高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.3 直线的交点坐标与距离公式课后测评

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.3 直线的交点坐标与距离公式课后测评，共5页。试卷主要包含了已知M，N，则|MN|等于，已知两条直线l1，若直线l等内容，欢迎下载使用。

A．5B． eq \r(37)
C． eq \r(13) D．4
解析：选A |MN|＝ eq \r([2－(－1)]2＋(1－5)2)＝5，选A.
2．直线 eq \r(3)x－y＝0与x＋y＝0的位置关系是( )
A．相交但不垂直 B．平行
C．重合 D．垂直
解析：选A 易知A1＝ eq \r(3)，B1＝－1, A2＝1，B2＝1, 则A1B2－A2B1＝ eq \r(3)×1－1×(－1)＝ eq \r(3)＋1≠0，又A1A2＋B1B2＝ eq \r(3)×1＋(－1)×1＝ eq \r(3)－1≠0, 则这两条直线相交但不垂直．
3．若三条直线2x＋3y＋8＝0, x－y－1＝0, x＋ky＝0相交于一点， 则k的值为( )
A．－2 B．－ eq \f(1,2)
C．2 D． eq \f(1,2)
解析：选B 易求直线2x＋3y＋8＝0与x－y－1＝0的交点坐标为(－1，－2), 代入x＋ky＝0, 得k＝－ eq \f(1,2).
4．过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是( )
A．x－3y＋7＝0 B．x－3y＋13＝0
C．x－3y＋6＝0 D．x－3y＋5＝0
解析：选B 直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点为(－1，4).又所求直线与3x＋y－1＝0垂直，得所求直线的斜率为 eq \f(1,3)，由点斜式，得y－4＝ eq \f(1,3)(x＋1)，即x－3y＋13＝0，故选B.
5．已知两条直线l1：ax＋3y－3＝0，l2：4x＋6y－1＝0，若l1与l2相交，则实数a满足的条件是________．
解析：∵l1与l2相交，则有 eq \f(a,4)≠ eq \f(3,6)，∴a≠2.
答案：a≠2
6．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于________．
解析：设A(x，0)，B(0，y)，因为AB的中点为P(2，－1)，所以 eq \f(x,2)＝2， eq \f(y,2)＝－1，所以x＝4，y＝－2，即A(4，0)，B(0，－2)，所以|AB|＝ eq \r(42＋22)＝2 eq \r(5).
答案：2 eq \r(5)
7．若直线l：y＝kx－ eq \r(3)与直线l1：2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是________．
解析：如图，直线l1：2x＋3y－6＝0过A(3，0)，B(0，2)，
而l过定点C(0，－ eq \r(3))，由图象可知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k>kAC，,k>0，))又kAC＝ eq \f(\r(3),3)，∴k> eq \f(\r(3),3)，
∴l的倾斜角α的取值范围是30°<α<90°.
答案：30°<α<90°
8．平行四边形ABCD的一组邻边所在直线的方程分别为x－2y－1＝0与2x＋3y－9＝0，对角线的交点坐标为(2，3).
(1)求已知两直线的交点坐标；
(2)求此平行四边形另两边所在直线的方程．
解：(1)由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y－1＝0，,2x＋3y－9＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝1，))
即两直线的交点坐标是(3，1).
(2)由(1)得已知两直线的交点坐标为(3，1)，对角线的交点坐标为(2，3)，因此，与点(3，1)相对的一个顶点坐标为(1，5).
由平行四边形的性质得另两边与已知两边分别平行，
因此另两边所在直线方程分别是y－5＝－ eq \f(2,3)(x－1)与y－5＝ eq \f(1,2)(x－1)，即2x＋3y－17＝0与x－2y＋9＝0.
9．已知直线l经过点P(3，1)，且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．
解：①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时直线l与l1，l2的交点分别为A′(3，－4)和B′(3，－9)，
截得的线段长|A′B′|＝|－4＋9|＝5，符合题意．
②若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1.
解方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k(x－3)＋1，,x＋y＋1＝0，))得A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3k－2,k＋1)，－\f(4k－1,k＋1)))，
解方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k(x－3)＋1，,x＋y＋6＝0，))得B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3k－7,k＋1)，－\f(9k－1,k＋1))).
