【中考二轮】2024年中考数学【热点·重点·难点】（广东专用）热点01+数与式（10大题型+满分技巧+限时分层检测）-专题训练.zip

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中考数学中数与式部分主要考向分为四类：
一、实数（每年2~4道，3-12分）
二、整式与因式分解（每年2~3道，3-9分）
三、分式（每年2~3道，3-9分）
四、二次根式（每年1~3道，3-9分，）
在中考，实数的分类及相关概念主要以选择题或填空题形式考查，比较简单；科学记数法、近似数多以选择题或填空题形式考查，有大数和小数两种形式，有时带“亿”“万”“千万”等单位，做题时要仔细审题，切忽略单位；实数的大小比较常以选择题形式出现，常与数轴结合考查；实数的运算考查形式多样，多数以解答题形式出现，结合绝对值、锐角三函数、二次根式、平方根、立方根等知识考查. 对于实数的复习，需要学生熟练掌握实数相关概念及其性质的应用、实数运算法则和顺序等考点.
考向一：实数
【题型1 相反数、绝对值、倒数】
1．（2023·广东清远·统考一模）等于（ ）
A．6B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键；因此此题可根据绝对值的意义进行求解
【详解】解：等于6，
故选：A．
2．（2023·陕西西安·统考二模）下列各组数中，互为相反数的组是( )
A．和B．2023和
C．和2023D．和
【答案】A
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，结合绝对值的意义逐项判断即可．
【详解】解：A．和互为相反数，故A选项符合题意；
B．2023和互为倒数，故B选项不符合题意；
C．和2023不互为相反数，故C选项不符合题意；
D．和不互为相反数，故D选项不符合题意；
故选：A．
3．（2023·吉林松原·校联考二模）点A在数轴上的位置如图所示，则点A表示的数的绝对值是（ ）

A．2B．C．D．
【答案】A
【分析】根据点A表示的数是，即可得到点A表示的数的绝对值是2，选出答案即可．
【详解】解：∵点A表示的数是，
∴点A表示的数的绝对值是2，
故选：A
【点睛】此题考查了数轴上的点表示数、绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．
4．（2023·山东潍坊·统考中考真题）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据数轴的性质可得，，据此逐项判断即可得．
【详解】解：由数轴可知，，．
A、，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；
C、，
，则此项正确，符合题意；
D、，
，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值的性质，熟练掌握数轴的性质是解题关键．
【题型2 科学记数法】
5．（2024·山东淄博·一模）“防控疫情，从水开始”，我国启动实施了农村饮水安全巩固提升工程，据统计各地已累计完成投资元．数据可以表示为（ ）
A．11.02亿B．110.2亿C．1102亿D．11020亿
【答案】C
【分析】本题主要考查科学计数法---表示原数，利用科学记数法的表示形式展开即可．
【详解】解：亿，
故选：C．
6．（2023·广东肇庆·统考一模）2021年2月《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》正式发布．《意见》确定的目标任务为，2021年，农业供给侧结构性改革深入推进，粮食播种面积保持稳定、产量达到1 300 000 000 000斤以上，农民收入增长继续快于城镇居民，脱贫攻坚成果持续巩固．其中数据1 300 000 000 000用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了科学记数法．熟练掌握科学记数法的定义是解决问题的关键．科学记数法的定义：把一个数表示而为的形式（其中，n为整数），这种记数方法叫做科学记数法．当表示的数的绝对值大于10时，，n为正整数，n的值等于原数的整数部分的位数减1；当表示的数的绝对值小于1时，，n为负整数，n的值等于原数的第一个非0数字前面所有0（包括小数点前面的那个0）的个数的相反数．
根据科学记数法的定义解答，这里，．
【详解】．
故选：C．
7．（2023·广东肇庆·统考三模）海洋是地球上最广阔的水体的总称，海洋的中心部分称作洋，边缘部分称作海，彼此沟通组成统一的水体．地球上海洋面积约，数据用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解：．
故选：C．
8．（2023·安徽·模拟预测）安徽省统计局网发布消息称，2022年前三季度，全省农林牧渔业总产值约3806亿元．其中3806亿用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．3.806D．
【答案】C
【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：3806亿用科学记数法表示为：，
故选：C．
【题型3 实数的大小比较】
9．（2023·江苏·统考中考真题）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）．

