【中考二轮】2024年中考数学【热点·重点·难点】（安徽专用）热点04+二次函数（4大考向+重难通关练+培优争分练）-专题训练.zip

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安徽中考数学中二次函数部分主要考向分为四类：
一、二次函数的图象与性质（必考，4~18分）
二、二次函数性质的综合应用（常考，12分）
三、二次函数的实际应用（常考，5~14分）
四、二次函数的最值（必考，4~10分）
研究二次函数的最值，一般需要三个条件：
（1）图象的开口方向；
（2）对称轴（由对称轴看增减性）；
（3）自变量的取值范围。在此基础上找到取得最值的点解决问题。
【考向一：二次函数的图象与性质】
一．选择题
1．（2023•滁州二模）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象经过
A．第一、二象限B．第二象限C．第三、四象限D．第三象限
2．（2023•滁州二模）已知函数，当时，．则函数的图象可能是下图中的
A．B．
C．D．
3．（2023•蚌山区三模）已知某抛物线开口向下，经过点，，，且．若点，，，在该抛物线上，则
A．B．C．D．
4．（2023•安徽）下列函数中，的值随值的增大而减小的是
A．B．C．D．
二．填空题（共5小题）
5．（2023•庐阳区校级一模）已知二次函数．
（1）当时，二次函数的最小值为 ；
（2）当时，二次函数的最小值为1，则 ．
6．（2023•芜湖三模）在平面直角坐标系中，将抛物线绕点旋转，在旋转后的抛物线上，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 ．
7．（2021•安徽）设抛物线，其中为实数．
（1）若抛物线经过点，则 ；
（2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 ．
8．（2023•雨山区校级二模）抛物线的顶点坐标为．
（1） ；
（2）若抛物线向下平移个单位后，在范围内与轴只有一个交点，则的取值范围是 ．
9．（2023•雨山区校级一模）已知一元二次方程的两根是和2，则抛物线的对称轴为 ．
三、解答题
10．（2023•合肥一模）已知抛物线的顶点在直线上．
（1）求的值；
（2）请判断抛物线与轴交点的个数，并说明理由．
11．（2023•庐阳区一模）如图1，抛物线与轴相交于点，点，与轴相交于点，，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点为上一点（不与，重合），过点作的垂线，与抛物线相交于点，点（点在点的左侧），设，，求与的函数解析式．
【考向二：二次函数性质的综合应用】
1．（2022•庐阳区校级模拟）如图（1），在中，，，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，，两点运动速度的大小相等，设，，关于的函数图象如图（2），图象过点．
（1）则 ；
（2）则图象最低点的横坐标是 ．
2．（2023•肥东县模拟）某水果店去年2月至5月份销售甲乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与月份之间存在的反比例函数关系如表所示．
甲种水果进价为3元千克，销售量（千克）与之间满足关系式；乙种水果每月售价与月份之间满足，对应的图象如图所示．乙种水果进价为3.5元千克，平均每月销售160千克．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）求与之间的函数关系式；
（3）若水果店销售水果时需要缴纳0.2元千克的税费，问该水果店哪个月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是多少？
3．（2023•金安区校级二模）已知二次函数与反比例函数，它们在同一平面直角坐标系中的图象大致是
A．B．
C．D．
4．（2023•南谯区校级一模）如图，抛物线与轴交于点，，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①；②；③为任意实数）；④若点是抛物线上第一象限上的动点，当的面积最大时，，，其中正确的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（2023•定远县校级一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点关于轴的对称点为点．
（1）点坐标（用含的式子表示） ；
（2）已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围 ．
6．（2023•雨山区校级二模）已知：抛物线与轴交于点、（点在轴正半轴），且．
（1）此抛物线的顶点坐标为 ；
（2）若点为抛物线上一动点，作轴，交一次函数的图象于点，当时，的长度随的增大而增大，则的取值范围是 ．
7．（2023•蜀山区校级模拟）如图1，抛物线，交轴于、两点，交轴于点，为抛物线顶点，直线垂直于轴于点，当时，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是线段上的动点（除、外），过点作轴的垂线交抛物线于点．
①当点的横坐标为2时，求四边形的面积；
