【中考二轮】2024年中考数学【热点·重点·难点】（安徽专用）热点05三角形（6大考点+重难通关练+培优争分练）-专题训练.zip

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安徽中考数学中三角形部分主要6大考点：
考点1：角、相交线与平行线（10年6考，4~5分）
考点2：三角形与全等三角形（10年10考，4~14分）
考点3：等腰三角形（10年9考，4~9分）
考点4：直角三角形（10年10考，4~9分）
考点5：相似三角形及其应用（10年10考，9~19分）
考点6：解直角三角形的实际应用（10年10考，5~10分）
【题型1角、相交线与平行线 】
1．（2022•埇桥区校级模拟）两个直角三角板按照如图的位置摆放，其中，，，与相交于点．那么的度数为
A．B．C．D．
2．（2023•六安三模）如图，线段，为线段上一点，，交于点，连接．已知，，则
A．B．C．D．
3．（2023•金安区一模）如图，已知，，，则的度数为
A．B．C．D．
4．（2021•安徽）两个直角三角板如图摆放，其中，，，与交于点．若，则的大小为
A．B．C．D．
5．（2023•合肥二模）如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是
A．B．C．D．
【题型2 三角形与全等三角形 】
6．（2023•合肥模拟）将两块直角三角尺按如图摆放，其中，，，若，相交于点，则的大小为
A．B．C．D．
7．（2023•庐阳区校级一模）如图，一副直角三角尺如图摆放，点在的延长线上．，，，则的度数是
A．B．C．D．
8．（2023•池州模拟）将直角三角板和直角三角板按如图方式摆放（直角顶点重合），已知，则的度数是
A．B．C．D．
9．（2023•天长市校级三模）在等腰中，，点在上，点在的延长线上，连接交于点，作于点，若，，则下列结论一定正确的是
A．B．C．D．
10．（2023•合肥三模）如图，为等腰的斜边上的一动点，连接，，，垂足分别为点、，已知，以下结论错误的是
A．B．若，则
C．D．，
11．（2022•合肥模拟）如图，点是边长为6的等边内部一动点，连接，，，满足，为的中点，过点作，垂足为，连接，则长的最小值为
A．2B．C．3D．
12．（2021•安徽）在中，，分别过点，作平分线的垂线，垂足分别为点，，的中点是，连接，，．则下列结论错误的是
A．B．C．D．
13．（2023•蜀山区二模）在中，，分别过点，作平分线的垂线，垂足分别为点，，的中点是，连接，，．则下列结论正确的是
A．B．C．D．
【题型3等腰三角形 】
14．（2023•蜀山区校级三模）如图，在中，，，直线，顶点在直线上，直线交于点，交于点，若，则的度数是
A．B．C．D．
15．（2023•定远县校级一模）如图，中，，于点，若，则有
A．B．C．D．
16．（2023•蜀山区一模）如图，在中，，，延长至，使得，点为动点，且，连接，则的最小值为
A．B．5C．D．9
17．（2023•蚌埠模拟）在如图的网格中，在网格上找到点，使为等腰三角形，这样的点有几个
A．8B．9C．10D．11
18．（2023•雨山区校级模拟）如图，在边长为6的等边三角形中，为边上一点，且，过点作于点，为的中点，为边上一动点，连接．当点运动到边的三等分点时，的长为 ．
19．（2023•庐阳区模拟）如图，在边长为2的等边三角形中，为边上一点，且．点，分别在边，上，且，为边的中点，连接交于点．若，则的长为
A．B．C．D．
【题型4 直角三角形 】
20．（2023•瑶海区模拟）如图，在中，，，，为边上一动点（不与点重合），为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任意一点，连接，为的中点，连接，则的最小值是
A．B．6C．D．9
21．（2023•金安区校级模拟）如图，中，，，，线段的两个端点、分别在边，上滑动，且，若点、分别是、的中点，则的最小值为
A．B．C．D．3
22．（2023•合肥模拟）在中，，，，则线段的长为
A．4B．C．4或D．2或4
23．（2022•安徽）已知点是边长为6的等边的中心，点在外，，，，的面积分别记为，，，．若，则线段长的最小值是
A．B．C．D．
24．（2024•庐江县一模）中国古代数学家赵爽设计的“弦图”蕴含了丰富的数学知识．如图，在由四个全等的直角三角形，，，和中间一个小正方形拼成的大正方形中，设，若，则正方形与正方形的面积的比值为
A．13B．C．5D．
25．（2023•宿州模拟）如图，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若每个直角三角形的面积为4，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为
A．9B．6C．1D．3
26．（2023•定远县校级一模）如图所示，是的边的中点，平分，于点，且，，则的长是
A．12B．14C．16D．18
27．（2023•安徽）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，，时， ．
29．（2024•芜湖模拟）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，，为格点（每个小正方形的顶点叫做格点），，，且，线段关于直线对称的线段为，将线段绕点逆时针旋转得到线段；
（1）画出线段，；
（2）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，求的度数．
【题型5 相似三角形及其应用 】
29．（2024•瑶海区一模）如果两个相似三角形的相似比是，那么它们的面积比是
A．B．C．D．
30．（2023•裕安区校级二模）如图，在中，延长至点，使，连接交于点，则的值是
A．B．C．D．
31．（2024•界首市校级一模）如图，在中，，，，若四边形的面积为16，则的面积是
A．4B．C．2D．
