AB1,\s\up7(―→))＋μeq \(AE,\s\up7(―→))，
即(0，－1，b)＝λ(a,0,1)＋μeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1，0))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λa＋\f(μa,2)，μ，λ)).
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λa＋\f(μ,2)a＝0，,μ＝－1，,λ＝b，))∴b＝λ＝eq \f(1,2)，即AP＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
9.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝eq \r(2)，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF.
证明：以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(eq \r(2)，eq \r(2)，0)，B(0，eq \r(2)，0)，D(eq \r(2)，0,0)，F(eq \r(2)，eq \r(2)，1)，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1)).
所以eq \(AM,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)，1))，
eq \(DF,\s\up7(―→))＝(0，eq \r(2)，1)，eq \(BD,\s\up7(―→))＝(eq \r(2)，－eq \r(2)，0)．
设n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量，则n⊥eq \(BD,\s\up7(―→))，n⊥eq \(DF,\s\up7(―→))，所以
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·eq \(BD,\s\up7(―→))＝\r(2)x－\r(2)y＝0，,n·eq \(DF,\s\up7(―→))＝\r(2)y＋z＝0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝y，,z＝－\r(2)y，))
取y＝1，得x＝1，z＝－eq \r(2).
则n＝(1,1，－eq \r(2))．
因为eq \(AM,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)，1))，
所以n＝－eq \r(2) eq \(AM,\s\up7(―→))，得n与eq \(AM,\s\up7(―→))共线．
所以AM⊥平面BDF.
10．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点．求证：CE∥平面C1E1F.
证明：以D为原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设BC＝1，则C(0,1,0)，E(1,0,1)，
C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，2)).
设平面C1E1F的法向量为n＝(x，y，z)，
因为eq \(C1E1,\s\up7(――→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(1,2)，0))，
eq \(FC1,\s\up7(―→))＝(－1,0,1)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·eq \(C1E1,\s\up7(――→))＝0，,n·eq \(FC1,\s\up7(―→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)y，,x＝z，))取n＝(1,2,1)．
因为eq \(CE,\s\up7(―→))＝(1，－1,1)，n·eq \(CE,\s\up7(―→))＝1－2＋1＝0，
所以eq \(CE,\s\up7(―→))⊥n，且CE⊄平面C1E1F.
所以CE∥平面C1E1F.
1．[多选]如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．下列结论正确的有( )
A．A1M∥D1P
B．A1M∥B1Q
C．A1M∥平面DCC1D1
D．A1M∥平面D1PQB1
解析：选ACD ∵eq \(A1M,\s\up7(―→))＝eq \(A1A,\s\up7(―→))＋eq \(AM,\s\up7(―→))＝eq \(A1A,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))，
eq \(D1P,\s\up7(―→))＝eq \(D1D,\s\up7(―→))＋eq \(DP,\s\up7(―→))＝eq \(A1A,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))，
∴eq \(A1M,\s\up7(―→))∥eq \(D1P,\s\up7(―→))，从而A1M∥D1P，可得A、C、D正确．
又B1Q与D1P不平行，故B不正确．
2．已知eq \(AB,\s\up7(―→))＝(1,5，－2)，eq \(BC,\s\up7(―→))＝(3,1，z)，若eq \(AB,\s\up7(―→))⊥eq \(BC,\s\up7(―→))，eq \(BP,\s\up7(―→))＝(x－1，y，－3)，且eq \(BP,\s\up7(―→))⊥平面ABC，则eq \(BP,\s\up7(―→))＝________.
解析：∵eq \(AB,\s\up7(―→))⊥eq \(BC,\s\up7(―→))，∴eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝0，∴3＋5－2z＝0，
∴z＝4.∵eq \(BP,\s\up7(―→))＝(x－1，y，－3)，
且eq \(BP,\s\up7(―→))⊥平面ABC，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(eq \(BP,\s\up7(―→))·eq \(AB,\s\up7(―→))＝0，,eq \(BP,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＋5y＋6＝0，,3x－3＋y－12＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(40,7)，,y＝－\f(15,7)，))故eq \(BP,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(33,7)，－\f(15,7)，－3)).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(33,7)，－\f(15,7)，－3))
3. 如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝________.