②如图2，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
8．（2023•安徽自主招生）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于，与轴交于点．以直线为对称轴的抛物线经过，两点，并与轴正半轴交于点．
（1）求的值及抛物线的函数表达式；
（2）设点，若是抛物线对称轴上使得的周长最小值的点，过任意作一条与轴不平行的直线交抛物线于，，，两点，试探究是否为定值？请说明理由；
（3）将抛物线作适当平移，得到抛物线，，若当时，恒成立，求的最大值．
9．（2022•宣城自主招生）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象过、两点，且与轴交于另一点，点为线段上（不含端点）的一个动点，过点作平行于轴的直线交线段于点，交二次函数的图象于点．（1）当时，求线段的长度；
（2）已知点是轴上的点，为的角平分线，且，求点的坐标．
【考向三：二次函数的实际应用】
1．（2023•蚌山区模拟）市政府要规划一个形如梯形的花园，如图，，米．园林设计者想在该花园内设计一个四边形区域来种植花卉，其他区域种植草皮，已知种植花卉的费用为每平方米100元．要求、分别位于、边上，，且，米．为了节约成本，要使得种植花卉所需总费用尽可能的少，即种植花卉的面积尽可能的小，请根据相关数据求出种花卉所需总费用的最小值为 元．
2．（2022•南陵县自主招生）交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量（辆小时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数；速度（千米小时）指通过道路指定断面的车辆速度，密度（辆千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．为配合大数据治堵行动，测得某路段流量与速度之间关系为．
（1）当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？
（2）已知，，满足．
①市交通运行监控平台显示，当该路段不会出现交通拥堵现象．试分析当车流密度在什么范围时，该路段不会出现交通拥堵现象；
②在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离（米均相等，当米时请求出此时的速度．
3．（2023•繁昌县校级模拟）小黄做小商品的批发生意，其中某款“中国结”每件的成本为15元，该款“中国结”的批发单价（元与一次性批发量为正整数）（件之间满足如图所示的函数关系．
（1）当时，求与的函数关系式．
（2）某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”，共支付7280元，求此次批发量．
（3）某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结” 件，小黄获得的利润为元，当为何值时，小黄获得的利润最大？最大利润是多少元？
4．（2023•泗县校级模拟）为丰富市民的周末生活，某旅行社推出市区周边一日游项目，根据旅行社提供的收费方案，绘制了如下所示的函数图象，图中的折线表示团队人均报名费用（元与团队人数（人之间的函数关系．若旅行社规定团队的人均报名费用不低于84元，请解答下列问题：
（1）请求出与之间的函数关系式及自变量的取值范围．
（2）当一个团队有多少人时，该旅行社收到的总报名费用最多？最多是多少元？
5．（2023•合肥二模）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米．
（1）若发射石块在空中飞行的最大高度为10米，
①求抛物线的解析式；
②试通过计算说明石块能否飞越防御墙；
（2）若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、，求的取值范围．
6．（2023•明光市一模）合肥市某公司投入40辆同型号汽车准备成立汽车租赁分公司．市运管所规定每辆汽车的日租金按10元的整数倍收取但不得超过250元．汽车租赁分公司试运营了一段时间后发现营运规律如下：当每辆汽车的日租金不超过150元时，40辆汽车可以全部租赁出去；当每辆汽车的日租金超过150元时，每增加10元，租赁出去的汽车数量将减少2辆．已知租赁出去的汽车每辆一天各项支出共需20元，没有租赁出去的汽车每辆一天各项支出共需10元，另外公司每天还需支出的管理费及其他各项经费共1800元．
（1）汽车租赁分公司正式运营的第一周实行优惠活动，在40辆汽车能全部租出的前提下，要求保证每天总租金不低于总支出，则每辆汽车的日租金至少为多少元？
（2）每辆汽车的日租金定为多少元时，可使汽车租赁分公司每天的总利润最大？这个最大利润是多少？（总利润总租金总支出）
7．（2023•肥西县二模）如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点的坐标为，．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处点的坐标；
（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由；
（3）在该运动员入水点的正前方有，两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，且顶点距水面4米，若该运动员出水点在之间（包括，两点），请直接写出的取值范围．
