高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用当堂检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用当堂检测题，共7页。
A． eq \f(\r(30),5) B． eq \r(30) C． eq \f(\r(30),10) D．2 eq \r(30)
解析：选A 由已知得 eq \(PA,\s\up6(―→))＝(－1，－1，－1)，所以点P到直线l的距离为d＝ eq \r(\(PA,\s\up6(―→))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(PA,\s\up6(―→))·\f(n,|n|)))\s\up12(2))＝ eq \r(3－\f(9,5))＝ eq \f(\r(30),5).
2．若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是( )
A． eq \f(\r(6),6) B． eq \f(\r(6),3) C． eq \f(\r(3),6) D． eq \f(\r(3),3)
解析：选D 分别以PA，PB，PC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1).可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1，1，1)，则d＝ eq \f(|\(PA,\s\up6(―→))·n|,|n|)＝ eq \f(\r(3),3).
3．已知△ABC的顶点A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD的长等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：选C 因为 eq \(AB,\s\up6(―→))＝(4，－5，0)， eq \(AC,\s\up6(―→))＝(0，4，－3)，则 eq \(AC,\s\up6(―→))对应的单位向量为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(4,5)，－\f(3,5)))，
所以AC边上的高BD的长为B到AC的距离d＝ eq \r(\(AB,\s\up6(―→))2－(\(AB,\s\up6(―→))·u)2)＝ eq \r(41－16)＝5.
4.如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为( )
A． eq \f(2,7)B． eq \f(2\r(35),7)
C． eq \f(\r(35),7) D．1
解析：选B 过点B作BE⊥A1C，垂足为E，设点E的坐标为(x，y，z)，
由题意知A1(0，0，3)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，
故 eq \(A1C,\s\up6(―→))＝(1，2，－3)， eq \(BC,\s\up6(―→))＝(0，2，0)，
eq \(A1C,\s\up6(―→))对应的单位向量为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(14))，\f(2,\r(14))，－\f(3,\r(14))))，
所以点B到A1C的距离为
eq \r(\(BC,\s\up6(―→))2－(\(BC,\s\up6(―→))·u)2)＝ eq \r(4－\f(8,7))＝ eq \f(2\r(35),7).
5．若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为( )
A． eq \r(2)a B． eq \r(3)a C． eq \f(\r(2),3)a D． eq \f(\r(3),3)a
解析：选D 建立空间直角坐标系如图．
则A(a，0，0)，D(0，0，0)，C1(0，a，a)，D1(0，0，a)，B1(a，a，a)，
∴ eq \(AB1,\s\up6(―→))＝(0，a，a)， eq \(AD1,\s\up6(―→))＝(－a，0，a).
设n＝(x，y，z)为平面AB1D1的法向量，
则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB1,\s\up6(―→))＝a(y＋z)＝0，,n·\(AD1,\s\up6(―→))＝a(－x＋z)＝0，))
得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－z，,x＝z.))取z＝1，则n＝(1，－1，1).
又∵AD1∥BC1，AB1∥DC1，AD1∩AB1＝A，
DC1∩BC1＝C1，∴平面AB1D1∥平面BDC1.
∴平面AB1D1与平面BDC1的距离可转化为点C1到平面AB1D1的距离d.
∵ eq \(C1B1,\s\up6(―→))＝(a，0，0)，平面AB1D1的法向量为n＝(1，－1，1)，
∴d＝ eq \f(|\(C1B1,\s\up6(―→))·n|,|n|)＝ eq \f(|a|,\r(3))＝ eq \f(\r(3),3)a.
6．已知向量n＝(1，0，－1)与直线l垂直，且直线l经过点A(2，3，1)，则点P(4，3，2)到直线l的距离为________.
解析： eq \(PA,\s\up6(―→))＝(－2，0，－1)，因为n与l垂直，所以P到l的距离为 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f((－2，0，－1)·(1，0，－1),\r(12＋(－1)2))))＝ eq \f(1,\r(2))＝ eq \f(\r(2),2).
答案： eq \f(\r(2),2)
7．在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．
解析：AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离．由已知可知AB，AD，AP两两垂直．
以A为坐标原点， eq \(AB,\s\up6(―→))， eq \(AD,\s\up6(―→))， eq \(AP,\s\up6(―→))的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系(图略)，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，则 eq \(PB,\s\up6(―→))＝(2，0，－2)，
eq \(BC,\s\up6(―→))＝(0，2，0).设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，
则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n⊥\(PB,\s\up6(―→))，,n⊥\(BC,\s\up6(―→))，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－2c＝0，,2b＝0，))取a＝1，得n＝(1，0，1)，
又 eq \(AB,\s\up6(―→))＝(2，0，0)，所以d＝ eq \f(|\(AB,\s\up6(―→))·n|,|n|)＝ eq \r(2).
