高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示导学案

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知识精讲
知识点
1．平面向量数量积的坐标表示
在平面直角坐标系中，设分别是x轴，y轴上的单位向量．由于向量分别等价于，根据向量数量积的运算，有
，由于为正交单位向量，故，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
2．平面向量的模的坐标表示
（1）平面向量的模的坐标公式
若向量，由于，所以．
其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根．
（2）平面内两点间的距离公式
已知原点，点，则，于是．
其含义是：向量的模等于A，B两点之间的距离．
3．平面向量垂直的坐标表示
已知非零向量，则．
（如果a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a∥b的充要条件为x1y2–x2y1=0）
4．平面向量夹角的坐标表示
已知非零向量，是与的夹角，则．
【即学即练1】已知向量，向量与向量的夹角为，且，则的值为（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】B
【分析】先求出，再利用平面向量数量积的定义求出.
【详解】，，
由平面向量数量积的定义可得，解得，故选：B.
【即学即练2】．设向量，，如果向量与平行，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出与的坐标，根据两向量平行求出的值，即得解.
【详解】，所以.
所以.故选：D
【即学即练3】若向量，，则与的夹角为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】运用向量的平方即为模的平方求模，再求出，的数量积，再由向量的夹角公式，计算即可得到．
【详解】，，，，，
设与夹角的余弦值为，，所以．故选：．
【即学即练4】已知向量，，且，那么t等于（ ）
A．-4B．-1C．1D．4
【答案】A
【分析】根据向量平行的坐标运算列出方程，即可解出答案.
【详解】因为，，且，所以即，解得.故选：A
【即学即练5】已知向量＝（1，2），＝（m，1），且向量满足，则向量在方向上的投影为（ ）
A．B．C．2或D．2或
【答案】D
【分析】把已知向量，代入所求数量积，利用投影的概念，求解即可．
【详解】向量，＝（m，1），，可得：m2+m＝0，解得m＝0，m＝﹣1，
当m＝0时，＝（0，1），向量在方向上的投影为＝2，
当m＝﹣1时，＝（﹣1，1），向量在方向上的投影为，故选：D．
【即学即练6】向量，，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由平面向量共线和垂直的坐标关系可判断各选项的正误.
【详解】由已知可得，因为，则与不平行，A错；
因为，则与不垂直，B错；
因为，则与不平行，C错；
因为，故，D对.故选：D.
【即学即练7】已知向量， ，若则（ ）
A．B．5C．D．
【答案】B
【分析】由向量的数量积可得，再利用向量的坐标运算即得.
【详解】由向量，，，∴，所以，
∴，∴，即.故选：B
【即学即练8】在平面直角坐标系内，已知 ．
（1）若，求证：为直角三角形；
（2）若存在实数，使，求实数的值．
【答案】（1）证明见解析；（2），．
【分析】（1）根据向量计算，即可得证；（2）根据向量的数乘计算即可求解.
【解析】（1），，,
,.为直角三角形
（2）由于，所以，则
解得，．所以，．
【即学即练9】已知、、为同一平面内的三个向量，其中.
（1）若，且，求；（2）若，且与垂直，求.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）根据向量平行的坐标表示得到方程，解得即可；
（2）由与垂直，可得，根据向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可；
【解析】（1）∵，且，∴，∴，∴.
（2）由与垂直，得，即∴.
【即学即练10】已知为坐标原点，，，与垂直，与平行，求点的坐标．
【答案】.
【分析】设，根据与垂直，与平行，列出方程组，解之即可得出答案.
【详解】设，则，
因为与垂直，与平行，所以，解得，
所以点的坐标为.
【即学即练11】已知是同一平面内的三个向量，其中．
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角.
【答案】
（1）或.
（2）.
【分析】
（1）设，根据两向量平行的坐标关系以及向量的模的计算建立方程组，求解即可；
（2）由向量垂直的条件以及向量夹角的计算公式可求得答案.
【解析】（1）设，因为，所以．①
又，所以．②，由①②联立，解得或，所以或．
（2）由，得，
又，解得，所以，所以与的夹角.