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
则B1(0,0,3a)，C(0，eq \r(2)a,0)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2)a,2)，\f(\r(2)a,2)，3a)).设E(eq \r(2)a,0，z)(0≤z≤3a)，则eq \(CE,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)a，－\r(2)a，z))，eq \(B1E,\s\up7(――→))＝(eq \r(2)a,0，z－3a)，eq \(B1D,\s\up7(――→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2)a,2)，\f(\r(2)a,2)，0)).又eq \(CE,\s\up7(―→))·eq \(B1D,\s\up7(――→))＝a2－a2＋0＝0，故由题意得2a2＋z2－3az＝0，
解得z＝a或2a.故AE＝a或2a.
答案：a或2a
4.如图，在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.
(1)求证：平面GEF⊥平面PBC；
(2)求证：EG与直线PG和BC都垂直．
证明：(1)如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Pxyz.
则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0，0,0)．
于是eq \(EF,\s\up7(―→))＝(0，－1，－1)，eq \(EG,\s\up7(―→))＝(1，－1，－1)．
设平面GEF的法向量是n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n⊥eq \(EF,\s\up7(―→))，,n⊥eq \(EG,\s\up7(―→))，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＋z＝0，,x－y－z＝0，))可取n＝(0,1，－1)．
显然eq \(PA,\s\up7(―→))＝(3,0,0)是平面PBC的一个法向量．
又n·eq \(PA,\s\up7(―→))＝0，∴n⊥eq \(PA,\s\up7(―→))，
即平面PBC的法向量与平面GEF的法向量垂直，
∴平面GEF⊥平面PBC.
(2)由(1)知，eq \(EG,\s\up7(―→))＝(1，－1，－1)，
eq \(PG,\s\up7(―→))＝(1,1,0)，eq \(BC,\s\up7(―→))＝(0，－3,3)，
∴eq \(EG,\s\up7(―→))·eq \(PG,\s\up7(―→))＝0，eq \(EG,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝0，
∴EG⊥PG，EG⊥BC，
∴EG与直线PG和BC都垂直．
5.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD.若PA＝AB＝BC＝eq \f(1,2)AD.
(1)求证：CD⊥平面PAC；
(2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由．
解：因为∠PAD＝90°，所以PA⊥AD.又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PA⊥底面ABCD.又因为∠BAD＝90°，所以AB，AD，AP两两垂直．分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设AD＝2，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)．
(1)证明：eq \(AP,\s\up7(―→))＝(0,0,1)，eq \(AC,\s\up7(―→))＝(1,1,0)，eq \(CD,\s\up7(―→))＝(－1,1,0)，可得eq \(AP,\s\up7(―→))·eq \(CD,\s\up7(―→))＝0，eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(CD,\s\up7(―→))＝0，
所以AP⊥CD，AC⊥CD.
又因为AP∩AC＝A，AP⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，
所以CD⊥平面PAC.
(2)设侧棱PA的中点是E，则Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(1,2)))，
eq \(BE,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0，\f(1,2))).
设平面PCD的法向量是n＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·eq \(CD,\s\up7(―→))＝0，,n·eq \(PD,\s\up7(―→))＝0，))
因为eq \(CD,\s\up7(―→))＝(－1,1,0)，eq \(PD,\s\up7(―→))＝(0,2，－1)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋y＝0，,2y－z＝0，))取x＝1，则y＝1，z＝2，
所以平面PCD的一个法向量为n＝(1,1,2)．
所以n·eq \(BE,\s\up7(―→))＝(1,1,2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0，\f(1,2)))＝0，所以n⊥eq \(BE,\s\up7(―→)).
因为BE⊄平面PCD，所以BE∥平面PCD.
综上所述，当E为PA的中点时，BE∥平面PCD.