人教A版高中数学选择性必修第一册第三章章末综合检测(三)含答案

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章末综合检测(三)(时间：120分钟　满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知A(0，－5)，B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a(a>0)，当a＝3和5时，点P的轨迹为(　　)A．双曲线和一条直线B．双曲线和两条射线C．双曲线的一支和一条直线D．双曲线的一支和一条射线解析：选D　当2a<|AB|时，表示双曲线的一支；当2a＝|AB|时，表示一条射线．2．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为(　　)A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,32)＝1　　　　　　　 B．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1 D．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1解析：选B　∵椭圆的长轴长为6，焦点恰好三等分长轴，∴2a＝6，a＝3，∴6c＝6，c＝1，b2＝a2－1＝8，∴椭圆方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1，故选B.3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若eq \o(OA,\s\up7(―→))·eq \o(AF,\s\up7(―→))＝－4，则点A的坐标为(　　)A．(2，±2 eq \r(2)) B．(1，±2)C．(1,2) D．(2,2eq \r(2))解析：选B　设A(x，y)，则y2＝4x.①又eq \o(OA,\s\up7(―→))＝(x，y)，eq \o(AF,\s\up7(―→))＝(1－x，－y)，所以eq \o(OA,\s\up7(―→))·eq \o(AF,\s\up7(―→))＝x－x2－y2＝－4.②由①②可解得x＝1，y＝±2.4．若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝2x，则其离心率为(　　)A.eq \r(5) B．eq \f(\r(5),2)C．3 D．eq \r(3)解析：选A　因为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝2x，所以eq \f(b,a)＝2，即eq \f(b2,a2)＝4＝eq \f(c2－a2,a2)＝e2－1，所以e＝eq \r(5). 故选A.5．方程为mx2＋ny＝0和mx2＋ny2＝1(mn≠0)的两条曲线在同一坐标系中可以是(　　)解析：选B　因为方程mx2＋ny＝0可化为x2＝－eq \f(n,m)y；若mn>0，则方程x2＝－eq \f(n,m)y表示开口向下的抛物线，mx2＋ny2＝1(mn≠0)表示椭圆；若mn<0，则方程x2＝－eq \f(n,m)y表示开口向上的抛物线，mx2＋ny2＝1(mn≠0)表示双曲线．由题意，只有B能符合要求．故选B.6．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \f(\r(5),2)，则椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的离心率为(　　)A.eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),3)C.eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(2),2)解析：选C　由双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \f(\r(5),2)，得eq \f(a2＋b2,a2)＝eq \f(5,4)，即4b2＝a2，所以椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的离心率为 eq \r(\f(a2－b2,a2))＝eq \r(\f(3b2,4b2))＝eq \f(\r(3),2).7．若双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的eq \f(1,4)，则该双曲线的虚轴长是(　　)A．2 B．1C.eq \f(\r(5),5) D．eq \f(2\r(5),5)解析：选A　双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于eq \f(|bc|,\r(a2＋b2))＝b，因为双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的eq \f(1,4)，所以b＝eq \f(1,4)·2c，所以b＝eq \f(1,2)c＝eq \f(1,2)eq \r(3＋b2).所以b＝1，所以该双曲线的虚轴长是2.8.我们把离心率为黄金分割系数eq \f(\r(5)－1,2)的椭圆称为“黄金椭圆”．如图，“黄金椭圆”C的中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为长轴和短轴上的顶点，则∠ABF＝(　　)A．90°　　 B．60°　　　C．45°　　 D．30°解析：选A　设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由已知，得A(a,0)，B(0，b)，F(－c,0)，则eq \o(BF,\s\up7(―→))＝(－c，－b)，eq \o(BA,\s\up7(―→))＝(a，－b)．∵离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5)－1,2)，∴c＝eq \f(\r(5)－1,2)a，b＝eq \r(a2－c2)＝ eq \r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)a))2)＝ eq \r(\f(\r(5)－1,2))a，∴eq \o(BF,\s\up7(―→))·eq \o(BA,\s\up7(―→))＝b2－ac＝0，∴∠ABF＝90°.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．以下四个关于圆锥曲线的命题中，正确的是(　　)A．设A，B为两个定点，k为非零常数，|eq \o(PA,\s\up7(―→))|＋|eq \o(PB,\s\up7(―→))|＝k，则动点P的轨迹为双曲线B．曲线eq \f(x2,4－t)＋eq \f(y2,t－1)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则eq \f(5,2)|AB|时，表示椭圆；当k＝|AB|时，表示线段；当k<|AB|时不存在，故A错误；B中，曲线eq \f(x2,4－t)＋eq \f(y2,t－1)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4－t>0，,t－1>0，,t－1>4－t.))∴eq \f(5,2)a1c2 D．eq \f(c1,a1)<eq \f(c2,a2)解析：选BC　椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ中相同的量是|PF|，都为a－c，所以B正确；两椭圆相比较有：a1>a2，c1>c2，所以a1＋c1>a2＋c2，所以A错误；两椭圆中轨道Ⅰ较扁，因此离心率较大，即eq \f(c1,a1)>eq \f(c2,a2)，整理可得c1a2>a1c2，所以C正确，D错误，故选B、C.11．