32．（2023•庐阳区校级模拟）已知：中，是中线，点在上，且，．则的值为
A．B．C．D．
33．（2023•合肥模拟）如图，为半圆的直径，点为圆心，点是弧上的一点，沿为折痕折叠交于点，连接，若点为的黄金分割点，则的值为
A．B．C．D．
34．（2024•瑶海区一模）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验（如图，解释了小孔成倒像的原理，并在《墨经》中有这样的记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．物理课上，小明记录了他和同桌所做的小孔成像实验数据（如图：物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是
A．B．C．D．
35．（2023•庐阳区一模）正方形纸片中，，分别是、上的点，且，交于．若为中点，则 ；若，则 ．
36．（2024•瑶海区一模）已知，且，求的值．
37．（2023•涡阳县二模）如图，，，，，连接、，其中的延长线交于点．
（1） ．
（2）若点为的中点，则的最小值是 ．
38．（2023•亳州模拟）如图，在中，，，，点是边上的一点，是线段的垂直平分线且分别交、于点、．
（1）若，则 ；
（2）若经过的某一顶点，则 ．
39．（2023•金安区校级模拟）如图，是的直径，过点作的垂线，连接，交于点，的切线交于．
（1）求证：点为的中点；
（2）若的直径为3，，求的长．
40．（2023•全椒县二模）如图，已知等腰和等腰有公共的顶点，且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接．
（1）求证：；
（2）若与相交于点，求证：；
（3）若，，且，请画出符合条件的图形，并求的长．
41．（2023•瑶海区二模）中，，平分，点为中点，，．
（1）写出一对相似三角形 ；
（2）的长为 ．
42．（2024•瑶海区一模）如图，在中，，，是边上一点且，、分别在边、上，，，求四边形的周长．
43．（2023•蜀山区模拟）在四边形中，，，对角线、相交于点，过点作垂直于，垂足为，
且．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，点、、分别为线段、、的中点，连接、、．
①求证：；
②若，求的面积．
44．（2024•芜湖模拟）如图，四边形是学校的一块学农基地，其中是水果园，是蔬菜园，已知，，，．
（1）求证：；
（2）若蔬菜园的面积为，求水果园的面积．
45．（2024•界首市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，请解答下列问题：
（1）将向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，画出平移后的△；
（2）以原点为位似中心，画出△的位似图形△，使△与△的相似比为．
46．（2024•瑶海区一模）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于轴对称的△；
（2）以点为位似中心，在网格中画出△的位似图形△，使△与△的相似比为．
（2023•亳州三模）如图1，在和中，，．
（1）①求证：；
②若，试判断的形状，并说明理由；
（2）如图2，旋转，使点落在边上，若，．求证：．
48．（2023•蜀山区校级模拟）在中，，，是上一点（不与点，重合），连接，过点作于点，连接并延长，交于点．
（1）如图1，当时，
①求证：；
②求证：；
（2）如图2，若是的中点，求的值（用含的代数式表示）．
【题型6 解直角三角形的实际应用 】
49．（2024•界首市校级一模）如图，滑雪场有一坡角为的滑雪道，滑雪道长为150米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为
A．米B．米C．米D．米
50．（2024•安徽模拟）如图，中，，，，则 ．
51．（2021•安徽）学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形为矩形，点、分别在、上，，，，．求零件的截面面积．参考数据：，．
52．（2024•瑶海区一模）已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行．（参考数据：
（1）猜想两支架与的位置关系并说明理由；
（2）若的长度为，，求购物车把手到的距离．（结果精确到
53．（2024•界首市校级一模）如图，一栋楼房后有一个小山坡，其坡度．某一时刻太阳光线与水平线的夹角为时，楼房在小山坡上的影长为25米，测得坡脚与楼房的水平距离米，求楼房的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，
54．（2020•安徽）如图，山顶上有一个信号塔，已知信号塔高米，在山脚下点处测得塔底的仰角，塔顶的仰角，求山高（点，，在同一条竖直线上）．
（参考数据：，，．
55．（2023•安徽）如图，，是同一水平线上的两点，无人机从点竖直上升到点时，测得到点的距离为，点的俯角为，无人机继续竖直上升到点，测得点的俯角为．求无人机从点到点的上升高度（精确到．
参考数据：，，，，，．
56．（2022•安徽）如图，为了测量河对岸，两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点，测得，均在的北偏东方向上，沿正东方向行走90米至观测点，测得在的正北方向，在的北偏西方向上．求，两点间的距离．
参考数据：，，．
（建议用时：15分钟）
一．选择题（共3小题）
1．（2023•宣城模拟）如图，在中，，、分别是、的中点，延长至点，使，连接、、．若，则
A．3B．C．D．4
2．（2023•合肥一模）如图，中，，且，则的值是
A．B．C．D．
3．（2023•庐阳区校级一模）如图，，，若，，则点到的距离是
A．B．C．D．
二．填空题（共3小题）
