高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.2 事件的相互独立性学案

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知识精讲
知识点
1. 事件的关系
2. 交事件与并事件
3.互斥事件和对立事件
4. 事件的关系或运算的含义及符号表示
【微点拨】定义多个事件的和事件以及积事件.
对于三个事件A、B、C，A∪B∪C(或A+B+C)发生，当且仅当A、B、C中至少一个发生，A∩B∩C(或ABC)发生，当且仅当A、B、C同时发生.
【即学即练1】许洋说：“本周我至少做完三套练习题．”设许洋所说的事件为A，则A的对立事件为（ ）
A．至多做完三套练习题B．至多做完两套练习题
C．至多做完四套练习题D．至少做完两套练习题
【即学即练2】抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“向上的点数为”，其中，“向上的点数为偶数”，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．与互斥D．与对立
【即学即练3】从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么下列事件中是互斥而不对立的事件是（ ）
A．“恰有两个白球”与“恰有一个黑球”
B．“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”
C．“都是白球”与“至少有一个黑球”
D．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
【即学即练4】如果事件A，B互斥，那么（ ）
A．A∪B是必然事件
B．A的对立事件与B的对立事件的和事件是必然事件
C．A的对立事件与B的对立事件是互斥事件
D．A的对立事件与B的对立事件不是互斥事件
【即学即练5】抽查10件产品，设试验的样本空间为Ω，A＝“至多有1件次品”，B＝“至少有两件次品”，则（ ）
A．A⊆B B．B⊆A C．A∩B≠∅ D．A∩B＝∅，且A∪B＝Ω
【即学即练6】对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝“两次都击中飞机”，B＝“两次都没击中飞机”，C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系不正确的是（ ）
A．A⊆D B．B∩D＝ C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D
【即学即练7】已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设表示事件“3件产品 全不是次品”，表示事件“3件产品全是次品”，表示事件“3件产品中至少有1件是 次品”，则下列结论正确的是（ ）
A．与互斥B．与互斥但不对立
C．任意两个事件均互斥D．与对立
【即学即练8】（多选）下列命题中为真命题的是（ ）
A．若事件与事件互为对立事件，则事件与事件为互斥事件
B．若事件与事件为互斥事件，则事件与事件互为对立事件
C．若事件与事件互为对立事件，则事件为必然事件
D．若事件为必然事件，则事件与事件为互斥事件
【即学即练9】在随机抛掷一颗骰子的试验中，事件“出现不大于4的偶数点”，事件“出现小于6的点数”，则事件的含义为______，事件的含义为___.
【即学即练10】电路如图所示.用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝____________.(用B，C，D间的运算关系式表示)
【即学即练11】在10件产品中有8件一级品，2件二级品，从中任取3件，若记“3件都是一级品”为事件A，则A的对立事件是___________.
【即学即练12】抛掷3枚硬币，试验的样本点用(x，y，z)表示，集合M表示“既有正面朝上，也有反面朝上”，则M＝________________________________________________________________________．
【即学即练13】某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．
(1)恰有1名男生与恰有2名男生；
(2)至少有1名男生与全是男生；
(3)至少有1名男生与全是女生；
(4)至少有1名男生与至少有1名女生．
【即学即练14】掷一枚骰子，给出下列事件：
“出现奇数点”，“出现偶数点”，“出现的点数小于3”.
求：（1），；
（2），.
能力拓展
考法01
事件的关系判断：1.判断事件间的包含关系，交事件、并事件关系要以定义为标准来判断.
2.判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们在一次试验中能否同时发生，若不能同时发生，则这两个事
件是互斥事件，若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件；判断两个事件是否为对立事件，主要看在一
次试验中这两个事件是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生.这两个条件同时成立，
那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件.
【典例1】同时抛掷两枚硬币，“向上面都是正面”为事件M，“至少有一枚的向上面是正面”为事件N，则有（ ）
A．B．C．D．
【典例2】从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（ ）
A．全是红球B．至少有1个红球
C．至多有1个红球D．1个红球，1个白球
【典例3】抽查10件产品，设A={至多有1件次品}，则事件A的对立事件是（ ）
A．{至多有2件正品}B．{至多有1件次品}
C．{至少有1件正品}D．{至少有2件次品}
【典例4】．从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球，则下列选项中的两个事件是互斥事件的为（ ）
A．“都是红球”与“至少1个红球”
B．“恰有2个红球”与“至少1个白球”
C．“至少1个白球”与“至多1个红球”
D．“2个红球，1个白球”与“2个白球，1个红球”
【典例5】某人打靶时，连续射击两次，事件A＝“至少有一次中靶”，B＝“两次都不中靶”，则（ ）
A．A⊆BB．B⊆A
C．A∩B＝∅D．∩B＝∅
【典例6】抛掷相同硬币3次，记“至少有一次正面向上”为事件A，“一次正面向上，两次反面向上”为事件B，“两次正面向上，一次反面向上”为事件C，“至少一次反面向上”为事件D，“3次都正面向上”为事件E.