答案： eq \r(2)
8．在空间直角坐标系Oxyz中，A(1，2，1)，B(2，1，m)，C(0，1，2)，若点C到直线AB的距离不小于 eq \f(\r(10),2)，写出一个满足条件的m的值：________．
解析：因为 eq \(AB,\s\up6(―→))＝(1，－1，m－1)， eq \(AC,\s\up6(―→))＝(－1，－1，1)，
所以点C到直线AB的距离d＝ eq \r(|\(AC,\s\up6(―→))|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AC,\s\up6(―→))·\(AB,\s\up6(―→)),|\(AB,\s\up6(―→))|)))2)＝ eq \r(3－\f((m－1)2,(m－1)2＋2))≥ eq \f(\r(10),2)，解得1－ eq \r(2)≤m≤1＋ eq \r(2).
答案：1(答案不唯一，只要m∈[1－ eq \r(2)，1＋ eq \r(2)]即可)
9．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，E，F分别是BB1，CD的中点，求点F到平面A1D1E的距离．
解：建立空间直角坐标系，如图所示，则A1(a，0，a)，D1(0，0，a)，E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，a，\f(a,2)))，F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,2)，0)).
设平面A1D1E的法向量为n＝(x，y，z)，则n· eq \(A1D1,\s\up6(―→))＝0，n· eq \(A1E,\s\up6(―→))＝0，
即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1((x，y，z)·(－a，0，0)＝0，,(x，y，z)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，a，－\f(a,2)))＝0，))
∴－ax＝0，ay－ eq \f(a,2)z＝0.即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝\f(z,2)，))令z＝2，得n＝(0，1，2).
又 eq \(FD1,\s\up6(―→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(a,2)，a))，∴所求距离d＝ eq \f(|\(FD1,\s\up6(―→))·n|,|n|)＝ eq \f(\f(3,2)a,\r(5))＝ eq \f(3\r(5),10)a.
10.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，F为AB的中点，H为DD1的中点，K为BB1的中点．
(1)求直线A1H到直线KC的距离；
(2)求直线FC到平面AEC1的距离．
解：(1)以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，0)，C(0，1，1)，A(1，0，1)，C1(0，1，0)，
H eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(1,2)))，K eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,2)))，
F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，1))，E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，0))，所以 eq \(A1H,\s\up6(―→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0，\f(1,2)))， eq \(KC,\s\up6(―→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0，\f(1,2))).则 eq \(A1H,\s\up6(―→))＝ eq \(KC,\s\up6(―→))，即 eq \(A1H,\s\up6(―→))∥ eq \(KC,\s\up6(―→))，则A1H∥KC，
所以直线A1H到直线KC的距离可转化成点A1到直线KC的距离．又 eq \(KA1,\s\up6(―→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－1，－\f(1,2)))，| eq \(KC,\s\up6(―→))|＝ eq \r(1＋\f(1,4))＝ eq \f(\r(5),2)， eq \(KA1,\s\up6(―→))在 eq \(KC,\s\up6(―→))上的投影向量的长度为 eq \f(|\(KA1,\s\up6(―→))·\(KC,\s\up6(―→))|,|\(KC,\s\up6(―→))|)＝ eq \f(\r(5),10)，| eq \(KA1,\s\up6(―→))|＝ eq \r(1＋\f(1,4))＝ eq \f(\r(5),2)，
所以点A1到直线KC的距离d＝ eq \r(\f(5,4)－\f(1,20))＝ eq \f(\r(30),5).
所以直线A1H到直线KC的距离为 eq \f(\r(30),5).
(2)由(1)可得 eq \(FC,\s\up6(―→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)，0))， eq \(AE,\s\up6(―→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，－1))， eq \(AC1,\s\up6(―→))＝(－1，1，－1).设平面AEC1的法向量为n＝(x，y，z)，
由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AE,\s\up6(―→))＝\f(1,2)y－z＝0，,n·\(AC1,\s\up6(―→))＝－x＋y－z＝0，))令y＝2，则x＝1，z＝1，得n＝(1，2，1).因为 eq \(FC,\s\up6(―→))·n＝0，所以 eq \(FC,\s\up6(―→))⊥n，则FC∥平面AEC1.所以直线FC到平面AEC1的距离可转化成点C到平面AEC1的距离，则 eq \(CC1,\s\up6(―→))＝(0，0，－1).所以直线FC到平面AEC1的距离d1＝ eq \f(|\(CC1,\s\up6(―→))·n|,|n|)＝ eq \f(1,\r(6))＝ eq \f(\r(6),6).
