人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程巩固练习

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程巩固练习，共5页。试卷主要包含了已知圆C等内容，欢迎下载使用。

A．(x＋1)2＋y2＝2 B．(x＋1)2＋y2＝4
C．(x－1)2＋y2＝2 D．(x－1)2＋y2＝4
解析：选B 圆x2＋2x＋y2＝0的圆心坐标为(－1,0)，所以所求圆的方程为(x＋1)2＋y2＝4.
2．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆，则m的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，1)
解析：选D 由题意可得42＋(－2)2－4×5m>0，
即m<1.
3．已知圆的方程是x2＋y2－2x＋6y＋8＝0，那么经过圆心的一条直线的方程是( )
A．2x－y＋1＝0 B．2x＋y＋1＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x＋y－1＝0
解析：选B 把x2＋y2－2x＋6y＋8＝0配方得(x－1)2＋(y＋3)2＝2，圆心为(1，－3)，代入各选项，可知直线2x＋y＋1＝0过圆心．
4．圆x2＋y2－2ax＋6ay＋8a2＝0(a<0)的周长等于( )
A．2eq \r(2)πa B．－2eq \r(2)πa
C．2πa2 D．－eq \r(2)πa
解析：选B 由已知得，圆的标准方程为(x－a)2＋(y＋3a)2＝2a2.因为a<0，所以半径r＝－eq \r(2)a，所以圆的周长为－2eq \r(2)πa.
5．当点P在圆x2＋y2＝1上运动时，它与定点Q(3,0)连接的线段PQ中点的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＋6x＋5＝0
B．x2＋y2－6x＋8＝0
C．x2＋y2－3x＋2＝0
D．x2＋y2＋3x＋2＝0
解析：选C 设PQ中点坐标为(x，y)，则P(2x－3,2y)，代入x2＋y2＝1，得4x2＋4y2－12x＋8＝0，即x2＋y2－3x＋2＝0.
6．已知点E(1,0)在圆x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0的外部，则k的取值范围是________．
解析：方程表示圆的条件是(－4)2＋22－4×5k>0，即k<1；点E在圆的外部的条件为12＋02－4×1＋2×0＋5k>0，解得k>eq \f(3,5)，所以k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，1)).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，1))
7．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为________．
解析：∵r＝eq \f(1,2) eq \r(k2＋4－4k2)＝eq \f(1,2) eq \r(4－3k2)，∴当k＝0时，r最大，此时圆的面积最大，圆的方程可化为x2＋y2＋2y＝0，即x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．
答案：(0，－1)
8．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则圆心为________，半径为________．
解析：由题意可得圆C的圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(a,2)))在直线x－y＋2＝0上，将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(a,2)))代入直线方程得－1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)))＋2＝0，解得a＝－2. 故圆C的方程为x2＋y2＋2x－2y－3＝0，即(x＋1)2＋(y－1)2＝5，因此圆心为(－1,1)，半径为eq \r(5).
答案：(－1,1) eq \r(5)
9．已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．
解：以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系(如图)，则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2＋x,2)＝x0，,\f(0＋y,2)＝y0.)) ①
∵|AD|＝3，∴(x0＋2)2＋yeq \\al(2,0)＝9. ②
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.
∵点C不能在x轴上，∴y≠0.
综上，点C的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点．
轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)．
10．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为eq \r(2)，求圆的一般方程．
解： 圆心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，因为圆心在直线x＋y－1＝0上，所以－eq \f(D,2)－eq \f(E,2)－1＝0，即D＋E＝－2.①
又因为半径长r＝eq \f(\r(D2＋E2－12),2)＝eq \r(2)，
所以D2＋E2＝20.②
由①②可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝2，,E＝－4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－4，,E＝2.))
又因为圆心在第二象限，所以－eq \f(D,2)<0，即D>0.
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝2，,E＝－4.))
故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
1．[多选]关于方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，下列叙述中正确的是( )
A．圆心在直线y＝－x上 B．其圆心在x轴上
C．过原点 D．半径为eq \r(2)a
解析：选AC 将圆的方程化为标准方程可知圆心为(－a，a)，半径为eq \r(2)|a|，故A、C正确．
2．若圆x2＋y2－4x＋2y＋m＝0与y轴交于A，B两点，且∠ACB＝90°(其中C为已知圆的圆心)，则实数m等于( )
A．1 B．－3
C．0 D．2
解析：选B 设A(0，y1)，B(0，y2)，在圆方程中令x＝0得y2＋2y＋m＝0，y1，y2即为该方程的两根，
由根与系数的关系及判别式得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝4－4m>0，,y1＋y2＝－2，,y1·y2＝m，))
又由∠ACB＝90°，C(2，－1)，知kAC·kBC＝－1，
即eq \f(y1＋1,－2)·eq \f(y2＋1,－2)＝－1，
即y1y2＋(y1＋y2)＋1＝－4，代入上面的结果得m－2＋1＝－4，所以m＝－3，符合m<1的条件．
3．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是________．
解析：由题意知，直线y＝2x＋b过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b＝4，圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，所以a＜5，由此，得a－b＜1.
答案：(－∞，1)
4．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
解：如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)，\f(y,2)))，线段MN的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0－3,2)，\f(y0＋4,2))).由于平行四边形的对角线互相平分，
故eq \f(x,2)＝eq \f(x0－3,2)，eq \f(y,2)＝eq \f(y0＋4,2)，从而eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝x＋3，,y0＝y－4.))
又点N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
当点P在直线OM上时，有x＝－eq \f(9,5)，y＝eq \f(12,5)或x＝－eq \f(21,5)，y＝eq \f(28,5).
因此所求轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,5)，\f(12,5)))和点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(21,5)，\f(28,5))).
5．已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆．
(1)求实数m的取值范围；
(2)求该圆的半径r的取值范围；
(3)求圆心C的轨迹方程．
解：(1)要使方程表示圆，则
4(m＋3)2＋4(1－4m2)2－4(16m4＋9)>0，
即4m2＋24m＋36＋4－32m2＋64m4－64m4－36>0，
整理得7m2－6m－1<0，
解得－eq \f(1,7)(2)r＝eq \f(1,2) eq \r(4m＋32＋41－4m22－416m4＋9)
＝ eq \r(－7m2＋6m＋1)＝ eq \r(－7\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－\f(3,7)))2＋\f(16,7))，
所以0(3)设圆心坐标为(x，y)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝m＋3，,y＝4m2－1.))
消去m可得(x－3)2＝eq \f(1,4)(y＋1)．
因为－eq \f(1,7)故圆心C的轨迹方程为(x－3)2＝eq \f(1,4)(y＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(20,7)6．已知圆C: x2＋y2－4x－14y＋45＝0，及点Q(－2,3)．
(1)P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；
(2)若M为圆C上的任一点，求|MQ|的最大值和最小值．
解：(1)∵点P(a，a＋1)在圆上，
∴a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0，
∴a＝4，P(4,5)，
∴|PQ|＝eq \r(4＋22＋5－32)＝2eq \r(10)，
kPQ＝eq \f(3－5,－2－4)＝eq \f(1,3).
(2)∵圆心C的坐标为(2,7)，
∴|QC|＝eq \r(2＋22＋7－32)＝4eq \r(2)，
圆的半径是2eq \r(2)，点Q在圆外，
∴|MQ|max＝4eq \r(2)＋2eq \r(2)＝6eq \r(2)，
|MQ|min＝4eq \r(2)－2eq \r(2)＝2eq \r(2).