能力拓展
考法01
平面向量数量积的计算：
向量的模
若向量，则；
若点，则
【典例1】
（1）设向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且ab，则x=________．
（2）已知向量a=(m，4)，b=(3，−2)，且a∥b，则m=________．
（3）已知向量 ， 则________．
（4）设平面向量，若，则等于________．
【答案】（1）；（2）；（3）30°；（4）．
【解析】（1）由题意，得
（2）因为a∥b，所以，解得．
（3）由题意，得，所以．
（4）因为，所以，解得从而=(1，2)，．
【名师点睛】（1）进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
（2）对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．
【典例2】已知，，求，，，．
【答案】，，，.
【分析】
利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果.
【详解】
由题意可知：，
，，
又因为，且，所以.
【典例3】如图，在矩形ABCD中，，，点E为边BC的中点，点F在边CD上，若，求的值．
【答案】
【分析】本题可以用向量加法法则进行向量替换，也可以建立直角坐标系用坐标法计算﹒
【详解】方法一：
．
方法二：以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
由得，所以故，
所以，所以
【即学即练12】已知点A（2，3），B（6，1），O为坐标原点，P为x轴上一动点.
（1）若⊥，求点P的坐标；
（2）当取最小值时，求向量与的夹角的余弦值.
【答案】（1）(3,0)或(5,0)；（2）.
【分析】
（1）根据题意设出点P(x,0)，利用坐标表示出、，根据0列方程求出x的值；
（2）由是关于x的二次函数，求出最小值对应的、的值，再求与夹角的余弦值.
【详解】
根据题意，设点P(x,0)，又A(2,3)，B(6,1)，得(x-2,-3)，(x-6,-1)，
（1）由⊥，即(x-2)(x-6)+(-3)×(-1)＝x2-8x+15＝0，解得x＝3或x＝5，
∴P的坐标为(3,0)或(5,0)；
（2）由(x-2)(x-6)+(-3)×(-1)＝x2-8x+15＝(x-4)2-1，
当x＝4时，取得最小值-1，此时(2,-3)，(-2,-1)，||，||，
∴与夹角的余弦值为：csθ.
考法02
2.平面向量数量积的综合应用
【典例4】已知三点A(2，1)，B(3，2)，D(−1，4)．
（1）求证：AB⊥AD;
（2）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度．
【答案】（1）答案详见解析；（2），．
【解析】（1）∵A(2，1)，B(3，2)，D(−1，4)，
∴．则，
∴，即AB⊥AD．
（2）∵，四边形ABCD为矩形，∴．
设C点的坐标为(x，y)，则，从而有，即，
∴C点的坐标为．又，，
∴矩形ABCD的对角线的长度为．
【名师点睛】利用向量的坐标运算解决图形问题，常见的题型有：
（1）求点的坐标：设出所求点的坐标，利用终点坐标与始点坐标的差得到向量的坐标，根据向量间的关系求解．
（2）证明两线段垂直：求证两线段所对应的向量的数量积为0即可．
（3）求线段的长度：求出线段所对应的向量的模即可．
【典例5】已知，.
（1）若，求的坐标；（2）若，求与的夹角.
【答案】
（1）或；（2）.
【分析】
（1）设，利用向量的模长公式可求得实数的值，即可得出向量的坐标；
（2）由已知可得，可求得的值，利用平面向量夹角的取值范围即可得解.
【解析】（1）因为，设，则，解得.
因此，或.
（2）由已知可得，因为，
则，可得，所以，，
，则.
【典例6】已知是相互垂直的单位向量，，，，，，求m与n的值．
【答案】或
【分析】是相互垂直的单位向量，不妨设是轴正方向的单位向量，则可用坐标表示题中向量，由，，求出的坐标，再由向量相等得出的方程组，解之可得．
【详解】是相互垂直的单位向量，不妨设是轴正方向的单位向量，则，
因为，，所以，
得或解得或.
【典例7】设向量．
（1）当时，求的值：（2）若，且，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）直接利用三角运算结合向量模的运算法则计算得到答案.
（2）根据向量平行得到，再化简利用齐次式计算得到答案.