4．（2023•天长市校级三模）如图，，，，四点在同一条直线上，，，三点也同在另一条直线上，，，均为等边三角形．请完成下列问题：
（1）在上取一点，使得，连接并延长交于，则 ．
（2）若，，则的长为 ．
5．（2023•禹会区模拟）如图，在四边形中，，，且，于点，连接并延长，交于点．现有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有 （填序号）．
6．（2023•蚌埠模拟）如图，在矩形中，，，点是对角线上一动点，连接，过作，交边于点，以、为邻边作矩形．
（1）当时，则的长为 ．
（2）点在上，且，连接，则长的最小值是 ．
三．解答题（共8小题）
7．（2023•安徽模拟）如图，中，在斜边上选一点为圆心画圆，此圆恰好经过点，且与直角边相切于点，连接、．
（1）求证：；
（2）若，，求阴影部分图形的周长．
8．（2023•合肥一模）如图，点在线段上，在同侧作等腰和等腰，使，连接，分别交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
9．（2023•合肥一模）如图，在矩形中，点为对角线的交点，，垂足为点，且的延长线交于点．
（1）求证：；
（2）如果，，求的长度．
10．（2023•蚌山区三模）如图，为正方形的边上一点，为等腰直角三角形，其中．
（1）如图1，连接，求的大小；
（2）设交对角线于点，斜边交对角线于点，交边于点．
①如图2，若，求的长；
②如图3，若为中点，求的值．
11．（2023•蚌山区二模）如图1，在中，，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．
（1）求的度数；
（2）如图2，若的平分线交于点，交的延长线于点，连结．
①证明：；
②证明：．
12．（2023•庐阳区校级三模）如图1，已知为等边三角形，，分别在，上，且，连接，过点作交于点，连接．
（1）若点和点重合，则 ；
（2）若，如图2，求证：四边形为平行四边形；
（3）猜想线段，，之间的数量关系，并利用图1给出证明．
13．（2023•蜀山区校级三模）已知，在矩形中，连接，过点作，交于点，交于点．
（1）如图1，若．
①求证：；
②连接，求证：．
（2）如图2，若，求的值．
14．（2023•庐阳区校级三模）如图1，在中，，点是斜边的中点，作交的于．
（1）求证：；
（2）如图2，过点作交的延长线于点，若，
①求证：；
②求的值．
（建议用时：20分钟）
15．（2023•天长市一模）已知：如图1，中，，，为中线，点为边上一点，，于点，于点．
（1）的长为 ；
（2）求的值；
（3）如图2，连接，求证：．
16．（2023•雨山区校级一模）如图（1），在中，，是中位线，点在上，且平分，与交于点．
（1）求的度数；
（2）若，点是的中点，连接，其它条件不变，如图（2）．求证：．
17．（2023•合肥一模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．
（1）以原点为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的2倍后的△．
（2）画出绕点顺时针旋转后得到的△．
（3）直接写出点所经过的路径长．
18．（2023•蜀山区三模）如图，在四边形中，，对角线平分，，为上一点，且，连接交于点，为上一点，满足，连接交于点，连接．
（1）①求证：；
②若为中点，求证：；
（2）若平分，请直接写出与的关系： ．
19．（2023•瑶海区校级一模）（1）【初步体验】如图1，正方形中，点，分别是、边上，且于点，求证：．
（2）【思考探究】如图2，在（1）的条件下，连接并延长交于点，若点为边中点，求证：．
（3）【灵活运用】如图3，在（2）的条件下，连接并延长交的延长线于点，求的值．
20．（2023•安徽二模）已知：在中，，，为边中点，为中点，延长线交于，交延长线于，且，过作于，交延长线于．
（1）线段的长为 ；
（2）求的值；
（3）求证：．
21．（2023•贵池区二模）在四边形中，，，对角线，过点作交的延长线于点，连接．
（1）证明：；
（2）若，证明：；
（3）在（2）的条件下，试求的值．
22．（2023•宿州模拟）（1）如图1，正方形网格中，点，，，为格点，交于点．则 ．
（2）如图2，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，．
①求的度数；
②连接交于点，求的值．
23．（2023•合肥三模）如图，在中，，是边上的一点，连接并延长交的延长线于点，是边上的一点，且，连接．
（1）如图1，，，．
①求的长；
②是边上的一点，连接交于点，若，求证：．
（2）如图2，是上的一点，连接，若，求证：平分．
24．（2023•烈山区三模）已知和是有公共顶点的等腰直角三角形，且，．
（1）若，在线段上，连接并延长交于，如图1．
①求证：；
②求的长．
（2）若，点、、在一条直线上，是中点，是中点，连接、，如图2，求的值．
25．（2023•合肥三模）已知：中，，，点为边上一动点，点关于、的对称点分别为、，以、为邻边作，交边于．
（1）是 ；（填特殊平行四边形的名称）
（2）连接交于点，求证：；
（3）点在上移动的过程中，求的最小值．
26．（2023•包河区三模）已知：如图，等边中，点、分别在、边上，且，、相交于点，连接．
（1）当时，的度数为 ．
（2）当时，①求的值；
②求证：．
27．（2023•蚌埠二模）已知是的中线，点是线段上一点，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，连接．
（1）如图1，当点与点重合时，求证：；
（2）如图2，当点与点不重合时，记与的交点为，的延长线与的交点为，且为的中点．
①求的值；
②若，，求的长．
28．（2023•阜阳模拟）在中，，．点在线段上运动（不与点、重合）．如图1，连接，作，与交于点．
（1）求证：．
（2）若，当为多少度时，是等腰三角形？