已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则(　　)A．双曲线C的渐近线方程为y＝±xB．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1C．点P的横坐标为±1D．△PF1F2的面积为eq \r(2)解析：选ACD　等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确．由双曲线的方程可知|F1F2|＝2eq \r(2)，所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误．点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＝2，,y0＝x0，))解得|x0|＝1，则点P的横坐标为±1，故C正确．由上述分析可得△PF1F2的面积为eq \f(1,2)×2eq \r(2)×1＝eq \r(2)，故D正确．故选A、C、D.12．已知抛物线x2＝eq \f(1,2)y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是(　　)A．点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，0))B．若直线MN过点F，则x1x2＝－eq \f(1,16)C．若MFeq \o(――→,\s\up7(＝λNF))，则|MN|的最小值为eq \f(1,2)D．若|MF|＋|NF|＝eq \f(3,2)，则线段MN的中点P到x轴的距离为eq \f(5,8)解析：选BCD　易知点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))，选项A错误；根据抛物线的性质知，MN过焦点F时，x1x2＝－p2＝－eq \f(1,16)，选项B正确；若MFeq \o(――→,\s\up7(＝λNF))，则MN过点F，则|MN|的最小值即抛物线通径的长，为2p，即eq \f(1,2)，选项C正确；抛物线x2＝eq \f(1,2)y的焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))，准线方程为y＝－eq \f(1,8)，过点M，N，P分别作准线的垂线MM′，NN′，PP′，垂足分别为M′，N′，P′，则|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|，所以|MM′|＋|NN′|＝|MF|＋|NF|＝eq \f(3,2)，所以|PP′|＝eq \f(|MM′|＋|NN′|,2)＝eq \f(3,4)，所以线段MN的中点P到x轴的距离为|PP′|－eq \f(1,8)＝eq \f(3,4)－eq \f(1,8)＝eq \f(5,8)，选项D正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．与双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(y2,4)＝1有共同的渐近线，且过点(3, 2)的双曲线方程为______．解析：设与双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(y2,4)＝1有共同的渐近线的双曲线为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,4)＝m，m≠0，且m≠1，则由题意可得，3－1＝m，则m＝2，故双曲线方程为eq \f(x2,6)－eq \f(y2,8)＝1.答案：eq \f(x2,6)－eq \f(y2,8)＝114．直线y＝－2x－3与曲线eq \f(y2,9)－eq \f(x|x|,4)＝1的公共点的个数为_______．解析：当x≥0时，曲线eq \f(y2,9)－eq \f(x2,4)＝1为焦点在y轴上的双曲线；当x＜0时，曲线eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,4)＝1为焦点在y轴上的椭圆，∴曲线eq \f(y2,9)－eq \f(x|x|,4)＝1的图象如图所示，在同一坐标系中作出直线y＝－2x－3的图象，可得直线与曲线交点个数为2个．答案：215．(2022·全国甲卷)若双曲线y2－ eq \f(x2,m2)＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________．解析：双曲线的渐近线方程为x±my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0的方程可化为x2＋(y－2)2＝1，则圆心坐标为(0，2)，半径r＝1.∵双曲线的渐近线与圆相切，∴圆心到渐近线的距离d＝ eq \f(|0±2m|,\r(1＋m2))＝1，得m＝ eq \f(\r(3),3).答案： eq \f(\r(3),3)16．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过点C(－4,0)作抛物线的两条切线CA，CB，A，B为切点，若直线AB经过抛物线y2＝2px的焦点，△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线标准方程是________．解析：由抛物线的对称性知，AB⊥x轴，且AB是焦点弦，故|AB|＝2p，∴△CAB的面积S＝eq \f(1,2)×|AB|×d＝eq \f(1,2)×2p×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)＋4))＝24，整理得p2＋8p－48＝0，解得p＝4或p＝－12(舍去)，∴抛物线方程是y2＝8x，直线AB的方程是x＝2，∴以直线AB为准线的抛物线标准方程是y2＝－8x.答案：y2＝－8x四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程：(1)短轴长等于2eq \r(3)，离心率等于eq \f(1,2)的椭圆；(2)与椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1共焦点，且过点(4,5)的双曲线．解： (1)由题意可知，b＝eq \r(3)，eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，又a2＝b2＋c2，可得a＝2.若焦点在x轴上，椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1；若焦点在y轴上，椭圆的标准方程为eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1.(2)椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1的焦点为(0，±3)，可设双曲线方程为eq \f(y2,m)－eq \f(x2,9－m)＝1，将点(4,5)代入可得eq \f(25,m)－eq \f(16,9－m)＝1，整理可得，m2－50m＋225＝0，解得m＝5或m＝45(不合题意)，所以双曲线的标准方程为eq \f(y2,5)－eq \f(x2,4)＝1.18．(12分) 已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(2),2)，右焦点为F(1,0)．(1)求此椭圆的标准方程；(2)若过点F且倾斜角为eq \f(π,4)的直线与此椭圆相交于A，B两点，求|AB|的值．解：(1)由题意知eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)且c＝1，∴a＝eq \r(2)，b＝eq \r(a2－c2)＝1.