人教A版高中数学选择性必修第一册习题课(二)直线与圆含答案

这是一份人教A版高中数学选择性必修第一册习题课(二)直线与圆含答案，共5页。
习题课(二) 直线与圆一、选择题1．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则直线l1与直线l2之间的距离为(　　)A．1 B．eq \r(2)C.eq \r(3) D．2解析：选B　由平行线间的距离公式可知，直线l1与直线l2之间的距离为eq \f(|1＋1|,\r(2))＝eq \r(2).2．直线l过点(－1，－1)和(2,5)，点(1 009，b)在直线l上，则b的值为(　　)A．2 017 B．2 018C．2 019 D．2 020解析：选C　直线l的方程为eq \f(y－－1,5－－1)＝eq \f(x－－1,2－－1)，即y＝2x＋1，令x＝1 009，则b＝2 019.3．已知点M(a，b)在直线4x－3y＋c＝0上，若(a－1)2＋(b－1)2的最小值为4，则实数c的值为(　　)A．－21或19 B．－11或9C．－21或9 D．－11或19解析：选B　∵点M(a，b)在直线4x－3y＋c＝0上，∴点(1,1)到此直线的最小距离d＝eq \f(|4－3＋c|,5)＝2，解得c＝9或－11.故选B.4．光线从点A(－3,5)射到x轴上，经反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的距离是(　　)A．5eq \r(2) B．2eq \r(5)C．5eq \r(10) D．10eq \r(5)解析：选C　根据光学原理，光线从A到B的距离，等于点A关于x轴的对称点A′到点B的距离，易求得A′(－3，－5)．所以|A′B|＝eq \r(2＋32＋10＋52)＝5eq \r(10).5．[多选]已知直线l：(1＋a)x＋y＋2a＝0(a∈R)与圆C：x2＋(y－2)2＝4，则(　　)A．直线l必过定点B．当a＝1时，l被圆C截得的弦长为 eq \f(4\r(5),5)C．直线l与圆C可能相切D．直线l与圆C不可能相离解析：选ABD　l：x＋y＋a(x＋2)＝0，联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,x＋2＝0，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2.))所以直线过点(－2，2).故A正确．当a＝1时，l：2x＋y＋2＝0，圆心(0，2)到直线l的距离d＝ eq \f(4,\r(22＋12))＝ eq \f(4,\r(5))，弦长为2 eq \r(r2－d2)＝ eq \f(4\r(5),5)，故B正确．直线所过定点(－2，2)在圆上，过点(－2，2)与圆C相切的直线是x＝－2，但直线l：(1＋a)x＋y＋2a＝0(a∈R)，表示斜率存在的直线，表示不了直线x＝－2，故不存在直线l与圆C相切，故C错误．直线所过定点(－2，2)在圆上，所以直线l与圆C总有公共点，不可能相离．故D正确．6．直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)A．[2,6] B．[4,8]C．[eq \r(2)，3eq \r(2)] D．[2eq \r(2)，3eq \r(2)]解析：选A　设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C(2,0)，r＝eq \r(2)，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为eq \f(|2＋2|,\r(2))＝2eq \r(2)，可得dmax＝2eq \r(2)＋r＝3eq \r(2)，dmin＝2eq \r(2)－r＝eq \r(2).由已知条件可得|AB|＝2eq \r(2)，所以△ABP面积的最大值为eq \f(1,2)|AB|·dmax＝6，△ABP面积的最小值为eq \f(1,2)|AB|·dmin＝2.综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．二、填空题7．已知圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝1与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧eq \x\to(AB)的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是________________．解析：因为圆C与两轴相切，且M是劣弧eq \x\to(AB)的中点，所以直线CM是第二、四象限的角平分线，所以斜率为－1，所以过M的切线的斜率为1.因为圆心到原点的距离为eq \r(2)，所以|OM|＝eq \r(2)－1，所以Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)－1，1－\f(\r(2),2)))，所以切线方程为y－1＋eq \f(\r(2),2)＝x－eq \f(\r(2),2)＋1，整理得x－y＋2－eq \r(2)＝0.答案：x－y＋2－eq \r(2)＝08．圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离的最大值为________．解析：圆心到直线的距离为eq \f(|－25|,\r(32＋42))＝eq \f(25,5)＝5，再加上圆x2＋y2＝1的半径，得5＋1＝6，即为所求的最大值．答案：69．过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截的线段AB以P为中点，则此直线l的方程是________．解析：法一：设直线l的方程为y＝k(x－3)，将此方程分别与l1，l2的方程联立，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx－3，,2x－y－2＝0))和eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx－3，,x＋y＋3＝0，))解得xA＝eq \f(3k－2,k－2)和xB＝eq \f(3k－3,k＋1).∵P(3,0)是线段AB的中点，∴xA＋xB＝6，即eq \f(3k－2,k－2)＋eq \f(3k－3,k＋1)＝6，解得k＝8.