8．（2023•烈山区一模）鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图和截面示意图（如图，攻球员位于点，守门员位于点，的延长线与球门线交于点，且点，均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．已知，，足球飞行的水平速度为，水平距离（水平距离水平速度时间）与离地高度的鹰眼数据如表：
（1）根据表中数据预测足球落地时， 30 ；
（2）求关于的函数解析式；
（3）守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．已知守门员面对足球后退过程中速度为，最大防守高度为；背对足球向球门前进过程中最大防守高度为．
①若守门员选择面对足球后退，能否成功防守？试计算加以说明；
②若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度．
9．（2023•庐阳区校级三模）植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为6米的墙，现准备用20米的篱笆围一间矩形花圃，小俊设计了如图甲和乙的两种方案：方案甲中的长不超过墙长；方案乙中的长大于墙长．
（1）按图甲的方案，设的长为，矩形的面积为．
①求与之间的函数关系式；
②求矩形的面积的最大值．
（2）甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是多少？请说明理由．
10．（2023•庐阳区二模）某公司调研了历年市场行情和生产情况以后，对今年某种商品的销售价格和成本价格进行预测，提供了两方面的信息，如图所示．图1的图象是线段，图2的图象是部分抛物线．
（1）在3月份和6月份出售这种商品，哪个月商品的单件利润更大？
（2）从3月份到8月份，哪个月商品的单件利润最大？最大利润是多少？
11．（2023•蜀山区一模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．
（1）以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为米，水流喷出的高度为米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，求的取值范围；
（3）为了美观，在离花形柱子4米处的地面、处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
12．（2023•烈山区三模）某公司根据往年市场行情得知，某种商品，从5月1日起的300天内，该商品市场售价与上市时间的关系用图1的折线表示；商品的成本与时间的关系用图2的一部分抛物线表示．
（1）每件商品在第50天出售时的利润是 元；
（2）直接写出图1表示的商品售价（元与时间（天之间的函数关系；
（3）若该公司从销售第1天至第200天的某一天内共售出此种商品2000件，请你计算最多可获利多少元？
23．（2023•蜀山区二模）在一次竖直向上抛球游戏中，小球上升的高度与小球抛出后经过的时间满足表达式：，其图象如图1所示．
（1）求小球上升的最大高度；
（2）若竖直向上抛出小球时再给小球一个水平向前的均匀速度，发现小球上升高度与小球抛出后水平距离满足如图2所示的抛物线，其中，而小球上升高度与时间仍满足．
①当时，求小球上升到最高点时的水平距离；
②在小球正前方处的挡板上有一空隙，其上沿的高度为，下沿的高度为，若小球下落过程恰好从空隙中穿过（不包括恰好击中点，，挡板厚度不计），请求出此时的取值范围．
（2023•亳州二模）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为，如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．把绿化带横截面抽象为矩形．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口．灌溉车到绿化带的距离为．当，，时，解答下列问题
（1）①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求出点的坐标；
（2）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，试求出的取值范围．
15．（2023•庐阳区模拟）某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价为整数，且该商品的月销售量（件是售价（元件）的一次函数，其售价（元件）、月销售量（件、月销售利润（元的部分对应值如表：
注：月销售利润月销售量（售价进价）
（1）求关于的函数表达式；
（2）当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润；
（3）现公司决定每销售1件商品就捐赠元利润给“精准扶贫”对象，要求：在售价不超过52元时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价的增大而增大，求的取值范围．
16．（2023•蚌山区校级二模）某水果店一种水果的日销售量（千克）与销售价格（元千克）满足一次函数关系，部分数据如表．