故椭圆的标准方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.(2)由(1)知，椭圆方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1. ①又直线过点F(1,0)，且倾斜角为eq \f(π,4)，斜率k＝1.∴直线的方程为y＝x－1.②由①②联立，得3x2－4x＝0，解得x1＝0，x2＝eq \f(4,3).故|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(0－\f(4,3)))＝eq \f(4\r(2),3).19．(12分)已知双曲线C：x2－y2＝a2(a>0)与椭圆eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1有相同的焦点．(1)求双曲线C的方程；(2)以P(1,2)为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．解： (1)由已知椭圆eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1，得双曲线C的焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)，即c＝2，由等轴双曲线的性质a＝b及c2＝a2＋b2，得a＝eq \r(2)，故所求双曲线C的方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1.(2)当AB所在直线斜率不存在时，中点不可能为P(1,2)，故此时不满足题意；由对称性可知，当AB所在直线斜率存在时，设AB所在直线的方程为y＝kx＋m，联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,x2－y2＝2))消去y，得(1－k2)x2－2kmx－(m2＋2)＝0，则x1＋x2＝eq \f(2km,1－k2)＝2.①又点P(1,2)在AB所在的直线y＝kx＋m上，即2＝k＋m.②联立①②两式，解得k＝eq \f(1,2)，m＝eq \f(3,2)，经检验，直线方程x－2y＋3＝0即为所求．20．(12分)设抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，M(p，p－1)是C上的点．(1)求C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与C交于A，B两点，且|AF|·|BF|＝13，求k的值．解：(1)因为M(p，p－1)是抛物线C上的点，所以p2＝2p(p－1)．因为p＞0，所以p＝2，因此抛物线C的方程为x2＝4y.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,x2＝4y，))得x2－4kx－8＝0，Δ＝16k2＋32＞0，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－8，由抛物线的定义知，|AF|＝y1＋1＝kx1＋3，|BF|＝y2＋1＝kx2＋3，则|AF|·|BF|＝(kx1＋3)(kx2＋3)＝k2x1x2＋3k(x1＋x2)＋9＝4k2＋9＝13，解得k＝±1.21．(12分)已知F为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，过F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，|AB|＝8.(1)求抛物线的方程；(2)已知P(x0，－1)为抛物线上一点，M，N为抛物线上异于P的两点，且满足kPM·kPN＝－2，试探究直线MN是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由．解：(1)由已知Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，直线AB的方程为y＝x－eq \f(p,2)，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y2＝2px，,y＝x－\f(p,2)，))消去y可得，x2－3px＋eq \f(p2,4)＝0，所以xA＋xB＝3p.因为|AB|＝xA＋xB＋p＝4p＝8，所以2p＝4，故抛物线的方程为y2＝4x.(2)将P(x0，－1)代入y2＝4x可得Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，－1))，不妨设直线MN的方程为x＝my＋t(m≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x＝my＋t，))消去x，得y2－4my－4t＝0，则Δ＝16m2＋16t，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t.由题意kPM·kPN＝eq \f(y1＋1,x1－\f(1,4))·eq \f(y2＋1,x2－\f(1,4))＝eq \f(4,y1－1)·eq \f(4,y2－1)＝eq \f(16,y1y2－y1＋y2＋1)＝－2，化简可得，t＝eq \f(9,4)－m，代入Δ＝16m2＋16t＝16eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m2＋\f(9,4)－m))＝16eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,2)))2＋32>0，此时直线MN的方程为x＝m(y－1)＋eq \f(9,4)，所以直线MN过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，1)).22．(12分)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点F2与抛物线y2＝4x的焦点重合，且其离心率为eq \f(1,2).(1)求椭圆C的方程；(2)已知与坐标轴不垂直的直线l与C交于M，N两点，线段MN中点为P，问kMN·kOP(O为坐标原点)是否为定值？请说明理由．解：(1)∵抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，∴椭圆C的半焦距c＝1，又椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，∴a＝2，则b＝ eq \r(a2－c2)＝eq \r(3).∴椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.(2)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为y＝kx＋m，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,3x2＋4y2－12＝0，))得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.由Δ＞0，可得m2＜4k2＋3.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(－8km,3＋4k2)，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝eq \f(6m,3＋4k2)，∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－4km,3＋4k2)，\f(3m,3＋4k2)))，∴kOP＝eq \f(\f(3m,3＋4k2),\f(－4km,3＋4k2))＝－eq \f(3,4k).∴kMN·kOP＝－eq \f(3,4).