【详解】（1），所以，所以；
（2），则，所以，故．
【点睛】本题考查了向量模的运算，向量平行的应用，三角恒等变换，齐次式求值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
【典例8】在平面直角坐标系中，已知向量，，，且．
（1）求与间的关系；
（2）若，求与的值及四边形的面积．
【答案】
（1）
（2）或四边形的面积为16
【分析】
（1）由已知，利用平面向量坐标运算分别表示出，的坐标，利用平行关系即可得到与间的关系.
（2）由（1）得到与间的关系以及利用数量积为0，通过联立方程分别解出，并确定，坐标.最后，由四边形对角线垂直，可直接由对角线长度乘积的一半求出四边形面积.
（1）由题意得，，
因为，所以，即……①
（2）由题意得，，
因为，所以，即，
整理得……②
联立①②,解得或.
记四边形面积为.
当时，，，则，
当时，，，则
综上或四边形的面积为16.
【典例9】已知向量，.①，共线，②.
（1）若______，请从以上两个条件中任选一个，求x的值；
（2）当时，求与夹角θ的余弦值.
【答案】
（1）选择①，；选择②，；
（2）.
【分析】（1）选择①，根据共线即可得出，解出即可；选择②，先求出，根据即可得出，然后进行数量积的坐标运算即可求出的值；
（2）时，可得出向量的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出．
【解析】（1）如果选择①，共线，，解得；
如果选择②，，且，，解得.
（2）当时，，，，．
【典例10】已知O为坐标原点，，，，则在线段OC上是否存在点M，使得若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】或
【分析】假设存在点，且,求出的坐标,根据平面向量互相垂直时,它们的数量积为零,得到方程,解方程求出,最后求出点坐标.
【详解】
解：设存在点，且
，,
因为,所以,
有或
或存在或满足题意.
【即学即练13】已知点，，.
（1）若最小，求实数的值：
（2）若与夹角的余弦值为，求实数的值.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】
（1）可得出，从而得出，从而可得出取最小值时的值；
（2）根据题意即可得出，然后解出的值即可．
【详解】
解：（1）由题意，，
于是，
所以，
所以的最小值为5，
此时；
（2）由，
得，
化简得，解得或.
【点睛】本题考查了根据点的坐标求向量坐标的方法，根据向量坐标求向量长度的方法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
【典例11】已知向量.
（1）若，求tan2x的值；
（2）若f（x）＝•，则函数f（x）的值域．
【答案】（1）,（2）
【分析】
（1）利用向量共线的坐标表示可得，根据二倍角的正弦公式可得，根据的范围可得，进一步可得；
（2）利用平面向量的数量积的坐标表示与两角和的正弦公式可得，再根据的范围，结合正弦函数的图象可得结果.
【详解】
（1）因为，所以，所以，
因为，所以，所以，
所以.
（2），
因为，所以，
所以，
所以.
【点睛】
本题考查了平面向量共线的坐标表示，考查了二倍角的正弦公式，考查了平面向量数量积的坐标表示，考查了两角和的正弦公式，考查了利用正弦函数的图象求值域，属于中档题.
考法03
对向量关系式表达的向量之间的相互关系判断错误
【典例12】已知向量，且与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是 ．
【错解】∵与的夹角为钝角，
∴，即，
∴．
【正解】∵与的夹角为钝角，
∴，即，
∴．
又当与反向时，夹角为180°，即，则，解得．
应该排除反向的情形，即排除，
于是实数λ的取值范围为．
【错因分析】与的夹角为钝角并不等价于，等价于与的夹角为钝角或180°．事实上，由与的夹角θ为钝角应得出．
【误区警示】依据两向量夹角θ的情况，求向量坐标中的参数时，需注意当夹角为0°时，;当夹角为180°时，，这是容易忽略的地方．
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知，，则（ ）
A．0B．C．2D．
【答案】C
【分析】
根据向量数量积的坐标运算即可直接求得.
【详解】
因为，，所以.
故选：C.
2. 若，，且，则x=（ ）
A．1B．-1C．4D．-4
【答案】A
【分析】
根据数量积的定义建立关系即可解出.