（3）如图2，当点运动到中点时，点在的延长线上，连接，，点在线段上，连接．
①与是否相似？请说明理由．
②设，的面积为，试用含的代数式表示．
29．（2023•安徽模拟）如图1，已知，是上一点，交于点，交于点，连接，与交于．
（1）求证：．
（2）如图2，连接，，，四边形和四边形都是平行四边形，．
①求的长；
②如图3，延长交于，连接，求证：．
30．（2023•无为市三模）在中，，，点为中点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，且与线段相交于点，的平分线与相交于点．
（1）如图①，若，则 ；
（2）如图②，在（1）的条件下，过点作交于点，连接，．求的值；
（3）如图③，若，，过点作交于点，连接，，请直接写出的值（用含的式子表示）．
31．（2023•滁州二模）如图1，在正方形中，点是对角线上一点（不与点，重合），交边于点，连接，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）若正方形的边长为4，点是延长线上一点，交的延长线于点，且恰好经过的中点，如图2，其他条件不变，求的值．
满分技巧
1．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
2．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
3．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
满分技巧
1．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
2．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
3．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
4．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
满分技巧
1．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
2．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
3．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
4．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
满分技巧
1．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
2．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
3．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
4．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
5．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
6．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
7．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC．
满分技巧
1．平行线分线段成比例
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
2．相似三角形的性质
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
3．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
4．相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
5．作图-位似变换
（1）画位似图形的一般步骤为：
①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．
（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．
6．相似形综合题
主要考查相似三角形的判定与性质，其中穿插全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，难度大．
满分技巧
1．锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
即sinA＝∠A的对边除以斜边＝．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作csA．
即csA＝∠A的邻边除以斜边＝．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
2．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，csA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
3．解直角三角形的应用
（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
4．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
5．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
6．解直角三角形的应用-方向角问题
（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．