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据实数在数轴上的位置，判断实数的大小关系，即可得出结论．
【详解】解：由图可知，，，
A、，错误；
B、，错误；
C、，错误；
D、，正确；
故选D．
【点睛】本题考查利用数轴比较实数的大小关系．正确的识图，掌握数轴上的数从左到右依次增大，是解题的关键．
10．（2023·陕西商洛·统考二模）四个实数，1，2，中，比0小的数是（ ）．
A．B．1C．2D．
【答案】D
【分析】根据正数都大于0，负数都小于0即可得出答案．
【详解】解：1，2，是正数，均大于0；
是负数，小于0，
故选D．
【点睛】本题考查实数的大小比较，解题的关键是掌握正数都大于0，负数都小于0．
11．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考二模）数形结合是解决代数类问题的重要思想，在比较与的大小时，可以通过如图所示几何图形解决问题：若要比较与的大小，以下数形结合正确的是（ ）

A． B． C． D
【答案】D
【分析】根据勾股定理逐一判断即可求解．
【详解】解：A．由图形无法利用勾股定理求得表示与的线段长度，
则无法判断大小，那么A不符合题意；
B．由图形无法利用勾股定理求得表示与的线段长度，
则无法判断大小，那么B不符合题意；
C．由图形可得，但无法求得表示的线段长度，
则无法判断大小，那么C不符合题意；
D．由图形可得，，
∵，
∴，
那么D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了数形结合进行无理数的大小比较，利用勾股定理求得对应线段的长度是解题的关键．
12．（2023·山东·统考中考真题）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据数轴可得，，再根据逐项判定即可．
【详解】由数轴可知，
∴，故A选项错误；
∴，故B选项错误；
∴，故C选项正确；
∴，故D选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查实数与数轴，根据进行判断是解题关键．
【题型4 平方根、算数平方根、立方根】
13．（2024·山东泰安·一模）36的平方根是（ ）
A． B．6C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平方根的定义．根据平方根的定义直接求解即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴的平方根是．
故选：A．
14．（2023·安徽合肥·校考一模）下列语句正确的是（ ）
A．的立方根是B．是的负的立方根
C．的立方根是D．的立方根是
【答案】D
【分析】根据正数的立方根是正数、负数的立方根是负数和立方根的概念解答即可．
【详解】解：A、，1的立方根是1，故本选项错误，不合题意；
B、是的立方根，一个数的立方根只有一个，故本选项错误，不合题意；
C、的立方根是，故本选项错误，不合题意；
D、，8的立方根是2，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了立方根的概念，掌握如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（），那么这个数x就叫做a的立方根是解题的关键．
15．（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）下列各式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】各式利用平方根、立方根定义计算即可求出值，即可判断．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了立方根，平方根以及算术平方根，熟练掌握各自的性质是解题的关键．
16．（2023·广东深圳·深圳市东湖中学校考模拟预测）一个数的两个平方根分别是与，则这个数是（ ）
A．B．C．16D．4
【答案】C
【分析】根据一个数的两个平方根互为相反数列得，求出，即可得到这个数．
【详解】解：由题意得，得，
∴
∴这个数是，
故选：C．
【点睛】此题考查了平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根，熟记性质是解题的关键．
【题型5 实数的运算】
17．（2023·四川·校联考模拟预测）下列计算结果中，是无理数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先计算各项，再根据无理数的定义解答即可．
【详解】A. ，属于有理数，不符合题意；
B. ，属于有理数，不符合题意；
C. ，属于无理数，符合题意；
D. ，属于有理数，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查无理数的定义，熟练掌握实数的运算是解题关键．
18．（2024·西藏拉萨·统考一模）计算：
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据有理数的乘方，化简绝对值，特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简，进行计算即可求解．
【详解】解：
19．（2023·广东肇庆·统考三模）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，先化简负整数指数幂、零指数幂、立方根以及绝对值，再运算加减法，即可作答．