（1）求这种水果日销售量与销售价格之间的函数关系式；
（2）若将这种水果每千克的价格限定在6元元的范围，求这种水果日销售量的范围；
（3）已知这种水果购进的价格为4元千克，求这种水果在日销售量不超过10千克的条件下可获得的最大毛利润．（假设：毛利润销售额购进成本）
17．（2023•安庆模拟）某公司生产的一种季节性产品，其单件成本与售价随季节的变化而变化．据调查：
①该种产品一月份的单件成本为6.6元件，且单件成本每月递增0.2元件；
②该种产品一月份的单件售价为5元件，六月份的单件售价最高可达到10元件，单件售价（元件）与时间（月的二次函数图象如图所示．
（1）求该产品在六月份的单件生产成本；
（2）该公司在哪个月生产并销售该产品获得的单件收益最大？
（3）结合图象，求在全年生产与销售中一共有几个月产品的单件收益不亏损？（注：单件收益单件售价单件成本）
18．（2023•安徽模拟）某重工机械公司为用户提供矿山机械设备，该设备每件的售价为18万元，每件的成本为（万元）与月需求量（件月）满足关系式为常数），其中．经市场调研发现，月需求量与月份为整数，符合关系式，且得到了下表中的部分数据．
（1）求与满足的关系式，并求表中的值；
（2）试推断是否存在某个月既无盈利也不亏损，请说明理由；
（3）设第个月的利润为（万元），请求出与的函数关系式，并求在这一年的前9个月中，哪个月的利润最大？最大利润是多少？
【考向四：二次函数的最值】
1．（2023•贵池区二模）已知二次函数的图象经过点．
（1）求的值；
（2），求的最大值与最小值的差；
（3）若一次函数的图象与二次函数的图象的交点坐标是，，，且时，求函数的最小值．
2．（2019•安徽）一次函数与二次函数的图象的一个交点坐标为，另一个交点是该二次函数图象的顶点．
（1）求，，的值；
（2）过点，且垂直于轴的直线与二次函数的图象相交于，两点，点为坐标原点，记，求关于的函数解析式，并求的最小值．
3．（2020•安徽）在平面直角坐标系中，已知点，，，直线经过点，抛物线恰好经过，，三点中的两点．
（1）判断点是否在直线上，并说明理由；
（2）求，的值；
（3）平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．
4．（2023•安徽二模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是线段上一点（点与点、不重合），过点作的平行线，交于点．连接，求面积的最大值．
5．（2023•瑶海区二模）已知：抛物线与轴交于点、（点在轴正半轴），顶点为，且．
（1）求的值；
（2）求的面积；
（3）若点为抛物线上一点，轴交直线于点，求的最小值．
6．（2023•雨山区校级一模）已知直线经过点，与抛物线的对称轴交于点．
（1）求，的值；
（2）抛物线与轴交于，，，且，若，求的最大值；
（3）当时，抛物线与直线有且只有一个公共点，直接写出的取值范围．
7．（2023•贵池区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于，，三点，其中点坐标为，点坐标为，连接，．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．连接，设运动时间为秒．
（1）求，的值；
（2）在，运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？
8．（2022•安徽）如图1，隧道截面由抛物线的一部分和矩形构成，矩形的一边为12米，另一边为2米．以所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表1米．是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在轴上，与矩形的一边平行且相等．栅栏总长为图中粗线段，，，长度之和，请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线上．设点的横坐标为，求栅栏总长与之间的函数表达式和的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围在右侧）．
（建议用时：15分钟）
一．选择题（共5小题）
1．（2023•怀宁县一模）抛物线的顶点坐标是
A．B．C．D．
2．（2023•庐阳区校级一模）已知抛物线的图象如图所示，其对称轴为直线，那么一次函数的图象大致为
A．B．
C．D．
3．（2023•雨山区一模）已知点、、，在二次函数的图象上，且为抛物线的顶点．若，则的取值范围是
A．B．C．D．
4．（2023•庐阳区校级三模）已知二次函数的系数具有这样的等差关系；，且当时，，则下列结论正确的是
A．，B．，C．，D．，
5．（2023•镜湖区校级一模）已知非负数，，满足，，设的最大值为，最小值为，则的值为
A．9B．8C．1D．
二．填空题（共2小题）
6．（2023•包河区校级一模）对于一个函数，自变量取时，函数值也等于，则称是这个函数的不动点．已知二次函数．
（1）若2是此函数的不动点，则的值为 ．
（2）若此函数有两个相异的不动点、，且，则的取值范围为 ．
7．（2023•蚌埠模拟）已知二次函数的图象的顶点在轴下方，则实数的取值范围是 ．
解答题
8．（2023•雨山区校级一模）如图，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），一次函数的图象经过点和二次函数图象上另一点．其中点的坐标为．
