人教A版高中数学选择性必修第一册习题课(三)圆锥曲线与方程含答案

这是一份人教A版高中数学选择性必修第一册习题课(三)圆锥曲线与方程含答案，共6页。
习题课(三) 圆锥曲线与方程一、选择题1．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是(　　)A．2　　　　　　　　　 B．eq \r(3)C.eq \r(2) D．eq \f(3,2)解析：选C　由题可知y＝eq \f(b,a)x与y＝－eq \f(b,a)x互相垂直，可得－eq \f(b,a)·eq \f(b,a)＝－1，则a＝b.由离心率的计算公式，可得e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝2，e＝eq \r(2).2．已知F是抛物线y＝eq \f(1,4)x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是(　　)A．x2＝2y－1 B．x2＝2y－eq \f(1,16)C．x2＝y－eq \f(1,2) D．x2＝2y－2解析：选A　焦点为F(0,1)，设P(p，q)，则p2＝4q.设Q(x，y)是线段PF的中点，则x＝eq \f(p,2)，y＝eq \f(q＋1,2)，即p＝2x，q＝2y－1，代入p2＝4q得，(2x)2＝4(2y－1)，即x2＝2y－1.3．已知直线y＝kx＋1与双曲线x2－eq \f(y2,4)＝1交于A，B两点，且|AB|＝8eq \r(2)，则实数k的值为(　　)A．±eq \r(7) B．±eq \r(3)或±eq \f(\r(41),3)C．±eq \r(3) D．±eq \f(\r(41),3)解析：选B　由直线与双曲线交于A，B两点，得k≠±2.将y＝kx＋1代入x2－eq \f(y2,4)＝1得(4－k2)x2－2kx－5＝0，则Δ＝4k2＋4(4－k2)×5＞0，k2＜5.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(2k,4－k2)，x1x2＝－eq \f(5,4－k2)，所以|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k,4－k2)))2＋\f(20,4－k2))＝8eq \r(2)，解得k＝±eq \r(3)或±eq \f(\r(41),3).4.如图，F1，F2是椭圆C1：eq \f(x2,4)＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．其四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)A.eq \r(2)　　 B．eq \r(3)　　　C.eq \f(3,2)　　 D．eq \f(\r(6),2)解析：选D　焦点F1(－eq \r(3)，0)，F2(eq \r(3)，0)，在Rt△AF1F2中，|AF1|＋|AF2|＝4，|AF1|2＋|AF2|2＝12，所以可解得|AF2|－|AF1|＝2eq \r(2)，故a＝eq \r(2)，所以双曲线的离心率e＝eq \f(\r(3),\r(2))＝eq \f(\r(6),2)，选D.5．(2019·全国卷Ⅲ)已知F是双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为(　　)A.eq \f(3,2) B．eq \f(5,2) C.eq \f(7,2) D．eq \f(9,2)解析：选B　由F是双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1的一个焦点，知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0))＝3，,\f(x\o\al(2,0),4)－\f(y\o\al(2,0),5)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,0)＝\f(56,9)，,y\o\al(2,0)＝\f(25,9)，))所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(14),3)，\f(5,3)))，所以S△OPF＝eq \f(1,2)|OF|·y0＝eq \f(1,2)×3×eq \f(5,3)＝eq \f(5,2).6．若过点A(0，h)(h＞1)的两条直线l1和l2与椭圆E：eq \f(x2,2)＋y2＝1都只有一个交点，且l1⊥l2，则h的值为(　　)A.eq \r(3) B．eq \r(5) C．2 D．eq \r(6)解析：选A　由题意知l1，l2的斜率都存在且不为0.设l1：y＝kx＋h，则由l1⊥l2，知l2：y＝－eq \f(1,k)x＋h，将l1：y＝kx＋h代入eq \f(x2,2)＋y2＝1得eq \f(x2,2)＋(kx＋h)2＝1，即(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0，由l1与椭圆E只有一个交点知Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0，即1＋2k2＝h2.同理，由l2与椭圆E只有一个交点知，1＋eq \f(2,k2)＝h2，得eq \f(1,k2)＝k2，即k2＝1，从而h2＝1＋2k2＝3，即h＝eq \r(3).二、填空题7．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，离心率为eq \r(5)，则双曲线的方程为________．解析：因为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，所以a＝2，由离心率为eq \r(5)，可得eq \f(c,a)＝eq \r(5)，c＝2eq \r(5)，所以b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(20－4)＝4，则双曲线的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,16)＝1.