【详解】解：原式
20．（2023·河南周口·校联考模拟预测）（）计算：；
（）化简：．
【答案】（）；（）．
【分析】本题考查了实数的运算，整式的运算，掌握实数的运算法则和整式的运算法则是解题的关键．
（）利用负整数指数幂、零指数幂、二次根式化简，再进行加法运算即可得到结果；
（）利用完全平方公式、平方差公式运算，再合并同类项即可得到结果；
【详解】解：（）
，
；
（）
．
考向二：整式与因式分解
【题型6 整式的运算】
21．（2024·陕西西安·校考模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查合并同类项，完全平方公式，去括号法则，积的乘方与幂的乘方．熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
根据合并同类项法则判定A；根据完全平方公式计算并判定B；根据去括号法则计算并判定C；根据积的乘方与幂的乘方根据计算并判定D．
【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
22．（2023·广东·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
【答案】
【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值问题，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键，根据相关的运算法则和公式计算即可．
【详解】原式


，
当时，
原式．
23．（2023·陕西西安·校考二模）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】先利用完全平方公式，平方差公式与单项式乘多项式运算法则去掉括号，然后再合并同列项计算，最后代入x，y计算即可．
【详解】解：
，
当，时，原式．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则．
24．（2023·广东广州·校考一模）已知多项式．
(1)化简多项式A；
(2)若，求A的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据完全平方公式和多项式乘多项式法则展开，再合并即可得；
（2）由得，代入可得．
【详解】（1）解：；
（2）解：由（1）知，
∵，
，
．
【点睛】本题主要考查完全平方公式及多项式乘多项式，解题的关键是掌握完全平方公式与项式乘多项式法则．
【题型7 因式分解】
25．（2023·安徽·模拟预测）下列分解因式错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解，掌握各类因式分解方法是解题关键.
【详解】解：由完全平方公式可得：，故A正确，不符合题意；
，故B正确，不符合题意；
由平方差公式可得：，故C正确，不符合题意；
，故D错误，符合题意；
故选：D
26．（2022·广西贺州·校考一模）下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了因式分解的意义，正确把握因式分解的意义是解题关键．
直接利用因式分解的定义分析得出答案．
【详解】A、，是多项式乘以单项式，故此选项错误；
B、不符合因式分解的定义，故此选项错误；
C、，从左到右的变形是因式分解，故此选项正确；
D、，不符合因式分解的定义，故此选项错误．
故选：C．
27．（2023·广东佛山·校考三模）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义依次分析各项即可．
【详解】解：A. ，是多项式的乘法，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
C. 是因式分解，故该选项正确，符合题意；
D. ，等式的右边不是多项式的积的系数，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】解答本题的关键是熟练掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
28．（2022·安徽·模拟预测）下列因式分解正确的是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义：“将一个多项式分解成几个单项式乘积的形式叫做因式分解．”是解题的关键，根据因式分解的定义逐一判断即可．
【详解】解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项正确；
故选：D．
【题型8 规律和新定义探索题】
29．（2024·重庆大渡口·统考一模）表示由四个互不相等的正整数组成的一个数组，表示由它生成的第一个数组，表示由它生成的第二个数组，按此方式可以生成很多数组，记，第个数组的四个数之和为（为正整数）.
下列说法：
①可以是奇数，也可以是偶数；
②的最小值是；
③若，则.
其中正确的个数（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了新定义运算，根据新定义运算分别进行运算即可判断求解，理解新定义运算是解题的关键.
【详解】解：根据题意可知，，
，
，
，
∴，
∴是偶数，故错误；
∵，
∴的最小值是，
∴的最小值是，
又∵为正整数，
∴的最小值为20，故正确；
∵，
∴，
∴，故正确；
故选：C.