由|AB|＝5，
得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3k－2,k＋1)－\f(3k－7,k＋1))) eq \s\up12(2)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4k－1,k＋1)＋\f(9k－1,k＋1))) eq \s\up12(2)＝52，
解得k＝0，即所求的直线方程为y＝1.
综上可知，所求直线l的方程为x＝3或y＝1.
1．[多选]直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于 eq \r(2)的点的坐标是( )
A．(－4，5)B．(－1，2)
C．(－3，4) D．(1，－5)
解析：选BC 设所求点的坐标为(x0，y0)，有
x0＋y0－1＝0，且 eq \r((x0＋2)2＋(y0－3)2)＝ eq \r(2)，
两式联立解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－3，,y0＝4))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－1，,y0＝2.))故选B、C.
2．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m－n＋p＝( )
A．24 B．20
C．0 D．－4
解析：选B 因为两直线互相垂直，所以k1·k2＝－1，
所以－ eq \f(m,4)· eq \f(2,5)＝－1，所以m＝10.
又因为垂足为(1，p)，所以代入直线10x＋4y－2＝0得p＝－2，将(1，－2)代入直线2x－5y＋n＝0得n＝－12，所以m－n＋p＝20.
3．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如： eq \r((x－a)2＋(y－b)2)可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f(x)＝ eq \r(x2＋10x＋29)＋ eq \r(x2＋6x＋18)的最小值为( )
A．5 B． eq \r(29)
C． eq \r(31) D．2＋ eq \r(13)
解析：选B f(x)＝ eq \r((x＋5)2＋4)＋ eq \r((x＋3)2＋9)
＝ eq \r([x－(－5)]2＋(0－2)2)
＋ eq \r([x－(－3)]2＋(0－3)2)
表示平面上M(x，0)到点A(－5，2)与B(－3，3)的距离之和的最小值(如图).即|MA|＋|MB|的最小值．又点A关于x轴的对称点A′(－5，－2)，|A′B|＝ eq \r(29)，∴|MA|＋|MB|＝|MA′|＋|MB|≥|A′B|＝ eq \r(29).故选B.
4．正方形ABCD的边长为4，若E是BC的中点，F是CD的中点，试建立坐标系，求证：BF⊥AE.
证明：以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则B(4，0)，E(4，2)，F(2，4)，A(0，0).
设直线AE，BF的斜率分别为kAE，kBF，则kAE＝ eq \f(2,4)＝ eq \f(1,2)，kBF＝ eq \f(4－0,2－4)＝－2.
于是kAE·kBF＝ eq \f(1,2)×(－2)＝－1，故BF⊥AE.
5．已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0，求：
(1)顶点C的坐标；
(2)直线BC的方程．
解：由BH与AC垂直，得kBH·kAC＝ eq \f(1,2)kAC＝－1.
所以kAC＝－2，
所以直线AC的方程为y－1＝－2(x－5)，即2x＋y－11＝0.
解方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y－5＝0，,2x＋y－11＝0，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝3，))
所以点C的坐标为(4，3).
(2)设B(x0，y0)，得M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0＋5,2)，\f(y0＋1,2)))，
于是有x0＋5－ eq \f(y0＋1,2)－5＝0，即2x0－y0－1＝0.
与x0－2y0－5＝0联立，得点B的坐标为(－1，－3).
所以直线BC的方程为 eq \f(y＋3,3＋3)＝ eq \f(x＋1,4＋1)，即6x－5y－9＝0.
6．已知点A(1，－1)，B(2，2)，点P在直线y＝ eq \f(1,2)x上，求|PA|2＋|PB|2取最小值时点P的坐标．
解：设P(2t，t)，则|PA|2＋|PB|2＝(2t－1)2＋(t＋1)2＋(2t－2)2＋(t－2)2＝10t2－14t＋10.
当t＝ eq \f(7,10)时，|PA|2＋|PB|2取得最小值，此时有P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,5)，\f(7,10)))， 所以|PA|2＋|PB|2取得最小值时P点的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,5)，\f(7,10))).