【详解】
，，
，
，解得.
故选：A.
3. 若向量，则与的夹角余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用向量数量积的坐标运算以及向量模的坐标运算即可求解.
【详解】
由，，
则，，
，
设与的夹角余弦值为，
所以
.
故选：C
4. 已知向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，若（λ+）⊥，则实数λ的值为（ ）
A．B．﹣C．D．3
【答案】A
【分析】
设＝（x，y），由向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，（λ+）⊥，，列方程组，能求出λ的值．
【详解】
解：设＝（x，y），
∵向量＝（1，），向量在方向上的投影为﹣6，（λ+）⊥，，
∴，
解得λ＝．
故选：A．
5. 在平行四边形ABCD中，=(1，0)，=(2，2)，则等于（ ）
A．4B．-4C．2D．-2
【答案】A
【分析】
先求得，由此求得.
【详解】
如图，由向量的加减，可得=(1，2)，
=(0，2).
故=(1，2)·(0，2)=0+4=4.
故选：A
6. 在矩形ABCD中，AB=2，AD=2，点E为线段BC的中点，点F为线段CD上的动点，则的取值范围是（ ）
A．[2，14] B．[0，12] C．[0，6] D．[2，8]
【答案】A
【分析】
建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，转化为一次函数，根据单调性求范围即可.
【详解】
如图建立平面直角 ，
则A(0，0)，E(2，1)，
设F(x，2)(0≤x≤2)，
所以=(2，1)，=(x，2)，因此=2x+2，
设f(x)=2x+2(0≤x≤2)，f(x)为增函数，
则f(0)=2，f(2)=14，故2≤f(x)≤14，的取值范围是[2，14].故选：A
7. 已知均为单位向量，且，则 的取值范围是（ ）
A．[0，1]B．[1，1]
C．[]D．[0，]
【答案】C
【分析】由已知条件可得，则有，再由的范围可求得答案
【详解】因为为单位向量，，所以，得，
所以，
设与的夹角为θ，则，
∵cs θ∈[1，1]，∴的取值范围为[].故选：C
8. 已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2，AD=1，梯形所在平面内一点P满足=2，则=（ ）
A．- B．-1 C．-2 D．-2
【答案】B
【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，根据=2，求得点P的坐标，从而可求得的坐标，即可得出答案.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，
因为AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2，AD=1，所以B(0，0)，A(0，2)，C(2，0)，D(1，2)，
所以=(0，2)，=(2，0)，
因为=2，所以2=(0，2)+(2，0)=(2，2)，
故=(1，1)，故P(1，1)，=(0，1)，=(1，-1)，所以.
故选：B.
9. 设向量，，．若，则与的夹角为（ ）
A．0°B．30°C．60°D．90°
【答案】D
【分析】根据题意，求出x的值，即可得的坐标，进而可得的坐标，即可求解．
【详解】根据题意，设与的夹角为，
，，，
则，解得，
则，，
则，所以，故，故选：D．
10. ．已知，，则下列结论中正确的个数为（ ）
①与同向共线的单位向量是 ； ②与的夹角余弦值为；
③向量在向量上的投影向量为 ； ④.
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【分析】根据单位向量、向量夹角的余弦值、投影以及向量垂直的定义逐个验证即可.
【详解】，故①正确；
，故②错误；
向量在向量上的投影向量为，故③正确；
，故④正确；故选:C.
11. 设，向量且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行垂直关系可求出，即可求出，进而得出所求.
【详解】且，，解得，
，.故选：D.
12. ．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB=3，E为AD上一点，BE⊥AC.若=λ+μ，则λ+μ的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，进而利用向量的坐标表示，设，由可得，再由，利用坐标表示建立方程组求解即可.
【详解】由题意建立如图所示直角坐标系

因为AB=3，BC=4，则B(0，0)，A(0，3)，C(4，0)，，，设，
因为BE⊥AC，所以，解得.
由，得，
所以解得，所以，故选：B.
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示，属于基础题.
题组B 能力提升练
1. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，使得
C．，与的夹角小于D．，使得
【答案】A
【分析】
由平面向量的模的坐标公式，平行的坐标表示，夹角的坐标表示，及垂直的坐标表示，依次判断各选项即可得出结果.