30．（2023·广东肇庆·统考三模）用黑色和白色的正方形的卡片按照如图所示的规律拼图案，即从第2个图案开始，每个图案都比前一个图案多3个黑色正方形．若第n个图案中黑色正方形的个数为55，则n的值为（ ）
A．17B．18C．19D．20
【答案】C
【分析】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．观察图形可知，第1个图形共有1个黑色正方形；第2个图形共有个黑色正方形；第3个图形共有个黑色正方形；第4个图形共有个黑色正方形；…；由此得出第n个图形共有个黑色正方形，即可求出n的值．
【详解】解：∵第1个图形共有1个黑色正方形；
第2个图形共有个黑色正方形；
第3个图形共有个黑色正方形；
第4个图形共有个黑色正方形；
…；
第n个图形共有个黑色正方形，
若第n个图案中黑色正方形的个数为55，
则，
解得：．
故选：C．
31．（2023·广东东莞·校联考二模）如图，正方形的边长为4，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查规律型：图形变化类，由特殊情况总结出一般规律，先用勾股定理求出第二个正方形的边长，进而找到与之间的关系，依次类推，得出规律，进而得出答案．
【详解】解：∵正方形的边长为4，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，
，
∴，
∴，
故选：A．
32．（2023·重庆开州·统考一模）把黑色圆点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有6个黑色圆点，第③个图案中有8个黑色圆点，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中黑色圆点的个数为（ ）
A．12B．14C．16D．18
【答案】C
【分析】本题主要考查图形的变化规律，根据已知图形得出变化规律，即可求解．
【详解】解：由已知图形可知：
第①个图案中有4个黑色圆点，
第②个图案中有6个黑色圆点，，
第③个图案中有8个黑色圆点，，
……
以此类推，第n个图形黑色圆点个数为：，
因此第⑦个图案中黑色圆点的个数为：，
故选C．
考向三：分式
【题型9 分式的化简求值】
33．（2023·安徽·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将代入计算即可．
【详解】
．
当时，原式
34．（2023·新疆乌鲁木齐·统考模拟预测）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值问题，二次根式的化简，把分式准确化简是解决本题的关键．首先进行分式的化简运算，再把代入化简后的式子，进行二次根式的计算，即可求得结果．
【详解】解：
；
当时，
原式．
35．（2023·湖南娄底·统考一模）先化简，后计算：，其中是满足条件的合适的非负整数．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的运算，化简求值，先通分计算分式的加减，再将除法变为乘法计算并化为最简，最后选择适合的数值代入计算即可．
【详解】原式，
．
根据题意可知1，0，，
将代入，原式．
36．（2023·广东潮州·一模）先化简：，然后在范围内选取一个适当的整数代入求值．
【答案】，3
【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算即可．
【详解】解：
，
因为，且，
所以x的值只能取3，
把代入，原式．
考向四：二次根式
【题型10 二次根式性质和运算】
37．（2023·江苏南通·统考模拟预测）函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．且B．且C． 且D． 且
【答案】B
【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，根据二次根式中被开方数大于等于零和分母不等于零列出不等式求解即可．
【详解】解：由题知，且，
解得且，
故选：B．
38．（2023·河北廊坊·统考二模）下列计算错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的运算法则计算即可．
【详解】解：A、，此选项错误，符合题意；
B、，此选项正确，不符合题意；
C、，此选项正确，不符合题意；
D、，此选项正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的运算．准确熟练地进行计算是解题的关键．
39．（2023·河南周口·统考一模）计算：．
【答案】2
【分析】运用二次根式的化简，平方差公式，特殊角的三角函数值，分别进行计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练运用二次根式的化简，平方差公式，特殊角的三角函数值是解题关键．
40．（2020·湖北襄阳·统考模拟预测）先化简，再求值：，其中，
【答案】,
【分析】首先利用完全平方和平方差进行计算，再合并同类项，化简后，再代入x、y的值求值即可．
【详解】解：
=
=
当，时，原式=
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算--化简求值，及二次根式的运算,熟练掌握运算的顺序是解题的关键.