1．[多选]已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E，O分别是A1B1，A1C1的中点，点P在正方体内部且满足 eq \(AP,\s\up6(―→))＝ eq \f(3,4) eq \(AB,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(―→))＋ eq \f(2,3) eq \(AA1,\s\up6(―→))，则下列说法正确的是( )
A．点A到直线BE的距离是 eq \f(\r(5),5)
B．点O到平面ABC1D1的距离为 eq \f(\r(2),4)
C．平面A1BD与平面B1CD1间的距离为 eq \f(\r(3),3)
D．点P到直线AB的距离为 eq \f(25,36)
解析：选BC 如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)，E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，1))，所以 eq \(BA,\s\up6(―→))＝(－1，0，0)， eq \(BE,\s\up6(―→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0，1)).
设∠ABE＝ θ，则cs θ＝ eq \f(|\(BA,\s\up6(―→))·\(BE,\s\up6(―→))|,|\(BA,\s\up6(―→))||\(BE,\s\up6(―→))|)＝ eq \f(\r(5),5)，sin θ＝ eq \r(1－cs2θ)＝ eq \f(2\r(5),5).故A到直线BE的距离d1＝| eq \(BA,\s\up6(―→))|·sinθ＝1× eq \f(2\r(5),5)＝ eq \f(2\r(5),5)，故A错误；易知 eq \(C1O,\s\up6(―→))＝ eq \f(1,2) eq \(C1A1,\s\up6(―→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(1,2)，0))，平面ABC1D1的一个法向量为 eq \(DA1,\s\up6(―→))＝(0，－1，1)，则点O到平面ABC1D1的距离d2＝ eq \f(|\(DA1,\s\up6(―→))·\(C1O,\s\up6(―→))|,|\(DA1,\s\up6(―→))|)＝ eq \f(\f(1,2),\r(2))＝ eq \f(\r(2),4)，故B正确； eq \(A1B,\s\up6(―→))＝(1，0，－1)， eq \(A1D,\s\up6(―→))＝(0，1，－1)， eq \(A1D1,\s\up6(―→))＝(0，1，0).设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(A1B,\s\up6(―→))＝0，,n·\(A1D,\s\up6(―→))＝0，))所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－z＝0，,y－z＝0，))令z＝1，得y＝1，x＝1，所以n＝(1，1，1)为平面A1BD的一个法向量．所以点D1到平面A1BD的距离d3＝ eq \f(|\(A1D1,\s\up6(―→))·n|,|n|)＝ eq \f(1,\r(3))＝ eq \f(\r(3),3).因为平面A1BD∥平面B1CD1，所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为 eq \f(\r(3),3)，故C正确；因为 eq \(AP,\s\up6(―→))＝ eq \f(3,4) eq \(AB,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(―→))＋ eq \f(2,3) eq \(AA1,\s\up6(―→))，所以 eq \(AP,\s\up6(―→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(1,2)，\f(2,3)))，又 eq \(AB,\s\up6(―→))＝(1，0，0)，则 eq \f(\(AP,\s\up6(―→))·\(AB,\s\up6(―→)),|\(AB,\s\up6(―→))|)＝ eq \f(3,4)，所以点P到AB的距离d＝ eq \r(|\(AP,\s\up6(―→))|2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(AP,\s\up6(―→))·\(AB,\s\up6(―→)),|\(AB,\s\up6(―→))|)))\s\up12(2))＝ eq \f(5,6)，故D错误．故选B、C.
2．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案(如图1)，把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点A到平面QGC的距离是( )
A． eq \f(1,4) B． eq \f(1,2) C． eq \f(\r(2),2) D． eq \f(\r(3),2)
解析：选C 建立空间直角坐标系如图所示，则C(0，2，0)，Q(1，0，2)，G(0，0，2)，A(1，1，0)， eq \(QC,\s\up6(―→))＝(－1，2，－2)， eq \(QG,\s\up6(―→))＝(－1，0，0)， eq \(AC,\s\up6(―→))＝(－1，1，0)，设平面QGC的法向量为n＝(x，y，z)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(QC,\s\up6(―→))＝0，,n·\(QG,\s\up6(―→))＝0，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋2y－2z＝0，,－x＝0，))令y＝1，则平面QGC的一个法向量为n＝(0，1，1)，则点A到平面QGC的距离d＝ eq \f(|n·\(AC,\s\up6(―→))|,|n|)＝ eq \f(\r(2),2).故选C.