故直线l的方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.法二：设直线l1上的点A的坐标为(x1，y1)，∵P(3,0)是线段AB的中点，则直线l2上的点B的坐标为(6－x1，－y1)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x1－y1－2＝0，,6－x1＋－y1＋3＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＝\f(11,3)，,y1＝\f(16,3)，))∴点A的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,3)，\f(16,3)))，由两点式可得直线l的方程为8x－y－24＝0.答案：8x－y－24＝0三、解答题10．已知以点C为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，且圆心在直线x＋3y－15＝0上．设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值．解：∵线段AB的中点为(1,2)，直线AB的斜率为1，∴线段AB的垂直平分线的方程为y－2＝－(x－1)，即y＝－x＋3.联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝－x＋3，,x＋3y－15＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝6，))即圆心C为(－3,6)，则半径r＝eq \r(－3＋12＋62)＝2eq \r(10).又|AB|＝eq \r(3＋12＋42)＝4eq \r(2)，∴圆心C到AB的距离d＝eq \r(2\r(10)2－2\r(2)2)＝4eq \r(2)，∴点P到AB的距离的最大值为d＋r＝4eq \r(2)＋2eq \r(10)，∴△PAB的面积的最大值为eq \f(1,2)×4eq \r(2)×(4eq \r(2)＋2eq \r(10))＝16＋8eq \r(5).11．已知以点Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(2,t)))(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．(1)求证：△OAB的面积为定值；(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．解：(1)证明：∵圆C过原点O，∴r2＝OC2＝t2＋eq \f(4,t2).设圆C的方程是(x－t)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(2,t)))2＝t2＋eq \f(4,t2).令x＝0，得y1＝0，y2＝eq \f(4,t)；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t.∴S△OAB＝eq \f(1,2)|OA|×|OB|＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4,t)))×|2t|＝4，即△OAB的面积为定值．(2)∵OM＝ON，CM＝CN，∴直线OC垂直平分线段MN.∵kMN＝－2，∴kO C＝eq \f(1,2).∴直线OC的方程是y＝eq \f(1,2)x.∴eq \f(2,t)＝eq \f(1,2)t.解得t＝2或t＝－2.当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC＝eq \r(5)，此时C点到直线y＝－2x＋4的距离d＝eq \f(1,\r(5))eq \r(5)，圆C与直线y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合题意，舍去．∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.12．已知△ABC的三个顶点A(－1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圆为圆H.(1)求圆H的标准方程；(2)若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程；(3)对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上始终存在不同的两点M，N，使得M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围．解：(1)设圆H的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则由题意，可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－D＋F＝0，,1＋D＋F＝0，,9＋4＋3D＋2E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝0，,E＝－6，,F＝－1，))所以圆H的标准方程为x2＋(y－3)2＝10.(2)设圆心到直线l的距离为d，则1＋d2＝10，所以d＝3.若直线l的斜率不存在，即l⊥x轴时，则直线方程为x＝3，满足题意；若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－3)＋2，圆心到直线l的距离为d＝eq \f(|－3k－1|,\r(－12＋k2))＝3，解得k＝eq \f(4,3)，所以直线l的方程为4x－3y－6＝0.综上可知，直线l的方程为x＝3或4x－3y－6＝0.(3)由题意得0＜|CP|－r≤2r，即r＜|CP|≤3r恒成立，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(r＜|CP|min＝\f(4\r(10),5)，,3r≥|CP|max＝|CH|＝\r(10)，))解得eq \f(\r(10),3)≤r＜eq \f(4\r(10),5).于是圆C的半径r的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),3)，\f(4\r(10),5))).