（建议用时：15分钟）
一、单选题
41．（2024·湖北·一模）在下列计算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次根式、幂的运算及完全平方公式即可依次求解判断．
此题主要考查整式及二次根式的计算，解题的关键是熟知其运算法则．
【详解】不能计算，故错误；
，正确；
，故错误；
，故错误；
故选B．
42．（2024·山东临沂·一模）用型号为“大雁牌”的计算器计算，按键顺序正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了计算器，解答本题的关键是明确计算器的按键顺序．
根据题意，写出正确的按键顺序，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意知，按键顺序正确的是，
故选：D．
43．（2024·西藏拉萨·统考一模）某种禽流感病毒变异后的直径为0.00000012米，将这个数写成科学记数法是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：．
故选：B．
44．（2024·山东淄博·一模）当时，代数式的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，原式先算括号内的，再算括号外的，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】解：
；
当时，原式．
故选：A．
二：解答题
45．（2023·广东广州·校考一模）先化简：，然后x从0、1、2三个数中选一个你认为合适的数代入求值．
【答案】，3
【分析】先把除法转化为乘法，再利用分式的性质和运算法则进行化简，再根据分式有意义的条件确定x的取值范围，再代入值计算即可．
【详解】解：，
，
∵，，且，
∴，，且，
∴，
当时，原式．
46．（2024·山东淄博·一模）化简求值：求 的值，其中．
【答案】；
【分析】本题主要考查分式的混合运算，二次根式的化简以及特殊角三角函数值，先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由三角函数值得出x的值，代入计算可得．
【详解】解：
；
当时，原式．
47．（2023·安徽·模拟预测）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：_______；
(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，见解析
【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是分析清楚所给的等式中序号与相应的数之间的关系．
（1）根据所给的等式的形式进行解答即可；
（2）分析所给的等式的形式，再进行总结，对等式左边的式子进行整理即可求证．
【详解】（1）解：；故答案为：；
（2）解：．
证明：左边
右边，
等式成立．
（建议用时：20分钟）
一：单选题
48．（2024·重庆大渡口·统考一模）估算的结果（ ）
A．在7和8之间B．在8和9之间C．在9和10之间D．在10和11之间
【答案】D
【分析】本题主要考查二次根式的估值，被开方数越大，二次根式的值越大，先计算，再由变形即可求出答案．
解题的关键是要找到离最近的两个能开方的整数，就可以选出答案．
【详解】解： ，，，
，
，
在10和11之间，
故选：D．
49．（2023·四川成都·模拟预测）图中阴影部分是一块绿地，根据图中所给的数据，则阴影部分的面积为（ ）（长度单位：m）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查整式乘法的应用，将阴影部分分割成几个长方形，根据长方形面积公式求解即可．
【详解】解：阴影部分的面积
，
故选：C．
50．（2024·山东淄博·一模）下列计算，错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查同底数幂相乘、积的乘方、负整数指数幂、合并同类项．根据同底数幂相乘、积的乘方、负整数指数幂、合并同类项逐项计算即可．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：C．
51．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（ ）
A．B．或C．D．
【答案】C
【分析】由题意画出数轴，然后根据数轴上的两点距离可进行求解．
【详解】解：如图，由可得：点、、分别表示数、2、，．
的几何意义是线段与的长度之和，
当点在线段上时，，当点在点的左侧或点的右侧时，．
取得最小值时，的取值范围是；
故选C．
【点睛】本题主要考查数轴上的两点距离，解题的关键是利用数形结合思想进行求解．
52．（2023·安徽·模拟预测）大约公元前500年，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯斯发现了无理数．事实上，我国古代发现并阐述无理数的概念比西方更早，但是没有系统的理论．《九章算术》开方术中指出了存在有开不尽的情形“若开方不尽者，为不可开”．《九章算术》的作者们给这种“不尽根数”起了一个专门名词“面”，“面”就是无理数，无理数里最具有代表性的数就是，与数据最接近的整数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题考查的是无理数的估算，理解算术平方根的概念正确估算是解题关键．
根据进行估算求解．
【详解】解：∵
∴
∴
∴数据最接近的整数是2，
故选：B．
二、填空题
53．（2021·广东深圳·二模）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，直接利用提公因式法分解因式即可。
【详解】解：，
故答案为：．
54．（2024·四川凉山·统考模拟预测）若m是方程的一个根，则代数式的值为 ．
【答案】2024
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，根据一元二次方程解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，即，再根据进行求解即可．
【详解】解；∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
55．（2023·四川成都·模拟预测）当，时，代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟悉约分、通分及分式的乘除法则是解题的关键．
先将分子、分母因式分解，再将除法转化为乘法后约分，然后代入求值即可．
【详解】解：
，
当，时，
原式，
故答案为：．
56．（2024·福建泉州·模拟预测）实践操作：现有两个正方形A，B．如图所示进行两种方式摆放：
方式1：将B放在A的内部，得甲图；
方式2：将A，B并列放置，构造新正方形得乙图．
问题解决：对于上述操作，若甲图和乙图阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为 ．
【答案】13
【分析】此题考查了灵活利用乘法公式求图形面积问题的能力，关键是能根据图形列出对应的算式．设正方形A，B的边长各为a、b（），得图甲中阴影部分的面积为，可解得，图乙中阴影部分的面积为 ，可得，可得，进而求得a与b的值即可求解．
【详解】解：设正方形A，B的边长各为a、b（），
得图甲中阴影部分的面积为
解得或（舍去），
图乙中阴影部分的面积为，
可得，
解得或（舍去），
联立得 ，解得 ，
∴，
∴正方形A，B的面积之和为13，
故答案为：13．
57．（2024·西藏拉萨·统考一模）如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，依此规律，用含有m，n的代数式表示y，即
【答案】
【分析】本题考查图形的变化规律，根据图形的变化规律，知，，得出结果.