【详解】
因为，，
又，
所以.故正确；
，若，则，
解得，即当时，，故错误；
设与的夹角为，则，
当时，，夹角为，故C错误；
因为，
所以不存在，使得，故D错误.
故选：.
2. 已知菱形的对角线相交于点，点为的中点，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意,以对角线交点为坐标原点，对角线所在直线为轴建立直角坐标系,利用坐标法求解.
【详解】如图，以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
由，，所以，，，，所以，
所以.故选：B
【点睛】本题考查向量的数量积运算，解题的关键在于根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标法求解，考查运算求解能力，是中档题.
3. 已知向量，，若，则（ ）
A．1B．－1C．D．
【答案】A
【分析】根据向量，，由得到 ，然后再由.求解.
【详解】因为向量，，所以，
即，所以
所以.
故选：A
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算和同角三角函数基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
4. 已知向量，，将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平面向量数量积的运算和辅助角公式可得，向左平移个单位，得到，从而有，，再结合，即可得解.
【详解】，
将函数的图象向左平移个单位，得到，
该函数的图象关于原点对称，该函数是奇函数，
，，，，
又，.故选：D.
【点睛】本题考查数量积的坐标运算、辅助角公式和三角函数的图象变换，属于中档题.
5.（多选题）设向量，，则（ ）
A．B．
C．D．与的夹角为
【答案】CD
【分析】
根据给定条件对各选项逐一推理计算并判断作答.
【详解】
因向量，，则，，A不正确；
，而，即与不共线，B不正确；
而，则，，C正确；
，又，于是得，即与的夹角为，D正确.故选：CD
6.（多选题）已知向量，设的夹角为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】
根据题设先分别求出的坐标然后根据向量的坐标运算即可求解
【详解】
根据题意，则，
依次分析选项：对于A，，，则不成立，A错误；
对于B，，则，即，B正确；
对于C，不成立，C错误；
对于D，，则，，，则，则，D正确；
故选：BD．
7.（多选题）下列结论正确的是（ ）
A．若，，，为锐角，则实数的取值范围是
B．点在△所在的平面内，若，则点为△的重心
C．点在△所在的平面内，若，，分别表示△，△的面积，则
D．点在△所在的平面内，满足且， 则点是△的外心.
【答案】BC
【分析】A：利用向量夹角的坐标表示写出关于m的关系式，由求m范围，注意排除的情况；B：为的中点有，根据重心的性质即可确定正误；C：若分别是的中点，结合已知得，再过作上的高，由线段比例确定高的比例关系即可；D：，由等的几何含义及已知条件得，.
【详解】A：，，由为锐角，故且与不共线，可得且，错误；
B：若为的中点，，则有，即共线且，可知为△的重心，正确；
C：若分别是的中点，则，，所以，故，即共线且，过作上的高，易知，则，所以，正确；
D：如下图，，则，，由已知条件知：，，易知为△的内心，错误；
故选：BC
8. 已知是边长为2的等边三角形，D，E分别是上的点，且，，与交于点O，则（ ）
A．B．
C．D．在方向上的投影为
【答案】BD
【分析】可证明，结合平面向量线性运算法则可判断A；由结合平面向量数量积的定义可判断B；建立直角坐标系，由平面向量线性运算及模的坐标表示可判断C；由投影的计算公式可判断D.
【详解】因为是边长为2的等边三角形，，
所以为的中点，且，以为原点如图建立直角坐标系，
则，，，，
由可得，则，
取的中点，连接，易得且，
所以≌，，则，
对于A，，故A错误；
对于B，由可得，故B正确；
对于C，，，，，
所以，所以，故C错误；
对于D，，，所以在方向上的投影为，故D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：建立合理的平面直角坐标系是解题关键.