3.生活中的建筑模型多与立体几何中的图形有关联，既呈现对称美，也具有稳定性．已知某凉亭的顶部可视为如图所示的正四棱锥S-ABCD，其所有棱长都为6，且AC，BD交于点O，点E在线段SC上，且CE＝ eq \f(1,3)SC，求△SAD的重心G到直线OE的距离．
解：以O为原点，OA，OB，OS所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为所有棱长都为6，所以OA＝3 eq \r(2)，SO＝ eq \r(62－(3\r(2))2)＝3 eq \r(2).所以O(0，0，0)，A(3 eq \r(2)，0，0)，D(0，－3 eq \r(2)，0)，S(0，0，3 eq \r(2))，C(－3 eq \r(2)，0，0).因为G为△SAD的重心，所以G( eq \r(2)，－ eq \r(2)， eq \r(2)).设E(x，y，z)，则 eq \(CE,\s\up6(―→))＝(x＋3 eq \r(2)，y，z)， eq \(CS,\s\up6(―→))＝(3 eq \r(2)，0，3 eq \r(2))，
因为 eq \(CE,\s\up6(―→))＝ eq \f(1,3) eq \(CS,\s\up6(―→))，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3\r(2)＝\r(2)，,y＝0，,z＝\r(2)))⇒ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2\r(2)，,y＝0，,z＝\r(2)，))即E(－2 eq \r(2)，0， eq \r(2)).因为 eq \(OE,\s\up6(―→))＝(－2 eq \r(2)，0， eq \r(2))， eq \(OG,\s\up6(―→))＝( eq \r(2)，－ eq \r(2)， eq \r(2))，所以G到直线OE的距离d＝ eq \r(|\(OG,\s\up6(―→))|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(OG,\s\up6(―→))·\(OE,\s\up6(―→)),|\(OE,\s\up6(―→))|)))2)＝ eq \r(6－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－4＋2,\r(10))))\s\up12(2))＝ eq \f(2\r(35),5).
4．某市在滨海文化中心有滨海科技馆，其建筑有鲜明的后工业风格，如图所示，截取其中一部分抽象出长方体和圆台组合，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝AA1＝2，圆台下底圆心O为AB的中点，直径为2，圆与直线AB交于E，F，圆台上底的圆心O1在A1B1上，直径为1.
(1)求A1C与平面A1ED所成角的正弦值；
(2)圆台上底圆周上是否存在一点P使得FP⊥AC1，若存在，求点P到直线A1B1的距离，若不存在，请说明理由．
解：(1)由长方体ABCD-A1B1C1D1可知，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A1(2，0，2)，C(0，4，0)，E(2，1，0)，D(0，0，0)，所以 eq \(A1C,\s\up6(―→))＝(－2，4，－2)， eq \(DA1,\s\up6(―→))＝(2，0，2)， eq \(DE,\s\up6(―→))＝(2，1，0).设平面A1ED的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(DA1,\s\up6(―→))＝0，,n·\(DE,\s\up6(―→))＝0，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋2z＝0，,2x＋y＝0，))令x＝1，则y＝－2，z＝－1，故n＝(1，－2，－1)，所以|cs 〈 eq \(A1C,\s\up6(―→))，n〉|＝ eq \f(|\(A1C,\s\up6(―→))·n|,|\(A1C,\s\up6(―→))||n|)＝ eq \f(|－2－8＋2|,\r(4＋16＋4)·\r(1＋4＋1))＝ eq \f(2,3).故A1C与平面A1ED所成角的正弦值为 eq \f(2,3).
(2)由(1)可知，A(2，0，0)，C1(0，4，2)，所以 eq \(AC1,\s\up6(―→))＝(－2，4，2).假设存在这样的点P，设P(x，y，2)，由题意可知(x－2)2＋(y－2)2＝ eq \f(1,4).所以 eq \(FP,\s\up6(―→))＝(x－2，y－3，2).因为FP⊥AC1，则有 eq \(FP,\s\up6(―→))· eq \(AC1,\s\up6(―→))＝－2(x－2)＋4(y－3)＋4＝0，所以x＝2y－2.又(x－2)2＋(y－2)2＝ eq \f(1,4)，所以5y2－20y＋ eq \f(79,4)＝0，解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2－\f(\r(5),5),y＝2－\f(\r(5),10)))(舍)， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋\f(\r(5),5)，,y＝2＋\f(\r(5),10)．))所以当P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(\r(5),5)，2＋\f(\r(5),10)，2))时，FP⊥AC1，此时点P到直线A1B1的距离为 eq \f(\r(5),5).