【详解】解：经观察发现：最上面的数与左下的数为两个连续整数，右下的数是这两个连续整数的乘积再加上最上面的数，即，，，，…，
∴.
故答案为：.
三、解答题
58．（2023·安徽·模拟预测）春节期间，某单位在小广场上展出一批花卉，如图所示是这些花卉的排列图案，其中小黑点表示花卉．第①层需要1盆；第②层需要4盆；第③层需要7盆；第④层需要10盆；以此类推．按照以上规律，解决下列问题：

(1)第⑤层需要花卉 盆，五层共需要花卉 盆；
(2)第n层需要花卉 盆；（用含n的代数式表示）
(3)若将按此规律排列的图案中的4条射线，，，上的花卉全部换成盆景，当盆景共用去205盆时，该图案的最外一层除盆景外还有多少盆花卉？
【答案】(1)13；35
(2)
(3)当盆景共用去205盆时，该图案的最外一层除盆景外还有150盆花卉
【分析】本题主要考查了图形规律探索，一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得出规律，列出方程．
（1）根据花盆的数量规律进行解答即可；
（2）根据已知给出的花盆数进行解答即可；
（3）设当盆景共用去205盆时，该图案共有x层，根据盆景总数为，求出，然后再求出结果即可．
【详解】（1）解：第①层需要1盆；
第②层需要盆；
第③层需要盆；
第④层需要盆；
第⑤层需要花卉盆，
五层共需要花卉（盆）；
故答案为：13；35．
（2）解：第①层需要1盆；
第②层需要盆；
第③层需要盆；
第④层需要盆；
第⑤层需要花卉盆，
…
第n层需要花卉盆．
故答案为：．
（3）解：设当盆景共用去205盆时，该图案共有x层，此时共需盆景（盆），
由题意得：，
解得：．
∴当盆景共用去205盆时，该图案共有52层，（盆），
答：当盆景共用去205盆时，该图案的最外一层除盆景外还有150盆花卉．
59．（2023·广东广州·统考中考真题）已知，代数式：，，．
(1)因式分解A；
(2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可；
（2）将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：①当选择A、B时：
，
；
②当选择A、C时：
，
；
③当选择B、C时：
，
．
【点睛】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤，以及分式化简的方法．
60．（2023·广东潮州·统考模拟预测）先化简：，然后从的解集中选择一个合适的整数a代入求值．
【答案】,时，原式；时，原式
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出不等式组的解集，确定出整数的值，代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
由不等式组，
解得：，∵为整数，则
当或时，原式没有意义；
把代入得：原式；
把代入得：原式
【点睛】此题考查了分式的化简求值，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．满分技巧
1．相反数
规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
2．绝对值
（1）熟记结论
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
3．倒数
方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【规律方法】求相反数、倒数的方法
求一个数的相反数
求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可
求一个数的倒数
求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一
求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置
注意：0没有倒数．
满分技巧
相关概念
概念
补充与拓展
科学记数法
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键
当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1
当原数绝对值小于1时，写成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）.
小技巧：1万=104，1亿=1万*1万=108
近似数
近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0
一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字
一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字
满分技巧
1. 数轴比较法: 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.
2. 类别比较法: 正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
3. 作差比较法: 若a，b是任意两个实数，则
①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-bb
②对任意负实数a，b，若a2>b2a1/b，ab>0，则a1a>b , a/bb
3)任意负实数a，b，a/b>1a