(1)试判断事件A与事件B，C，E的关系；
(2)试求AD，B+C所包含的样本点，并判断AD与B+C的关系.
【典例7】某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”．判断下列事件是不是互斥事件，如果是，判断它们是不是对立事件．
（1）A与C；（2）B与E；（3）B与D；（4）B与C；（5）C与E.
考法02
事件的交、并运算：事件间运算方法
(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.
(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.
【典例8】抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件“出现的点数是1或2”，事件“出现的点数是2或3或4”，则事件“出现的点数是2”可以记为（ ）
A．B．C．D．
【典例9】设A，B是两个任意事件，下面关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例10】抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，若事件，事件，求事件，.
【典例11】生产某种产品需要2道工序，设事件“第一道工序加工合格”，事件“第二道工序加工合格”，用A，B，，表示下列事件：“产品合格”，“产品不合格”．
考法03
事件的关系和运算的综合应用：
【典例12】如图所示，事件A＝“甲元件正常”，B＝“乙元件正常”，C＝“丙元件正常”．则A∪B∪C表示的含义为________，∩∩表示的含义为________．
【典例13】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，事件M＝{(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)}，则事件M的含义是______________________．
【典例14】从装有5个红球、5个白球的袋中任意取出3个球，判断下列每对事件是不是互斥事件，是不是对立事件．
(1)“取出3个红球”与“取出3个球中至少有1个白球”；
(2)“取出2个红球和1个白球”与“取出3个红球”；
(3)“取出3个红球”与“取出的球中至少有1个红球”．
【典例15】设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来.
（1）三个事件都发生；
（2）三个事件至少有一个发生；
（3）A发生，B，C不发生；
（4）A，B都发生，C不发生；
（5）A，B至少有一个发生，C不发生；
（6）A，B，C中恰好有两个发生.
【典例16】记某射手一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环分别为事件，，，，指出下列事件的含义：
（1）；
（2）；
（3）.
【典例17】一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件=“第一次摸到红球”，=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”.
（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
（2）事件R与，R与G，M与N之间各有什么关系？
（3）事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件与事件的交事件与事件R有什么关系？
【典例18】在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．
分层提分
题组A 基础过关练
1．一个射手进行一次射击，事件A:命中环数大于8;事件B:命中环数大于5，则（ ）
A．A与B是互斥事件B．A与B是对立事件
C．A⊆BD．A⊇B
2.从1，2，3，…，7这7个数中任取两个数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；
②至少有一个是奇数和两个都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.
上述事件中，是对立事件的是（ ）
A．①B．②④C．③D．①③
3. 从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A={三件产品全不是次品}，B={三件产品全是次品}，C={三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中错误的是（ ）
A．A与C互斥B．B与C互斥
C．任何两个都互斥D．任何两个都不互斥
4.打靶次，事件表示“击中发”，其中、、、.那么表示（ ）
A．全部击中B．至少击中发
C．至少击中发D．以上均不正确
5. 某产品分为甲、乙、丙三级，其中甲级为正品，乙、丙两级均属次品．从等级分别为甲、乙、丙的三件产品中任取一件，抽到甲、乙、丙三级产品分别为事件A， B， C，则抽得次品为（ ）
A．AB．
C．D．
6. 从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个白球与都是红球B．恰好有一个白球与都是红球
C．至少有一个白球与都是白球D．至少有一个白球与至少一个红球
7. 某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有（ ）
①恰有一名男生和全是男生；②至少有一名男生和至少有一名女生；③至少有一名男生和全是男生；④至少有一名男生和全是女生.
A．①③④B．②③④C．②③D．①④
8. 抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件，“向上的点数是2或3”为事件，则（ ）
A．
B．
C．表示向上的点数是1或2或3
D．表示向上的点数是1或2或3
9. 把电影院的4张电影票随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，事件“甲分得4排1号”与事件“乙分得4排1号”是（ ）
A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．以上答案都不对
10. 甲、乙两个元件构成一串联电路，设=“甲元件故障”，=“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为（ ）
A．B．C．D．
11. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个数，分别有下列事件：
①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；
②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.
其中，为互斥事件的是（ ）
A．①B．②④C．③D．①③
12. 口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次取出2张卡片，给出以下事件：
①2张卡片都不是红色； ②2张卡片中恰有1张红色；
③2张卡片中至少有1张红色； ④2张卡片都为绿色.
其中与事件“2张卡片都为红色”互斥但不对立的事件是（ ）
A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③④
13. 某产品外为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，从等级为甲、乙、丙的三件产品中任取一件，抽到甲、乙、丙三级产品分别为事件A、B、C，则抽取一件抽得次品为（ ）
A．AB．BCC．D．
14. 一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：
事件A：恰有一件次品；
事件B：至少有两件次品；
事件C：至少有一件次品；
事件D：至多有一件次品.