（1）求二次函数和一次函数的解析式；
（2）若抛物线上的点在第四象限内，过点作轴的垂线，交直线于点，求线段的最大值．
（建议用时：20分钟）
1．（2023•六安模拟）建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径．经市场调查发现：搭建一个面积为为整数）公顷的大棚，前期准备所需总费用由建设费用和内部设备费用两部分组成，其中建设费用与成正比例，内部设备费用与成正比例，部分数据如下：
（1）求前期准备所需总费用与之间的函数关系式．
（2）若种植1公顷蔬菜需种子、化肥、农药的开支0.4万元，收获1公顷的蔬菜年均可卖9.4万元．设当年收获蔬菜的总收益（扣除修建和种植成本）为万元，写出与之间的函数关系式．
（3）求种植的面积为多少公顷时，当年收获蔬菜的总收益最大，最大值为多少？
2．（2023•庐阳区校级一模）卡塔尔世界杯完美落幕．在一场比赛中，球员甲在离对方球门30米处的点起脚吊射（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门），假如球飞行的路线是一条抛物线，在离球门14米时，足球达到最大高度8米．如图所示，以球员甲所在位置点为原点，球员甲与对方球门所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
（1）求满足条件的抛物线的函数表达式；
（2）如果葡萄牙球员罗站在球员甲前3米处，罗跳起后最高能达到2.88米，那么罗能否在空中截住这次吊射？
3．（2023•无为市三模）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点为飞行距离计分的参照点，落地点超过点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点到起跳台的水平距离为，高度为 为定值）．设运动员从起跳点起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为．
（1）的值为 ；
（2）①若运动员落地点恰好到达点，且此时，，求基准点的高度；
②若时，运动员落地点要超过点，则的取值范围为 ；
（3）若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过点，并说明理由．
4．（2023•宣城模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点的坐标为，并经过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是抛物线上一点（不与点重合），直线将的面积分成两部分，求点的坐标；
（3）点从点出发，以每秒2个单位的速度在轴运动，运动时间为秒，当时，求的值．
5．（2023•金安区校级二模）如图，抛物线与坐标轴交于点、、，点为抛物线上动点，设点的横坐标为．
（1）若点与点关于抛物线的对称轴对称，求点的坐标及抛物线的解析式；
（2）若点在第四象限，连接、及，当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？
（3）是否存在点，使为以为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2023•金安区校级二模）如图．直线与轴交于点，与直线交于点．
（1）求，，的值；
（2）将抛物线平移，使其顶点在直线上移动，移动后的抛物线的对称轴为．
①若，则此时抛物线的解析式为 ；
②当抛物线与线段有公共点时，求的取值范围．
满分技巧
1．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
2．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
3．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
4．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
5．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
满分技巧
1．动点问题的函数图象
函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
2.二次函数性质的综合应用
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
时间月份
2
3
4
5
售价（元千克）
12
8
6
4.8
满分技巧
二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
9
12
15
18
21
4.2
4.8
5
4.8
4.2
售价（元件）
40
45
月销售量（件
300
250
月销售利润（元
3000
3750
售价（元千克）
6
8
10
日销售量（千克）
20
18
16
月份（月
1
2
成本（万元件）
11
需求量（件月）
120
100
满分技巧
二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
大棚面积公顷
3
8
前期准备所需总费用万元
21
134