9. 在等腰梯形ABCD中,已知, 点E和点F分别在线段BC和CD上,且 则的值为 ．
【答案】
【解析】本题考点是平面向量的数量积及向量的线性运算，
在等腰梯形ABCD中,由∥,
得,, ,
所以=
10. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，eq \(BA,\s\up10(→))·eq \(CA,\s\up10(→))＝4，
eq \(BF,\s\up10(→))·eq \(CF,\s\up10(→))＝－1，则eq \(BE,\s\up10(→))·eq \(CE,\s\up10(→))的值是________．
【答案】eq \f(7,8)
【解析】本题考点是平面向量的线性运算及数量积的运算，由题意可设，
则，
，
由上面两式可以解得
则
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1. 如图，在中，，，为线段的垂直平分线，与交与点为上异于的任意一点.
求的值；
判断的值是否为一个常数，并说明理由．
【答案】14；是.
【分析】
法一：由题意及图形，可把向量用两个向量的表示出来，再利用数量积的公式求出数量积；
将向量用与表示出来，再由向量的数量积公式求数量积，根据其值的情况确定是否是一个常数；
法二：由题意可以以BC所在直线为x轴，DE所在直线为y轴建立坐标系，得出各点的坐标，由向量坐标的定义式求出的坐标表示，由向量的数量积公式求数量积；
设E点坐标为，表示出向量的坐标再由向量的数量积坐标表示公式求数量积即可.
【详解】
法1：由已知可得，，
,
的值为一个常数为线段BC的垂直平分线，L与BC交与点D，E为L上异于D的任意一点，
，
故：
解法2：以D点为原点，BC所在直线为x轴，L所在直线为 y轴建立直角坐标系，可求，
此时，，
设E点坐标为，
，
常数．
【点睛】
本题考查向量在几何中的应用，本题采用了二种解法，一是基向量法，一是向量的坐标表示，解题的关键是建立坐标系与设定其向量.
2. 在平面直角坐标平面内，已知.
（1）若，求证：为直角三角形；
（2）求实数的值，使最小；
（3）若存在实数，使，求实数、的值.
【答案】（1）见解析； （2）当时, 的最小值为2；（3） .
【分析】
（1）当时，，求出，由，能证明为直角三角形；（2）求出，，从而，由此能求出结果；（3）由，列出方程组，能求出实数、的值．
【详解】
（1）当时，，则，
.
，即为直角三角形.
（2），
，
.
当时, 的最小值为2.
（3）由得, .
【点睛】
本题考查三角形是直角三角形的证明，考查向量的模取最小值时对应的实数值的求法，涉及到平面向量坐标运算法则、向量垂直、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．
3. 已知,且
(1) 求 及;
(2) 求函数 的最小值.
【答案】(1)见解析;(2).
【分析】
(1) 根据向量数量积的坐标运算，求出；根据向量加法运算及模的求法求得．
(2) 将(1)中结果代入函数表达式，利用辅助角公式化简，进而求得，再根据求得的最小值．
【详解】
(1)，
又 ；
(2)，
，
．
【点睛】
本题考查了向量数量积、向量坐标加法的简单应用，辅助角公式的应用．
4. 已知向量
(1)若，求证：;
(2)若向量共线，求.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】
【试题分析】（1）计算即可证得两向量垂直.（2）根据两个向量共线的公式，得到，化简求得，利用向量模的计算公式，计算出.
【试题解析】
（1）当时，
又
（2）因为向量共线，即
当，则与矛盾，故舍去；
当时，由得：
又
另解：由得所以.
5. 已知，，是同一平面内的三个向量，其中.
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【答案】（1）或 （2）
【分析】
（1）由向量共线的坐标运算及模的运算即可得解；
（2）由向量数量积的坐标运算即可，特别要注意向量与不能共线.
【详解】
解：（1）因为，且，
则，
又，所以，即，
故或；
（2）由，则，
由，解得，
又与不共线，则，解得，
故与的夹角为锐角时，实数的取值范围为：.
【点睛】
本题考查了向量共线的坐标运算及数量积的坐标运算，重点考查了运算能力
6. 如图，已知、、，设向量是与向量垂直的单位向量.
（1）求单位向量的坐标；
（2）求向量在向量上的投影；
（3）求的面积.
【答案】（1）或；（2）或；（3）.