并给出以下结论：
①；②是必然事件；③；④.
其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．③④C．①③D．②③
题组B 能力提升练
1. （多选题）若甲、乙、丙三个人站成一排，则下列是互斥事件的有（ ）
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲不站排头和排尾”与“乙不站排头和排尾”
D．“甲站排头”与“乙站排尾”
2. (多选题)抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A＝{出现奇数点}，事件B＝{出现2点}，事件C＝{出现奇数点或2点}，则下列成立的是（ ）
A．A⊆CB．A∩B＝∅
C．A∪B＝CD．B∩C＝∅
3. (多选题)下列结论正确的有（ ）
A．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，恰有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件
B．在标准大气压下，水在时结冰为随机事件
C．若一组数据，，，的众数是，则这组数据的平均数为
D．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为的样本进行调查.若该校一、二、三、四年级本科生人数之比为，则应从四年级中抽取名学生
4. (多选题)设，，为三个事件，下列各式意义表述正确的是（ ）
A．表示事件不发生且事件和事件同时发生
B．表示事件，，中至少有一个没发生
C．表示事件，至少有一个发生
D．表示事件，，恰有一个发生
5. (多选题) 不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（ ）
A．2张卡片不全为红色B．2张卡片恰有一张红色
C．2张卡片至少有一张红色D．2张卡片都为绿色
6. 一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件:事件A:恰有一件次品.事件B:至少有两件次品.事件C:至少有一件次品.事件D:至多有一件次品.并给出以下结论:①A∪B=C;②D∪B是必然事件;③A∩B=C;④A∩D=C.其中正确结论的序号是__________.
C 培优拔尖练
1. 掷一枚骰子，下列事件：A=“出现奇数点”，B=“出现偶数点”，C=“点数小于3”，D=“点数大于2”，E=“点数是3倍数”.
求：（1）A∩B，BC；
（2）A∪B，B+C；
（3）记为事件H的对立事件，求.
2. 从40张扑克牌(红桃､黑桃､方块､梅花，点数从1~10各1张)中，任取一张.
（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.
3. 某连锁火锅城开业之际，为吸引更多的消费者，开展抽奖活动，前20位顾客可参加如下活动：摇动如图所示的游戏转盘(上面扇形的圆心角都相等)，顾客可以免费获得按照指针所指区域的数字10倍金额的店内菜品或饮品，最高120元，每人只能参加一次这个活动．记事件A：“获得不多于30元菜品或饮品”．
（1）求事件A包含的基本事件；
（2）写出事件A的对立事件，以及一个事件A的互斥事件．
4. 用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色.设事件“三个圆的颜色全不相同”，事件“三个圆的颜色不全相同”，事件“其中两个圆的颜色相同”，事件“三个圆的颜色全相同”.
（1）写出试验的样本空间.
（2）用集合的形式表示事件.
（3）事件与事件有什么关系？事件和的交事件与事件有什么关系？并说明理由.
5.如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生．
(1)从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1，4，5，8各区域所代表的事件；
(2)用A，B，C表示下列事件：
①至少订阅一种学习资料；
②恰好订阅一种学习资料；
③没有订阅任何学习资料.
6. 在试验“连续抛掷一枚硬币3次，观察落地后正面、反面出现的情况”中，设事件A表示随机事件“第一次出现正面”，事件B表示随机事件“3次出现同一面”，事件C表示随机事件“至少1次出现正面”.
（1）试用样本点表示事件，，，；
（2）试用样本点表示事件，，，；
（3）试判断事件A与B，A与C，B与C是否为互斥事件.
7. 在试验E“连续抛掷一枚骰子2次，观察每次掷出的点数”中，事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”，事件表示随机事件“第一次掷出的点数为1，第二次掷出的点数为j，事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”，事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”，
（1）试用样本点表示事件与；
（2）试判断事件A与B，A与C，B与C是否为互斥事件；
（3）试用事件表示随机事件A.
课程标准
课标解读
结合具体的事例理解事件的包含关系与相等关系；
结合具体事例能进行随机事件的并、交的运算；
通过具体事例理解随机事件的互斥与对立关系；
通过本节课的学习，要求掌握随机事件间的关系，能进行事件的交、并运算.
定义
符号
图示
包含关系
一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
相等关系
如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等
A＝B
定义
符号
图示
并事件
(或和事件)
一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B
(或A＋B)
交事件
(或积事件)
一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B
(或AB)
定义
符号
图示
互斥事件
一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)
A∩B＝∅
对立事件
一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为eq \x\t(A)
A∪B＝Ω
A∩B＝∅
事件的关系或运算
含义
符号表示
包含
A发生导致B发生
A⊆B
并事件(和事件)
A与B至少一个发生
A∪B或A＋B
交事件(积事件)
A与B同时发生
A∩B或AB
互斥(互不相容)
A与B不能同时发生
A∩B＝∅
互为对立
A与B有且仅有一个发生
A∩B＝∅，A∪B＝Ω