答案：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,16)＝18．已知A(0，－4)，B(3,2)，抛物线y＝x2上的点到直线AB的最短距离为________．解析：直线AB为2x－y－4＝0，设抛物线y＝x2上的点P(t，t2)，d＝eq \f(|2t－t2－4|,\r(5))＝eq \f(t2－2t＋4,\r(5))＝eq \f(t－12＋3,\r(5))≥eq \f(3,\r(5))＝eq \f(3\r(5),5).答案：eq \f(3\r(5),5)9．(2022·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为 eq \f(1,2).过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是_______．解析：如图，连接AF1，DF2，EF2，因为C的离心率为 eq \f(1,2)，所以 eq \f(c,a)＝ eq \f(1,2)，所以a＝2c，所以b2＝a2－c2＝3c2.因为|AF1|＝|AF2|＝a＝2c＝|F1F2|，所以△AF1F2为等边三角形，又DE⊥AF2，所以直线DE为线段AF2的垂直平分线，所以|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，且∠EF1F2＝30°，所以直线DE的方程为y＝ eq \f(\r(3),3)(x＋c)，代入椭圆C的方程 eq \f(x2,4c2)＋ eq \f(y2,3c2)＝1，得13x2＋8cx－32c2＝0.设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则x1＋x2＝－ eq \f(8c,13)，x1x2＝－ eq \f(32c2,13)，所以|DE|＝  eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))[(x1＋x2)2－4x1x2])＝ eq \r(\f(4,3)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8c,13)))\s\up12(2)－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(32c2,13))))))＝ eq \f(48c,13)＝6，解得c＝ eq \f(13,8)，所以a＝2c＝ eq \f(13,4)，所以△ADE的周长为|AD|＋|AE|＋|DE|＝|DF2|＋|EF2|＋|DE|＝4a＝13.答案：13三、解答题10．设F1，F2分别是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且直线MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为eq \f(3,4)，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.解：(1)根据题设知Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，即eq \f(\f(b2,a)－0,c－－c )＝eq \f(3,4)，整理得2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)或eq \f(c,a)＝－2(舍去)．故C的离心率为eq \f(1,2).(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故eq \f(b2,a)＝4，即b2＝4a. 　　　①由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2－c－x1＝c，,－2y1＝2，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＝－\f(3,2)c，,y1＝－1.))代入C的方程，得eq \f(9c2,4a2)＋eq \f(1,b2)＝1.　　②将①及c＝eq \r(a2－b2)代入②得eq \f(9a2－4a,4a2)＋eq \f(1,4a)＝1，解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2eq \r(7).11．(2022·北京高考)已知椭圆E： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0，1)，焦距为2 eq \r(3).(1)求椭圆E的方程；(2)过点P(－2，1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N.当|MN|＝2时，求k的值．解：(1)依题意可知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝1，,2c＝2\r(3)，,a2＝b2＋c2，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，,c＝\r(3)，))故椭圆E的方程为 eq \f(x2,4)＋y2＝1.(2)由题可知直线BC的方程为y－1＝k(x＋2)，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，联立直线BC和椭圆E的方程，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y－1＝k(x＋2)，,\f(x2,4)＋y2＝1，))整理得(4k2＋1)x2＋(16k2＋8k)x＋16k2＋16k＝0，∴x1＋x2＝－ eq \f(16k2＋8k,4k2＋1)，x1x2＝ eq \f(16k2＋16k,4k2＋1)，由Δ>0得k