【分析】
（1）求出向量的坐标，设，由建立关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出向量的坐标；
（2）计算出向量，利用向量的坐标运算得出向量在上的投影为；
（3）利用三角形的面积公式得出可得出结果.
【详解】
（1）设，由题意得，且，
由题意可得，即，解得或，
因此，或；
（2）设向量与单位向量的夹角为，设在上的投影为，
则，且，
当时，；
当时，.
因此，在向量方向上的投影为；
（3）由三角形的面积公式可得.
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，涉及垂直向量、向量的模长、投影以及三角形的面积，解题时要将向量的相关问题转化为坐标运算，考查运算求解能力，属于中等题.
7. 已知平面向量，，，且，.
（1）求和；
（2）若，，求向量与向量的夹角的大小.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）利用共线向量的坐标表示和垂直向量的坐标表示并结合条件，，列方程求出、的值，可得出向量和的坐标；
（2）求出、的坐标，利用向量数量积的坐标运算计算出向量与向量夹角的余弦值，由夹角的取值范围可求出这两个向量夹角的值.
【详解】
（1），，，且，，，
解得，因此，，；
（2），，
则，，，
设与的夹角为，，，则.
因此，向量与向量的夹角为.
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，涉及共线向量、向量垂直以及利用坐标计算向量的夹角，解题的关键就是将问题转化为向量的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.
8. 已知向量，，且
（1）求及的值；
（2）若的最小值是，求实数的值．
【答案】（1），，（2）
【分析】
（1）利用向量数量积的坐标运算公式求得，再根据的坐标，求得的值；
（2）由（1）得，令则，问题转化为当为何值时，函数在上有最小值，然后分类讨论，利用二次函数的性质求解
【详解】
解：（1）因为向量，，
所以，
，
所以
因为，所以，
所以，
（2）由（1）可得，
令，则，
令，其图像的对称轴为直线，
则问题转化为当为何值时，函数在上有最小值，
①当时，则函数在上递增，最小值为，不合题意，舍去，
②时，则函数在上递减，在上递增，则最小值为，解得或（舍去），
③当时，则函数在上递减，最小值为，解得，不合题意，舍去，
综上，
【点睛】
此题考查向量的数量积公式，三角函数恒等变换公式的应用，二次函数的性质，考查转化思想和分类讨论思想，属于中档题
9. 已知向量，，.
（1）若，，求实数的值；
（2）记，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2） .
【分析】
（1）先建立方程，再将代入得到，最后求解即可；
（2）先建立方程，再求出的取值范围，再建立不等式，参变分离得到，最后求实数的取值范围.
【详解】
（1）∵，∴ ，整理得：
∵，，解得：
（2）∵，，，
∴
∵，∴，
∴，
∴，
若恒成立，
则恒成立，
又∵，
∴，
故实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查利用向量共线求参数、向量数量积的坐标表示、利用恒成立不等式求参数范围，是中档题.
10. 已知，，，若其图像关于点对称
（1）求的解析式；
（2）求在上的单调区间；
（3）当时，求的值.
【答案】（1）；（2）在上的增区间是，减区间是；（3），.
【分析】
（1）先根据数量积以及二倍角公式对其进行整理；再结合其图象关于点对称求出即可得到结论；
（2）令可得在上的单调区间；
（3）直接根据数量积为0 对应的结论即可求解．
【详解】
（1），
∴


∵的图象关于点对称
∴，
即，
∵
∴
∴.
（2）的单调递增区间为：
；
单调递减区间为：
；
所以在上的增区间是，减区间是；
（3）∵
∴
即，
解得，
【点睛】
本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
课程标准
课标解读
理解与掌握平面向量数量积的坐标表
示及数量积的坐标公式；
掌握向量数量积坐标表示的相关运算
公式及运算定律；
掌握平面两向量的垂直、共线的坐标表
示及判定方法与性质；
4.能利用平面向量的位置关系求待定参数，并能解决与数量积有关的计算、求值问题.
通过本节课的学习，要求掌握与平面向量数量积有关的计算、运算性质、运算定律，并能根据平面向量的平行、垂直等位置关系，进行向量数量积的有关求值与待定参数的解决问题.